高中数学专项复习：函数的性质

3.2函数的性质（精讲）

本节概要

单调函数的定义

单调区间的定义

知识点一函数的单调性复合函数的单调性

定义法

导数法

判断单调性的方法

图象法

知性质法

识

知识点二函数的最值

点

定义

知识点三函数的奇偶性

性质

知识点四函数的周期性

函知识点五函数的对称性

数

的

性考法一具体函数的单调区间

质

考法二已知单调性求参数

考法三判断函数的奇偶性

求函数值

求解析式

考考法四函数奇偶性的应用

法根据奇偶性求参数

解不等式

奇偶性与单调性

比较大小

考法五函数的周期性与对称性

考法六函数性质的综合运用

考点展现

函数单调性的定义

1.单调函数的定义

一般地，设函数“X)的定义域为/,区间。U/,如果Vxi，X2^D,当为＜12时

条件

都有7(X1)勺口2)都有加)次检)

那么就称函数人尤)在区间D上单调递增那么就称函数«x)在区间D上单调递减

结论

当函数1X)在它的定义域上单调递增时，称它是当函数兀0在它的定义域上单调递减时，称它

增函数是减函数

y

施J㈣

图示11

]______1»11

/XX041424

12

2.单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区

间D叫做y=f(x)的单调区间.

3.复合函数的单调性：函数丫=①/),"=贝尤)在函数0(无))的定义域上，如果与&="(无)的单调性相

同，那么y=/M(x))单调递增；如果y=K")与〃=p(x)的单调性相反，那么y=/M(x))单调递减.

二.函数的最值

前提设函数y=Ax)的定义域为/,如果存在实数M满足：

(l)Vxe/,都有(l)Vxez,都有大X2/；

条件

(2)3xez,使得人月=加(2)3xe/,使得人功=加

结论M是函数y=/(x)的最大值Af是函数y=/(x)的最小值

三.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

偶函数八一x)=yu)关于y轴对称

一般地，设函数木X)的定义域为/,

如果VxG/,者B有一无©/,且

奇函数关于原点对称

四.函数的周期性

1.周期函数

对于函数人无），如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有那么就称

函数八X）为周期函数，称T为这个函数的周期.

2.最小正周期

如果在周期函数加）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做兀0的最小正周期.

五.函数的对称性

1.对称性:若对于R上的任意尤都有八2a—%）=/口）或五一x）=/（2a+x）,则y=/（x）的图象关于直线x=a对称.

2.对称中心：八一犬+6）+yU+6）=2a,则函数y=黄尤）的图象关于点（b,a）中心对称.

思路点拨

一.判断函数单调性常用的方法

1.定义法：一般步骤为取值一作差一变形一判断符号一得出结论.

2.图象法：如果五x）是以图象形式给出的，或者五尤）的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.

3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性（或单调区间）.

4.性质法：

①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及/（x）±g（x）的增减性进行判断；

②对于复合函数，先将函数y=Kg（x））分解成y=/0）和a=g（x）,再讨论（判断）这两个函数的单调性，最后根

据复合函数“同增异减”的规则进行判断.

5.在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增一减=增，减一增=减.

6.复合函数y=/[ga）]的单调性判断方法：“同增异减”.

易错点：求函数的单调区间,首先需要求函数的定义域.

二.利用单调性求参数的范围（或值）

1.视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

2.若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小.

3.比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.

4.求解函数不等式，由条件脱去，尸，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.

5.利用单调性求参数的取值（范围）.根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象

的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.

三.判断函数的奇偶性

1,定义法

2.图象法

.关于原点对称/㈤为奇函数

/㈤的图像卜

U关于y轴对称］_»|/㈤为偶函数

3.性质法

设1X）,g（x）的定义域分别是。1，。2,那么在它们的公共定义域上，有下面结论:

於）g(x)J[x)+g(x)期（X））

偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

同性乘除为偶复合函数有偶为

同性加减不变性，异性加减非奇偶

异性乘除为奇偶，两奇为奇

四.函数奇偶性的应用

1.求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式区间上的函数值.

2.求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出.

3.求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据1x）坟一x）=。得到关于参数的恒等式，由系数的对等性

得方程（组），进而得出参数的值.

