高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第08讲：拓展一：基本不等式(原卷版+解析)

第08讲：拓展一：基本不等式目录TOC\o"1-2"\h\u基本不等式必背知识 1基本不等式高频考点类型 3类型一：直接法 3类型二：凑配法 6类型三：分离法 8类型四：换元法 11类型五：常数代换“1”的代换 13类型六：消元法 16类型七：对钩函数 18温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头基本不等式必背知识1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果，，，当且仅当时，等号成立．②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．2、两个重要的不等式①（）当且仅当时，等号成立．②（）当且仅当时，等号成立．3、利用基本不等式求最值①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；4、对钩函数：对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：（）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等.函数（）常考对钩函数（）定义域定义域值域值域奇偶性奇函数奇偶性奇函数单调性在，上单调递增；在，单调递减单调性在，上单调递增；在，单调递减5、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.①凑：凑项，例：；凑系数，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代入：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.解析：，即，解得.基本不等式高频考点类型类型一：直接法典型例题例题1．（2023·高一课时练习）下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．例题2．（2023·高一课时练习）下列命题中，正确的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是2 D．的最小值是2例题3．（多选）（2022秋·广东江门·高一新会陈经纶中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．当时，B．若，则的最小值是C．当时，D．的最小值是练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）当时，的最大值为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三对口高考）下列结论正确的是（

）A．有最小值2 B．有最小值2C．时，有最大值-2 D．时，有最小值23．（2022秋·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）下列几个不等式中，不能取到等号的是（

）A． B．C． D．类型二：凑配法典型例题例题1．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知，则的最小值为（

）A． B．4C． D．例题2．（2023秋·浙江·高三校联考期末）已知，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11例题3．（2023秋·山西吕梁·高一统考期末）设，，，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．例题4．（2023秋·安徽六安·高一金寨县青山中学校考期末）已知，则的最小值为（

）A．8 B．10 C．12 D．14练透核心考点1．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）已知，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023秋·河南焦作·高二温县第一高级中学校考期末）已知函数，则此函数的最小值等于（

）A． B． C． D．3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知，则的最小值是________；4．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知函数，且.(1)求a的值；(2)当x>1时，求函数f(x)的最小值．类型三：分离法典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取最小值，则（

）A． B．2 C．4 D．6例题2．（2022秋·云南楚雄·高一云南省楚雄第一中学校考阶段练习）函数的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12例题3．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）函数的值域是__________．练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）若，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值22．（2023·全国·高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________.3．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）已知，的最小值为____________.4．（2022秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）求函数的最小值．类型四：换元法典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．例题2．（2022秋·福建泉州·高三校联考期中）函数在上的最大值为_______________．例题3．（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为________.练透核心考点1．（2022秋·湖北襄阳·高三枣阳一中校考阶段练习）函数的最小值为______．2．（2022春·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）函数的最小值为___．类型五：常数代换“1”的代换典型例题例题1．（2023春·河南信阳·高一统考开学考试）若，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例题2．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．3 B．5 C．8 D．9例题3．（2023春·天津·高三校联考期末）已知，则的最小值为__________.练透核心考点1．（2023春·海南·高一统考学业考试）设，，且，则的最小值为（

）A．4 B． C．5 D．2．（多选）（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（

）A．的最大值是1 B．的最小值是4C．的最大值是 D．的最小值是13．（2023·贵州贵阳·统考一模）正实数a，b满足，则的最小值为__________．类型六：消元法典型例题例题1．（2023秋·天津·高三统考期末）若，，，则的最小值为_______．例题2．（多选）（2023秋·安徽黄山·高一统考期末）已知、，，则下列说法正确的是（

）A．， B．的最小值为8C．的最小值为3 D．的最小值为4练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（

）A．有最小值为+1 B．有最小值为+1 C．有最小值为 D．有最小值为42．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．3类型七：对钩函数典型例题例题1．（2023春·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知，则函数（

）．A．有最小值4 B．有最大值4 C．无最小值 D．有最大值5例题2．（2023·高一课时练习）下列函数的最小值为2的是（

）A． B．C． D．例题3．（2023秋·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）若，则的取值范围为__________．练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）下列不等式一定成立的是（

