2025高考数学一轮复习 用样本估计总体 专项训练【原卷版】

2025高考数学一轮复习-92用样本估计总体-专项训练【原卷版】

[A级基础达标J

1.给定一组数据5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，则这组数据（）

A.众数为2B.平均数为2.5C.方差为1.6D,标准差为4

2.[2023•广东茂名联考]已知甲组数据为：5,12,16,21,25,37,乙组数

据为：1,6,14,18,38,39,则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是

（）

A.极差B.平均数C.中位数D.都不相同

3.[2023•青海海东一模]某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级

（选修课的成绩等级分为1,2,3,4,5，共五个等级）的条形图如图所示，则

A.3,5B.3,3C.3.5,5D.3.5,4

4.[2023•贵州遵义模拟]2022年4月23日至25日，以“阅读新时代,查进新征程”

为主题的首届全民阅读大会胜利召开，目的是弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国.

某学校共有学生2000人，其中高一800人,高二、高三各600人,学校为了解学生

在暑假期间每天的读书时间（单位：时），按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽

取100人，其中高一、高二、高三学生每天读书时间的平均数分别为君=2.7,为=

3.1,%3=3.3,每天读书时间的方差分别为s；=1应=2a=3,则下列说法错

误的是（）

A.从高一学生中抽取40人

B.抽取的高二学生的总阅读时间是93时

C.被抽取的学生每天的读书时间的平均数为2.8时

D.估计全体学生每天的读书时间的方差为s2=1.966

5.（多选）下表为2022年某煤炭公司PIO月份的煤炭生产量：

月份12345678910

产量（单位：万吨）23252417.517.52126293027

则下列结论正确的是（）

A.极差为12.5万吨B.平均数为24万吨C.中位数为24万吨D.

众数为17.5万吨

6.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命（单位:

年）跟踪调查结果如下：

甲：3,4,5,6,8,8,8,10；

乙：4,6,6,6,8,9,12,13；

丙：3,3,4,7,9,10,11,12.

三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别

运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲乙______,

丙_____________.

7.[2023•山东东营模拟]如图所示,某市5月1日至10SPM2.5的日均值（单位：

Mg/m3）变化的折线图,则该组数据第64百分位数为.

8.已知一个样本的样本容量为10,平均数为15,方差为3,现从样本中去掉一个数

据15,此时样本的平均数为元,方差为s2，贝女=,s2=.

9.灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这

些新兴产业上.只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公.这些岗位出现的背后都离

不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景.甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位,

其中10种表现得分如下表：

甲897976101086

乙1098687978a

(1)若甲和乙所得平均分相等，求a的值；

(2)在(1)的条件下，判断甲、乙两人谁的表现更稳定.

[B级综合运用1

10.[2023•四川南江中学一模]有一组样本数据久1,%2...xn，由这组数据得

到新样本数据为，，…，yn，其中％=Xi+到=1,2,...,H),C为非零常数，则

()

A.两组样本数据的样本方差相同B.两组样本数据的样本众数相同

C.两组样本数据的样本平均数相同D.两组样本数据的样本中位数相同

11.［2023•重庆第一学期考试］（多选）创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家

兴旺发达的不竭源泉.为支持中小企业创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进

行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样

本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）

0100200300400500600700年收入/万元

A.样本中年收入在［500,600）的中小企业约有16家

B.样本的中位数大于400万元

C.估计全国中小企业年收入的平均数为376万元

D.样本在区间［500,700］内的频数为18

12.［2023•云南昆明模拟］为了解某种作物的生长情况，抽取该作物植株高度（单位：

cm）的一个随机样本，整理得到样本频率分布直方图如图所示.由此样本估计，该作

物植株高度的80%分位数约为cm.

13.某班成立了A,B两个数学兴趣小组，4组10人，B组3。人，经过一周的补

习后进行了一次测试，在该测试中,A组的平均成绩为130分,方差为115,B组的

平均成绩为110分，方差为215.则在这次测试中全班学生的平均成绩和方差分别

为,.

14.某种治疗新冠感染的中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明

质量越好.为了提高中药产品的质量，我国医疗科研专家攻坚克难，研发出a,B两

种新配方，在这两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的

质量指标值，规定质量指标值小于85为废品,在［85,115）内为一等品,不小于115

为特等品.现把测量数据整理如下，其中B配方的样本中有6件废品.

