正弦定理、余弦定理（8题型分类）-2025年高考数学一轮复习（解析版）

专题21正弦定理、余弦定理7题型分类

彩题如工总

彩先例宝库

i.正弦定理、余弦定理

在AABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

=庐+02-22CCOSA;

a_____b_____c___

内容sinA_sinB-sinC~2R庐=。2+〃2-2。加05B;

/=层+62-2〃/7cosC

(l)a=2EsinA,

b=2RsinB,

〃+，一/

c=22sinC；cosA—2bc；

a

(2)sinA=2^,c2+tz2—/?2

变形cosB-2ac；

bc

sinB=2R,sinC=层+一—。2

cosC~lab

(3)。：b：c

=sinA:sin3：sinC

2.三角形解的判断

A为锐角A为钝角或直角

ccc

a

图形

匕r八一4

、一

4BA8'B4B

关系式〃=bsinAbsinA<a<ba,ba>b

解的个数一解两解一解一解

3.三角形中常用的面积公式

(1)5=%儿(总表示边〃上的高)；

(2)S=T〃bsinC=；〃csinB=^bcsinA；

(3)S=；r(〃+/?+c)(r为三角形的内切圆半径).

4.在△ABC中，常有以下结论：

(1)ZA+ZB+ZC=K.

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

(3)6Z>/?<4A>B<4sinA>sinB,cosA<cosB.

,।।।.A+BCA+B.C

(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=_cosC；tan(A+B)=_tanC；sin--=cosy；cos-,-=sin,

⑸三角形中的射影定理

在AA3c中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=/?cosA+tzcosB.

(6)三角形中的面积Sp(p—a)(p—b)(p—c^p=^a+/?+c)\

5.测量中的几个有关术语

术语名称术语意义图形表示

在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂目标

/视线

铅/血角水平

平面内）所成的角中，目标视线在水平视线垂

仰角与俯角线角—视线

上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下、目标

方的叫做俯角视线

从某点的指北方向线起按顺时针方向到北］

1135°并

方位角目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位

角。的范围是0°W8<360。

北

正北或正南方向线与目标方向线所成的

方向角例：（1）北偏东a：

锐角，通常表达为北（南）偏东（西）a北|

~~-

（2）南偏西a：/T

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（。

为坡角）;坡面的垂直高度与水平长度之比

坡角与坡比

、,h

叫坡比（坡度），即i=7=tan。I

彩得题被籍

（一）

利用正弦定理、余弦定理解三角形

解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边

的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

题型1:利用正弦定理、余弦定理解三角形

1-1.（2024・天津）在ABC中，角A,8,C所对的边分别是°,瓦c.已知〃=风力=2,44=120.

⑴求sinB的值；

（2）求c的值；

（3）求sin（B-C）的值•

【答案】⑴巫

13

⑵5

⑶一拽

26

【分析】（1）根据正弦定理即可解出;

（2）根据余弦定理即可解出；

（3）由正弦定理求出sinC,再由平方关系求出cosBcosC,即可由两角差的正弦公式求出.

a_bA/392冷刀《日.nA/O

【详解】（1）由正弦定理可得,即0N------=-----f角牛于•sinB=------

sinAsinBsin120sinB13

（2）由余弦定理可得，a2^b2+c2-2bccosA,即39=4+c?一2x2xcx

解得：c=5或c=—7（舍去）.

（1c>/39

（3）由正弦定理可得，--=^-,即=—,解得：sinC=而4=120。

sinAsinCsin120sinC26

所以反C都为锐角，因此cosC=、1^=3屈cosB=J1--:2屈

V5226V1313

,、J133A/392屈5而773

sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC=~^~>--------X=-

2613---26~26~'

jr5冗

1-2.（2024高三上•江西赣州•期中）在ABC中,角ABC所对的边分别为若〃=4,4丁。=五

则6=（）

A.2石B.2A/5C.D.6

【答案】C

【分析】三角形三内角和为兀，故可求角3,利用正弦定理即可求6.

因为人弋。*所以人…后,

【详解】

”.兀.

4xsin—4x——

ab〃sinB3

因为,所以。=卡=2瓜

sinAsinB81"吟

2

故选：C.

