2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（4）教学教案 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（4）教学教案新人教A版必修4主备人备课成员教学内容本节课选自2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.2节，主要围绕正弦函数和余弦函数的性质展开。内容包括：

1.正弦函数的性质：周期性、奇偶性、单调性、最值及图像特征；

2.余弦函数的性质：周期性、奇偶性、单调性、最值及图像特征；

3.比较正弦函数与余弦函数的相同点和不同点；

4.应用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题，如物理振动、波形分析等。核心素养目标本节课旨在培养学生以下核心素养：

1.掌握三角函数的基本性质，提高数学抽象和逻辑推理能力；

2.能够运用数形结合思想，通过图像分析正弦函数和余弦函数的特点，培养直观想象能力；

3.运用正弦函数和余弦函数解决实际问题，提升数学建模和数学应用能力；

4.比较和总结正弦函数与余弦函数的相同点和不同点，培养数据分析与批判性思维。教学难点与重点1.教学重点

-正弦函数与余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值及图像特征的理解与应用；

-正弦函数与余弦函数性质在物理振动、波形分析等实际问题中的应用；

-通过图像分析，掌握正弦函数与余弦函数的相互关系及其转换方法。

举例：讲解正弦函数的周期性时，通过具体例题（如周期性在电子技术中的应用）强调周期T的计算及其意义。

2.教学难点

-正弦函数与余弦函数性质的综合应用，特别是在解决复杂问题时，如何灵活运用性质进行问题分解；

-对正弦函数与余弦函数图像的理解，特别是图像在坐标轴上的变化及其对函数性质的影响；

-在实际问题中，如何建立数学模型，运用正弦函数与余弦函数进行有效分析。

举例：在解决物理振动问题时，指导学生如何将给定的条件转化为数学模型，并运用正弦或余弦函数进行求解，突破模型构建和性质应用的难点。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有新人教A版必修4数学教材，提前布置学生预习本章内容；

2.辅助材料：准备正弦函数与余弦函数的图像、表格、动画等多媒体资源，以便于直观展示函数性质；

3.实验器材：若条件允许，准备示波器等实验器材，让学生观察正弦波和余弦波的形态；

4.教室布置：设置小组讨论区，方便学生进行合作学习；布置多媒体教学设备，确保图像、视频等资源的清晰展示。教学过程1.导入新课

同学们，我们在前面的学习中已经了解了三角函数的基本概念，今天我们将进一步学习正弦函数和余弦函数的性质。请同学们打开教材，翻到第一章三角函数的1.4.2节。

2.复习回顾

首先，我们来复习一下正弦函数和余弦函数的定义。正弦函数的定义是：在直角三角形中，正弦值等于对边长度与斜边长度的比值。余弦函数的定义是：在直角三角形中，余弦值等于邻边长度与斜边长度的比值。那么，正弦函数和余弦函数的图像是怎样的呢？

3.课堂探究

（1）正弦函数的性质

请同学们观察教材中正弦函数的图像，我们可以看到，正弦函数的图像是一条波浪形的曲线。下面我们一起探究正弦函数的性质。

①周期性：正弦函数的周期是多少？我们可以从图像中观察到，正弦函数在每一个周期内重复相同的波形。答案是：正弦函数的周期是2π。

②奇偶性：正弦函数是奇函数还是偶函数？我们可以通过代入x和-x的值来判断。sin(-x)=-sin(x)，说明正弦函数是奇函数。

③单调性：正弦函数在哪些区间上是单调递增或单调递减的？我们可以观察图像，得出正弦函数在[0,π/2]和[3π/2,2π]上是单调递增的，在[π/2,3π/2]上是单调递减的。

④最值：正弦函数的最大值和最小值分别是多少？从图像上我们可以看出，正弦函数的最大值是1，最小值是-1。

（2）余弦函数的性质

①周期性：余弦函数的周期是多少？同样地，我们可以观察图像得出，余弦函数的周期是2π。

②奇偶性：余弦函数是奇函数还是偶函数？通过代入x和-x的值，我们发现cos(-x)=cos(x)，说明余弦函数是偶函数。

③单调性：余弦函数在哪些区间上是单调递增或单调递减的？观察图像，我们可以得出余弦函数在[0,π]上是单调递减的，在[π,2π]上是单调递增的。

④最值：余弦函数的最大值和最小值分别是多少？从图像上可以看出，余弦函数的最大值是1，最小值是-1。

4.应用举例

学习了正弦函数和余弦函数的性质，我们来解决一些实际问题。

例题1：已知一个物体做简谐振动，其位移函数为s(t)=3sin(2πt)，求物体的振动周期。

解：由正弦函数的周期性可知，周期T=2π/ω，其中ω为角速度。根据位移函数s(t)=3sin(2πt)，我们可以得出ω=2π。代入公式，得到T=2π/(2π)=1。所以，物体的振动周期是1秒。

5.总结

本节课我们学习了正弦函数和余弦函数的性质，包括周期性、奇偶性、单调性、最值等。通过观察图像和解决实际问题，我们更好地理解了这些性质。下面请同学们进行课堂练习，巩固所学内容。

