2024年高考数学模拟试题十九（含解析）

2024年高考数学模拟测试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.已知集合M={x|尤2-2<0},2V={-2,-1,0,1,2},则以N=()

A.0B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【答案】B

【解析】

【分析】

化简集合“，按交集定义，即可求解.

【详解】由d—2x<0,得xe(O,2),所以McN={l},

故选：B.

【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.

2.已知复数z满意z(l+2/)=7,则复数1在复平面内对应点所在的象限是()

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出三的坐标得答案.

z(l-2Z)_2J_.所以W'

【详解】解：由z(l+2i)=i,得(l+2z)(l-2z)-55l

•••复数I在复平面内对应的点的坐标为,在第四象限.

故选：D.

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.

3.已知向量a=(〃—2),力=(2,1),则“0<1”是“。，b夹角为钝角”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意结合平面对量数量积的学问可得若a,b夹角为钝角，则m<1且mW-4,再由且

77ZW-4｝｛司加<1｝结合充分条件、必要条件的概念即可得解.

【详解】若a，b夹角为钝角，则cos卜,“<0且cos卜,»/-1,

2m-2

/,\a-b2m-2vm2+4•百

，解得机<1且加wY,

由“叱/”而";PR2m—2

[m2+4-A/5

由同根<1且77#-4｝｛功.<1｝可得是7,b夹角为钝角”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题考查了利用平面对量数量积解决向量夹角问题，考查了充分条件、必要条件的推断，属于中

档题.

4.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置,

则不同的站法总数是()

A.90B.120C.210D.216

【答案】C

【解析】

【分析】

依据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；其次类，有2人站在同一台阶上，剩余1

人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解.

【详解】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，

所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：盘看=120种站法;

其次类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：国=90种站法；

所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是120+90=210.

故选：C

【点睛】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的实力，属于中

档题.

5.已知定义在H上函数/(%)=x•2闵，a=/(log3y/5),b^-f(log3—),c=/(ln3),则〃，b,。的

大小关系为()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】D

【解析】

【分析】

先推断函数在x>0时的单调性，可以推断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到。=/(log32),

比较logs逐,log32,ln3三个数的大小，然后依据函数在x>0时的单调性，比较出三个数a,4c的大小.

【详解】当龙>0时，/(x)=x-2W=x-2V(x)=2v+x-In2-2V>0,函数在x>0时，是增函

数.因为/(-%)=-%-2|-%|=-%-2X=-/(x)，所以函数/(%)是奇函数，所以有

11L

b=-/(log3-)=/(-log3—)=/(log32),因为ln3>1>log3V5>log32>0,函数/(%)在x>0时，

是增函数，所以故本题选D.

【点睛】本题考查了利用函数的单调性推断函数值大小问题，推断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.

6.对〃个不同的实数囱，色，…，劣可得加个不同的排列，每个排列为一行写成一个加行的数阵.对第/

行21,&2,…，ain,记4=-&1+2&2—3&3+…+(—1)%打，7=1,2,3…，〃！.例如用1,2,3可得数阵如

图，对于此数阵中每一列各数之和都是12,所以从+庆+…优=一每+2X12—3X12二一24.那么,在用1,2,3,

4,5形成的数阵中，61+庆+…瓦0等于()

123

1J4

213

23I

Q1,

...

A.—3600B.—1800C.—1080D.-720

【答案】C

【解析】

【分析】

依据用1,2,3,4,5形成的数阵和每个排列为一行写成一个H行的数阵，得到数阵中行数，然后求得每

一列各数字之和，再代入公式求解.

【详解】由题意可知：数阵中行数为：5!=120,

在用1,2,3,4,5形成的数阵中，

每一列各数字之和都是：5!+5义(1+2+3+4+5)=360,

by+Zz>+...+Z?j2o=360x(—1+2—3+4—5)=360x(—3)=—1080.

故选：c

【点睛】本题主要考查数列的应用，还考查了分析求解问题的实力，属于基础题.

7.已知AA5C中，A=60°,AB=6,AC=4,。为AABC所在平面上一点，且满意。4=O3=OC.