1-3.（2024•河南•三模）在ABC中，角A,8,C的对边分别为°,6,c,若sinA=sin3cosC且0=26，A=-,

6

贝ij一£±£一=（）

sinC+sinA

A.8A/3B.4/C.8D.4

【答案】D

【分析】由sin（3+C）=sin3cosc可得cos3sinC=0,求出。=4，利用正弦定理可得答案.

【详解】在ABC中，由sinA=sin3cosc可得sin（B+0=sinjBcosC,

即sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC

所以cosBsinC=0,因为3,C£（0,兀）,

所以sinCw0,且cos3=0,

所以5=又A=?,可得C=1,

263

c+a_c_2A/3

由正弦定理可得sinC+sinAsinC

故选：D.

彩健题海籍

(二)

正弦定理、余弦定理的简单应用

1.判断三角形形状的两种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

(2)化南：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+2+C=兀这

个结论.

2.三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S=5bsinC=2<?csinB=^bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

3.在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角

形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角

度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可.若

研究最值，常使用函数思想.

题型2:三角形的形状判断

nhc

2-1.(2024高三•全国•专题练习)在，ABC中，设命题p：三，命题“：ABC是等边三角

sinCsinAsinB

形，那么命题p是命题g的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.

【详解】解：由正弦定理可知三二二二三,".i'2..abc

yf~|——

smAsinBsmCsinCsinAsinB

即a=tc,b=ta,c=bt,

即abc=t3abc,即t—1,

则a=Z?=c,即ABC是等边三角形，

若，ABC是等边三角形，则A=B=C=g,则」)=刍=—==1成立,

3sinCsmAsinB

即命题P是命题q的充要条件,

故选：C.

2-2.(2024・甘肃酒泉•三模)在一/RC中内角A,5,C的对边分别为a,瓦c,若(=包生£场，贝|的形

bsinBcosA

状为()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【分析】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得(/-62),2+62—C2)=0,即可判断一ABC的

形状.

11

**2_22A-r—h

【详解】由正弦定理，余弦定理及片cosAsinSu从cosBsinA得，4，b=b-"

2bc2ac

:.a2[b1+c2-a2)=Z?2(a2+c2-b2^,即a4-b4+c1{b2-a2)=0,

贝I](a2+/72)(a2-Zj2)+c2(Z?2-a2)=0,gp(a2-Z?2)(a2+b2-c2)=0,

.•.。=3或1+62=°2,..ABC为等腰三角形或直角三角形.

故选：D.

2-3.(2024•四川绵阳•三模)在_ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,且c—AosA<0,则ABC

形状为()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】使用正弦定理和两角和的正弦公式花间即可求解.

【详解】c-Z?cosA<0,

所以由正弦定理可得2RsinC—2Rsin8cosA<0

所以sinC-sinBcosA<0,

所以sin（A+3）-sin3cosA<0,

所以sinAcosB+cosAsin8-sinBcosA<0,

所以sinAcosB<0,

在三角形中sinA>0,

所以cosB<0,

所以3为钝角，

故选：C.

2-4.（2024高一下•江苏苏州•期中）在二ABC中，若〜叱/,贝的形状为（）

c•cosBl-cos2C

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】D

【分析】根据正弦定理或三角恒等变换，记得判断"C的形状.

b-cosCsinBcosCl-cos2B2sin2B

【详解】由正弦定理，以及二倍角公式可知,

c-cosBsinC-cosBl-cos2C2sin2C

即_sin',整理为sinBcosB=sinCeosC,

cosBsinC

即Lsin28=4sin2C,得2B=2C,或2B+2C=180n3+C=90,

22

所以ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.

故选：D

2-5.（2024高一下•陕西西安・期中）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若"=c?+/一.,

且sinA=2sinC,贝!!ABC的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【分析】先利用余弦定理求出角B,再根据正弦定理化角为边，再结合已知求出人，即可得解.

【详解】因为〃=c2+a2—ca=c2+a2—2cacosB,

所以cos3=，,

2

又3«0,兀)，所以8=(

因为sinA=2sinC,由正弦定理得a=2c,

贝ljb*2*6=c2+a2-ca=c2+4c2-2c2=3c2,

则k+。2=",

7T

所以ABC为有一个角为§的直角三角形.

