人教版数学六年级上册易错专项练第9讲 比的应用（讲义）（含答案）

第9讲比的应用（讲义）小学数学六年级上册易错专项练（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1.按比分配问题的解题方法。方法一：先求出总份数，再求出各部分量占总量的几分之几，最后求出各部分量。方法二：先求出每份是多少，再用每份量乘各部分量所占的份数，求出各部分量。具体解决方法：（1）已知单位“1”的量用乘法。（2）未知单位“1”的量用除法。（3）分数应用题基本数量关系（把分数看成比）2.甲是乙的几分之几？甲＝乙×几分之几乙＝甲÷几分之几几分之几＝甲÷乙3.甲比乙多（少）几分之几？甲＝乙×（1+几分之几）乙＝甲÷（1+几分之几）（1+几分之几）＝甲÷乙甲＝乙×（1—几分之几）乙＝甲÷（1—几分之几）（1—几分之几）＝甲÷乙4.画线段图。（1）找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。（2）分析数量关系。（3）找等量关系。（4）列方程。两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。1.

解按比分配的问题时，一定要注意已知量所对应的份数是多少。2.容易出现错误的扣据。按比分配很简单，灵活转化是关键。各比相加求总数，求了每份求各份。部分整体互关联，分享多少要细算。分数乘法来帮忙，各量求取已不难。【易错一】甲乙两个容积相同的瓶子分别装满盐水，已知甲瓶中盐、水的比是2∶3，乙瓶中盐、水的比是3∶5，现在把甲、乙两瓶水混合在一起，则混合盐水中，盐与盐水的比是（

）。A． B． C． D．【解题思路】把两个瓶子盐水的体积看作单位“1”，分别求出甲瓶、乙瓶的盐含量和水含量；再求出两瓶混合后的盐含量和水含量，再根据比的意义，求出混合后盐水中盐与盐水的比。【完整解答】甲瓶盐含量：2÷（2＋3）＝2÷5＝水含量：3÷（2＋3）＝3÷5＝乙瓶盐含量：3÷（3＋5）＝3÷8＝水含量：5÷（3＋5）＝5÷8＝混合后盐的含量：＋＝＋＝水含量：＋＝＋＝盐水：＋＝2盐∶盐水∶2＝（×40）∶（2×40）＝31∶80答案：D【易错点】解答本题根据已知条件求出混合前两瓶的盐与水，混合后盐与水，即可求出盐与盐水的比，化简即可。【易错二】六年级一班李红、王军、张平三人的体重比是4∶5∶6，他们的平均体重是35kg，王军的体重是()。【解题思路】根据三人的平均体重计算出三人的总体重，再根据比的应用计算出王军的体重即可。【完整解答】（35×3）×＝105×＝35（千克）所以，王军的体重是35千克。【易错点】掌握按比例分配问题的解题方法是解答题目的关键。【易错三】修一条公路，已修的和未修的长度比是3∶5，再修900米后，未修的和已修的长度比是3∶2，这条公路全长多少米？【解题思路】根据比与除法的关系，修900米前，已修的长度占总长度的，修900米，已修的长度占总长度的，用修完900米后已修的分率减去没有修900米之前已修的分率，就是修的900米对应的分率，用分量除以对应的分率就是单位“1”，也就是这条公路的全长。【完整解答】900÷（－）＝900÷（－）＝900÷（－）＝900÷＝36000（米）答：这条公路全长36000米。【易错点】此题关键要找出具体数量900米所对应的分率，然后用除法计算即可。【易错四】文明路小学50位同学参加经典美文诵读比赛，其中男、女生人数比是2∶3，男、女生各有多少人？阅读与理解：“男、女生人数比是2∶3”就是说，把50人平均分成（