设AO=XA3+,则％+〃的值为（）

117

A.2B.1C.—D.—

1811

【答案】c

【解析】

分析】

由由04=03=0。，得：点。是AA5C的外心，由向量的投影的概念可得：\,再代入运

AOAC=8

62+2//=3

算(32+4〃=2即可

【详解】解：由Q4=O3=OC,得：点。是A4BC的外心,

A(9AB=18

又外心是中垂线的交点，则有:

AOAC=8

(AAB+LIAQ?AB=

即<

又AB=6,AC=4,AB.AC=12>

62+2〃=39

所以《,解得:

32+4〃=21

4111

即X+〃=—+—

9618

故选：c.

【点睛】本题考查了外心是中垂线的交点，投影的概念，平面对量的数量积公式，属中档题.

8.在直三棱柱/8C—48K中，ABLBC,/庐8俏阳=1,〃是/C的中点，则三棱锥合一力创的外接球的表面积

为（）

39

A.—nB.271C.一71D.—71

248

【答案】B

【解析】

【分析】

依据题意找到三棱锥A一/砌的外接球球心为A耳中点，即可求出其半径,则可求出其表面积.

【详解】如图所示：

取AB1中点为。，AB中点为。.并连接DM,

则OD±平面ABM,|ZM|=\DB\=\DM\

所以|04|=|08|=|。叫=|0叫

所以三棱锥4阳的外接球球心为A4中点。.

所以氏=四=受，

22

所以三棱锥方一"刚的外接球的表面积为S=4»H2=2».

故选:B

【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积，属于基础题.解本题的关键在于画出三棱柱，找到三棱锥的外接

球球心.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.而物是一款具有社交属性的健身加也致力于供应健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备

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以依据不同人的体质，制定不同的健身安排.小明依据短?叨记录的2024年1月至2024年11月期间每月跑

步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图.依据该折线图，下列结论正确的是（）

A.月跑步里程最小值出现在2月

B.月跑步里程逐月增加

C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D.1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小

【答案】ACD

【解析】

【分析】

依据折线图，依次分析月跑步里程的最小值，中位数，改变趋势，波动性即得解

【详解】由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A正确；

月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正确；

月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月,

故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；

1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，改变比较平稳，故D正确.

故选：ACD

【点睛】本题考查了统计图表折线图的应用，考查了学生综合分析，数形结合，数据处理实力，属于基础

题

10.已知函数/(x)=sinx+cosx+binx-cosx|,下列结论不正确的是()

71

A.函数图像关于x=一对称

4

TC兀

B.函数在一上单调递增

_44_

C.若=4，则尤,+巧=5+2左左(左wZ)

D.函数/'(x)的最小值为一2

【答案】BCD

【解析】

【分析】

去肯定值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数

的性质求之.

【详解】解：由题意可得:

2cosxxe(2k;i:--,2k7i+—)

2cosxsinx<cosx44

/(%)=sinx+cosx+sin%-cosx\=

2sinxsinx...cosx.7T57T

2sin尤x&\2k7t+—,2k7i:-----]

44

717t

明显函数在-“。上单调递增,Oq上单调递减，故B错误;

当*=£+2左乃，(左wZ)时函数取得最小值=—及，故D错误;

要使|/(七)|+|/(%2)|=4,则/(%)=/(%)=2,则司=2勺兀或玉=9+2左图，々=242〃或

x2=——卜2k2兀,

所以/+%=万+2左乃或马+为=左1，(左wZ),故C错误.

故选：BCD.

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质的应用，表达式中含有肯定值，故应先去肯定值号，变为分段函

数，再分段求值域，属于中档题.

11.已知正方体ABC。-A4GA棱长为2,如图，M为CG上的动点，AM，平面a.下面说法正确的

是（

V3&

A.直线AB与平面a所成角的正弦值范围为V,V

B.点〃与点G重合时，平面戊截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大

C.点〃为CG的中点时，若平面a经过点3,则平面。截正方体所得截面图形是等腰梯形

D.己知N为。。中点，当AM+MN的和最小时，M为CG的中点

【答案】AC

【解析】

【分析】

以点。为坐标原点，DA.DC、所在直线分别为了、V、z轴建立空间直角坐标系。-孙z,利用

空间向量法可推断A选项的正误；证明出AC1，平面A0。，分别取棱其耳、BB］、BC、CD、

的中点E、F、Q、N、G、H,比较.48。和六边形E户QVG〃的周长和面积的大小，可推断B

选项的正误；利用空间向量法找出平面1与棱40、4片的交点£、F,推断四边形/的形态可推

断C选项的正误；将矩形ACGA与矩形CCA。延展为一个平面，利用A、M、N三点共线得知

AM+MN最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC,可推断D选项的正误.

