教师资格认定考试初级中学数学模拟题24

教师资格认定考试初级中学数学模拟题24一、单项选择题1.

在空间直角坐标系中，向量α，β，γ的坐标依次为(1，0，-1)，(1，-2，0)，(-1，2，1)，则(3α+β-γ)×(α-β+γ)的坐标为__（江南博哥）____。A.(16，4，16)B.(16，-4，16)C.(-16，4，16)D.(16，4，-16)正确答案：A[解析]3α+β-γ的坐标为(5，-4，-4)，α-β+γ的坐标为(-1，4，0)，所以。故本题选A。

2.

《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出了数感、符号意识、空间观念等10个核心概念，以下不属于这10个核心概念的是______。A.几何直观B.推理能力C.函数思想D.应用意识正确答案：C[解析]《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出，“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识”。故本题选C。

3.

分类是一种重要的数学思想，分类的过程就是对事物共性的______过程。A.描述B.推理C.归纳D.抽象正确答案：D[解析]《义务教育数学课程标准(2011年版)》在关于“感悟数学思想”的描述中指出，分类是一种重要的数学思想，在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。

4.

设有非零向量a，b，c，若a·b=0，a×c=0，则b·c=______。A.0B.-1C.1D.3正确答案：A[解析]已知a·b=0，a×c=0，所以b与a垂直，c与a共线，又由于a是非零向量，所以b与c垂直，于是b·c=0。故本题选A。

5.

某人在每天上班途中要经过4个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到绿灯的事件是相互独立的，且红灯持续20秒，而绿灯持续30秒。则他在途中遇到绿灯的次数的方差为______。A.0.24B.0.6C.0.96D.0.85正确答案：C[解析]他在每个十字路口遇到绿灯的概率为，因为在每个路口遇到绿灯的事件相互独立，所以他在途中遇到绿灯的次数服从二项分布B(4，0.6)。根据二项分布方差的计算公式知，他在途中遇到绿灯的次数的方差为4×0.6×(1-0.6)=0.96。故本题选C。

6.

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出，对于学生基础知识和基本技能达成情况的评价，必须精准把握课程内容中的要求。下列做法不符合要求的是______。A.在设计试题时，应淡化特殊的解题技巧，不出偏怪题B.在考试中，几何命题的证明应以“图形的性质”中列出的基本事实和定理作为依据C.考查的内容一般应限在必学范围内D.选学内容“三元一次方程组”可以列入考试范围正确答案：D[解析]《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出，“解简单的三元一次方程组”是选学内容，不做考试要求。故本题选D。

7.

设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处______。A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续，但不可导D.可导正确答案：D[解析]由等价无穷小替换知，，由“无穷小量乘以有界量仍为无穷小量”知，，所以存在且为0。而f(0)=0，所以f(x)在x=0处连续，又，所以，f(x)在x=0处可导。故本题选D。

8.

极限的值为______。A.0B.+∞C.5D.ln5正确答案：C[解析]。结合函数图像可知，当x→+∞时，5x的增长速度远远快于x5的增长速度，所以，进而可知，。故本题选C。

二、简答题(每小题7分，共35分)1.

设实对称矩阵，求正交矩阵Q，使得QTAQ为对角矩阵。正确答案：，实对称矩阵A的特征值为-1(二重)，5。当λ1=-1时，，可得实对称矩阵的特征值-1对应的特征向量α1=(-1，1，0)T，α2=(-1，0，1)T；当λ=5时，，可得实对称矩阵的特征值5对府的特征向量α3=(1，1，1)T。

因为实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交，所以α3与α1，α2正交，从而只需对α1，α2施密特正交化，令β1=α1=(-1，1，0)T，。对β1，β2，α3单位化，。实对称矩阵A经正交变换QTAQ可以得到对应的对角矩阵为，其中。

2.

设α1，α2，α3线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α1+α3线性无关。正确答案：设k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α1+α3)=(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0。由于α1，α2，α3线性无关，所以解方程组得，k1=k2=k3=0。因此，α1+α2，α2+α3，α1+α3线性无关。

3.