）份，其中男生占（

）份，女生占（

）份。分析与解答：列式计算：回顾与反思：男生（

）人，女生（

）人，男、女生比是（

），解答（

）。【解题思路】把男女人数之比转化成份数，男生人数占2份，女生人数占3份，总人数是（3＋2）份，相当于把50人平均分成5份，其中男生占2份，女生占3份。总人数是50人，求男生占总人数的几分之几，用男生所占的份数除以总人数的份数即可得解；求女生占总人数的几分之几，用女生所占的份数除以总人数的份数即可得解；用总人数分别乘男生、女生占总人数的分率，可得出男生和女生的人数；男女人数之比和计算结果填入即可。【完整解答】根据分析得，“男、女生人数比是2∶3”就是说，把50人平均分成5份，其中男生占2份，女生占3份。分析与解答：50×＝50×＝20（人）50×＝50×＝30（人）回顾与反思：男生20人，女生30人，男、女生比是2∶3，男生有20人，女生有30人。【易错点】此题的解题关键是把男女生人数之比转化成份数，求出单一量再乘男女生各自占的份数，即可得解。一、选择题1．一个三角形3个内角的比是1∶3∶5，按角分类，它是一个（

）三角形。A．钝角 B．直角 C．锐角 D．无法判断2．学校新买了篮球、足球、排球三种球，其中篮球买了20只，______，学校一共新买了多少只球？要解决这个问题，可以补充的信息是（

）。A．篮球比足球多买了10只 B．三种球的总数是排球的6倍C．足球、排球的总数比篮球多20% D．足球和排球的数量比为3．为了防控疫情，公众场所人员必须佩戴口罩。牡丹广场有36人跳广场舞，其中一部分戴了口罩，一部分未戴口罩，戴口罩和不戴口罩的人数比不可能是（

）。A． B． C． D．4．一个长方形的长和宽的比是7∶2，如果长减少5厘米，宽增加5厘米，则面积增加100平方厘米。那么原来长方形的面积是（

）平方厘米。A．126 B．224 C．350 D．56005．甲、乙、丙三个人的年龄比是6∶5∶4，甲比丙大10岁，乙是（

）岁。A．25 B．30 C．506．按糖与水的比是1∶9配制一种糖水，现在有糖5克，水50克，要求把糖全部用完，则水（

）。A．多5克 B．少5克 C．无法判断7．一款混合糖中甲、乙两种糖的质量比是2∶3，现加入甲糖120千克，乙糖40千克得到混合糖660千克，新混合糖中的甲、乙两种糖的比是（

