初中数学中考复习讲义练习：二次函数中翻折及动点引起的图形存在性问题

二次函数中翻折及动点引起的图形存在性问题

思路指导：

・直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理；两锐角互余.

•等边三角形存在性问题：作出图形，利用60。、30。等特殊角在直角三角形中利用

三角函数知识求解三角形各边的长度；

・平行四边形存在性问题:表示出各点坐标，利用对角线上两对点的横坐标和相等,

纵坐标和相等列出方程，进而解答.

题型一、三角形折叠与等边三角形存在性问题

1.(2019•成都中考)如图，抛物线y=o?+陵+。经过点A(—2,5),与x轴交于点B(—1,0),C(3,0).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点。在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将ABC。沿直线8。翻折得到ABC。.若点C恰

好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；

(3)设尸是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点。在抛物线的对称轴上，当ACP。为等边三角形时,

求直线BP的解析式.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)由题意知,

4〃一2。+c=5a=l

a—b+c=O,解得：b=-2,

9a+3b+c=Qc=-3

...抛物线的函数表达式为:y—Y——3；

(2)由(1)知，抛物线的对称轴为：x=l,

由翻折知：BC=BC'=4,

设抛物线对称轴与x轴交点为M,

则BM=CM=2,

.,.ZBCM=30o,

AZDCM=3Q°,C，M=25

即。(1,26),

在吊△DCM中，DM=CMtan30°=2x—=

33

**•点D的坐标为(1,-)；

3

(3)方法一:

根据点P的位置分类讨论:

①当P在x轴上方时，如下图所示,

,/APCG，ACCB是等边三角形,

:・CQ=CP=PQ,BC=BC'=CC',ZPCQ=ZCCB=60°,

:・/BCQ=/C'CP,

：.△BCQ/AC'CP,

：・BQ=C'P,

^BQ=QC,

：.CP=QC=CP,

•;BC=BC',

：.BP是CC'的垂直平分线,

由折叠知，点。在直线3尸上,

设5尸的解析式为：y=kx+b,

昱

-k+b=0k=

3

26,解得：＜

k+b=------

3b=B

3

・・・直线5P的表达式为：y=^x+—；

33

②当点尸在无轴下方时，点。在龙轴下方,

由上知，XQCP、ACC2为等边三角形,

可得：XBCP/ACCQ,

：.ZCBP=ZCC,Q,

由BC'=CC',C'HLBC,

.'./CC'Q=30°,即/CBP=30°,

设8尸与y轴交于点N,

在RtABON中,

ON=OBtan300=—

3

・・・点七的坐标为（0,--),

3

设3尸的解析式为：y=mx+n,

-m+n=Om=

3

6,解得：＜

n=------二’

3n=

3

・・・直线BP的表达式为：y=—昱x—叵

3可；

73出T乖＞V3

综上所述，直线2P的解析式为：y=——XH---或y=-----x----.

3333

方法二：当点Q、点P在x轴上方时如图所示，连接BQ,

Bcx

易知BQ=QC=PQ,

.,.ZBPQ=ZQBP,ZBCQ=ZQBC,ZBPQ+ZQBP+ZBCQ+ZQBC=ZPQC=60°,

即/PBC=30°,

设BP与y轴交于点H,可得H点坐标为（0,巡）,可得直线BP的解析式为：>=1元+且；

333

当点Q、点P在x轴下方时，如图所示，连接BQ,

同理可得：ZPBC=30°,

设BP与y轴交于点H,可得H点坐标为（0,---）,可得直线BP的解析式为：j=X-—；

333

V36T73>/3

综上所述，直线2尸的解析式为：y=——XH---或y=-----x----.

3333

2.（2019•浙江湖州中考）如图1,已知在平面直角坐标系xOy中，四边形QABC是矩形，点A、。分

6

别在x轴和y轴的正半轴上，连接AC,0A=3,tanAOAC=—,。是8c的中点.

（1）求OC的长和点D的坐标；

2

（2）如图2,M是线段OC上的点，OM=—OC,点P是线段。/上的一个动点，经过P、D、8三点

3

的抛物线交无轴的正半轴于点E,连接。E交AB于点E

①将△DBF沿。E所在的直线翻折，若点8恰好落在AC上，求此时8尸的长和点E的坐标；

②以线段。尸为边，在。尸所在直线的右上方作等边AD/G,当动点尸从点。运动到点M时，点G也

随之运动，请直接写出点G运动路径的长.

