平面向量（教师卷）-2015-2024年高考数学试题分项汇编

冷感03年面向重

十年考情­探规律1

考点十年考情（2015-2024）命题趋势

考点1平面向量平行

2024•上海卷、2021•全国乙卷、2016•全国卷、

（共线）求参数

2015•全国卷

（10年4考）

考点2平面向量垂直

2024•全国甲卷、2024•全国新I卷、2023•全国

求参数

新I卷、2021•全国甲卷、2020•全国卷

（10年4考）

考点3平面向量的基1.掌握平面向量的基本概念、

2022•全国新I卷、2020•山东卷、2018•全国卷、

本定理及其应用线性运算及坐标运算，已知平

2015•北京卷

（10年4考）面向量的关系要会求参数

2024•全国新II卷、2023•北京卷、2023•全国新2.掌握基本定理的基底表示

考点4平面向量的模

II卷、2022•全国乙卷、2021•全国甲卷、2020•全向量、能在平面几何图形中的

长

国卷、2019•全国卷、2017•全国卷、2017•浙江应用

（10年7考）

卷3.掌握平面向量数量积的表

2023,全国乙卷、2022•全国乙卷、2022•北京卷、示和计算、会求平面几何图形

考点5求平面向量数

2020•山东卷、2021.全国新I卷、2022.全国甲中的范围及最值等问题。

量积

卷、2021•天津卷、2021•全国新II卷、2021.北

（10年9考）

京卷、2020•天津卷、2020•北京卷

2023•全国甲卷、2023•全国甲卷、2022•全国新

考点6求平面向量的

II卷、2020•全国卷、2019•全国卷、2016•全国

夹角

卷、2022.天津卷、2020•浙江卷、2019•全国卷、

（10年6考）

2019•全国卷

分考点•精准练

考点01平面向量平行（共线）求参数

1.（2024•上海借考真题）已知左£R,。=（2,5）,Z?=（6,左），且〃///?,则左的值为.

【答案】15

【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】aI出，：.2k=5x6,解得左=15.

故答案为：15.

2.（2021・全国乙卷•高考真题）已知向量a=（2,5）/=（44）,若：//力，则人.

【答案】I

【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于彳的方程，解方程即可求得实数％的值.

【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4-2x5=0,

Q

解方程可得：2=-.

Q

故答案为：—.

3.（2016•全国•高考真题）已知向量。=（九4）,6=（3,-2）,且。〃6，则加=.

【答案】-6

【分析】由向量平行的坐标表示得出-2%-4x3=0,求解即可得出答案.

【详解】因为。〃6，所以一2/n-4x3=0,解得加=-6.

故答案为：-6

【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.

4.（2015•全国•高考真题）设向量6不平行，向量/la+b与a+2b平行，则实数2=

【答案】|

4=女，1

【详解】因为向量而+6与a+26平行，所以Xa+6=Ha+26）,则°,所以％=

1=ZK,2

考点：向量共线.

考点02平面向量垂直求参数

1.（2024•全国甲卷•高考真题）已知向量。=（0,1）,6=（2,尤），若b，S-4a）,则工=（

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求》的值.

【详解】因为必仅-甸，所以“6-44=。，

所以片一4〃./?=（）即4+%2_4x=0,故X=2,

故选：D.

2.（2024•全国新I卷・高考真题）设向量a=（x+l,x）,A=（羽2）,则（）

A."x=-3"是"a_L6"的必要条件B."%=-3"是"°〃6"的必要条件

C."x=0"是的充分条件D."彳=一1+石”是"°//b"的充分条件

【答案】C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当时，则夕6=0，

所以尤•（尤+l）+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，“=（1,0）/=（0,2）,故。力=0，

所以a_Lb，即充分性成立，故C正确；

对B,当°〃匕时，则2（彳+1）=/，解得x=l±6，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=-l+班时，不满足2（尤+1）=尤2,所以不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

3.（2023•全国新I卷•高考真题）已知向量a==若（a+训，（a+闷，则（）

A.%+〃=1B.4+4=-1

C.=lD.AjU=-l

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出Q+4。，ib，再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为a=（1,1）,〃=（1,—1）,所以a+=（1+4,1—4）,a+jub=（1+//,1—,

由（a+2Z?）_L（Q+4。）可得，++=0,

即（1+丸）（1+〃）+（1_之）（1_"）=0,整理得：加=—1.