求过点(1，0，4)，且平行于平面3x-4y+z-8=0，又与直线相交的直线的方程。正确答案：(方法一)所求直线记为l，由题意可知，与平面3x-4y+z-8=0平行的平面系方程为3x-4y+z+k=0，又直线l过点(1，0，4)，代入求得k=-7，即直线l在平面3x-4y+z-7=0上。联立方程可求得直线与直线l的交点为(21，25，44)，因为直线l还经过点(1，0，4)，所以直线l的一个方向向量l=(4，5，8)，因此所求直线的方程为。

(方法二)设过点(1，0，4)且与平面3x-4y+z-8=0平行的平面为π1，所求直线l在π1内，根据平行平面的关系易得，π1的一般方程为3x-4y+z-7=0。

直线过点(-1，3，0)，且一个方向向量为s=(1，1，2)，又平面π1的一个法向量为n=(3，-4，1)，因为sn≠0，所以直线与π1相交，所以直线l与直线所确定的平面π2与π1相交，相交直线即为l。

平面π2过点(-1，3，0)和点(1，0，4)，且与向量s=(1，1，2)平行，设π2上任意一点的坐标为(x，y，z)，则向量u=(x+1，y-3，z)和向量v=(2，-3，4)都平行于平面π2，即向量s，u，v共面，即有，所以π2的一般方程为2x-z+2=0。

因此，所求直线l的一般方程为

4.

简述在教与学的活动中，教师的引导作用应该如何体现。正确答案：教师可以通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性的讲授，来引导学生积极思考，激发学生的好奇心。例如，在“二次根式”的教学中可以采用问题串的形式来引入。

教师也可以通过恰当的归纳和示范，使学生理解知识、掌握技能、积累经验、感悟思想。例如，在“勾股定理”的新课导入中可以通过介绍毕达哥拉斯的故事，激发学生好奇心，引发学生对新知的兴趣和思考。

教师引导时应关注学生的差异性，用不同层次的问题或教学手段，引导每一个学生都能积极参与学习活动，从而提高教学活动的针对性和有效性。

5.

设矩阵，若，求矩阵M的逆矩阵M-1。正确答案：由，可得解得所以。下面用两种方法求矩阵M的逆矩阵。

(方法一)

，所以。

(方法二)

根据计算。因为，所以，因此。

三、解答题(本大题共10分)设V是n维欧氏空间，α≠0是V中的一个固定向量，证明：1.

V1={x|(x，α)=0，x∈V}是V的子空间；正确答案：解：任取x，y∈V1，则(x，α)=0，(y，α)=0。因为(x+y，α)=(x，α)+(y，α)=0，所以有x+y∈V1，即加法封闭；设k∈P，有(kx，α)=k(x，α)=0，所以kx∈V1，即数乘也封闭，所以V1是V的子空间。

2.

V1的维数等于n-1。正确答案：解：设x=(x1，x2，…，xn)∈V1，则(x，α)=a1x1+a2x2+…+anxn=0，因为α≠0，所以r(α)=1，进而可知，齐次线性方程a1x1+a2x2+…+anxn=0含有n-1个线性无关的解向量。这n-1个线性无关解向量是V1的一个基，所以V1的维数等于n-1。

四、论述题(本大题共15分)1.

《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出了“四基”，包括基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。请结合教学实际谈谈如何积累学生的数学活动经验。正确答案：“数学活动经验”是一种基本的数学素养，也是数学教学关注的目标之一。课堂教学是学生积累数学活动经验的主要阵地，在教学中，教师要重视数学实践活动，积累活动经验。活动是经验的源泉，不亲历实践活动就根本谈不上经验。课堂实践活动是学生运用学具按照学习内容和教师要求进行的实际活动，它有助于学生理解和掌握所学知识。例如，在学习“平行四边形”时，可以让学生动手制作或画出不同的平行四边形，找…其特点。数学源于生活，根植于生活。数学教学要从学生的生活经验、已有知识出发，把生活经验数学化，将数学问题生活化。例如，学习“平行线”时，我们可以以马路上的斑马线、笔直的铁轨等为例，来引导学生思考学习。

五、案例分析题(本大题共20分)阅读案例，并回答问题。下面是数学教师王老师在一节习题课上的教学片段。

师：下面大家看这道题。(黑板上出示题目：化简。)大家思考一分钟。

(学生思考后)

师：谁来说一下怎么化简?