4画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象.

5.求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值.

考法解读

考法一具体函数的单调区间

【例1-1］（2023云南）下列函数在R上为增函数的是（）

A.y-x1B.V=xc.y=->JxD.y=-

x

【答案】B

【解析】y=f在（-8,0］上单调递减，在（0,+8）上单调递增，故选项A错误；

y=龙在R上为增函数，选项B正确；

>=-«在［0,+8）上单调递减，故选项C错误；

y=!在（-8,0）单调递减，在（0,+8）单调递减，故选项D错误.故选：B.

【例1-2］（2023•云南•校联考二模）函数/。）=6'-111（1+；0的单调递增区间为.

【答案】(0,+~)/［0,+8)

【解析】由题得函数定义域为(-L+S)J'(X)=e"--一=g(x),g'(x)=e'+-^-?>0,

所以g(x)在(-1,内)上单调递增，又g(0)=0,所以当x>0时，/(以>o,

故f(x)的单调递增区间为(0,+8)(或。+8)).故答案为：(0,+8)

【例1-3］(1)(2023•江西)函数“X”%2—2卜|+5的单调增区间是()

A.和(0,1)B.(-co,-1)和(1,+oo)C.［-1,0］和［1,+℃)D.(-1,0)和(0,1)

(2)(2022•广东)函数〃力=卜2-3尤+2］的单调递增区间是()

~3A「31

A.—,+ooIB.1,~和［2,+oo)

C.和—,2D.j和［2,+oo)

(3)(2022秋•河北廊坊•高三校考阶段练习)函数/(x)=|x-l|+|x-2|的单调递增区间是(

A.B.(-co,l］C.［1,2］D.［2,+00)

【答案】(1)C(2)B(3)D

【解析】(1)由〃一引=(一4一2口|+5=/一2禺+5="冷，

则/⑺为偶函数，/(x)的图像关于y轴对称.

当xZO时，/(X)=X2-2X+5,对称轴为X=1,所以〃x)在［1,+8)上递增，在［0』递减；

则当无V0时，在［-1,0］递增，在递减，

则有〃x)的递增区间为［T，0］,［L+8).

x2-3x+2,x<1

(2)y—|%2—3x+2]=<—x?+3x—2,1<x<2如图TK•

x2-3x+2,x>2

3、

函数的单调递增区间是1，5和［2,+co）.故选：B.

3-2x,x<1

(3)因为/(x)=|x-l|+|x-2]=<-l,l4x<2,所以f(x)的增区间为[2,+8),故选：D.

2x-3,x>2

【例1-4］（2022•全国•高三专题练习）函数f（x）=Iog2（d-2x-3）的单调增区间是（）

A.（1,3）B.（l,+oo）C.（-<»,1）D.（3,+8）

【答案】D

【解析】/（x）=logj尤2-2X-3）要满足*2_2》一3>0,解得：x>3或X<-1,又y=log?"是增函数，所以

只需求出g（x）=f-2x-3的单调递增区间，g（x）=f-2x-3的对称轴为x=l,且开口向上，结合函数的

定义域可得：F（x）=log2（x2-2x-3）的单调递增区间为（3,”）故选：D

【一隅三反】

1.（2023春・江西•高三校联考阶段练习）函数〃元）=g的单调递增区间为.

【答案】（0,八）

【解析】函数〃尤）=理的定义域为（o,+8）,则解（耳=1一2户,

XX

令制x）>。，解得0<x<五,故函数〃尤）的单调递增区间为（。,⑹.故答案为：（0,五）.

2.（2023•西藏林芝）函数/（尤）=J3+2X-Y的单调递增区间是

【答案】［一1』

【解析】函数/。）=，3+2无一、2的定义域需要满足3+2工一巳20,解得定义域为

因为y=3+2x-V在卜词上单调递增，所以/（©=,3+2彳-炉在［-1,1］上单调递增。

3.(2023•江西)函数/(尤)=1。82(炉-3尤-4)的单调减区间为.

