中考数学一轮复习：二次函数综合型问题

题型7二次函数综合型问题

共24题答对—题

＞类型一二次函数与线段和差问题

1.(2017天水12分)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-^2+bx+c(b、c为常数)

的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,—1),点C的坐标为(4,3),直角

顶点B在第四象限.

(1)如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式；

(2)平移⑴中的抛物线,使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为地时，试证明：

平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点；

(3)在(2)的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q,取

BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明

理由.

第1题图

2.(2017河北11分)如图，已知点0(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线1：y=一

1

(x-h)2+l(h为常数)与y轴的交点为C.

(1)若1经过点B,求它的解析式，并写出此时1的对称轴及顶点坐标；

(2)设点C的纵坐标为七，求y,的最大值，此时1上有两点(x,y),(x,y),其中

CC1122

x〉x》O,比较y与y的大小；

1212

(3)当线段OA被1只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值.

第2题图

3.(2017武汉12分)已知抛物线y=；X2+c与x轴交于A(—1,0),B两点,

交y轴于

2

点c.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E(m,n)是第二象限内一点，过点E作EF，x轴交抛物线于点F,过点F作FG，y

轴于点G,连接CE、CF,若/CEF=/CFG,求n的值并直接写出m的取值范围(利用图①完

成你的探究)；

⑶如图②，点P是线段0B上一动点(不包括点0,B),PM，x轴交抛物线于点M,Z0BQ

=N0MP,BQ交直线PM于点Q,设点P的横坐标为t,求4PBQ的周长.

第3题图

3

4.(2017大连12分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴

和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为(2m,m).翻折矩形OABC,使点A与点C重合，得到折

痕DE.设点B的对应点为F,折痕DE所在直线与y轴相交于点G,经过点C、F、D的抛物线

为y=ax2+bx+c.

(1)求点D的坐标(用含m的式子表示)；

(2)若点G的坐标为(0,-3),求该抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，设线段CD的中点为M,在线段CD上方的抛物线上是否存在点P,

使PM=*A?若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由.

第4题图

4

5.(2017河南n分)如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点

的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A,C间的一个动点(含端点)，过点P作PFLBC于点

F.点D,E的坐标分别为(0,6),(-4,0),连接PD,PE,DE.

(1)请直接写出抛物线的解析式；

(2)小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值.进

而猜想：对于任意一点P,PD与PF的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由；

(3)小明进一步探究得出结论：若将“使ZTDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则

存在多个“好点”，且使4PDE的周长最小的点P也是一个“好点”.请直接写出所有“好点”

图①图②

第5题图

5

6.(2017呼和浩特12分)已知：抛物线y=X2+(2m—l)x+m2-1经过坐标原点，

且当x〈0时，y随x的增大而减小.

(1)求抛物线的解析式，并写出y〈0时，对应x的取值范围；

(2)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于

另一点D,再作AB_Lx轴于点B,DC_Lx轴于点C.

①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；

②设动点A的坐标为(a,b),将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的

取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐

标；如果不存在，请说明理由.

6

I类型二二次函数与图形面积问题I

拓展训练试题一一二次函数与图形面积问题

7.(2017安顺14分)如图，抛物线y=ax2+bx+g与直线AB交于点A(—1,0),B(4,

5).点D是抛物线A,B两点间部分上的一个动点(不与点A,B重合)，直线CD与y轴平行，

交直线AB于点C,连接AD,BD.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点D的横坐标为m,4ADB的面积为S,求S关于m的函数关系式，并求出当S

取最大值时的点C的坐标.

第7题图

7

3

8.(2017无锡12分)一次函数y=p的图象如图所示，它与二次函数y=ax2—4ax+c

的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧)，与这个二次函数图象的对称轴交于点C.

(1)求点C的坐标；

(2)设二次函数图象的顶点为D.

①若点D与点C关于x轴对称，且4ACD的面积等于3,求此二次函数的关系式；

②若CD=AC,且4ACD的面积等于10,求此二次函数的关系式.

8

9.(2017桂林12分)如图，已知抛物线y=—；x2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,8)、

B(8,0)和点E,动点C从原点0开始沿0A方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B

开始沿B0方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点0时，

点C、D停止运动.

(1)直接写出抛物线的解析式：;

(2)求4CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式：当t为何值时，4CED的面积

最大？最大面积是多少？

(3)当4CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使4PCD的面积等于

△CED的最大面积，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

第9题图

9

10.(2017深圳12分)如图①，关于X的二次函数y=-xz+bx+c经过点A(—3,0),

点C(0,3),点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上.

⑴求抛物线的解析式;

(2)DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等，若存在，求点P坐标，若不

存在，请说明理由;

⑶如图②，DE的左侧抛物线上是否存在点F,使2sm=3SA,,若存在，求点F坐标,

△rBC△EDC

若不存在，说明理由.

10

类型三二次函数与特殊三角形判定问题

13

11.(2017黔东南州12分)如图，已知二次函数%=—x^+7x+c的图象与x轴的一个

交点为A(4,0),与y轴的交点为B,过A、B的直线为y?=kx+b.