故选：D.

4.（2021•全国甲卷•高考真题）已知向量〃=（3,l）,b=（l,0）,c=a+奶.若〃_Lc，则左=.

【答案】

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量e的坐标，利用向量的数量积为零求得上的值

【详角星】a=（3,1）力=（l,0）,；.c=4+妙=（3+k,1）,

t7±c,.-.o-c=3（3+^）+lxl=0,解得上=-：,

故答案为：---•

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量

P=a,%),4=(%,%)垂直的充分必要条件是其数量积占%+%为=o.

5.(2020•全国•高考真题)设向量a=(1,-1),6=(机+1,2机-4),若a_Lb,则机=.

【答案】5

【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.

【详解】由a_1_匕可得a./?=(),

又因为a=(1,-1),Z?=(m+1,2m-4),

所以〃♦Z?=1•(zn+1)+(-1)•(2zn-4)=0,

即加=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.

考点03平面向量的基本定理及其应用

1.(2022•全国新I卷•高考真题)在，?1BC中，点。在边AB上，BD=2DA.记C4=/〃,CO=〃，则=(

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边上，BD=2DA,所以即CD-C8=2(C4-C£>),

所以CB=3CD-2CA=3〃-2m=—2根+3〃.

故选：B.

2.(2020・山东,高考真题)已知平行四边形A3CD,点E,尸分别是AB,BC的中点(如图所示)，设A8=a

AD=b,则EF等于()

A

A.+B.5(4-b)C.—^b—aD.—a+b

2

【答案】A

【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；

【详解】连结AC,贝IJAC为ABC的中位线，

,EF=-AC=-a+-b,

222

DC

F

故选：A

3.(2018・全国•高考真题)在回ABC中，AZ)为5c边上的中线，石为AZ)的中点，则防=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得=+之后应用向量

31

的加法运算法则——三角形法则，得到3C=A4+AC，之后将其合并，得到的=7A4+：AC,下一步应

44

31

用相反向量，^EB=-AB--AC从而求得结果.

44f

【详解】根据向量的运算法则，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-（BA+

222424V

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

31

所以EB=—AB--AC,故选A.

44

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加

法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

4.（2015•北京•高考真题）在中，点M,N满足AM=2MC,BN=NC,若MN=xAB+yAC,则x=

V=■

【答案】—

26

【详解】特殊化，不妨设/c，相，四=4,/C=3,利用坐标法，以A为原点，AB为X轴，AC为y轴,

建立直角坐标系，/(0,0),〃(0,2),C(0,3),6(4,0),N(2,9,MN=(2,-1),AB=(4,0),AC=(0,3),贝U

⑵-3=x(4,0)+y(0,3),4x=2,3y=-x=[,y=

2226

考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.

考点04平面向量的模长

1.(2024•全国新n卷•高考真题)已知向量满足卜|=1,卜+2*2,且仅-2+贝明=()

A.；B.—C.—D.1

222

【答案】B

【分析】由仅―2。)，6得8~=2a.8，结合［力=1,卜+20=2,得i+4a.b+46-=l+6b~=4，由此即可得解.

【详解】因为(b-2a)，6,所以仅-246=。，即

又因为忖=1,卜+20=2,

所以1+4a-6+4b2=1+6b=4，

故选：B.

2.(2023•北京•高考真题)已知向量a,。满足。+匕=(2,3),a-b=(-2,1),则|肝一|附()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【详解】向量满足a+6=(2,3),a—b=(—2,1),

所以|a|2_M=(a+b>(a_))=2x(_2)+3xl=_L

故选:B

3.(2023•全国新H卷•高考真题)已知向量a,6满足卜=若，,+0=卜4一“，则忖=.

【答案】百

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令-力，结合数量积的运算律

运算求解.

【详解】法一：因为|&+.=|2«-可，即,+6丫=(2。-6『，

贝1。~+2。力+片=4a-4a-b+b,整理得J-2a/=0，

又因为上一即盯=3,

则》一2荽+抹=片=3,所以忖=百.