【详解】对于A选项，以点。为坐标原点，DA、DC、。。所在直线分别为％、V、z轴建立空间直角

坐标系。—孙z,则点4（2,0,0）、5（2,2,。）、设点M（0,2,a）（0Wa«2）,

平面e,则AM为平面的一个法向量，且AM=（-2,2,a）,AB=（0,2,0）,

y/3亚

COS<AB,AM>|=

走后

所以，直线A3与平面a所成角的正弦值范围为H万A选项正确;

对于B选项，当〃与CG重合时，连接4。、BD、AC,

在正方体ABC。—&B1G。中，CG，平面ABCD，（3瓦＞€=平面48。。，..5。，。。1，

四边形ABCD是正方形，则5QLAC,CQAC=C,，或）_1_平面ACC「

QAC；u平面ACG，,AG_L,同理可证

，AQcBD=D,J_平面45。，

易知43。是边长为2a的等边三角形，其面积为5的加=¥*（20『=26,周长为

2拒x3=6万

设E、F、Q、N、G、H分别为棱42、4耳、BB「BC、CD、的中点,

易知六边形EFQNGH是边长为0的正六边形，且平面EFQNGHH平面AXBD,

正六边形EFQNGH的周长为6夜，面积为6x乎x=3豆，

则.A3。的面积小于正六边形"QVGH的面积，它们的周长相等，B选项错误；

对于C选项，设平面a交棱42于点石（。,。,2）,点M（0,2,1）,AM=（-2,2,1）,

平面e,上＜=平面£,.・.9_1£＞石，即AM•QE=—2b+2=0，得Z?=l,二石。,0,2）,

所以，点E为棱42的中点，同理可知，点尸为棱44的中点，则尸（2,1,2）,EF=（1,1,0）,

而DB=（2,2,0）,:.EF=gDB,：.EF〃DB且EFrDB，

由空间中两点间的距离公式可得DE=722+02+12=75-BF=J（2—2）2+（1—2『+（2—0）2=逐,

DE=BF,

所以，四边形5Z必为等腰梯形，c选项正确；

对于D选项，将矩形AC£A与矩形CGA。延展为一个平面，如下图所示:

若AM+MN最短，则A、M>N三点共线，

CCJ/DD,,=—=2-72,

DNAD272+2

MC=2-母Lee1,所以，点〃不是棱cq的中点，D选项错误.

2

故选：AC.

【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小

值问题，考查空间想象实力与计算实力，属于难题.

12.函数f(x)=e*+asZnx,xG(—口,+°°),下列说法正确的是()

A.当a=l时，/1(x)在(0,『(0))处的切线方程为2x—尹1=0

B.当a=l时，?(工)存在唯一微小值点刘且一1<『(加<0

C.对随意a>0,f(x)在(一肛+8)上均存在零点

D.存在a<0,/'(x)在(一肛+8)上有且只有一个零点

【答案】ABD

【解析】

【分析】

逐一验证选项，选项A,通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项6通过导数求出函数极值并

推断极值范围，选项C、D,通过构造函数，将零点问题转化推断函数与直线尸a的交点问题.

【详解】选项4当a=l时，f(x)=ex+sinx,xe(-^-,+oo),

所以/(0)=1,故切点为(0,1),f'(x)=ex+cosx,

所以切线斜率女=/'(O)=2,

故直线方程为：y—l=2(x—0),即切线方程为：y=2x+l,选项/正确.

选项6,当°=1时，/(%)=e*+sinx,xe(一名4w),/'(x)=e*+cosx

/⑺=e*—sinx>0恒成立，所以/'(%)单调递增，

「空丫阴3n1V2(3八

e4=e2〉e〉2,所以e彳>0，即W<y，所以/[—--<0

(3冗冗\

所以存在/一--I,使得了'(%o)=O,即e%+cos%o=0

则在(一万，上，/"(%)<0,在(如+8)上，/f(x)>0,

所以在(-勿/)上，/(X)单调递减，在(为+8)上，单调递增.