）A． B．（其中）C． D．（其中）3．（2023·高一课时练习）已知函数，，若存在，对任意，使得，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．（1，4）第08讲：拓展一：基本不等式目录TOC\o"1-2"\h\u基本不等式必背知识 1基本不等式高频考点类型 3类型一：直接法 3类型二：凑配法 6类型三：分离法 8类型四：换元法 11类型五：常数代换“1”的代换 13类型六：消元法 16类型七：对钩函数 18温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头基本不等式必背知识1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果，，，当且仅当时，等号成立．②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．2、两个重要的不等式①（）当且仅当时，等号成立．②（）当且仅当时，等号成立．3、利用基本不等式求最值①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；4、对钩函数：对钩函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如：（）的函数.由图象得名，又被称为：“双勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”、“耐克函数”等.函数（）常考对钩函数（）定义域定义域值域值域奇偶性奇函数奇偶性奇函数单调性在，上单调递增；在，单调递减单调性在，上单调递增；在，单调递减5、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.①凑：凑项，例：；凑系数，例：；②拆：例：；③除：例：；④1的代入：例：已知，求的最小值.解析：.⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.解析：，即，解得.基本不等式高频考点类型类型一：直接法典型例题例题1．（2023·高一课时练习）下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】A.当时，，故错误；B.，当且仅当，即时，取等号，故正确；C.当时，，故错误；D.由重要不等式得，故错误；故选：B例题2．（2023·高一课时练习）下列命题中，正确的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是2 D．的最小值是2【答案】B【详解】对于A，D：不能保证x>0，故错；对于B：，当且仅当x=0时取等号，故正确；对于C:，令，则，则，,所以上是增函数，所以在上的最小值是，故C错;故选：B例题3．（多选）（2022秋·广东江门·高一新会陈经纶中学校考阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．当时，B．若，则的最小值是C．当时，D．的最小值是【答案】BC【详解】若，则，显然不满足，A错误；若，则，当且仅当时取等号，最小值是，B正确；若，则，当且仅当时取等号，最小值是，C正确；若，则，当且仅当即时取等号，显然无解，故取不到最小值，D错误.故选：BC.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）当时，的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，又，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为故选：B2．（2023·全国·高三对口高考）下列结论正确的是（

）A．有最小值2 B．有最小值2C．时，有最大值-2 D．时，有最小值2【答案】C【详解】解：对于A，没有说是正数，所以可以取到负值，故A错误；对于B，要取到最小值2，需满足，此时，不可能成立，故B错误；对于C，，，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，，故D错误．故选;C.3．（2022秋·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）下列几个不等式中，不能取到等号的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】对A，当且仅当即等号成立；对B，当且仅当即等号成立；对C，当且仅当即时等号成立；对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立．故选：D．类型二：凑配法典型例题例题1．（2023秋·广东广州·高一统考期末）已知，则的最小值为（

）A． B．4C． D．【答案】D【详解】因为，则，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：D例题2．（2023秋·浙江·高三校联考期末）已知，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【详解】因为，所以由，当且仅当时取等号，即时取等号，故选：B例题3．（2023秋·山西吕梁·高一统考期末）设，，，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以＝，当且仅当，即时等号成立，故选：C.例题4．（2023秋·安徽六安·高一金寨县青山中学校考期末）已知，则的最小值为（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【详解】因为,,当且仅当，即时取得等号，即的最小值为12，故选：C练透核心考点1．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）已知，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】因为，所以，则（当且仅当，也即时取等号）所以的最小值为，故选：.2．（2023秋·河南焦作·高二温县第一高级中学校考期末）已知函数，则此函数的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：D.3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知，则的最小值是________；【答案】3【详解】，当，即时取等号，又，故当时取得最小值.故答案为：3.4．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）已知函数，且.(1)求a的值；(2)当x>1时，求函数f(x)的最小值．【答案】(1)4(2)5【详解】（1）由题意可得：，解得.（2）由（1）可得：，∵，则，∴，当且仅当，即时等号成立，所以，函数f(x)的最小值为5.类型三：分离法典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在处取最小值，则（