故选：B.

题型3：三角形的面积、周长

3-1.(2024高三上•广东•期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

2档acsin3=(a+6+c)(a+b-c).

⑴求角C的大小；

(2)若a+b=7,"C的面积为2班，求..AfiC的周长.

【答案】(1)C=1

⑵12

【分析】(1)利用三角形的面积公式及余弦定理变形整理可得答案；

(2)先利用面积公式求必，再利用余弦定理求。，则面积可求.

【详解】(1)因为2gacsin5=(a+Z?+c)(a+b—c)=a2+/+2"—。2,

又S=—acsinB=—absinC,

22

所以2点〃。sinC=a2+b2+lab-c2,

整理得出sinC-l="+"———=cosC，

lab

即

因为o<c<兀，所以一〈.，

o66

所以c—g=

66

则c.；

（2）由（1）得S=工absinC=走~ab=2布,

24

得而=8,

21

所以。2="+/-2abcosC=+-2ab-2abcosC=49-16-16x—=25,

所以c=5,

所以ABC的周长为12.

^22_2

32（2024・全国）记.ABC的内角A5,C的对边分别为〃也c,已知^--------=2.

cosA

⑴求be；

,acosB-bcosAb〕

⑵若——―r—-二1，求一ABC面积•

amsB+bcosAc

【答案】（1）1

⑵W

4

【分析】（1）根据余弦定理即可解出；

（2）由（1）可知，只需求出sinA即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出.

【详解】（1）因为〃=62+C2—26CCOSA,所以』2+C?-J26CCOSA=2仆2,解得：bc=l.

cosAcosA

/、,十分…EfQcos3-bcosAbsinAcosB-sinBcosAsinB

（2）由正弦定理可得-----------=—;——-————---—

acosB+bcosAcsinAcosB+smBcosAsine

sin（A-B）sinBsin（A-B）-sinB

"sin（A+B）-sm（A+B）-sin（A+B）一'

变形可得：sin（A-B）-sin（A+B）=sinB,即一2cosAsin5=sin5,

W0<sin,所以cosA=—」，又OVAVTI,所以sinA=走，

22

故LABC的面积为S%c=；bcsinA=gxlx*=¥.

3-3.（2024•浙江）在，ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=&c,cosC=g.

⑴求sinA的值；

⑵若b=ll,求ABC的面积.

【答案】⑴

5

(2)22.

【分析】（1）先由平方关系求出sinC,再根据正弦定理即可解出；

（2）根据余弦定理的推论cosC=以及4a=可解出。，即可由三角形面积公式S=（a6sinC求

2ab2

出面积.

34I—

【详解】（1）由于cosC=丁.0<C<71,则sinC=1.因为4〃=J^c,

由正弦定理知4sinA=J^sinC,则sinA=¥^sinC=.

21621[a

（2）因为4a=&c,由余弦定理，得「a2+b2-c2a'+^-Ja'口一53,

2ab22a2a5

4

即〃2+6〃-55=0,解得a=5,[fusinC=—,b=ll,

114

所以ABC的面积S=—MsinC=—x5xllx—=22.

225

7T

3-4.（2024高三下•重庆沙坪坝•阶段练习）在ASC中，。为上的中点，满足/A4O+/AC2=升

⑴证明：ABC为等腰三角形或直角三角形；

（2）若角A为锐角，E为边AC上一点，AE=2EC,BE=2,BC=#,求ABC的面积.

【答案】（1）证明见解析；

（2）返.

4

【分析】（1）设NACB=c，ZABC=0,由正弦定理可得黑=丝2,黑=吧7，

BDcosaCDcosp

根据二倍角正弦公式和正弦函数性质证明C=乃或a+S=T即可；

（2）由余弦定理列方程求CE,AC,再求/ACB的余弦值和正弦值，再利用三角形面积公式求解.