LXIFIrrrrrrrr

法二：设c=「一6，贝"q=J3,a+b=C+2Z?,2Q—b=2c+Z?,

由题意可得：(c+26)=(2c+6),贝，+4；二+4%2=点+4；.%+；

整理得：cr=b，即M=0=e.

故答案为：-J3.

4.(2022•全国乙卷•高考真题)已知向量。=(2,1)0=(-2,4),则以()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得然后求得r-“

【详解】因为“-6=(2,1)_(_2,4)=(4,-3),所以k一4=,42+(-3『=5.

故选：D

5.(2021•全国甲卷•高考真题)若向量a,b满足忖=3,卜-0=5,<?-6=1,则卜卜.

【答案】3拒

【分析】根据题目条件，利用〃模的平方可以得出答案

【详解】距-中5

团卜-Z?|"=a+b-2a,Z?=9+1/?|~-2=25

喇=3亚

故答案为：3拒.

6.(2020•全国•高考真题)设a,6为单位向量，且|“+6|=1,贝.

【答案】A/3

【分析】整理己知可得：|a+*J(a+H,再利用。力为单位向量即可求得2a电二-：!，对变形可得:

=-2a为+1］，问题得解.

【详解】因为凡6为单位向量，所以口=|力|=1

所以,+©=J(a+6)+2a-Z?+|/>|=>]2+2a-b=1

解得：1a-b=-l

所以卜一@==J|A|-2fl-Z7+|z?|=A/3

故答案为：V3

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

7.(2019•全国•高考真题)已知向量a=(2,3)0=(3,2),则|。-6|=

A.72B.2

C.572D.50

【答案】A

【分析】本题先计算a-b，再根据模的概念求出|。-加.

【详解】由已知，a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

所以|a-6|=心万7F=JL

故选A

【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.由于对平

面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错.

8.(2017•全国•高考真题)已知向量。与b的夹角为60。，|a|=2,|b|=1,贝U|a+2b\=.

【答案】2宕

【详解】回平面向量a与b的夹角为60°,同=2,忖=1

^a-b=2xlxcos60°=1.

团卜+26卜J(a+2b)2=y]a2+4a-b+(2b)2=J4+4+4=26

故答案为

点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式.

(2)\a\=4^常用来求向量的模.

9.(2017•浙江■高考真题)已知向量见6满足口=1,川=2,贝”。+6|+卜-0的最小值是,最大值

是.

【答案】42亚

【详解】设向量a,b的夹角为凡由余弦定理有：|a-^|=Vl2+22-2xlx2xcos0=^5-4cos0,

卜+0=Qi2+22一2xlx2xcos(万一6)=,5+4cos0,贝[|：

la+d+ltz-Z7|=j5+4cosd+j5-4cosd,

令y=j5+4cos6+令-4cos6,则y?=10+2,25-16cos*e[16,20],

据止匕可得：(,+0+卜-矶=7^=2君,(卜+0+卜-码.=A/16=4,

即卜+目+1的最小值是4,最大值是2石.

【名师点睛】本题通过设向量。力的夹角为，，结合模长公式，可得卜+4+|"+j5+4cos，+j5-4cosd,

再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求.

考点05求平面向量数量积

1.(2023・全国乙卷・高考真题)正方形A3CD的边长是2,E是A3的中点，则EC-ED=()

A.75B.3C.2A/5D.5

【答案】B

【分析】方法一；以旧(氏A。\｝为基底向量表示EUL1CU,UEUUD,再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,进而根据数量积的定义运算求解.

(、lUimiiuuai|uunuum

【详解】方法一：以为基底向量，可知卜q=kq=2,AB-AD=0,

uunuuruuniuunuumuunutruumiuunuum

则后。=班+3。=—43+4。,石£>=必+?1£>=—一AB+AD,

22

uunuun(iuunuumA(iuunuum、iutmuum

所以比即=匕人⑶+人叼］-+2+AD2=-1+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

UUUULWI

则E(l,0),C(2,2),D(0,2),可得EC=(1,2),£0=(-1,2),

UUUUUU

所以EC-EZ)=-1+4=3；

方法三：由题意可得：ED二EC=5CD=2,

DE。+CE?-DC?5+5-43

在CDE中，由余弦定理可得cos/DEC=

2DECE2XA/5XV55

uunuun|UUD||Uum|3

所以ECEO平qF4cosZDEC=V5xV5xg=3.