）。A．2∶3 B．16∶17 C．5∶4 D．16∶158．疫情期间，六（1）班和六（2）班捐款钱数的比是4∶3，六（2）班捐款1500元，六（1）班捐款()元。A．1500 B．2000 C．500二、填空题9．一年中，白昼时间最长的一天是“夏至”，黑夜时间最长的一天是“冬至”。2022年的夏至时间是6月21日（星期二），保定这一天的白昼与黑夜时间比大约是7∶5，这一天保定的白昼时间是________小时。10．学校新购进文学类和科普类图书2400册，将这些图书平均分给六个年级，六年级分得的文学类和科普类图书的比为7∶3，六年级分得科普类图书()册。11．哥哥从家到学校需要20分钟，妹妹从家到学校需要30分钟，兄妹俩速度的最简整数比是()。12．一个长方体的棱长和是96cm，其长、宽、高的比是1∶2∶3。这个长方体的表面积是________cm2，体积是________cm3。13．假期里，同学们参加夏令营活动，人数在50~60人之间。已知男生人数与女生人数的比是6∶5，则男生有()人，女生有()人。14．一件上衣与一条裤子的价格比是7∶5，裤子售价140元，上衣售价()元。15．一块黑板长240dm，宽117dm。这块黑板长与宽的比是()。16．把一根长为72cm的铁丝做成一个长方体框架，长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的表面积是()。三、解答题17．工厂加工一批零件，第一天完成的零件个数与未完成的零件个数的比是2∶5，如果再加工300个，就可以完成这批零件的一半。这批零件共有多少个？18．红星小学开展读书日活动，将520本课外书籍按人数分给六年级一班和二班，一班有30人，二班有35人。一班和二班各分得多少本？19．学校运来50捆树苗，每捆10棵，按4∶6分给五、六年级学生种植，每个年级各分得多少棵树苗？20．甲、乙两港相距1200千米，客船和货船同时从两港出发相向而行，12小时后两船相遇。货船和客船的速度比是14∶15，货船和客船每小时各航行多少千米？21．刘老师从银行取了1100元钱，有100元和50元两种面值的，其中面值100元的张数与面值50元张数的比是3∶5。两种面值的人民币各有多少张？（用方程解）22．绿源农场采摘了三种蔬菜，其中黄瓜重90千克，豆角的质量比黄瓜少，豆角和茄子的质量比是4∶3，采摘的茄子质量是多少千克？23．甲、乙两班共有105人，如果两个班各转走3名学生，那么甲、乙两班的人数比是4∶5，两个班原来各有多少人？24．配置一种农药水，其中纯农药与水的质量比是3∶100，现有纯农药7.5千克，可以配置这种农药水多少千克？25．一个长方形中长与宽的比是7∶4，又知长比宽多12米，这个长方形的周长是多少米？26．建筑工人用2份水泥、3份沙子和5份石子配制一种混凝土，如果一次配制5000kg，需要水泥、沙子和石子各多少千克？27．张、王、刘三家合用一个水表，6月份付水费96元。张家有3人，王家有4人，刘家有5人，按人数分配水费，每家应付多少元？28．一本书包括“地球之旅”“神秘的宇宙”和“科学发现”三部分的内容，共420页。其中的页数是“地球之旅”，其余的页数按3∶5分配给“神秘的宇宙”和“科学发现”。这三部分的内容各有多少页？29．中国农历中的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天。这一天，北京的黑夜时间是白天时间的。白昼有多少小时？30．修一条公路，已修的和未修的长度比是3∶5，再修900米后，未修的和已修的长度比是3∶2，这条公路全长多少米？参考答案1．A【分析】三角形内角度数之和为180°，已知三个内角度数比是1∶3∶5，那么只要根据比的应用，求出占份数最多的那个角的度数是多少，就能确定这个三角形是什么三角形。【详解】180°×＝180°×＝100°最大角是100°，是一个钝角；根据三角形按角分类，这是一个钝角三角形。答案：A【点评】此题的解题关键应明确三角形的内角度数的和是180°，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型即可。2．C【分析】要计算出学校一共新买了多少只球，通过题目中补充的条件，满足两个条件中的其中之一即可，一是能够计算出足球和排球的数量，二是直接能够算出三种球的总数，分别检验选项里的条件，找出符合条件的选项。【详解】A．篮球比足球多买了10只，可计算出足球的数量，但排球的数量还是未知，所以并不能求出三种球的总数；B．三种球的总数是排球的6倍，并不知道排球的数量，所以也就无法计算三种球的总数；C．足球、排球的总数比篮球多20%，把篮球的数量看作单位“1”，足球、排球的总数相当于篮球的数量的（1＋20%），即20×（1＋20%）＝20×1.2＝24（个），所以三种球的总数＝24＋20＝44（个），C选项这个条件是可以解决问题的；D．足球和排球的数量比为，并不知道足球或排球任一种球的数量，篮球的数量也与它们的比无关，所以并不能求出三种球的总数；答案：C【点评】此题的解题关键是通过填条件，再通过求比一个数多百分之几的数是多少的计算方法，选出正确的选项。