TT

【详解】（1）因为/姑。+/472=不，

JT

所以/C4Q+/A3C=兀一N3AD—NAC3=—,

2

设NACB=(z,^ABC=/3,

TTTV

贝|J/5A£)=——a,ZCAD=——B,

22

ADBDBD

在△ABZ)中，由正弦定理可得sin4.(7i)cosa,

(2)

所以处=包也，

BDcosa

AD_CD_CD

A

在.、ACE）中，由正弦定理可得sina—sin|COSB

又BD=CD,

—,sinBsina

所以一~=-

cosacosp

所以sin/7cos/7=sinacosa,

所以sin2a=sin2/3,

所以2。一2/7=2E或2a+2月=2也+九，左eZ,

又a,〃e(O,兀)，a+y0G(O,7i),

JT

所以□=;?或a+夕=5,

TT

即？ACB?ABCZACB+ZABC=-,

2

TT

所以？ACB?ABC或N8AC=—,

2

所以ASC为等腰三角形或直角三角形；

(2)因为角A为锐角，由(1)可得NABC=/ACB,

所以AB=AC,设A3=3x,贝l|AC=3x,

因为AE=2EC,所以CE=x,

f'R2+CF2-RF2

在,BCE中，由余弦定理可得cos/3CE=c。——

2CBCE

在V3c4中，由余弦定理可得cos/BCA=+。下一

2CBCA

XBE=2,BC=A/5

所以5+/-45+91-9/

2x^/5xx2xy/5x3x

所以x=,cosZBCA=,

312

所以sin=

12

所以ASC的面积S=LcB-CAsin/2CA=LxJ^xJ^xM^=叵.

22124

3-5.（2024•北京）在，ABC中，a+6=ll,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求:

(0)a的值:

(ffl)sinC和.ABC的面积.

条件①：c=7,cosA=-y；

条件②：cosA=icosB=-^.

8lo

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】选择条件①（0）8（0）sinC=/,S=6g;

选择条件②（回）6（回）sinC='，S=^~.

【分析】选择条件①（0）根据余弦定理直接求解，（回）先根据三角函数同角关系求得sinA,再根据正弦定

理求sinC,最后根据三角形面积公式求结果；

选择条件②（0）先根据三角函数同角关系求得sinA,sing,再根据正弦定理求结果，（回）根据两角和正弦

公式求sinC,再根据三角形面积公式求结果.

【详解】选择条件①(0)c=7,cosA=-^,a+b=\\

a2=&2+c2-2/7ccosA.-.a2=(ll-fl)2+72-2(ll-a)-7.(-1)

。=8

(回),cosA=,A£(0,TT)「.sinA=Jl—cos?A=、正

77

「杷

___a____=_____c___,___8____=____7____•c.in(=____

由正弦定理得：sinAsinC..迪sinC,2

S=-tesinC=-(ll-8)x8x^=6>/3

222

ig

选择条件②(团)­,cosA=-,cosB=—,A,Be(0,TI)

816

sinA=-cos2A=,sinB=Jl-cos2B=§币

816

__a__—__b___■_a___—_1_1_-_6_/•0—,6

由正弦定理得：sinAsin33币5币

~S~~L6~

(回)sinC=sin(A+5)=sinAcosB+sinBcosA=x—+x—=-

8161684

c1A.「1,、、久、久币15a

S=-basmC=—(ll-6)x6x——=-------

2244

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.

3-6.(2024•全国)在ABC中，已知NA4C=120。，AB=2,AC=1.

⑴求sinNABC；

（2）若。为8C上一点，且NB4D=90。，求AWC的面积.

【答案】（得;

(2)f

【分析】（1）首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=g,然后由余弦定理可得cosB=迈，最后由同角

14

三角函数基本关系可得sin5=—；

14

（2）由题意可得沁^=4,则/ACD=：S-BC，据此即可求得八包。的面积.

【详解】（1）由余弦定理可得：

BC2=a2=b2+c2—2Z?ccosA

=4+l-2x2xlxcosl20=7,

r-i.i八6/2+c2—b27+4—15^/7

贝1JBC=J7,cosB=--------------=----------=---------，

lac2x2xj714

q—xABxADxsin90

（2）由三角形面积公式可得浸迪-----------------=4,

△ACD—xACxADxsin30

2

x

则SAACD='1*S1AABC=^x^2xlxsinl20）=噂.