(1)求二次函数y的解析式及点B的坐标；

1

(2)由图象写出满足y<y的自变量x的取值范围；

12

(3)在两坐标轴上是否存在点P,使得4ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求

出P点的坐标；若不存在，说明理由.

第H题图

11

12.(2017兰州12分)已知二次函数y=ax2的图象经过点(2,1).

(1)求二次函数y=ax2的解析式；

(2)一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=axz的图象交于A(x,y)、B(x,y)两点.

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3

①当m=［时(图①)，求证：AAOB为直角三角形；

②试判断当mW］时(图②)，AAOB的形状，并证明；

(3)根据第(2)问，说出一条你能得到的结论.(不要求证明)

12

13.(2017长春12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x—l)2+4与x轴交

于A、B两点，与y轴交于点C,且点B的坐标为(3,0),点P在这条抛物线上，且不与B、

C两点重合.过点P作y轴的垂线与射线BC交于Q,以PQ为边作RtZkPQF,使/PQF=90°,

点F在点Q的下方，且QF=1,设线段PQ的长度为d,点P的横坐标为m.

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；

(2)求d与m之间的函数关系式；

(3)当RtZiPQF的边PF被y轴平分时，求d的值；

(4)以0B为边作等腰直角三角形0BD,当0〈m<3时，直接写出点F落在^OBD的边上时

m的值.

第13题图

13

14.(2017岳阳12分)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(l,0)、B(4,0)、C(0,3)

三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PA0C的周长最小？若存在,

求出四边形PA0C周长的最小值；若不存在，请说明理由.

(3)如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC,在线段BC上是否存在这样的点M,使

△CQM为等腰三角形且ABaM为直角三角形？若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.

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15.(2014临沂13分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(—1,0)和

点B(l,0),直线y=2x—1与y轴交于点C,与抛物线交于点C,D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点A到直线CD的距离；

(3)平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上,抛物线与直线CD的另一个交点为Q,

点G在y轴正半轴上.当以G,P,Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有

符合条件的G点的坐标.

第15题图

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类型四二次函数与特殊四边形判定问题

16.(2017贵阳12分)如图,经过点C(0,—4)的抛物线y=ax?+bx+c(aW0)与x轴

相交于A(—2,0),B两点.

(l)a0,b2-4ac0(填或)；

(2)若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；

(3)在(2)的条件下，连接AC,E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点

F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点所组成的四边形是平行四边形，若存在，

求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由.

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17.(2017毕节10分)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-l,0),B(3,0)两

点，顶点M关于x轴的对称点是.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若直线AM，与此抛物线的另一个交点为C,求4CAB的面积；

(3)是否存在过A、B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q,使得四边形APBQ

为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

第17题图

17

18.(2017陕西10分)在平面直角坐标系中，抛物线y=x?+5x+4的顶点为M,与x

轴交于A、B两点，与y轴交于C点.

(1)求点A、B、C的坐标；

(2)求抛物线y=xz+5x+4关于坐标原点0对称的抛物线的函数表达式；

⑶设⑵中所求抛物线的顶点为“，与x轴交于A，、B，两点，与y轴交于。点.在

以A、B、C、M、A，、、。、这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中

三个不是菱形的平行四边形的面积.

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19.(2017成都12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2—2ax—3a(a<

0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线1：y=kx+b与y轴负半轴

交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.

(1)直接写出点A的坐标，并求直线1的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示)；

(2)点E是直线1上方的抛物线上的动点，若4ACE的面积的最大值为求a的值；

(3)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A,D,P,Q为顶点的四

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4

20.(2014遵义14分)如图，二次函数y=§x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0)、B(—

1,0),与y轴交于点c.若点P、Q网町从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿

AB、AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随即停止运动.

(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标；

(2)当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E,使得以A、E、

Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)当P、Q运动到t秒时，4APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定

此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标.

第20题图

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类型五二次函数与三角形相似、全等问题

21.(2017甘孜州12分)如图,已知抛物线y=ax2—5ax+2(aW0)与y轴交于点C,与

x轴交于点A(l,0)和点B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求直线BC的解析式；

⑶若点N是抛物线上的动点，过点N作NH_Lx轴，垂足为H,以B,N,H为顶点的三

角形是否能够与AOBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理

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22.(2017黔南州12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=—：x2+bx+c过

点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段

MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB.过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线

相交于点D.

(1)求b,c的值；

(2)当t为何值时，点D落在抛物线上；

(3)是否存在t,使得以A,B,D为顶点的三角形与AAOP相似？若存在，求此时t的

值；若不存在，请说明理由.

第22题图

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23.(2017哈尔滨10分)如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=kx+

l(kWO)与x轴交于点A,与y轴交于点C,过点C的抛物线y=ax2—(6a—2)x+b(aW0)与

直线AC交于另一点B,点B坐标为(4,3).

(1)求a的值；

(2)点P是射线CB上的一个动点，过点P作PQ±x轴，垂足为点Q,在x轴上点Q的右