3．C【分析】根据题意，戴口罩和不戴口罩的人数组成的比是最简整数比，比的前项和后项相加的和应是36的因数，据此解答。【详解】A．36÷（2＋1）＝12（人）；3是36的因数；戴口罩和不戴口罩的人数比可能是2∶1；B．36÷（3＋1）＝9（人）；4是36的因数；戴口罩和不戴口罩的人数比可能是3∶1；C．36÷（4＋1）＝7.2（人）；5不是36的因数；戴口罩和不戴口罩的人数比不可能是4∶1；D．36÷（5＋1）＝6（人）；6是36的因数；戴口罩和不戴口罩的人数比可能是5∶1。答案：C【点评】利用比的应用以及倍数与因数的关系进行解答。4．C【分析】根据长方形的长和宽的比是7∶2，假设长方形的长为7x厘米，宽为2x厘米，长减少5厘米后变成（7x－5）厘米，宽增加5厘米后变成（2x＋5）厘米，根据长方体的面积公式可得，以前的长方形面积为（7x×2x）平方厘米，现在的长方形面积为平方厘米，已知面积增加的是100平方厘米，据此列出方程，求出原来长和宽的长度，继而得出原来长方形的面积。【详解】解：设长方形的长为7x厘米，宽为2x厘米，（7x－5）×（2x＋5）－7x×2x＝1007x×（2x＋5）－5×（2x＋5）－14x2＝10014x2＋35x－10x－25－14x2＝10025x＝100＋2525x＝125x＝125÷25x＝57×5＝35（厘米）2×5＝10（厘米）35×10＝350（平方厘米）答案：C【点评】此题的解题关键是灵活运用长方形的面积公式，通过长和宽的比，列方程求含两个未知数的问题，最终求出结果。5．A【分析】甲比丙大10岁，由甲、乙、丙三个人的年龄比是6∶5∶4可知，甲比丙大（6－4）份，先用除法求出1份是多少岁，再用乘法求出5份是多少岁，即乙是多少岁，然后再根据计算结果选择。【详解】10÷（6－4）×5＝10÷2×5＝5×5＝25（岁）答案：A【点评】比题是考查比的应用。甲比丙大的岁数已知，关键是根据比求出甲比丙大的份数。6．A【分析】按糖和水的比为1∶9配制一种糖水，这种糖水的含糖和糖水的比例是1∶10，含糖率就是1除以10，再化成百分数；现有糖5克，用5除以10%，求出可配制这种糖水多少克，再减去5克糖得出需要的水的质量和50比较即可。【详解】1÷10＝10%5÷10%＝50（克）50－5＝45（克）要求把糖全部用完，则水多50－45＝5（克）答案：A【点评】此题考查的是百分数的应用，解答此题关键是根据比不变有糖5克，求出需配制糖水的质量。7．B【分析】根据题意“现加入甲糖120千克，乙糖40千克，得到混合糖660千克”得到加入糖之前甲、乙两种糖的和：660－（120＋40）＝500（克），再根据题意求得甲、乙两种糖的总份数，然后分别求得甲、乙两种糖各占总分数的几分之几，最后分别求得加入糖之前甲、乙两种糖的质量，用原来两种糖的质量分别加上加入糖的质量，求出新混合糖种甲乙两种糖分别是多少，再求比并化简，列式解答即可。【详解】加入糖之前甲、乙两种糖的和：660－（120＋40）＝660－160＝500（千克）总分数：2＋3＝5（份）加入糖之前甲、乙两种糖的质量分别是：500×＝200（千克）600×＝300（千克）新混合糖中甲、乙两种糖的质量分别是：200＋120＝320（千克）300＋40＝340（千克）新混合糖甲、乙两种糖的比：320∶340＝（320÷20）∶（340÷20）＝16∶17所以新混合糖中甲、乙两种的比16∶17。答案：B【点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比和两个数的和，在这里需根据题意求这两个数得和，用现在糖的质量减去加入糖的质量，用按比例分配的方法解答。8．B【分析】根据六（1）班和六（2）班捐款钱数的比是4∶3，可知六（1）班占六（2）捐款钱数的，六（2）班捐款1500元，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出六（1）班捐款钱数，据此解答。【详解】1500×＝2000（元）答案：B【点评】此题主要考查比的应用，以及求一个数的几分之几是多少，用乘法。9．14【分析】一天是24小时，根据“保定这一天的白昼与黑夜时间比大约是7∶5”可以求出白昼占24小时的几分之几，再根据乘法的意义，列式解答即可。【详解】24×＝24×＝14（小时）【点评】此题考查按比例分配问题。10．120【分析】先用除法求出每年级平均分得的本数，再把每个年级分得的本数看作单位“1”，六年级分得的本数中，科普类图书占总本数的，根据分数乘法的意义，用总册数乘，就是科普类图书的本数。【详解】2400÷6×＝400×＝120（册）【点评】此题是考查比的应用。关键是把比转化成分数，再根据分数乘法的意义解答。11．3∶2【分析】将从家到学校的路程看作单位“1”，根据路程÷时间＝速度，求出二人的速度，再求出速度比并化成最简整数比。【详解】（1÷20）∶（1÷30）＝∶＝3∶2所以，速度比是3∶2。【点评】本题考查了比的化简，解答本题的关键是如何根据题目中的数量关系求二人的速度。12．352