所以/(力存在唯一的微小值点七.

x

/(x0)=e°+sinx0=sinx0-cosx0=0sin

/e则x0--G1一匹—7^]，叵sin1/--J£(-1,0),所以B正确.

对于选项C、D,f(x)=，+asinx,xe(一汽+oo)

令/(x)=。，即，+〃sinX=0，所以一:二三f，则令方⑴="(一肛十00)

r

,令F(x)=0)^x=k7i+^,k>-l,k

由函数y=J5sin[x—?J的图像性质可知：

71

XG|—+2k兀,2kju+—|时,A/2sinX-->0,/(%)单调递减.

144)

x£f包+2左犯2左》+工+2〃]时，J：7C

sinX--<0,/(无)单调递增.

144)

所以x=2版■+彳,左eZ,左2—1时，*尤）取得微小值,

STC

即当X=—彳,彳,...时E（x）取得微小值，

4e4

又因为在［一肛—多］上尸⑴单调递减，所以尸（x）

所以x=2左〃+£,左eZ,左20时，F（x）取得微小值,

7i97r

即当.了不时尸（X）取得极大值,

g

sinsin

719TT

又＜，即E>F>

9万

1

所以E（x）＜R旦

71

2〉

—^2

当+oo）时，__~e4

兀

2/

所以当—!＜一正肃，即。＞与时,

F（x）在（一"，+8）上无零点，所以C不正确.

a2e彳

1V2

，即a=时，y=—：与尸（工）=学的图象只有一个交点

当一

即存在a＜0,F（x）在（一犯+8）上有且只有一个零点，故D正确.

故选：ABD

【点睛】本题考查函数的切线、极值、零点问题，含参数问题的处理，考查数学运算，逻辑推理等学科素

养的体现，属于难题题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（2x-±）6的绽开式中的常数项为.（用数字作答）

X

【答案】240

【解析】

【分析】

在二项绽开式的通项公式中，令X的幕指数等于0,求出厂的值，即可求得常数项.

【详解】解：(2x-与)6绽开式的通项公式为26T.(-1厂.产"，

X

令6—3r=O,求得r=2,可得绽开式中的常数项为C："=240,

故答案为：240.

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项绽开式的通项公式，求绽开式中某项的系数，二项式系数

的性质，属于基础题.

14.一个不透亮的箱中原来装有形态、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮番摸球，每次

摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可接着再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改

由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是.

【答案】—

128

【解析】

【分析】

先定义事务A,A-B,B＞从而得到事务“甲恰好摸到两次绿球的状况为事务

AAA(B+B),AABA,ABAA,利用事务的独立性进行概率计算，即可得到答案。

【详解】设“甲摸到绿球”的事务为A,则尸(A)=J,

4

_3

“甲摸到红球”的事务为彳,则P(A)=—,

4

设“乙摸到绿球”的事务为……)q,

-3

“乙摸到红球”的事务为豆,则P(B)=

4

在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的状况是AAA(B+B),AABA,ABAA,

„113,1331331115

所以P=_x_x_xl-|--X—X—X--1——X—X—X—=.

44444444444128

15

故答案为:

128

【点睛】本题考查相互独立事务同时发生的概率，考查逻辑推理实力和运算求解实力，求解的关键是精确

定义相关事务。

15.己知石，6为正实数，直线尸才一石与曲线产ln(x+6)相切于点(xo,%)，则▲+」的最小值是

ab

【答案】4

【解析】

【分析】

由题意结合导数的几何意义、导数的运算可得%=1-8、%=0,进而可得)+〃=1,再利用

一"H丁=(一+不](〃+/?),结合基本不等式即可得解.

ab\ab)

【详解】对y=ln(x+b)求导得y,

x+b

因为直线产x—a与曲线尸In(x+6)相切于点(荀，㈤，

1।

所以一r=1即％=1-",

x0+Z?

所以为所以切点为一

=ln(xo+Z?)=ln(l-/2+Z?)=O,(130),

由切点(1—40)在切线尸X—a上可得1—6—。=0即b+a=l,

11(11\人〃cc[ba/

所以一+一二一+—(a+Z?)=2+—+—N2+2J-----=4,

abbJ