A配方的频率分布表

质量指标值[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

频数8a36248

B配方的频率分布直方图

（2）试确定A配方和B配方哪一种更好.（说明：在统计方法中，同一组数据常用

该组区间的中点值作代表）

[C级素养提升1

15.（多选）某环保局对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督

导,若连续10天,每天空气质量指数（单位：pg/m3）不超过100，则认为该地区环

境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.根据连续10天检查所得数据的数字特

征推断，环境治理一定达标的地区是（）

A.甲地区：平均数为80,方差为40B.乙地区：平均数为50,众数为40

C.丙地区：中位数为50,极差为60D.丁地区：极差为10,80%分位数为90

16.[2022•新高考卷1口在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患

者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

频率/组距

0.023

0.020

0.017

0.012

0.006

0.002

0.001

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为

代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口

占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),求

此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄

位于该区间的概率,精确到0.0001).

2025高考数学一轮复习-9.2-用样本估计总体■专项训练【解析版】

级基础达标1

1.给定一组数据5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，则这组数据(C)

A.众数为2B.平均数为2.5C.方差为1.6D.标准差为4

5+5++2+1

［解析］选C.由题中数据可得，众数为2和3,故A错误；平均数为元=io=3

故B错误；方差s2=(5-3尸+(5.3)2+；。+(2一3尸+(1一3)2=,标准方差为,o4,故C正

确，D错误.

2.［2023•广东茂名联考］已知甲组数据为：5,12,16,21,25,37,乙组数

据为：1,6,14,18,38,39，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是

(B)

A.极差B.平均数C.中位数D.都不相同

［解析］选B.由题中数据的分布,可知极差不同,甲的中位数为券=185,乙的中

/_14+183—5+12+16+21+25+3758—1+6+14+18+38+3958匚

位数为=16,%甲=-------------=y，%乙=------g----------=y，所以

甲、乙的平均数相同.

3.［2023•青海海东一模］某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级

(选修课的成绩等级分为1,2,3,4,5,共五个等级)的条形图如图所示，则

A.3,5B.3,3C.3.5,5D.3.5,4

［解析］选C.由条形图可得，甲同学共有10门选修课，将这10门选修课的成绩等级从

低到高排序后，第5,6门的成绩等级分别为3,4,故中位数为个=3.5,乙成绩

等级的众数为5.故选C.

4.［2023•贵州遵义模拟］2022年4月23日至25日，以“阅读新时代,查进新征程”

为主题的首届全民阅读大会胜利召开，目的是弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国.

某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人,学校为了解学生

在暑假期间每天的读书时间（单位：时），按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽

取100人，其中高一、高二、高三学生每天读书时间的平均数分别为何=2.7,笈2=

3.1,%3=3.3,每天读书时间的方差分别为巧=1遥=2f=3,则下列说法错

误的是（C）

A.从高一学生中抽取40人

B.抽取的高二学生的总阅读时间是93时

C.被抽取的学生每天的读书时间的平均数为2.8时

D.估计全体学生每天的读书时间的方差为s2=1.966

[解析]选C.对A,根据分层随机抽样，分别从高一、高二、高三学生中抽取40人、30

人、30人，故A正确；对B,抽取的高二学生的总阅读时间是乱X30=93（时），

故B正确；对C,被抽取的学生每天的读书时间的平均数为凸x2.7+券x3.1+益x

3.3=3（时），故C错误；对D,被抽取的学生每天的读书时间的方差为喘x[l+

（2.7-3）2]+^x[2+（3.1-3）2]+器X[3+（3.3-3）2]=1.966,所以估计全体学

生每天的读书时间的方差为s2=1.966,故D正确.故选C.

5.（多选）下表为2022年某煤炭公司P10月份的煤炭生产量：

月份12345678910

产量（单位：万吨）23252417.517.52126293027

则下列结论正确的是（ABD）

A.极差为12.5万吨B.平均数为24万吨C.中位数为24万吨D.

众数为17.5万吨

[解析]选ABD.将表格中的数据由小到大排列依次为17.5,17.5,21,23,24,

25,26,27,29,30.极差为30-17.5=12.5（万吨），A正确；平均数为

17.5x2+21+23+24+25+26+27+29+30=24（万吨），B正确；中位数为上/=24.5（万

10

吨），C错误；众数为17.5万吨，D正确.

