2024-2025学年八年级数学上册：探索三角形全等的条件（HL）

专题L7探索三角形全等的条件（HL）（知识梳理与考点分

类讲解）

第一部分【知识点归纳】

【知识点一】直角三角形全等的判定方法-斜边、直角边（HL）

（1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、

直角边”或“HL”）.

（2）书写格式：

如图，在RtA48c和△口〃所中，

（AB=DE

[AC=DF

AABC=ADEFH）

【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法

判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据

2。“8$$”“5人5"256，“丛5”这五种方法来判定两个直角三角形全等.

【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路

（1）已知一条直角边对应相等，可用判定方法“5人5”“印7“公5人”或“心5”；

（2）已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”；

（3）已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型11用“HL”证明直角三角形全等

【例1】（23-24八年级上•山东济南•期末）

1.如图，在18C和中，ZC=ZCr=90°,AB=A'B'，2。与分别为3C,BC,

边上的中线，且CD=C'。'，求证：AABC必A'B'C'.

试卷第1页，共6页

【变式1】（23-24八年级下•陕西咸阳•阶段练习）

2.如图，AC1BC,BD1AD,垂足分别为C,D,要根据“HL”证明Rt/UBC与RMB4D

全等，则还需要添加一个条件是（）

A.ZCAB=ZDBAB.AC=BDC.4B=BDD.ZABC=ABAD

【变式2】（23-24八年级上•辽宁大连•期中）

3.如图，在“8c和△。尸E中，AC=DE,乙4=ND=90°,若要用“斜边、直角边（HL）”

直接证明Rt^ABC丝Rt△。尸£,则还需补充的条件是.

【例2】（2024・四川达州•一模）

4.如图，在RtZ\/3C中，ZACB=9Q°,（力_1/3于点。，AB=EF,且CB=CE,过C

作CH〃通

⑴求证：ZACH=ZBCD；

⑵求证：CD=CH.

试卷第2页，共6页

【变式1］（22-23八年级下•全国•假期作业）

5.如图，MN//PQ,点/，。和2,C分别在直线和P。上，点E在上,

AD+BC^l,AD=EB,DE=EC,则AB的值为（）

【变式2】

6.如图，点。在8c上，DEJ.AB于点、E,DF工BC交AC于点F,

BD=CF,BE=CD.若N/FZ）=145°,UJlJZEDF=.

【题型3】全等三角形的综合问题

【例3】（22-23八年级上•重庆蒙江・期末）

7.综合与探究：

如图，在18C和△4DE中，AB=AC,AD=AE,ABAC=ADAE,CE的延长线交AD

于点尸.

⑵若ABAC=NDAE=49°,求NBFC的度数.

⑶过点A作J.80于点//,请探究EF、DH、AF三条线段的数量关系，并证明.

【变式11（23-24八年级上•浙江湖州•期中）

试卷第3页，共6页

8.如图，AB=AD,ABAD=140°,CB于点'ADLCD于点D,E、尸分别是C2、

CD上的点，且/£/尸=70。，下列结论中①。尸=BE,②LADF咨AABE,③E4平分

ZDFE,④EF平分N4EC,@BE+DF=EF.其中正确的结论是（）

A.④⑤B.①②C.③⑤D.①②③

【变式2】（23-24八年级上•湖北武汉•阶段练习）

9.如图，已知四边形N5CD中，ZACB=54°,ABAC=64°,对角线AD平分

ZABC,ZBCD+NDCA=180°,那么ZADC为度.

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2023•江苏南通•中考真题）

10.如图，点。，E分别在48,AC±,NADC=NAEB=9Q。,BE,CD相交于点O,

OB=OC.

求证：N1=N2.

小虎同学的证明过程如下：

证明：•••ZADC=ZAEB=90°,

ZDOB+ZB=ZEOC+ZC=90°.

vZDOB=NEOC,

Z5=ZC.第一步

又OA=OA,OB=OC,

：./\ABO之△/CO第二步

.•・/1=/2第三步

试卷第4页，共6页

步出现错误;

⑵请写出正确的证明过程.

【例2】（2019•湖北孝感•中考真题）

11.如图，已知/C=/Z>=90。，BC与4D交于点、E,AC=BD,求证：AE=BE.

【例1】（23-24八年级上•重庆江北•阶段练习）

12.阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中

有着广泛的应用.具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段

延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.

（1）如图，4D平分/BAC,NB=2NC,探究/8、8。与/C之间的关系.