【答案】

2

【解析】函数75)=1。82(/-3了-4)中，%-3X-4>0,解得X<—1或X>4,即函数/⑴的定义域为

(-00,-1)(4,-H»),

〃=/-3元-4在(^,-1)上单调递减，在(4,+8)上单调递增，而y=log2尤在(0,舟)单调递增，

于是得Ax)=1吗(丁-3x-4)在(-»,-!)上单调递减，在(4,y)上单调递增，

2

所以函数/(x)=log2U-3x-4)的单调减区间为(-8,-1).

故答案为：(-℃,-1)

4.(2023北京)已知函数/'(尤)=-尤|x|+2x,则下列结论正确的是

①递增区间是(0,+8)②递减区间是(-8，-1)③递增区间是(f,T)④递增区间是JU)

【答案】④

--x2+2%,x>0

【解析】因为函数/(》)=—尤国+2尤/作出函数/(X)的图象,

x2+2羽％<0

如图所示:由图可知，递增区间是(-M),递减区间是(f,T)和(1,+W一

5(2022•山东)函数>='的单调减区间是

【答案】［L+8)

【解析】令“=,一1|

4

[?]0<—<1,在上单调递减

作出”=的图象

由图象可以“=卜-1|在（-8,1］上单调递减，在［1,+«）上单调递增

回y在（-上单调递增，在［1,+⑹上单调递减故答案为：［1,+8）.

考法二函数单调性的应用

【例2-1］（2023•全国•高三专题练习）设awR,则"4」"是"函数〃尤）=竺二在。,+«）为减函数"的（）

x-1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】由题意可得了（同="=。+巴=为减函数，则“T>0,解得〃>L

x-1x-1

因为121推不出a>l,a>l^a>l,

所以"a.1"是"函数/（力=竺?在（1,+8）为减函数”的必要不充分条件，故选：B

x-1

（（3—〃）%—3x<7

【例2-2］（2023•全国,高三专题练习）若函数f（x）=…,，在R上为严格增函数，则实数。的

\a'x>!

取值范围是（）

A.（1,3）；B.（2,3）；

【答案】D

3—〃>0

【解析】.“/X\）在R上为严格增函数，，解得［9"<3.

（3-a）x7-3<a7f,4

即实数。的取值范围是；，3；故选：D

【例2-31（2023秋•江西抚州•高三临川一中校考期末）已知函数f（尤）=log.（--依+3）在［0,1］上是减函数，

则实数。的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,4）

C.（O』）u（l,4）D.［2,4）

【答案】D

【解析】函数〃彳）=1（^（/一以+3）在［0』上是减函数，

22

当0<。<1时，f2+3=（x-勺+3-幺23-幺>0恒成立，

244

而函数"=f-ax+3在区间［0』上不单调，因此0<”1,不符合题意，

当。>1时，函数y=log/在（0,+⑹上单调递增，于是得函数“=/-办+3在区间［0/上单调递减，

因此今21,并且F_q.i+3>0,解得2<a<4,

所以实数。的取值范围是［2,4）.

故选：D

【一隅三反】

1.（2023•广西）已知函数/（x）=/_2ax+b在区间（…，”是减函数，则实数。的取值范围是（）

A.［1,+8）B.（-8,1］C.［-1,+°°）D.（-8,-1］

【答案】A

【解析】/（x）=V-2依+6对称轴为x=a,开口向上，要想在区间（-8,1］是减函数，所以ae［l,田）.

故选：A

2.（2023•北京）使得"函数/（"=3,3a在区间（2,3）上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（）

4

A.t>2B.t<2C.t>3D.-<t<3

3

【答案】C

【解析】由函数"X）=3Q3a在区间（2,3）上单调递减，得y=Y-3fx在区间（2,3）上单调递减，

所以了23,解得叱2.结合A,B,C,。四个选项，知使得"函数〃”=3工2外在区间（2,3）上单调递减〃成立

的一个充分不必要条件可以是/N3.故选：C.

一炉+2tzx+4,x'L「I'

3.（2023•湖南）已知函数〃x）=1l是-2，+«J上的减函数，则0的取值范围是（）

一,%〉1

_1r

A.LB.（-8,-1]

C..TD.