3-7.（2024•吉林长春•模拟预测）已知.ABC中角A,3,C的对边分别为a,6,c,tzcosC+V3asinC-b-c=0.

⑴求A；

（2）若°=A，且，ABC的面积为3相，求「ABC周长.

【答案】⑴巳

（2）7+5/13

【分析】（1）由已知和正弦定理可得答案；

（2）由面积公式和余弦定理可得答案.

【详解】（1）由acosC+6asinC-6-c=0和正弦定理可得sinAcosC+VSsinAsinC-sinB-sinC=0，

sinAcosC+百sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0,

因为0<C<〃，所以sinCwO,

所以出sinA_COsA=l，A*e

A7171,兀

A——/.A=一

66f3

（2）S=-bcsinA=—be=373,be=12,

■ABRC24

又a2=吩+C1—2Z?ccosA={b+cf—2bc—bc=13,

：.b+c=l，

Q+Z?+C=7+Jl3，

的周长为7+g.

题型4:正弦定理、余弦定理的综合应用

4-1.（2024•全国）记AABC的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,已知sinCsin（A-5）=sinBsin（C-A）.

⑴若A=26,求C；

(2)证明：2/=/+c2

【答案】⑴?；

O

⑵证明见解析.

【分析】(1)根据题意可得，sinC=sin(C-A),再结合三角形内角和定理即可解出；

(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcos5-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再

根据正弦定理，余弦定理化简即可证出.

【详解】(1)由A=25,sinCsin(A-B)=sinBsin(C—A)可得，sinCsinB=sini5sin(C-A),jfu0＜B＜—,

所以sinBE(0,1),即有5桁。=5亩(。-4)＞。，而0＜。＜兀,0＜。一4＜九，显然CwC—A,所以，C-bC-A=7i,

5兀

而A=25,A+B+C=7i所以C=—.

f8

(2)由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

sinC(sinAcosB—cosAsinB)=sinB(sinCcosA—cosCsinA),再由正弦定理可得，

accosB-becosA=bccosA-abcosC,然后根据余弦定理可知，

+/一后卜*/+C2_/)+C2"2)_g(/+廿_/)，化简得：

2/=从+©2,故原等式成立.

4-2.(2024・重庆•三模)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为。、b,c,sin(A-B)tanC=sinAsinB.

.._ixCl2+C2

⑴X求，，；

b

2

⑵若cos3=§,求sinA.

【答案】⑴3

【分析】(1)将切化弦，再由差角公式得到sinAcos_BsinC—cosAsin5sinC=sinAsinBcosC,利用正弦、

余弦定理将角化边，即可得证；

(2)由余弦定理及(1)的结论得到a=c,即可得到三角形为等腰三角形，利用二倍角公式公式求出cos与,

2

再由诱导公式计算可得.

【详解】(1)因为sin(A—5)tanC=sinAsinK,

所以sin(A-B)-------=smAsinB,所以sin(A-B)sinC=sinAsinBcosC,

cosC

即sinAcosBsinC-cosAsinBsinC=sinAsinBcosC,

由正弦定理可得accosB-bccosA=abcosC，

由余弦定理可得3=1-a2+b2-c2

=ab-

lab

所以々2+H/_02+.2=/+,

即4+，=3火

所以2=2=3.

b2

（2）由题意可知cos5="———,又片+02=3^2,可得/+。2—2〃0=0,

2ac3

所以〃=c,即ABC为等腰三角形,

,251_2板阳3J30fBV30

由cosB—2cos1-~国牛彳守cos—=-----cos——------------,

232626

因为，所以tja：)g、iBV30

所以cos—二2?一

26

71BB730

所以sinA=sin=cos—=-----

2-2~26

4-3.(2024•全国•三模)已知〃，b,。分别为.ABC的内角A,B,。的对边,a2+c2=ac\3cos2--sin2—

I22

(1)求证：a,b,c成等比数列;

⑵若而鬻而求c。姐的值.