解决此问题可以用如下方法：在/C上截41=48,易证丝则

/B=/AMD=2ZC,利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到AB、BD及AC

的数量关系是-----.（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长/2）

（2）问题解决：如图2,在四边形/8C。中，AB=AD,AABC+AADC=\^°,E、/分别是

边BC,边上的两点，S.ZEAF=^ZBAD,求证：BE+DF=EF.

试卷第5页，共6页

⑶问题拓展：如图3,在。8C中，4cB=90。，AB=2AC,ND平分/8C的外角

ZBAE,DE//C交。延长线于点E,尸是“C上一点，且DF=DB.求证：

AC-AE=-AF.

2

【例2】（22-23七年级上•黑龙江大庆•阶段练习）

13.综合与探究

如图，在“8C和△4DE中，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE,CE的延长线交AD

于点F.

⑴求证：AACEdABD.

⑵若ABAC=/DAE=40°,请直接写出NBFC的度数.

⑶过点/作/"JLaJ于点"，求证：EF=HF-DH.

试卷第6页，共6页

1.见解析

【分析】此题考查了全等三角形的判定,根据三角形中线的定义得到C8=2CD,C'B'=2CD',

由CZ)=C77,得至!JC8=C'8',利用HL即可证明△/8C2

【详解】证明：・・・/。与4〃分别为3C,8'C'边上的中线，

CB=2CD,C'B'=2CD',

-,-CD=CD',

：.CB=C'B',

在RtZX/BC和RtA/Z'C'中，

AB=A'B'

BC=B'C'

Rt"3C0RtA/®C'(HL).

2.B

【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据已知公共边为N8,根据HL只要找到对

应的直角边4D=8C或/C=8。，即可求解.

【详解】在RtZUBC与RMA4。中，

(AB=BA

[AC=BD

...Rt"8c0RtA8/D(HL),

故选：B.

3.BC=FE

【分析】根据HL证明两个直角三角形全等，需满足一组直角边、一组斜边分别相等，由此

可得答案.

【详解】解：由题意知，在和AD也都是直角三角形，已有一组直角边相等，

若要用“斜边、直角边(HL)”直接证明RtAlBC也RtADFE,还需满足“斜边相等”，

因此还需补充的条件是8C=FE,

故答案为：BC=FE.

4.(1)证明见解析

(2)证明见解析

答案第1页，共13页

【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定

方法是解本题的关键；

(1)证明乙4。。+/5cz)=90。，NHCD=90o=NEC7/+//C。即可得到结论；

(2)先证明RLNBC丝RSEEC,再证明△/CH之”CD即可得到结论.

【详解】(1)证明：・・•/ZC3=90。，

--ZACD+ZBCD=90°f

-CH//AB,CD1ABf

：.CHLCD,

・・.ZHCD=90°=ZECH+ZACD,

ZACH=/BCD；

(2)证明：•・・/ZCB=90。，

/ACB=9。。=/FCE,

AB=EF,CB=CE,

Rt"BC丝RMFEC,

:・/A=/F,FC=AC,

•・•ZACD+ZECH=90°=ZECH+ZFCH,

・•.ZFCH=ZACD,

工小FCH会小ACD,

:.CH=CD.

5.C

【分析】运用HL方法判定△A4E之△防。(HL),得出BC,进而求解.

【详解】解：・・・M〃P。，AB1PQ,

ZDAE=AEBC=90°.

vAD=EB,DE=EC,

・・.△•£也△£5C(HL).

:.AE=BC.

・•.AB=AE+BE=AD+BC=7.

故选：c.

【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关

键.

答案第2页，共13页

6.55°##55度

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明

RtA^D^RtACDF得至/B=/C,NBDE=ZCFD是解题的关键.利用HL证明

心△BE。附Rt^CDF得到乙B=NC,利用三角形外角的性质求出NC的度数，再利用三角

形的外角的性质即可得到答案.

【详解】解：•••〃尸1BC,DE1AB,

:"BED=ZCDF,

在RSED和RtACDF中，

(BD=CF

[BE=CD，

RtAS^D^RtACDF(HL),

ZB=ZC,ZBDE=ZCFD,

ZAFD=145°=ZC+ZCDF,

.-.ZC=ZAFD-ZCDF=55°,

NB=NC=55°,

•:NBDE+AEDF=NFDB=ZC+ZDFC,

：.NEDF=ZC=55°；

故答案为：55°.