~，T）

【答案】A

【解析】显然当x>l时，〃x）=，为单调减函数,〃力<〃1）=1

当工,I时，/（九）=—/+2办+4,则对称轴为1=-2x（「，〃l）=2a+3

「一、fI

1\a<—

若“X）是-「,+8）上减函数,贝叫-2解得-I,--,

L）[2a+3>l

故选：A.

（g+sj上单调递增，则上的取值范围为（）

4.（2023■河北）若函数〃x）=Ax-lnx在区间

A.，+°°jB.[2,+co）C.[卜。0]D.[4,+co）

【答案】B

【解析】/。）=左-工,因为函数〃彳）=辰一山x在区间（3,+s]上单调递增，所以/（无）=%-工2。在

x7xV2J

上恒成立，即左在上恒成立.因为y=g在上单调递减，所以当xe［；,+coj时，，y<2,所

以壮2,则上的取值范围为[2,y）.故选：B

考法三判断函数的奇偶性

【例3】（2023安徽）判断下列函数的奇偶性：

222(3)/(x)=lg(10l+l)-|；

（1）/（x）=logfl（V^v+1+x）;（2）f（x）=\lx-l-\-yJl-x;

（4）/（尤）='J；（5）/（x）=|x|（|x-2|+|x+2|）.

|x-3|-3

【答案】（1）是奇函数.（2）既是奇函数又是偶函数.（3）是偶函数（4）是奇函数.（5）是偶函数

【解析】（]）Jd+i+x〉。对一切xeR恒成立，

且/(x)+/(一x)=log。(JX2+1+x)+logq(JX2+1-x)=log。［(J%2+1)2一炉］=0，即/(%)=一/(一%),

团/(%)=lOgq(j%2+1+%)是奇函数.

I1_y20

(2)由题意，得2"'即/=：1.函数的定义域为{1,-1},此时f(x)=。.所以"X)既是奇函数又是偶

函数.

X

(3)xeR,f(x)=1g(10'+1)-1=1g(101+1)+1g10^

X'XX\(—XX、

=lg(10x+1)-10^=lg10?+10-2=lg10T+102=/(-%),所以/(%)为偶函数.

\\/

(4)4—x2..O,即—2麴k2,此时|x—31—3=3-％-3=.原函数可化为/(冗)=—-——,

-x

—二J"(T)=7^7一⑴,⑶为奇函数.

X-X

(5)0/(x)=|x|(|x-2|+|x+2|),

0/(-x)=|-x|-(|-x-2|+|-x+2|)=|.v|(l^+2|+|x-2|)=/(x).所以=|x|(|%-2|+|x+2|)为偶函数.

【一隅三反】

(2023•广东潮州)判断下列函数的奇偶性.

⑴〃尤)=6；(2)/(X)=^HZ;⑶/(尤)=，7'⑷

222

f(x)=yj3-x+VX-3；(5)/(x)=log2^x+Vx+1).(6)/(x)=|x+l|-|x-l|；

⑺"%)=(尤；(8)〃x)=lg(^/?7i+q.

【答案】⑴非奇非偶函数⑵奇函数⑶偶函数⑷既是奇函数又是偶函数⑸奇函数⑹奇函数

⑺既不是奇函数也不是偶函数⑻偶函数

【解析】(1)函数/(力的定义域为［0,+O,不关于原点对称，所以〃x)=4是非奇非偶函数.

(2)外)的定义域为［-1,0)501］,关于原点对称.==所以/(x)为奇函数.

-%

(3)/(%)的定义域为(-8,0)(0,+8),且关于原点对称，

当X>0时，_l<0,贝I/(一X)=(-X)2-(-x)=x2+x=f(x);

当xv0时，r>0,则/(一%)=(-%)2+(—%)=/—X=/(X),故/(%)是偶函数.

(4)由；°一;得/=3,解得x=±6,即函数/W的定义域为｛-括,若｝,

lx-3>0,

从而危)=,3_%2+&_3=0.因此力一X)=一/(x)且/(—x)=/(x),回函数7U)既是奇函数又是偶函数.

⑸显然函数力力的定义域为R,

J—X)=l0g2[一彳+J(-X)2+1]=IOg2(J.+]—X)=l0g2(J,+1+x)-1=-l0g2(7%2+l+x)=~f(x),故/(X)为奇函数.

