高考数学人教A版2019选择性必修第一册专题3.9圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练【九大题型】(原卷版+解析)

专题3.9圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练【九大题型】【人教A版（2019）】姓名：___________班级：___________考号：___________题型一椭圆中的定点问题题型一椭圆中的定点问题1．（2023春·宁夏石嘴山·高二校考期末）已知椭圆C：x2a2+y2b(1)求C的方程；(2)直线l:y=kx+m交C于P，Q两点（不同于点A），直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，线段MN的中点为(0,2)2．（2023春·贵州安顺·高二统考期末）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右顶点(1)求C的方程(2)椭圆C的左顶点为A，点O为坐标原点，直线l：x=1与C交于两点，圆E过O，B，交l于点M，N，直线AM，AN分别交C于另一点P，Q．证明：直线PQ过定点．3．（2023春·云南曲靖·高二校考期末）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的△ABC的顶点，A−3,0为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点Pm,2（m∈R，m≠0），若直线PM，PN与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST4．（2023春·广东揭阳·高二校联考期中）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，且F2(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l与椭圆C交于R，S两点，存在一点T4,0使∠OTS=∠OTR，判断直线l题型二题型二椭圆中的定值问题5．（2023春·贵州六盘水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，椭圆E：y2a2+x(1)求E的标准方程；(2)经过原点的直线l与椭圆E交于A，B两点，P是E上任意点，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，证明：6．（2023春·福建厦门·高二统考期末）已知点N在曲线C:x28+y26=1上，O为坐标原点，若点M(1)求Γ的方程：(2)已知点P在曲线C上，点A，B在曲线Γ上，若四边形OAPB为平行四边形，则其面积是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由7．（2023春·广西南宁·高二校考期末）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个端点为B0,1，且离心率为32，过椭圆左顶点A的直线l与椭圆C交于点M，与y轴正半轴交于点N

(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：AM⋅8．（2023春·江西上饶·高二统考期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为22，左、右焦点分别为F1(1)求椭圆C的方程；(2)设圆O:x2+y2=2上任意一点P处的切线l交椭圆C于点题型三题型三椭圆中的定直线问题9．（2023春·江苏镇江·高二校考期末）如图，在△ABC中，BC=23,AB+AC=4，若以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.设动顶点(1)求顶点A的轨迹方程；(2)记第（1）问中所求轨迹曲线为M，设D1−2,0,D22,0，过点1,0作动直线l与曲线M交于P,Q两点（点P在x轴下方）.求证：直线10．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知曲线C:(5−m)x(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(2)设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线l:y=kx+4与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．11．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点分别为A1−2,0，A22,0，过点D1,0的直线l与椭圆(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线A1M与直线A2N交于点12．（2023春·河南安阳·高三校考阶段练习）已知椭圆C：x2a2+y2b(1)求C的标准方程；(2)点A，B分别为C的左、右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点О，点M关于原点О的对称点为M′，若直线AM′与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q题型四题型四双曲线中的定点问题13．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1（a>0(1)求双曲线E的方程.(2)点M，N在E上，且AM⊥AN，直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.14．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a∈N(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点，若直线P2A与直线P2B15．（2023春·上海嘉定·高二校考阶段练习）双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F(1)求双曲线C的标准方程；(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k1，k2，若k1⋅k16．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知双曲线C：x2a2−y(1)求双曲线C的方程；(2)若直线y=kx+m与双曲线C交于P,Q两点，M是C的右顶点，且直线MP与MQ的斜率之积为−23，证明：直线题型五题型五双曲线中的定值问题17．（2023春·湖北咸宁·高二统考期末）已知l1，l2既是双曲线C1：x2−y24=1的两条渐近线，也是双曲线C

(1)任作一条平行于l1的直线l依次与直线l2以及双曲线C1，C2交于点L，M，(2)如图，P为双曲线C2上任意一点，过点P分别作l1，l2的平行线交C1于A，18．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知直线l:mx+y−2m−3=0过定点A，双曲线C:x2a2−y2(1)求点A的坐标和C的方程；(2)若直线l′:y=kx+1k≠1与C交于M，N两点，试探究：直线AM19．（2023春·重庆渝中·高二校考期末）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a,b>0的渐近线方程为y=±12x，其左右焦点为(1)求该双曲线的标准方程；(2)过x轴上一动点Pt,0作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），连接BA′并延长交x20．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0(1)求C的方程；(2)设点P是直线l：x=2上的任意一点，直线PA1、PA2分别交双曲线C于点M、N，A2Q⊥MN，垂足为题型六题型六双曲线中的定直线问题21．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为−25,0，离心率为(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点−4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA22．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）从双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1(1)求双曲线的方程；(2)过点23,0作直线L分别交双曲线左右两支于C,D两点，直线A1C与直线A223．（2023·安徽安庆·安徽省校考一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E:x24−y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1、F2，从F2