）A． B．2 C．4 D．6【答案】C【详解】由题意，，而，当且仅当，即时，等号成立，所以.故选：C.例题2．（2022秋·云南楚雄·高一云南省楚雄第一中学校考阶段练习）函数的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】A【详解】因为所以，(当且仅当即时，等号成立故最小值为，故选：A例题3．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）函数的值域是__________．【答案】【详解】当时，当，.若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即.若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即.综上所述，函数的值域为.故答案为：练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）若，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【详解】∵，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.故选：D.2．（2023·全国·高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】因为对任意，恒成立，只需满足，因为，所以，当且仅当，即时取等号.故实数的取值范围是.故答案为：3．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）已知，的最小值为____________.【答案】【详解】由，则，当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．故答案为：4．（2022秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）求函数的最小值．【答案】【详解】因为，所以所以，当且仅当，即时，等号成立，故函数的最小值.类型四：换元法典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，则所以当且仅当即时取等号所以的最小值是，则的最大值为.故选A例题2．（2022秋·福建泉州·高三校联考期中）函数在上的最大值为_______________．【答案】【详解】解：因为，，令，则，则，当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为．故答案为：例题3．（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为________.【答案】【详解】由，得，设，其中.则，从而，记，则，不妨设，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：.练透核心考点1．（2022秋·湖北襄阳·高三枣阳一中校考阶段练习）函数的最小值为______．【答案】7【详解】令，；则(当且仅当，即时，等号成立)，故函数，的最小值为故答案为：72．（2022春·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）函数的最小值为___．【答案】【详解】因为，令，则，又因为，可得，因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，所以，即的最小值为.故答案为：.类型五：常数代换“1”的代换典型例题例题1．（2023春·河南信阳·高一统考开学考试）若，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】由，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为3.故选：C.例题2．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．3 B．5 C．8 D．9【答案】D【详解】由正数m，n满足，即，所以，所以，当且仅当，即时，取得等号.故选：D.例题3．（2023春·天津·高三校联考期末）已知，则的最小值为__________.【答案】##1.6【详解】因为，所以.所以,当且仅当时等号成立.故的最小值为.故答案为:.练透核心考点1．（2023春·海南·高一统考学业考试）设，，且，则的最小值为（

）A．4 B． C．5 D．【答案】B【详解】因为，，且，则有，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：B2．（多选）（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（

）A．的最大值是1 B．的最小值是4C．的最大值是 D．的最小值是1【答案】AC【详解】正数x，y满足.对于A：，所以.（当且仅当时“=”成立）.所以的最大值是1.故A正确；对于B：因为，所以，所以，所以（当且仅当时“=”成立）.故B错误；对于C：因为正数x，y满足，所以，其中，所以，所以当时，的最大值是.故C正确；对于D：因为正数x，y满足，所以，所以（当且仅当，即时“=”成立）.故D错误.故选：AC3．（2023·贵州贵阳·统考一模）正实数a，b满足，则的最小值为__________．【答案】##【详解】解：由题得.当且仅当时，取等号，所以的最小值为.故答案为：类型六：消元法典型例题例题1．（2023秋·天津·高三统考期末）若，，，则的最小值为_______．【答案】##【详解】因为，，，所以，又因为可得，所以，，又因为，当且仅当即时取等，则，所以的最小值为.故答案为：.例题2．（多选）（2023秋·安徽黄山·高一统考期末）已知、，，则下列说法正确的是（

）A．， B．的最小值为8C．的最小值为3 D．的最小值为4【答案】ABD【详解】因为，所以且a>0，可得.又且b>0，可得，故A正确；,即，当且仅当时等号成立，故B正确；因为，所以.所以,当且仅当时等号成立，故C错；将代入，可得,当且仅当时等号成立，此时，故D正确.故选：ABD.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（

）A．有最小值为+1 B．有最小值为+1 C．有最小值为 D．有最小值为4【答案】A【详解】解：因为a＞0，b＞0，且2a+b＝1，所以，所以，，，，当且仅当，即时，等号成立，所以有最小值为+1，故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．3【答案】B【详解】解：因为，所以，则，因为，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：B.类型七：对钩函数典型例题例题1．（2023春·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考