(6)〃%)=k+1|-卜-1|的定义域为R.因为〃-x)=|—x+[T-x-l|=|x-[-k+l|=-f(x),所以/(x)是奇

函数.

(7)〃x)=(x-l)口式的定义域为[-M),不关于原点对称，所以〃无)既不是奇函数也不是偶函数.

V1—X

(8)〃x)=/(&2+1+尤)的定义域为R.

因为〃T)=lg(j(-X)2+l_x)=Igpx2+l-xj,〃x)=坨(&+1+@

且lg^(-x)2+l-X)+1g(6+1+x)=1g[(/+l)-x2]=0,所以1gO(-x)2+l-x)=-lg(6+1+x),

所以=|Tg(777T+x，,所以〃T)=/(X),所以/(x)是偶函数.

考法四函数奇偶性的应用

【例4-1](1)(2023春•四川成都・高三石室中学校考开学考试)己知/(X)为奇函数，当xNO时，

/(尤)=f-e，+l,贝IJ当x<0时，/(%)=

(2)(2023山西)已知"X)是偶函数，当x<0时，/(x)=x(x+l),则当x>0时，/(%)=

【答案】(1)-x2+e-x-l(2)x(x-l)

【解析】(1)当x<0时，—x>0,因为当xNO时,f(x)=x2—e,+1,所以/(—尤)=(-x)2—eA+1=x2-eA+1

①，

又因为/(x)为奇函数，所以/(r)=-f(x)②，结合①，②得，一/Q)=d-e-*+l,则/(切=一/+6一工一1.

(2)由尤>0,贝iJ—x<0,且函数/(尤)是偶函数，故当x>0时，/(x)=/(-尤)=(一x)(-尤+1)=尤(x-l)

故答案为：x(x-l)

【例4-2](1)(2022•广东深圳)若〃x)=l+品(无eR)是奇函数，则实数。=.

（2）（2023•江西•校联考二模）设aeR,则"a=l"是"/（无）=ln（77石+时为奇函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

（3）（2022•全国•模拟预测）已知函数/Xx）=（x3一尤一加（而”+尤）为偶函数，贝巾=.

【答案】（1）-2（2）A（3）1

【解析】（1）〃尤）定义域为R,且〃尤）为奇函数，，〃。）=1+三=。，解得：a=—2；

2y_-i3-11—3”

当〃=一2时，/(x)=l-=一〃力，

3%+13%+13一*+11+3*

.・"（X）为R上的奇函数，满足题意；综上所述：a=-2.故答案为：-2.

(2)若/(x)=ln(Gn+or)为奇函数，则

/(x)+f(-x)=In+1+ax^+In^y/x2+1-ax^=In-a2)x2+1]=0,=0>

解得a=±l,经检验，符合题意，.•."“=1"是"/(外曰川4^石+依)为奇函数"的充分不必要条件.故选：A.

(3)函数f(x)=(d-/M(丘+人+目为偶函数,则有f(-x)=/(x),

3-3)In(Ja+f—兀)=(A3_-3)i(Ja+f+@恒成立贝！]In(Ja+/—=—In(Ja+f+兀)恒成立

—X+XXn

即ln（Ja+f—目+如（，々+）2+%）=lna=0恒成立贝lja=l,经检验符合题意.故答案为：1

4x

【例4-3］（1）（2023•吉林）已知函数〃尤）=耳，则不等式-3＜f（2x+l）＜3的解集是（）

A.(-1,2)B.(-2,1)

C.(-■»,-1)(2,+oo)D.(^o,-2)l,(l,+oo)

*1+9+3,则不等式/'（Igr）*的解集为（）

（2）（2023・全国・高三专题练习）已知函数〃劝=1。82

C.(1,10)

（3）（2023・全国•模拟预测）定义在（-2,2）上的函数〃力满足〃耳=2-2-，+2,则关于无的不等式

〃x）+〃2x-1）＞4的解集为（）

A.(-2,2)B.C.D.(

【答案】(工)B(2)D(3)D

【解析】因为〃-x)=—"x),所以〃x)是奇函数，

A.x4

当x>0时，/(%)=产=4—厂匚是增函数，止匕时/鱼)>0,又“0)=。,

1+x1+X

所以“X)在R上是增函数.又因为〃-3)=-3,"3)=3,

所以-3<〃2x+l)<3可化为/(-3)<〃2%+1)</(3)所以—3<2x+l<3,解得一2令<1.故选：B

(2)由;得xwO,即函数/(X)的定义域为(-e，°)U(0,y).