【答案】见解析

【解析】

V3

解：⑴'：OA=3,tanZOAC=

3

*4OCV3

在Rt^AOC中，tanNOAC--------，

OA3

:.oc=6

\'ABCD是矩形，

：.BC=0A=3,

又。是BC的中点，

3

：.CD=~,

2

即D的坐标为（3,、2）

2

（2）①

73

由tanNOAC=-----，

3

知：NO4c=30。，

ZACB=ZOAC=30°,

若△QB/折叠后，8的落点为夕

由折叠性质，知：

DB，=DB=DC,/BDF=/B，DF,

：.ZDB,C=ZACB=30°,

・・・/5。夕=60。，ZBDF=30°,

V3

在放△5。尸中，BF=BDtcm300=~T

,:AB=C,

:.AF=BF=是

2

在AB尸。和AA庄中，ZBFD=Z.EFA,ZB=ZM£=90°,AF=BF,

.,.△BFD当AAFE,

3

：.AE=BD=-

2

9

即OE=OA+AE=-,

2

9

故E点坐标为（一，0）

2

②由题意知：尸点横坐标不变为3,而/。以=60。，即G点与尸点的连线与y轴平行，即G点横坐标

不变，所以G点运动轨迹为一条线段，求出P点从。点至M点运动过程中，G点的纵坐标的差即为G点

运动路径的长.

y

当p点在。点时，如图所示，设抛物线解析式为：y=加+法,

将点0(9,6),5(3,G)代入解析式，可得：

2

—a+—b=y/3

<42,

9a+3b=A/3

a=_22、万广

解得：\9，即抛物线解析式为：y=-工X。+岛

.b=#>

9

令y=0,得玉=0,x2=—,

9

即E(—，0),

2

设直线DE的解析式为：v=kx+b,将D(之，百)、E(2,0)代入得:

22

y=

令x=3,得y=,

2

733百

即网3,光-),由得，G(3,)

y

当尸点在Af点时，如图所示，设抛物线解析式为：y=ax1+bx+c,

3lr-2\/3

将点D(—，,B(3,A/3),M(0,-----)代入解析式，可得:

23

93后

—aT—Z?+c—A/3

42

<9。+3。+c=括，

2百

c=----

I3

—空/+与+空

抛物线解析式为：y=

2733

3

令y=0,彳导%]—■一~9%2=6,

即E(6,0),

设直线DE的解析式为：y=kx+b,将。(g,班)、E(6,0)代入得:

2上4®

y=-------x+------,

•93

令x=3,得产W，

264A/3

即F(3,--~)，由BF=BG得,G(3,---)

3J34x133A/3473A/3

即G点由(3,-----)运动至(3,------),运动路径长为:

23丁~Y~~6

题型二、二次函数由增减性求解参数范围及角度相等存在性问题

3.(2019•山东德州中考)如图，抛物线)=如2一：如—4与1轴交于A(xi,0),B(垃，0)两点，

与y轴交于点C且%2-％1=甘.

(1)求抛物线的解析式；

一9

(2)若尸(xi,yi),Q(%2,丁2)是抛物线上的两点，当i%+2,马之鼻时，均有丁10丁2,求。的取

值范围；

(3)抛物线上一点。(1,-5),直线3。与y轴交于点E,动点M在线段5。上，当/BDC=/MCE

时，求点”的坐标.

【答案】见解析.

_5

【解析】解：(1)函数的对称轴为：、一一5"_5_/+々,

―2m~4~2

11

-%=万

3

解得：西=一一，X2=4,

2

将(4,0)代入则函数的表达式为得，抛物线的表达式为：

25,

y=—x2——x-4；

33

9

(2)当X22］时，y2>2,

9

另产2,得x=—2,x=—,

・小g2,

9

—。+20—,

一一一2

解得：一

2

(3)点A/的坐标为(喜，一

y

如图，连接BC,CM,过点。作DGLOE于点G,

由题意知，OB=OC=4,CG=DG=1,

.•.△OBC是等腰直角三角形，ACDG是等腰直角三角形,

ZBCO=ZDCG=45°,BC=40,0)=72，

ZBCD=180°-ZBCO-NDCG=90°,

.•.△BCD为直角三角形，

BD

tanNBDC=----=4,

CD

设直线BO的解析式为：y=kx+b,

将(4,0),(1,-5)代入得:

k=-

4k+b=03

k+b=-5'解得：

b7=---2-0-

3

520

即直线5。的解析式为：=,

33

520

设A/坐标为(m,—m----)，过A/作于忆

33

贝ijZMFC=90°,

Q5

MF=m,CF=OF~0C=-----m,

33

在RtbCFM中，tanNMCF=---=tanNBDC=4,

CF

.一85、q/曰32

..m=4(----m),斛得：m=——,

3323

即M点坐标为：1II,-詈]