(1)求双曲线E的方程；(2)设A1、A2为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P4,0的直线l与双曲线C交于M、N两点，试探究直线A1M24．（2023·安徽六安·安徽省校考模拟预测）已知点(2,3)在双曲线C:x(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点，其中O为坐标原点，求证：△AOB的面积S是定值；(2)已知点P(12,1)，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M､N，在线段MN上取异于点M､N的点H，满足PM题型七题型七抛物线中的定点问题25．（2023春·辽宁朝阳·高二统考期末）已知A1,1，P是抛物线C:y2=4x的准线与x轴的交点，过P的直线l与C交于不同的(1)若直线l的斜率为−12，求(2)若直线AM交C于另外一点B，试判断直线BN是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.26．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知抛物线G：x2=2pyp>0焦点为F，R为G上的动点，K1,2位于(1)求G的方程；(2)过点P0,2作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交G于A，B两点，l2交G于C，D两点，且M，N分别为线段AB27．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F1,0，点M在直线x=−2上运动，直线l1，l2经过点(1)求C的方程；(2)试问直线AB是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．28．（2023春·四川资阳·高二统考期末）过点K(0,−1)作抛物线G:x2=2py(p>0)在第一象限部分的切线，切点为A，F为G的焦点，O(1)求G的方程；(2)过点P(0,2)作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交G于C，D两点，l2交G于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和题型八题型八抛物线中的定值问题29．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为

(1)求抛物线的标准方程；(2)抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值．30．（2023春·广东·高二校联考期末）设点F为抛物线C：x2=2pyp>0的焦点，过点F且斜率为5的直线与C交于A，B两点S(1)求抛物线C的方程；(2)过点E0,2作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知EP⋅EQ31．（2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线C1:y

(1)求a，p的值；(2)设P为直线x=−1上除−1,−3，−1,3两点外的任意一点，过P作圆C2:x−22+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，32．（2023·河北·模拟预测）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，圆(1)求C的方程及点F与圆D上点的距离的最大值；(2)O为坐标原点，过点M0,1的直线l与C相交于A，B两点，直线AD，BD分别与y轴相交于点P，Q，MP=mMO，MQ题型九题型九抛物线中的定直线问题33．（2023春·黑龙江大庆·高二校考期末）已知抛物线E:y2=2pxp>0，过点−1,0的两条直线l1、l2分别交E于A、B两点和C、D两点．当(1)求E的标准方程；(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G在定直线上．34．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点P(2，0)作直线l交抛物线于A，(1)若l的倾斜角为π4，求△FAB(2)过点A，B分别作抛物线C的两条切线l1，l2且直线l1与直线l2相交于点35．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线C:y=2ax2给出如下三个条件： ①焦点为F0,14; ②准线为y=−(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程;(2)已知△ABQ是1中抛物线的阿基米德三角形，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点，若直线AB经过点0,3，试判断点Q是否在一条定直线上?如果是，求出定直线方程;如果不是，请说明理由．36．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l交抛物线于A,B两点（A,B异于坐标原点O），交y轴于点Q0,t（t>1），且AF=QF(1)求证：A,F,P三点共线；(2)过点A作该抛物线的切线l2（点A为切点），l2交l1（ⅰ）试问，点N是否在定直线上，若在，请求出该直线，若不在，请说明理由；（ⅱ）求S△ABN

专题3.9圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题大题专项训练【九大题型】【人教A版（2019）】姓名：___________班级：___________考号：___________题型一题型一椭圆中的定点问题1．（2023春·宁夏石嘴山·高二校考期末）已知椭圆C：x2a2+y2b(1)求C的方程；(2)直线l:y=kx+m交C于P，Q两点（不同于点A），直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，线段MN的中点为(0,2)【解题思路】（1）根据离心率和过点即可求出a,b,c即可求出椭圆方程；（2）先设直线根据根与系数的关系结合中点坐标，可求k,m关系即可得出定点.【解答过程】（1）由题意得：a=3，c=5，椭圆C的方程为x（2）由题意得：3k+m≠0设P(x由y=kx+m4x2∴x1直线AP：y=当x=0时，y=−3y1x同理可得：N的坐标为(∴−3−6k−54k216k+72m=366k+2m=m2∴直线l过定点(3,