因为"-X)=log2=log2m+Tv+3=/(x),

所以f(x)为(-8,0)U(0,+«))上的偶函数，

当x>0时、/(x)=log2—F+3,

因为函数y=：+1在(。,+e)上单调递减，所以y=iog2(J+1］在(°，+e)上单调递减,

又y=出+3都是在(0,+“)上单调递减，

根据单调性的性质，可知函数/(X)在(0,+8)上单调递减，

又因为函数/(X)为偶函数，所以函数/(X)在(F,。)上单调递增,

又〃1)=3,所以〃igx)>3=〃i),可得|峻|<|1|=1,

所以且IgxwO,解得，或

所以不等式〃1改)>3的解集为(1,10).故选：D

(3)设g(x)=2*-2T,xe(-2,2),则〃x)=g(x)+2,

因为g(-x)=2-'-2^=-⑵-2一，)=-g(x)所以g(x)在(-2.2)上是奇函数，

因为g'O)=In2♦2、+In2♦Z*=In2(2'+2^)>0,所以g(x)在(-2,2)上是增函数,

因为f(x)+42x-l)>4,所以g(x)+g(2x-l)>0,即g(x)>g(l-2x),

x>l-2x

13

由以工)在(-2,2)上是增函数得，—2<冗<2,解得3Vx<],故选：D.

—2<1—2%<2

【例4-4】(2022•江苏)已知函数/(x)=e'-ef,则。=/。犷)/=〃0.6°6),c=/(0./)的大小关系为

()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【解析】由0.6°6=(0.63)0-2=0.2160-2,O.404=(0.42)02=0.160-2,即0.160-2<0,21602，

所以04°,<O,606，又0.4°6<O,40-4，

所以0.4°-6<O,40-4<O,606，而/(x)=e'-e-x递增，

故。=/(0.406)<C=/(O.40-4)<b=/(O.606)故选：D

【一隅三反】

1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃尤)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(X)=-X2+4X-3,则

函数的解析式为.

f+4x+3,尤<0

【答案】/(%)=<0,x=0

—x2+4x—3,x>0

【解析】由于函数/(尤)是R上的奇函数，则〃0)=0.当x>0时，f(x)=-x2+4x-3,

设x<0,则-x>0,贝1]/(一%)=-%2—4x-3=-/(x),所以/(%)=尤2+4x+3.

x2+4尤+3,尤<0X?+4尤+3,尤<0

综上所述,〃尤)=<0,尤=0.故答案为:/(无)=，0,尤=0

—x2+4x—3,x>0—x2+4x—3,尤>0

2.(2023•广东•高三统考学业考试)函数了⑺是偶函数，当xNO时，/(x)=x(l+x),贝=.

【答案】2

【解析】因为当xNO时，/(x)=x(l+x),所以当x<0时，T>0,所以/(-x)=-x(l-x),函数/(X)是偶函

数，所以/(X)=/(T)=T(1T),所以〃-1)=1(1+1)=2,故答案为：2.

3.(2023•河北•统考模拟预测)已知函数/(x)=,,一，则"2=1”是"函数〃x)是偶函数”的()

2+左•2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】函数/(x)=,1，的定义域为R,关于原点对称，

22~x

r3-Y3

当函数为偶函数时，/(%)=/(-%),即一——=———,整理，得(1+2)(2-27)=0,

2*+H2r2-x+k-2x

由2工+2-工40,解得人=一1.又左2=1,得左=±1,所以"42=1〃是"函数/⑺为偶函数，，的必要不充分条件.

故选：B.