6.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命（单位:

年）跟踪调查结果如下：

甲：3,4,5,6,8,8,8,10；

乙：4,6,6,6,8,9,12,13；

丙：3,3,4,7,9,10,11,12.

三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别

运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲众数，乙平均数，丙

中位数.

［解析］甲、乙、丙三个厂家从不同角度描述了一组数据的特征，甲：该组数据8出现

4+6x3+8+9+12+13

的次数最多；乙：该组数据的平均数元=8；丙：该组数据的中位

8

数是子=8.

7.［2023•山东东营模拟］如图所示，某市5月1日至10BPM2.5的日均值（单位：

Rg/m3）变化的折线图，则该组数据第64百分位数为48.

［解析］该市5月1日至10日PM2.5的日均值，从小到大依次为

30,32,34,40,41,45,48,60,78,80,又10X0.64=6.4，所以第64百

分位数为48.

8.已知一个样本的样本容量为10,平均数为15,方差为3,现从样本中去掉一个数

据15,此时样本的平均数为歹,方差为s2,贝吸=空，s2=日.

［解析］设10个数据为％1,%2，…，％9,15，

Y22_(%1-15)2+(%2-15)2+...+(%9-15/(勺―15)2+(%2-15)2+…+(%9-15)2+(15—15)2_Q

乂S-9，10一，

所以S2=m=£.

9.灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这

些新兴产业上.只要有网络、有电脑，随时随地都可以办公.这些岗位出现的背后都离

不开互联网的加速发展和短视频时代的大背景.甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位,

其中10种表现得分如下表：

甲897976101086

乙1098687978a

(1)若甲和乙所得平均分相等，求a的值；

［答案］解：根据题中所给数据，元甲=^x(8+9+7+9+7+6+10+10+8+

6)=8,

乙=Gx(10+9+8+6+8+7+9+7+8+a)=8,解得a=8.

(2)在(1)的条件下，判断甲、乙两人谁的表现更稳定.

［答案］s：='><(0+1+1+1+1+4+4+4+0+4)=2,

s2=—X(4+1+0+4+0+1+1+1+0+0)=7，

乙10'75

由2>g,得乙的表现更稳定.

［B级综合运用］

10.［2023•四川南江中学一模］有一组样本数据久1，犯....xn，由这组数据得

到新样本数据为，丫2，…，yn，其中％=Xi+到=1,2,...,71）,C为非零常数,则

（A）

A.两组样本数据的样本方差相同B.两组样本数据的样本众数相同

C.两组样本数据的样本平均数相同D.两组样本数据的样本中位数相同

［解析］选A.因为原来样本平均数元=［（/+冷+…+0），新样本平均数歹=其为+

22

y2+...+yj=%+c,C错误;原来样本方差为sj=，［（%1-x）+（%2-x）+...+

（马一元）2］,新样本方差为s|一歹）2+仇一历2+…+（即一歹）2］=S；,人正

确；设原样本众数为a，则新样本众数为a+c,B错误；设原样本中位数为匕，则

新样本中位数为b+c,D错误.故选A.

11.［2023•重庆第一学期考试］（多选）创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家

兴旺发达的不竭源泉.为支持中小企业创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进

行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样

本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（CD）

八频率/组距

0.0026--------------------------

0.002---------------

0.001

0.0004________________________

ol____________——-

0100200300400500600700年收入/万元

A.样本中年收入在［500,600）的中小企业约有16家

B.样本的中位数大于400万元

C.估计全国中小企业年收入的平均数为376万元

D.样本在区间［500,700］内的频数为18

［解析］选CD.由题图，得(0.001+0.002+0,0026+0,0026+%+0.0004)X100=1,

解得x=0.0014.

年收入在［500,600)的中小企业约有0.0014X100X100=14(家)，故A不正确；

因为

(0.001+0,002)X100=0.3<0.5,(0.001+0.002+0.0026)X100=0,56>0,5,

所以样本的中位数小于400万元，故B不正确；

由题图可知，样本中中小企业年收入的平均数为［0。01x150+0.002x250+

0.0026X(350+450)+0.0014X550+0.0004X650］X100=376(万元)，所以

估计全国中小企业年收入的平均数为376万元，故C正确；

样本在区间［500,700］内的频数为(0.0014+0.0004)X100X100=18，故D正确.