学生A：老师，我的想法是分母有理化，分子分母同乘，分母就化成了a-b。

师：很好，说明你已经熟练掌握分母有理化的一般方法。把你的化简过程写在黑板上。

师：大家想想有没有其他做法。

学生B：老师，这道题也可以这样做：将分子因式分解，，然后再约分。

师：你的思维已经转向了分子，又联想到因式分解，很好!把你的化简过程也写在黑板上。

师：好的，两位同学的解法都写在黑板上了，大家比较两种解法，给大家一分钟思考时间，看这两种解法都正确吗?

问题：1.

判断学生A和学生B的解法正确吗?并说明理由；正确答案：虽然两位学生的计算结果都是，但学生A在分母有理化的时候分子分母同乘，如果a=b，这一步就不符合分式的运算性质，即学生A的解法有逻辑错误。学生B的解法是正确的。

2.

如果你是王老师，请完成后续的教学。正确答案：教学过程

师：两种解法的计算结果一样，都是，大家觉得有什么问题吗?可以大胆地说出来。

教师预留时间供学生思考讨论，并做如下引导。

师：分母有理化的时候分子、分母同乘，如果a=b，会出现什么问题?还符合分式的运算性质吗?

预留时间供学生验证交流，之后进行小结。

师：在计算的过程中很多时候看着正确，细细探究却是有问题的，这个时候就不能相信直觉，而是要有严密的逻辑思维。在数学的推理计算过程中，每一步都要有理有据、合情合理，即使再简单的过程都要有依据，大家要养成多问自己“为什么可以这样做”的习惯，培养严谨的思维习惯。

六、教学设计题(本大题共30分)针对平行四边形性质和判定的一节复习课，教学目标如下：

①进一步掌握平行四边形的性质；

②进一步理解平行四边形的判定定理；

③会运用四边形边、角及对角线之间的关系判断一个四边形是否为平行四边形；

④通过对平行四边形性质和判定定理的复习，在加深理解与记忆同时，体会数学方法，积累数学活动经验。

根据上述教学目标，完成下列任务：1.

写出平行四边形的性质和判定方法；正确答案：平行四边形性质：

①平行四边形的对边相等；

②平行四边形的对角相等；

③平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形的判定方法：

①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

③对角线互相平分的四边形是平行四边形；

④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

2.

为了落实上述教学目标①中的一个性质，设计教学片段，并说明设计意图；正确答案：教学片段

一、复习回顾

回顾平行四边形的性质有哪些?又是怎么证明的?

如图，在中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，求证：AE=CF。

要求：①引导学生复习平行四边形的性质；②学会用平行四边形的性质来证明一些命题；③学生做完题目之后，教师板书证明过程。

证明过程如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C，AD=CB，

又∠AED=∠CFB=90°，

∴△ADE≌△CBF(AAS)，

∴AE=CF。

【设计意图】教师带领学生复习旧知，可以帮助学生进一步巩固旧知，包括平行四边形的性质和全等三角形的判定方法，同时有助于学生进一步了解平行四边形的性质，给出习题让学生用熟悉的方法自主解题，有助于教师对学生学习情况的把握，为后续教学做铺垫，学生解题后，教师板书，有助于规范学生的解题过程。

二、活动探究

现有一个平行四边形ABCD，求证：∠B=∠D。

师生活动：教师出示问题，学生独立思考、回答。

教师追问：是不是可以用前面的方法来证明呢?

(预设)学生证明过程：

证明：连接AC，

∵AD∥BC，AB∥CD，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

又AC是△ABC和△CDA的公共边，

∴△ABC≌△CDA，

∴∠B=∠D。

教师继续提出如下问题，预留时间供学生探究。

追问1：不添加辅助线，大家能否直接运用平行四边形定义，证明其对角相等?

追问2：已知平行四边形一个内角的度数，大家能确定其他内角的度数吗?

教师小结：

①如果不添加辅助线的话，还可以利用以前学的平行线的性质，通过类比的方法，将这道题看做两条平行直线被第三条直线所截的情形，有内错角相等，同位角相等，同旁内角互补的特点，∵∠B+∠A=180°，∠A+∠D=180°，∴∠B=∠D。

②已知平行四边形的一个内角的度数，则根据平行四边形的性质，对角相等，就确定两个角的度数了，再根据两条平行直线被第三条直线所截的同旁内角互补的特点，就能够确定四个角的度数了。

【设计意图】通过复习平行四边形性质的证明，巩固已经学过的知识，从而达到教学目标的要求，通过追问