384【分析】根据长方体的特征，长方体的12条棱分三组，每组4条，长度相同，用这个长方体的棱长总和除以4，就是一组的棱长之和，即长方体的长、宽、高之和。把长方体的一组棱长之和平均分成（1＋2＋3）份，先用除法求出1份的长度，再用乘法分别求出1份、2份、3份的长度，即这个长方体的长、宽、高，然后根据长方体的表面积计算公式“S＝2（ah＋bh＋ab）即可求出这个长方体的表面积；根据长方体的体积计算公式“V＝abh”，即可求出这个长方体的体积。【详解】96÷4÷（1＋2＋3）＝24÷6＝4（cm）4×1＝4（cm）4×2＝8（cm）4×3＝12（cm）（4×12＋8×12＋4×8）×2＝（48＋96＋32）×2＝176×2＝352（cm2）4×8×12＝384（cm3）所以，这个长方体的表面积是352cm2，体积是384cm3。【点评】解答此题的关键是根据长方体的特征及按比例分配问题求出这个长方体长、宽、高。13．30

25【分析】已知男生人数与女生人数的比是6∶5，也就是说男生占6份，女生占5份，共11份，又知道人数在50~60之间，50~60之间要满足是11的倍数，只有55符合题意，再根据按比例分配的解题方法，即可计算出参加夏令营活动男生和女生的人数。【详解】根据分析得，男生占6份，女生占5份，总人数共6＋5＝11（份）。11的倍数有11、22、33、44、55、66⋯，因为总人数在50~60之间，只有55满足要求，所以参加夏令营活动的总人数是55人。55×＝55×＝30（人）55×＝55×＝25（人）【点评】本题的难点是理解参加夏令营活动的总人数是11的倍数，再根据按比例分配的解题方法求解即可。14．196【分析】已知一件上衣与一条裤子的价格比是7∶5，则说明上衣的价格有7份，裤子的价格有5份，已知裤子售价140元，用140÷5可求出每份代表的价格，再跟上衣价格的份数相乘即可求出结果。【详解】140÷5×7＝28×7＝196（元）【点评】本题考查的是比的应用，关键求出每份代表的具体量。15．80∶39【分析】根据黑板的长与宽直接写出它们的比即可，即长与宽的比是240∶117，再化简。【详解】这块黑板长与宽的比是240∶117＝（240÷3）∶（117÷3）＝80∶39【点评】本题考查了比的知识点，掌握基础知识是解答本题的关键。16．198【分析】长方体的棱长和=（长＋宽＋高）×4，据此求出长宽高的和，再根据长、宽、高的比是3∶2∶1，求出长、宽、高的长度，再求出长方体的表面积即可。【详解】72÷4÷（3＋2＋1）＝18÷6＝3（cm）长：3×3＝9（cm）宽：3×2＝6（cm）高：3cm表面积：（cm2）【点评】本题考查长方体的棱长和、表面积和按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配的解题方法。17．1400个【分析】把这批零件的个数看作单位“1”，第一天加工了这批零件的，再加300个，就是这批零件的，根据分数除法的意义，用300个除以（－），就是这批零件的个数。【详解】300÷（－）＝300÷（－）＝300÷＝1400（个）答：这批零件共有1400个。【点评】此题是考查比的应用。关键是把比转化成分数，进而求出300个占这批零件个数的几分之几，再根据分数除法的意义解答。18．240本；280本【分析】先求得两个班各分得总数的几分之几，再根据按比例分配的方法，列式解答即可。【详解】六年一班分得：520×＝520×＝240（本）六年二班分得：520×＝520×＝280（本）答：六年一班分得240本，六年二班分得280本。【点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比以及两个数的和，求这两个数，用按比例分配解答。19．