7.⑴见解析

(2)49°

(3)EF+DH=FH,证明见解析

【分析】(1)可利用SAS证明结论；

(2)由全等三角形的性质可得=结合平角的定义可得

ZDAE+ZDFE=1SQ°,根据/C+/DFE=180。，可求得NBFC=ND4E,即可求解；

(3)连接4，过点/作4/，CR于点/结合全等三角形的性质利用HL证明

RM/K/当RUAFH,Rt&AJE空R2HD可得尸J=FH,EJ=DH,进而可证明结论.

【详解】(1)证明：•••ZB/C=NCME.

ZCAE=ZBAD.

答案第3页，共13页

在△ZCE和中,

AC=AB

</CAE=/BAD,

AE=AD

.-.AABD(SAS)；

(2)解：入ACE知ABD,

ZAEC=/ADB,

...ZAEF+ZAEC=NAEF+ZADB=180°.

:.NDAE+NDFE=l80。,

•・•ZBFC+ZDFE=1SO°,

ZBFC=/DAE=ABAC=49°；

(3)结论：EF+DH=FH

证明：如图，连接相，过点A作47LCb于点J.

,/AJICE,AHLBD.

：.-CE-AJ=-BDAH,

22

AJ=AH.

在Rt/^AFJ和RtLAFH中,

[AF=AF

[AJ=AHf

^AFJ^^AFH(HL),

:.FJ=FH.

在RtAAJE和RtA^/TO中,

答案第4页，共13页

\AE=AD

[AJ=AH'

RM/"&RtA/ffl）（HL）,

EJ=DH,

:.EF+DH=EF+EJ=FJ=FH.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关

键.

8.C

【分析】由从尸分别是CB、。上的任意点，可知DF与3E不一定相等，AADF与“BE

也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长C2到点G,使8G=DF,连接/G,先证明

△4BG出AADF,得/G=/尸，ZBAG=ZDAF,ZG=ZAFD,由

/民4。=140。，ZEAF=70°,可以推导出NE/G=70。，则/及1G=NE4尸，即可证明

公EAGmAE4F,得NG=NAFE,因为NAEB=NAE产，所以ZAFD=N4FE,可判断③

正确，因为EG=EF,所以尸=8E+3G=EG=跖，可判断⑤正确；由E尸平分

N4EC结合ZAEF=ZAEB,推出与题干互相矛盾，可得④错误.

【详解】解：的尸分别是C8、CD上的任意点，

万与BE不一定相等，故①错误；

・・・/8_LCS于点8/。_1。。于点口，

.-.ZD=ZABE=90°,

AB=AD,

:.AADF知ABE的另一个条件是。尸=BE,

''DF与BE不一定相等，

尸与A/BE不一定全等，故②错误；

延长CB到点G,使BG=DF,连接AG,则NABG=180°-ZABE=90°,

答案第5页，共13页

・・・/ABG=/D,

在△Z3G和尸中，

'AB=AD

</ABG=ZD,

BG=DF

.,△ABGg尸(SAS),

AG=AF,ZBAG=ZDAF,/G=/AFD,

vABAD=140°,ZEAF=70°,

・•.ZEAG=NBAE+/BAG=NBAE+ZDAF=ABAD-NEAF=70°,

NEAG=ZEAF,

在△E4G和LEAF中，

'AG=AF

<ZEAG=ZEAF,

AE=AE

,MEAG知EAF(SAS),

.・./G=ZAFE,ZAEB=ZAEF,EG=EF

ZAFD=ZAFE,BE+DF=BE+BG=EG=EF,

：.FA平分NDFE,故③⑤正确；

若EF平分NAEC,而ZAEF=/AEG,

・•・/CEF=/AEF=/AEG=60。,与题干信息矛盾，故④错误；

故选C

【点睛】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判

定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明/\EAG^Z\EAF是解题的关键.

9.59

答案第6页，共13页

【分析】延长胡、BC,过点。作加，DF1BC,根据条件证明加(ASA)

可得可=。尸，过点。作。G_L4C,证明Rt^DGC三Rt△。厂C(HL),Rt△。口三Rt^QG4(HL),

运用三角形内角和即可求解.