故选：B.

2.（2022•全国乙卷•高考真题）已知向量葡满足冷|=1,|向=厉,|】-2正|=3,则。力=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：回|a-26|2=|0|2_402+4忖2,

又回|。|=1,|ZJ|=V3,|a-2/?|=3,

09=l-4fl-/?+4x3=13-4a-Z?，

回。=1

故选：C.

3.（2022•北京・高考真题）在ABC中，AC=3,BC=4,NC=90。.P为ABC所在平面内的动点，且尸C=1,

则尸4PB的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P（cos0,sin。），表示出尸4，PB，根据数量积的坐标表示、辅助

角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C（0,0）,A（3,0）,3（0,4）,

设尸(cossin。)，3e[0,2句,

所以PA=(3-cos仇-sin。),P3=(-cos6,4-sin8),

所以PAPB=(-cos^)x(3-cos^)+(4-sin6)x(-sin6)

=cos28—3cos8—4sin8+sin23

=1—3cos6-4sin6

=1一5sin(9+°),其中sino=1,cos0=[,

因为一l<sin(e+e)<l,所以T<l—5sin(，+°)V6,gp.PBG[-4,6]；

故选：D

4.(2020・山东・高考真题)已知P是边长为2的正六边形A3C0EF内的一点，则&p.AB的取值范围是()

A.(—2,6)B.(—6,2)

C.(-2,4)D.(T6)

【答案】A

【分析】首先根据题中所给的条件,结合正六边形的特征，得到AP在AB方向上的投影的取值范围是（T，3）,

利用向量数量积的定义式，求得结果.

可以得到A户在AB方向上的投影的取值范围是(T，3),

结合向量数量积的定义式，

可知AP-AB等于AB的模与AP在Afi方向上的投影的乘积,

所以APAB的取值范围是(-2,6),

故选：A.

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的

定义式，属于简单题目.

二、多选题

5.(2021•全国新I卷•高考真题)已知。为坐标原点，点A(cosa,sina),^(cos^-sin/J),

(cos(a+/7),sm(a+/7)),A(l,0),则()

A.|M=|。冏B.\AP]=\AP2\

C.OAO尸3=OqORD.04。4=。£0鸟

【答案】AC

uumuuu

【分析】A、B写出。OP；,AP1,A8的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐

标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：。吁=(cosa,sina),OP,=(cos^,-sin/7),所以||=Jcos2a+sin2a=1,

||=J(cosSO+(—sin咛=1，故|O引=|O鸟正确；

B：AF[=(coscr-l,sincr),AP2=(cos/?-l,-sin/?),所以

22222

|APX|=^/(cos6Z-l)+sina=Vcoscir-2cos6z+l+sina=J2(l-cosa)=^4sin=21sin^|,同理

22

\AP21=^/(cos/?-l)+sin/7=2|siny|,故|蝴|,|钻|不一定相等，错误；

C：由题意得：OA-OF^=1xcos(cr++0xsin(6Z+/?)=cos(6Z+13),

OP/OP?=cosa-cos/?+sincr•(-sin/?)=cos(cr+/7),正确；

D：由题意得：=lxcosa+Oxsina=cosa,OP?OP3=cospxcos(6Z+^)+(—sinp)xsin(6z+/?)

=cos(P+(a+P))=cos(a+2p),故一般来说。wOg。鸟故错误;

故选：AC

三、填空题

6.(2022•全国甲卷•高考真题)设向量°,6的夹角的余弦值为g,且忖=1,||=3,则(2a+6>6=.

【答案】11

【分析】设a与6的夹角为。，依题意可得cos6=；,再根据数量积的定义求出a),最后根据数量积的运

算律计算可得.

【详解】解：设)与b的夹角为，，因为a与6的夹角的余弦值为:，即cos8=g,

又忖=1,H=3,所以4力=卜，6卜05。=1乂3*：=1,

所以(2a+b)•/?=2a•/?+//=2。-6+卜|=2x1+3。=11.