4.(2023春•贵州黔东南•高三校考阶段练习)已知偶函数在(-8,0]上单调递增，则〃3-2x)>/⑴的

解集是()

A.(-1,1)B.(1,+8)C.(f2)D.(1,2)

【答案】D

【解析】由偶函数的对称性知：〃x)在(9,。]上递增，则在(0,+8)上递减，

所以|3-2x|<l,故可得1〈无<2,所以不等式解集为(L2).故选：D

5.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(》)=；三一2尤+1-"+3,其中e是自然对数的底数，若

/(2。-3)+/(片)26,则实数。的取值范围是()

A.(^o,-3]u[l,+oo)B.(-oo,-3]C.[l,+oo)D.[-3,1]

【答案】A

【解析】g(x)=f(x)-3=^-x3-2x+ex—■

3e

1R11a1

g(x)=§(T)-2(-x)+eX~~^=~^x+2x-ex+—=-g(x),

所以函数g(x)为R上的奇函数，

XgXx)=x2-2+ex+—>x2-2+2.ex■—=x2>0,仅当尤=0时等号成立，

exVex

所以函数g(x)为R上的增函数，

又/(24-3)+/(4”6,即/(2a-3)-3+/(a2)_3N0,则g(2a-3)+g(a2)N0,

所以g(2a-3)N-g(〃)=g(-a2),则2a-3N-/,BPa2+2a-3>0,解得aZl或a<-3,

实数。的取值范围是(3,-3]u[1,+s).

故选：A

6.(2023•陕西,统考一模)函数/(X)是定义在R上的奇函数，且在(0,+8)上单调递增，/⑴=0,则不等式

犷(％-1)<。的解集为()

A.(-co,0)u[2,+oo)B.(0,1)

C.(-s,0)L,(2,y)D.(1,2)

【答案】D

【解析】因为函数/(尤)是奇函数，且在(0,+8)上单调递增，所以函数/(X)在(-8,0)上也单调递增，

x>0fx<0

又因为/⑴=0,所以/(-1)=0,不等式犷(x-l)<0等价于或W,

x>0x<0

即0<x-l<l或-1<一<。’得到E<2.故选：D.

7.(2023・安徽黄山・统考二模)己知函数7'("=1g(忖-1)+2023,+2023：则使不等式〃3力<〃*+1)成立

的x的取值范围是()

A.(-oo,-l)u(l,+oo)

【答案】C

【解析】由题意可知：f(x)的定义域为卜归<-1或%>1},关于原点对称，

由=lg(国一1)+2023*+2023T得/(-x)=lg(|-x|-l)+2023^+2023,=f(x),故为偶函数，

当x>l时，/(x)=lg(x—1)+2023*+2023L由于函数:2023工，产lg(x-1)均为。,+⑹单调递增函数,

；在，>1单调递增，因此〃x)为+8)上的单调递增函数，所以不等式/(3x)</(x+l)等价于

(3x|<k+l|11

j「，解得—选:0

8(2022,江苏)已知函数/(x)=e-eT,贝伯=/(。.严历=/(0.6°6),c=/(。.叱)的大小关系为()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【解析】由OS。'=(OS)。?=O2i602,O.40-4=(O.42)0-2=0.16°2,即0.16°2<0,21602,

所以O.404<O.606,又O.406<O,40-4,

所以0.4°6<O,40-4<O,606，而f(x)=ev-递增,

故a=/(O.406)<c=/(O.40-4)<b=f(0.6°6)故选：D

9.(2023・全国•高三专题练习)已知/(x)=必+cosx,若a=,6=/［in：］,。=/1-'j,贝Ij”，b,c

的大小关系为()

A.b<c<aB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

【答案】A

【解析】因为/(x)=x2+cosx,xeR,定义域关于原点对称，

f(-X)=(-X)2+cos(—X)=X2+cosX=/(X),所以/(%)为R上的偶函数,

当xNO时,/'(x)=2x-sinx,,设g(x)=2x-sinx,

贝Ug'(x)=2-cos无，一IWCOSXWI,.1glx)〉。，

所以g(x)即/(X)在［0,+»)上单调递增，所以f'(x)>r(0)=0,

所以在［0,+«>)上单调递增，又因为〃尤)为偶函数,

所以“X)在(-8,0］上单调递减,

又因为lng<0,-;<0,所以6=

31111(1Y<5?所以e1，45

又因为e4>eT=_>_，因为一=lne",/=eJ—«2.4<e，