综上所述，选CD.

12.［2023•云南昆明模拟］为了解某种作物的生长情况，抽取该作物植株高度(单位：

cm)的一个随机样本，整理得到样本频率分布直方图如图所示.由此样本估计，该作

物植株高度的80%分位数约为皿cm.

［解析］由题图可知，前三组从左到右矩形的面积为0.2,0.4,0.25,因为0.2+

0.4+0.25=0.85>0.8,所以80%分位数位于第3个矩形，设80%分位数为%,

所以％=70+-6xio=78.

13.某班成立了A,B两个数学兴趣小组，4组10人，B组30人，经过一周的补

习后进行了一次测试，在该测试中,A组的平均成绩为130分,方差为115,B组的

平均成绩为110分，方差为215.则在这次测试中全班学生的平均成绩和方差分别为

115,265.

［解析］依题意私=130,sj-115,xB-110,si-215，所以元=x130+

AD1U+3U

赢x110=115(分)，所以全班学生的平均成绩为115分.全班学生成绩的方差为

s2=3-［s；+(x-元)2］+口一［sl+(x-1)2］=3一x(115+225)+3-x

10+30*■4'AA7J10+30LBBJ10+30'，10+30

(215+25)=85+180=265.

14.某种治疗新冠感染的中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明

质量越好.为了提高中药产品的质量，我国医疗科研专家攻坚克难，研发出a,B两

种新配方，在这两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的

质量指标值,规定质量指标值小于85为废品,在［85,115)内为一等品,不小于115

为特等品.现把测量数据整理如下，其中B配方的样本中有6件废品.

A配方的频率分布表

质量指标值[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

频数8a36248

B配方的频率分布直方图

（1）求实数a,

［答案］解：依题意，2,B两种配方的样本容量相同，设为n.

由B配方的样本中有6件废品，结合B配方的频率分布直方图，警=0.006x10,

n

解得n-100.

所以a=100—(8+36+24+8)=24.

由(0.006+b+0.038+0.022+0,008)x10=1，得匕=0.026.

所以实数a,b的值分别为24,0.026.

（2）试确定A配方和B配方哪一种更好.（说明：在统计方法中，同一组数据常用

该组区间的中点值作代表）

［答案］由（1）及4配方的频数分布表得,

80x8+90x24+100x36+110x24+120x8

配方质量指标值的样本平均数表==100,

A100

A配方质量指标值的样本方差耳=+x[(-20)2x8+(-10)2x24+0义36+1。2x

24+202X8]=112.

由（1）及B配方的频率分布直方图得,

B配方质量指标值的样本平均数盘=80X0.06+90X0.26+100X0.38+110X

0.22+120x0.08=100,

B配方质量指标值的样本方差用=（-20）2x0.06+（-10）2x0.26+0x0.38+

102x0.22+202x0.08=104.

综上,XA=XB,S：>s/,

即2,B两种配方质量指标值的样本平均数相等，但2配方质量指标值没有B配方

质量指标值稳定.

所以B配方更好.

［C级素养提升1

15.（多选）某环保局对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督

导,若连续10天,每天空气质量指数（单位：pg/n?）不超过100，则认为该地区环

境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.根据连续10天检查所得数据的数字特

征推断，环境治理一定达标的地区是（AD）

A.甲地区：平均数为80,方差为40B.乙地区：平均数为50,众数为40

C.丙地区：中位数为50,极差为60D.丁地区：极差为10,80%分位数为90

［解析］选AD.设每天的空气质量指数为%4=1,2，…,10）,则方差s2=之£&-元尸.

10i=l

11010

对于A,由22a—80）2=40，得2（阳—80）2=400,如果这10天中有1天的

10i=li=l

10

空气质量指数超过100,则必有2a-80）2>400矛盾,所以这10天每天的空气质

i=l

量指数都不超过100,A正确.对于B,如果有8天为40,有1天为150,有1天为30,

此时平均数为50,众数为40，但该地区环境治理不达标,B错误.对于C,第1天为

H0,后面9天为50