故答案为：11

7.(2021・天津•高考真题)在边长为1的等边三角形ABC中，。为线段8c上的动点，且交A8于

点、E.D77/AB且交AC于点尸，则I2BE+DFI的值为；(DE+DF).DA的最小值为.

【答案】1—

20

【分析】设=由(ZBE+ObrnME;+MEQb+D武可求出；将(DE+DFAD4化为关于x的关系式

即可求出最值.

【详解】设=,ABC为边长为1的等边三角形，DE±AB,

NBDE=30,BD=2x,DE=y/3x,DC=1—2x,

DF//AB,「.Z衣C为边长为1-2x的等边三角形，DE1DF,

，2.2

.-.(2BE+£)F)2=4BE+4BEDF+DF=4x2+4x(1-2x)xcos0+(l-2x)2=b

2BE+DF|=1,

-2

(DE+DF)・DA=(DE+DF)•(DE+EA)=DE+DFEA

=(瓜)2+(l_2x)x(l_x)=5x2_3;c+]=5(xq[+],

311

所以当兀=工时，(。石+的最小值为二.

故答案为：1;—.

8.(2021•全国新H卷牌考真题)已知向量〃+匕+c=0,忖=1,忖=卜|=2,a-b+b-c+c-a=.

【答案】《Q

【分析】由已知可得(〃+b+c『=0,展开化简后可得结果.

【详解】由已知可得(〃+b+c)-a-\-b+c+2(a-b-\-b-C+C-O^-9-\-2(a-b+b-C+c-a^=0,

9

因止匕，a-b+b-c+c-a=——.

2

故答案为：-.

9.(2021・北京•高考真题)已知向量。在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为

1,则

(〃+b)•。=；a-b=•

【答案】03

【分析】根据坐标求出a+A,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.

【详解】以〃出交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：

则々=(2,1)力=(2,-1)4=(0,1),

:.a+b=(4,0),(a+fo)-c=4x0+0xl=0,

:.a-b=2x2+1x(—1)=3.

故答案为：0；3.

3

10.(2020・天津■高考真题)如图，在四边形ABCD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,S.AD=ABC,ADAB=——,

2

则实数2的值为，若",N是线段3C上的动点，且|MN|=1,则。M.ON的最小值为.

【分析】可得N54D=120,利用平面向量数量积的定义求得2的值，然后以点8为坐标原点，BC所在直

线为x轴建立平面直角坐标系，设点M（x,0）,则点N（尤+1,0）（其中0Wx（5）,得出N0.ZW关于了的函

数表达式，利用二次函数的基本性质求得。的最小值.

【详解】AD=ABC，AD//BC,.-.ZBAZ）=180-ZB=120，

AB-AD=/IBC-AB=2|BC|-|AB|COS120

=2x6x3x[—g]=-92=—T,

解得4=

0

以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy,

团四|=3,ZABC=60。回A的坐标为A

0X0AD=-BCJlJD，设M（x,O）,则N（x+l,O）（其中0WxW5）,

6

(5WO(Q

DM=\x——,--—,DN=x——

I22J〔2

DMDN=-4x+y=(X-2)2+y

所以，当尤=2时，OATDN取得最小值彳.

113

故答案为：—；--.

62

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于

中等题.

11.（2020・北京•高考真题）已知正方形A3CD的边长为2,点P满足AP=g（A2+AC）,贝修尸。|=；

PBPD=-

【答案】亚-1

【分析】以点A为坐标原点，AB.9所在直线分别为X、＞轴建立平面直角坐标系，求得点尸的坐标,

利用平面向量数量积的坐标运算可求得|即|以及PRPD的值.

【详解】以点A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为X、＞轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

则点4(0,0)、3(2,0)、C(2,2)、Z>(0,2),

AP=1(AB+AC)=i(2,0)+1(2,2)=(2,1),

则点P(2,l),.•.P£)=(一2,1),尸3=(0,-1),

因此，|尸4={(-Zf+F=如，PB.pr>=0x(-2)+lx(-l)=-l.

故答案为：石；-1.