6.课堂练习

（1）画出正弦函数和余弦函数的图像。

（2）判断正弦函数和余弦函数的奇偶性。

（3）计算以下函数的周期：y=4sin(πx)和y=5cos(2πx)。

7.课后作业

（1）教材习题1.4.2的第1、2、3题。

（2）思考题：正弦函数和余弦函数在生活中的应用。学生学习效果1.知识与技能：

-学生能够理解并掌握正弦函数和余弦函数的性质，包括周期性、奇偶性、单调性、最值等；

-学生能够绘制正弦函数和余弦函数的图像，并能够识别其在不同区间的特点；

-学生能够运用正弦函数和余弦函数的性质解决实际问题，如简谐振动、波形分析等；

-学生能够通过数形结合的方法，分析并解决与三角函数相关的数学问题。

2.过程与方法：

-学生通过观察图像、分析性质，培养直观想象能力和数据分析能力；

-学生在解决实际问题的过程中，学会建立数学模型，提高数学建模能力；

-学生通过小组讨论和合作学习，提高沟通和协作能力；

-学生在课堂练习和课后作业中，巩固所学知识，形成系统的知识体系。

3.情感态度与价值观：

-学生在学习过程中，体会到数学的严谨性和逻辑性，增强对数学学科的兴趣和信心；

-学生通过解决实际问题，认识到数学在生活中的广泛应用和价值；

-学生在探索和研究三角函数性质的过程中，培养勇于探究、善于思考的科学精神；

-学生在团队合作中，学会尊重他人、倾听意见，培养良好的团队协作精神。

4.具体表现：

-在课堂互动中，学生能够积极参与，回答问题准确，表现出对正弦函数和余弦函数性质的理解；

-在课堂练习和课后作业中，学生能够独立完成相关题目，正确率较高；

-在小组讨论中，学生能够主动发表见解，与同伴交流，共同解决问题；

-在解决实际问题时，学生能够运用所学知识，提出合理的解决方案。课后拓展1.拓展内容

-阅读材料：《三角函数在工程中的应用》，了解正弦函数和余弦函数在电子工程、机械工程等领域的应用。

-阅读材料：《简谐振动的数学模型》，深入学习简谐振动的基本概念和数学建模方法。

-视频资源：《三角函数图像的绘制》，观看如何利用数学软件绘制正弦函数和余弦函数的图像。

-实践活动：观察生活中存在的周期性现象，如秋千、钟摆等，尝试运用三角函数进行建模和分析。

2.拓展要求

-鼓励学生利用课后时间阅读相关材料，加深对正弦函数和余弦函数性质的理解；

-学生可以自行观看视频资源，学习绘制三角函数图像的方法；

-教师在课后为学生提供必要的指导和帮助，解答学生在自主学习过程中遇到的疑问；

-鼓励学生参与实践活动，将所学知识应用到实际情境中，提高数学建模能力；

-学生在完成拓展内容后，可将自己的学习心得和体会与同学分享，促进共同进步。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在教学中，我采用了数形结合的方法，通过图像直观地展示了正弦函数和余弦函数的性质，增强了学生的直观想象能力。

2.结合实际生活中的例子，如简谐振动、波形分析等，引导学生将所学知识应用于实际问题，提高了学生的数学建模能力。

（二）存在主要问题

1.在教学过程中，我发现部分学生对正弦函数和余弦函数的周期性理解不够深入，需要我在今后的教学中进一步强调和解释。

2.在课堂练习环节，学生之间的互动和讨论不够充分，部分学生参与度不高。

（三）改进措施

1.针对周期性理解不足的问题，我计划在今后的教学中，通过更多的生活实例和实际问题，让学生在实际情境中体会周期性的概念。

2.为了提高学生的参与度和互动性，我将在课堂练习环节增加小组讨论和合作学习的比重，鼓励学生主动发表观点，加强同伴之间的交流。

此外，我还将关注以下方面的改进：

1.在教学方法上，尝试引入更多的教学手段，如数学软件、实验器材等，让学生在操作实践中更好地理解三角函数的性质。

2.在教学评价方面，关注学生的个体差异，针对不同学生的需求和水平，给予个性化的指导和鼓励。

3.在校企合作方面，积极探索与相关企业合作，邀请专业人士来校讲座，让学生了解三角函数在实际工程中的应用。课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天我们学习了正弦函数和余弦函数的性质，包括周期性、奇偶性、单调性、最值等，并通过图像和实际问题加深了对这些性质的理解。正弦函数和余弦函数在生活和工程中有着广泛的应用，通过本节课的学习，我们能够更好地运用这些函数解决实际问题。

当堂检测：

一、填空题：

1.正弦函数的周期是____，余弦函数的周期是____。

2.正弦函数是____函数，余弦函数是____函数。

3.正弦函数在区间[0,π/2]上是____，在区间[π/2,3π/2]上是____。

4.正弦函数和余弦函数的最大值是____，最小值是____。

二、选择题：

1.以下哪个选项是正弦函数的正确描述？