【答案】⑴证明见解析

吗

【分析】(1)使用三角恒等变换及余弦定理化简得

(2)结合匕2=%及正余弦定理可求cosB的值.

【详解】(1)因为M+c?

1+cosB1-cosB

所以〃2+/=〃C3x

22

所以/+02=々0(I+2cosB).

a2+c2-b2

根据余弦定理，得l+2x

2ac

所以4+。2=。。+々2+。2-〃2.

所以〃=QC.

所以〃，。，C成等比数列.

^22_,2

+C2—CLCa?+/1

(2)由余弦定理，得cosBl

laclaclac2

sin米

因为r所以由正弦定理，得上】

sin?A+sin2c

3

所以

4

141

所以cosB=—x--------

2326

题型5:与平面几何有关的问题

5-1.（2024高三上•北京丰台,期末）在团ABC中，a=&,A=g.

⑴求C的大小；

（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使，ABC存在且唯一确定，并求出AC边上的中线的长度.

条件①：a=2b；条件②：团ABC的周长为4+26；条件③：回ABC的面积为6.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

【答案】⑴£

0

⑵选择条件②或③，不

【分析】（1）由正弦定理可解得；

（2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得.

【详解】（1）在ABC中，因为三=三;，又。=辰,所以sinA=J^sinC.

sinAsinC

因为A=T27r，所以sinC=；I.

7T

因为0<c<W，所以c=$TT.

36

⑵选择条件②：因为MC中，A=营，C=B，A+B+C=n,

36

所以8=9即MC为等腰三角形，其中b=c.

0

因为。=技，所以。+6+。=•+28=4+26.

所以6=2.

设点。为线段AC的中点，在△ABO中，AD=\.

A

因为△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosABAD

2-rr

=22+12-2X2X1XCOS——=7,

3

所以BD=沂,即AC边上的中线的长度为⑺.

选择条件③：因为,ABC中，A=§,C=gA+B+C=n,

所以8=9即ABC为等腰三角形，其中b=c.

O

因为ASC的面积为6，即S.c=：物^11事=石，

所以b=c=2.

设点。为线段AC的中点，在△ABD中，AD=1.

因为△ABO中，BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosABAD

=22+12-2x2xlxcos—=7,

3

所以BD=布,即AC边上的中线的长度为近.

由题可知〃=廊，故①不合题意.

52（2024・全国•模拟预测）在型4BC中，内角4民。所对的边分别为。也c,已知

A

cos23cos2c+1-2cos92—=sin2Bsin2C.

2

⑴求A的值；

（2）若ABC的面积为36,0=2旧,£）为边改?的中点，求4）的长.

【答案】⑴号2兀

⑵近

【分析】（1）由两角和的余弦公式、二倍角余弦及诱导公式化简可得结果，

（2）根据三角形面积公式、余弦定理及平面向量的模进行计算可得结果.

AA

【详解】（1）13cos2Bcos2C+1=2cos2—+sin2Bsin2C,所以cos（25+2C）=2cos2万一1,

所以cos（2兀-24）=cosA,所以2cos2A-l=cosA,

所以cosA=-；或cosA=l（舍去）.因为4«0,兀），所以4=等.

（2）因为ABC的面积为3VL所以;bcsing=3有，所以乩=12.

因为a=2y/l3）所以+c'—2bccos=52,即b1+c2+be=51>

所以62+/=40.因为。是BC的中点，所以AD=5（AB+AC）,

222

所以,邛=1+C+2Z?CCOSA）=I（Z?+c-&c）=7,所以|因=々，

故AD的长为77.

5-3.（2024•湖南株洲•一模）在cABC中，8c=2右，点。在边上，且NBCD为锐角，CD=2,/\BCD

的面积为4.

⑴求cosNBCD的值；

（2）若A=30。，求边AC的长.

【答案】⑴cosN8cz>=坐

（2）AC=4

【分析】（1）借助面积公式表示出△38面积即可计算得sin/BCD,借助同角三角函数基本关系即可得

cosZ.BCD；

（2）由余弦定理可计算出80,由勾股定理的逆定理可得CDLAB,结合4=30。计算即可得边AC的长.

【详解】(1)sRCn=-BCxCr