题型三、二次函数中直角三角形判定及圆心轨迹问题

4.(2019•湖南怀化中考)如图，在直角坐标系中有吊及4。2,。为坐标原点，OB=1,tan/ABO=3,

将此三角形绕原点。顺时针旋转90。，得到MACOD,二次函数y=-d+6尤+c的图象刚好经过A,B,C三

点.

(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

(2)过定点Q的直线/：y=fcc-k+3与二次函数图象相交于N两点.

①若S"PMN=2,求k的值；

②证明：无论人为何值，AP/V恒为直角三角形；

③当直线/绕着定点。旋转时，APA/N外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式.

【解析】解：(1)由题意知，。8=1,

，OA=3,OC=3,

即点A、B、C的坐标分别为(0,3)、(-1,0)、(3,0),

将点(0,3)、(-1,0)代入y=-x^+bx+c

得二次函数表达式为：y=-^+2x+3,

顶点坐标为：P(1,4)；

(2)联立y=-f+2x+3,左+3得：

x2-(2-fc)x-k=0,

设点M、N的坐标为(xi，l)、(M，＞2)，

贝!J尤1+&=2-k,X[X2=-k.

y\~^y2=k（X1+X2）-2Z+6=6一次,

同理：男丁2=9-4Z?,

①丁=区-无+3,当x=l时，y=3,即点。（1,3）,

,*,S^PMN=2

.,.2=—Pgx（X2-X1）,即X2-X1=4,

2

（X2-XI）2=16,即（X1+X2）2—2X1X2=16,

可得：k=±2«；

②点M、N的坐标为（汨，y）、（及，了2）、点P（1,4）,

222222

由勾股定理得:PM=（^-l）+（y1-4）,PA^=（x2-l）+（y2-4）,

222

MN=（^-%2）+（^-^2）,

PM~+PN~=x^~+/2+X?+%-_2（F+9）—8（X+,2）+34

=石2+々2+%2+%2_2（2_左）_8（6—左2）+34

222

=x；+x2+y；+y2+8左+2左一18

222

MN=（xl-x2）+（y1-y2）

=xj+/2+y：+yj_2（_左）_2（9—4k2）

22

=x；+x2+y：+%?+8左+2左一18

PM2+PN2=MN2,

故无论k为何值，APAfN恒为直角三角形；

③取MN的中点“，则点”是APAfN外接圆圆心,

设点H坐标为（x,y）,

%%_2一左

贝！J尸

2-2

必+匕_62

2-2

整理得：y=-2^+4x+l,

即：该抛物线的表达式为：y=-2/+4x+l.

题型四、平行四边形及两直线平行存在性问题

5.(2019•江苏连云港中考)如图，在平面直角坐标系无Oy中，抛物线〃：y=x2+勿；+c过点C(0,

1,3

-3),与抛物线E：y=—5好一QX+2的一个交点为A,且点A的横坐标为2,点P、Q分别是抛物线心、

抛物线上上的动点.

(1)求抛物线匕对应的函数表达式；

(2)若以点A、C、P、。为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；

(3)设点R为抛物线〃上另一个动点，且CA平分NPCR,若OQ〃PR,求出点。的坐标.

【答案】见解析.

193

【解析】解：(1)当x=2时，y=——%2——X+2=~3,即A点坐标为(2,-3),

22

将A(2,-3),C(0,-3)代入yuV+bx+c得：

4+2Z?+c=-3,[b--2

<,解得：\,

c=-31c=-3

即抛物线L的函数表达式为：y=x2-2x-3.

13

(2)设尸点坐标为(m,小一2加一3),点。坐标为(几，---n2-----〃+2),

22

・・•以点A、C、P、。为顶点的四边形恰为平行四边形,

①若AC尸。为平行四边形时，

2+m=Q+n

m=0m=—l

13解得:或《

-3+m2-2m-3=-3—n2—n+2n=21〃=1

22

："2=0时，尸与C重合，舍去,

，尸点坐标为(—1,0)；

②若ACQP为平行四边形时，

2+n=0+m

13