【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标是解答的关键，考

查计算能力，属于基础题.

考点06求平面向量的夹角

一、单选题

1.（2023•全国甲卷•高考真题）已知向量£=（3,1）,》=（2,2）,贝!|cos（a+b,a-6〉=（）

A-B.叵C.@D.还

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得忖+闱。-4（。+6〉"6）,从而利用平面向量余弦

的运算公式即可得解.

【详解】因为a=(3,1),6=(2,2),所以a+)=(5,3),a-6=(l,-l),

则,+，卜也。+3?=V34,|<7—Z>|=A/1+I=5/2,(a+b^(a—b^=5xl+3x(―=2,

/----\\a+b\\a-b\2Jp7

所以cos(a+6,a-少=\一编一.一尸二”

'/\a+Ma-b\国x近17

故选：B.

2.（2023,全国甲卷•高考真题）已知向量a,6,c满足同=W=lJc|=&,且d+b+e=0，贝！Icos〈a-c,6-c）=

()

【答案】D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为a+6+c=0,所以5+6=-L

即42+62+24,石=/,即1+1+2：力=2,所以4力=0.

如图，设。4=a,O8=6,OC=C,

C

ADB

由题知,0A=OB=1,OC=6,40AB是等腰直角三角形,

A8边上的高0。=",&。=走，

22

所以8=(70+0。=&+交=逑，

22

tanZAC£>=—=-,cosNACD=

CD3回，

cos{a-c,b-c)-cosNACB=cos2NACD=2cos2ZACD-1

故选:D.

3.(2022•全国新H卷・高考真题)已知向量2=(3,4),「=(1,0),"=。+正,若<a,c>=<b,c>,则，=()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

【详解】解：c=(3+r,4),cos〈a©=cos他©，即一说一=%丁,解得。=5,

故选:C

4.(2020・全国•IWJ考真题)已知向量a,Z?满足1。1=5,|。|=6,a-b=-69则cosva,〃+》>=()

A31c19「17r19

A.--B.--C.—D.——

35353535

【答案】D

【分析】计算出。•(〃+可、的值，利用平面向量数量积可计算出cos<〃,〃+b>的值.

［详解］忖=5,|/?|=6,a•b=—6，.•.々•(Q+0)=W+Q2=52—6=19.

W++刀=+2夕•〃+=^25-2x6+36=7,

a\a+b)1919

因止匕，cos<a,a+b>=■[—[—；-----r=-~~~=—.

\a\-\a+t\5x735

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算,

考查计算能力，属于中等题.

5.(2019•全国•高考真题)已知非零向量〃”满足M=2”，且则£与人的夹角为

71712兀5兀

A.B.C.—D.

~673~6

【答案】B

【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计

算等数学素养.先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量

夹角.

...2,a-b|邸1

【详解】因为(a-b)_Lb，所以(4_力心=°力一万'=0，所以a/=/，所以c°se=DpW=5而=5，所以a

与B的夹角为g，故选B.

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余

弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为［0,兀］.

6.(2016•全国•高考真题)已知向量84=(；当揽=g,；),则NABC二

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】A

_x___।__xr~

【详解】试题分析：由题意，得cos/ABC=BABC_2_^_=V3,所以NABC=30。，故选A.

网|叫1x12

【考点】向量的夹角公式.

【思维拓展】(1)平面向量。与b的数量积为a-Q|aM|cos6,其中。是。与匕的夹角，要注意夹角的定义和

州物

它的取值范围：0W6W180；(2)由向量的数量积的性质知⑷=«区，----，aRO=a_L6,

Ml阈

因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题.

二、填空题

7.(2022,天津考真题)在ABC中，CA=a,CB=b，。是AC中点，CB=2BE,试用a,b表示DE为

若AB上DE，则/ACB的最大值为

31TT

【答案】y

226

【分析】法一:根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE，以｛。，可为基底，表示出胆庞，由旗JLDE

可得3b\a=4b-a＞再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),B(l,0),C(3,0),A(x,y),由AB，DE可得点A的轨迹为

以M(T,0)为圆心，以厂=2为半径的圆，方程为(x+Il+产=4,即可根据几何性质可知，当且仅当C