五年级分得200棵，六年级分得300棵【分析】学校运来50捆树苗，每捆10棵，这批树苗一共有（10×50）棵，把这些树苗的棵数平均分成（4＋6）份，先用除法求出1份的棵数，再用乘法分别求出4份（五年级分得）、6份（六年级分得）的棵数。【详解】10×50÷（4＋6）＝500÷10＝50（棵）50×4＝200（棵）50×6＝300（棵）答：五年级分得200棵，六年级分得300棵。【点评】此题考查的是比的应用，注意先求出每份代表多少。20．货船千米；客船千米【分析】首先根据相遇路程问题的解题方法，求出速度和，再根据货船和客船的速度比，求出每份速度是多少，最后求出两船的速度。【详解】货船与客船的速度和：1200÷12＝100（千米）1份速度：100÷（14＋15）＝100÷29＝货船速度：客船速度：答：货船速度是每小时千米，客船速度是每小时千米。【点评】按比分配问题，两个量的和÷份数和＝每份的量，应用平均分法解答。21．100元的6张；50元的10张【分析】由题意可知，面值100元的张数是面值50元张数的，把面值50元的张数设为未知数，面值100元的张数＝面值50元的张数×，等量关系式：面值100元的总钱数＋面值50元的总钱数＝1100元，据此列方程解答。【详解】解：设面值50元的有x张，则面值100元的有x张。50x＋x×100＝110050x＋60x＝1100110x＝1100x＝1100÷110x＝1010×＝6（张）答：100元面值的人民币有6张，50元面值的人民币有10张。【点评】本题主要考查列方程解应用题，根据题意找出等量关系式是解答题目的关键。22．54千克【分析】把黄瓜的重量看作单位“1“，豆角的质量比黄瓜少，是黄瓜的（1－），用乘法计算得出豆角的质量，再乘，即可得采摘的茄子质量是多少千克。【详解】90×（1－）×＝90××＝54（千克）答：采摘的茄子质量是54千克。【点评】本题主要考查了比的应用，已知一个数，求它的几分之几是多少，用乘法计算。23．甲班原来有47人，乙班原来有58人【分析】设甲班原有x人，则乙班原有（105－x）人，两个班各转走3名学生，甲班还剩（x－3）人，乙班还剩（105－x－3）人，已知此时甲乙两班的人数比是4∶5，由此列等式为（x－3）∶（105－x－3）＝4∶5，解此比例即可。【详解】解：设甲班原有x人。（x－3）∶（105－x－3）＝4∶55×（x－3）＝4×（105－x－3）5x－15＝420－4x－125x－15＋4x＝420－4x－12＋4x9x－15＝4089x－15＋15＝408＋159x＝4239x÷9＝423÷9x＝47105－47＝58（人）答：甲班原来有47人，乙班原来有58人。【点评】此题关键在于设出未知数，表示出两个班的人数，根据后来甲乙两班的人数比是4∶5，列式解答。24．257.5千克【分析】把纯农药与水的质量比转化成份数，纯农药的质量看作3份，水的质量看作100份，农药水的份数是（100＋3）份，现有纯农药7.5千克，除以纯农药对应的份数，求出1份量是多少，用1份量乘农药水质量所占的份数，即可求出配置的农药水的质量。【详解】根据分析得，7.5÷3×（100＋3）＝2.5×103＝257.5（千克）答：可以配置这种农药水257.5千克。【点评】此题的解题关键是通过按比例分配问题的解题思维求解。25．88米【分析】由比的意义可知，长占7份，宽占4份，所以长比宽多（7－4）份，刚好对应着长比宽多12米，所以可求出每份的量，乘长和宽各自占的份数即可求出长和宽，最后利用“长方形的周长＝（长＋宽）×2”求出长方形的周长。【详解】12÷（7－4）＝12÷3＝4（米）长：4×7＝28（米）宽：4×4＝16（米）周长：（28＋16）×2＝44×2＝88（米）答：这个长方形的周长是88米。【点评】此题主要考查比的应用相关的解答方法，解题关键是把比转化为份数，求出每份的量，再利用长方形的周长公式，求出最后的结果。26．1000千克；1500千克；2500千克【分析】把水泥的重量