【详解】解：延长加、BC,过点。作。DF1BC,如图，

：・NAED=/DFC=90。,

•・•对角线BD平分NABC,

・•.ZABD=ZCBD,

BD=BD,

.sBDEdBDFNK),

：•DE—DF，

-ZBCD+ZDCA=\SO°,/BCD+/DCF=180。,

・•・/DCF=ZDCA,

・・・8平分/GW,

过点。作。GLZC,

DG-DF,

•；DC=DC,

・・・RtADGC三Rt△。bC(HL),

・•.ZDCG=/DCF,

・・・/ACB=54°,/ACB+/ACFW80°,

・・.ZACD=-ZACF=63°,

2

,:DE=DF,DG=DF,

DE=DG,

DA=DA,

Rt^DEA三RLOG/(HL),

・•・/DAE=ZDAG,

答案第7页，共13页

•・・NA4C=64。，ZBAC+ZEAG=\SO0,

.­.ZDAG=-ZEAG=58°,

2

ZADC=180O-ZDAG-ZACD=59°,

故答案为：59.

【点睛】本题考查几何问题，涉及到角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等，正确作

出辅助线是关键.

10.⑴二

(2)见解析

【分析】(1)根据证明过程即可求解.

(2)利用全等三角形的判定及性质即可求证结论.

【详解】(1)解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，

故答案为：二.

(2)证明：•••ZADC=ZAEB=90°,

NBDC=ZCEB=90°,

在AOOB和△EOC中，

ZBDO=ZCEO

<ZDOB=NEOC,

OB=OC

・•△DOB=AEOC(AAS),

OD=OE,

在RUADO和Rt^AEO中，

jOA=OA

[OD=OE'

RMADO=Rt^AEO(HL),

Z1=Z2.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键.

11.详见解析

【分析】由HL证明RtA4cB=RtA&M得出乙48。=/氏4。，由等腰三角形的判定定理即可

答案第8页，共13页

得出结论.

【详解】••-ZC=ZD=90°,

\ACB和NBDA是直角三角形，

\AB=BA

在RtA^CB和RtA5D4中，,

I71Cz=JJLJ

RtA4C5=RtA8D4(HL),

・•・/ABC=/BAD,

*，.AE=BE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的

判定定理，证明三角形全等是解题的关键.

12.⑴4c=4B+BD

(2)见解析

⑶见解析

【分析】(1)根据全等三角形的性质得到=根据等腰三角形的性质得出

DM=MC,进而即可求解；

(2)延长。3到G,使BG=DF,证明"3G名"DF,根据全等三角形的性质得到

AG=AF,NGAB=NFAD,证明A/EG且ANM,根据全等三角形的性质证明；

(3)作ZW_L48于//,在48上截取BR=AF,分别证明RIADEFmRGDHB,ADAFWDRB,

根据全等三角形的性质证明.

【详解】(1)解：AC=AB+BD

在4C上截=

,：AD平分NBAC,

：.ZDAB=ADAM,又AD=AD

•••△48/注△/〃£＞；

BD=DM,

ZB=NAMD=2NC,ZAMD=ZC+ZMDC,

ZMDC=ZC,

：.MD=MC

：.AC=AM+MC=AB+BD■,

答案第9页，共13页

(2)证明：延长C5到G,使BG=DF,

A

ZABC+ZADC=180°fZABC+ZABG=\^°,

GBEC

/.ZADC=/ABG,

在“BG和/中，

AB=AD

<ZABG=ZADF,

BG=DF

.•△ABG%ADF(SAS),

/.AG=AF,/GAB=/FAD,

•・•NEAF=yZBAD,

/FAD+/BAE=/GAB+/BAE=|ZBAD,

?.ZGAE=ZFAE,

在AAEG和△/£产中，

AG=AF

<ZGAE=ZFAE,

AE=AE

FAEG知AEF(SAS),

/.EF=GE,

EF=BE+BG=BE+DF；

(3)证明：作。〃_L45于〃，在45上截取曲=4户，

•・•点。是。5C外角平分线上一点，DE1AC,DHLAB,

答案第10页，共13页

，AH=AE，

在RtADEF和RtAD/ffi中，

[DE=DH

[DF=DB

RUDEF^RUDHB(HL)

:.ZDFA=NDBA,

在△/)/尸和AORB中，

'AF=BR

<ZDFA=ZDBR,

DF=DB

sDAFaDRB(SAS)

:.DA=DR,

:.AH=HR=AE=^AR,

■：AB=2AC,

则4F=BR=4B-4R=24C-24E

:.AC-AE=^AF.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质,

角平分线的性质