2．（2023春·贵州安顺·高二统考期末）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右顶点(1)求C的方程(2)椭圆C的左顶点为A，点O为坐标原点，直线l：x=1与C交于两点，圆E过O，B，交l于点M，N，直线AM，AN分别交C于另一点P，Q．证明：直线PQ过定点．【解题思路】（1）求出F的坐标，再利用给定的离心率求出椭圆方程作答.（2）根据给定条件，借助向量垂直的坐标表示求出直线AM,AN的斜率积，再设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率的坐标公式求解作答.【解答过程】（1）抛物线y2=8x的焦点F(2,0)，即B(2,0)，a=2，由椭圆C的离心率为22，得a所以椭圆C的方程是x2（2）显然点O,B关于直线l对称，则过点O,B的圆E的圆心在直线l上，即线段MN为圆E的直径，即有OM⊥ON，设M(1,yM),N(1,yN而A(−2,0)，直线AM,AN的斜率分别为kAM=y

显然直线PQ不垂直于y轴，设PQ的方程为x=my+t(t≠−2)，P(x由x=my+tx2+2y2Δ=4m2显然kAM整理得(m于是(m2+9)⋅则(m2+9)(t−2)−2m2t+(m2+2)(t+2)=0所以直线PQ恒过定点(143．（2023春·云南曲靖·高二校考期末）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的△ABC的顶点，A−3,0为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点Pm,2（m∈R，m≠0），若直线PM，PN与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST【解题思路】（1）根据题意，结合椭圆的定义和几何性质，求得a,b,c的值，即可求解；（2）由直线PS：y=xm+1，与椭圆方程联立得m2+4x2+8mx=0，求得【解答过程】（1）解：根据题意知，椭圆E的焦点在x轴上，可设椭圆方程为x2因为△ABC的周长为8，根据椭圆的定义，可得4a=8，即a=2，又因为椭圆E左焦点A−3,0，可得c=所以椭圆E的标准方程为x2（2）解：由椭圆的方程x24+y2且直线PS，PT，ST斜率均存在，所以直线PS：y=xm+1可得Δ=64m2>0,对则xS+xM=同理xT=24m所以kST所以直线ST方程为：y=12−所以直线ST过定点，定点坐标为0,1

4．（2023春·广东揭阳·高二校联考期中）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，且F2(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l与椭圆C交于R，S两点，存在一点T4,0使∠OTS=∠OTR，判断直线l【解题思路】（1）根据抛物线方程可求出F21,0，则c=1，设Px0,y0，则由抛物线的定义列方程可求出x0=（2）若动直线l过T4,0，可得满足条件，若直线l不过T4,0，假设直线l过定点Mt,0，设直线l的方程是：x=my+t，设Rx1,y1，【解答过程】（1）∵F2也是抛物线E：y2=4x∴c=1，且抛物线的准线方程为x=设点Px∵PF2=53∴y0=2∵a2−b2=∴椭圆方程为x2（2）①若动直线l过T4,0，此时R、S、T②若直线l不过T4,0，假设直线l过定点，由椭圆的对称性可知定点必在x轴上，设为Mt,0；则直线l的方程是：设Rx1,联立x=my+t3x2+4y由△>0得3由韦达定理有y1+由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故kTS即y1x1∴y1由R，S两点在直线x=my+t上，故x1=m代入上式，整理可得：2m即有2m3整理可得：mt−1=0，无论mm≠0又t=1时满足△>0；故直线l恒经过定点1,0.m=0时mt−1=0恒成立，此时直线综上①②，动直线不过定点.

题型二题型二椭圆中的定值问题5．（2023春·贵州六盘水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，椭圆E：y2a2+x(1)求E的标准方程；(2)经过原点的直线l与椭圆E交于A，B两点，P是E上任意点，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，证明：【解题思路】（1）将已知点代入方程，再由离心率的定义可求方程；（2）因为直线l过原点，设Ax0,y0【解答过程】（1）依题意得：1a解得a2所以椭圆E的标准方程为y2（2）因为直线l过原点，设Ax0,y0所以k1=y−所以k又因为y022所以k所以k16．（2023春·福建厦门·高二统考期末）已知点N在曲线C:x28+y26=1上，O为坐标原点，若点M(1)求Γ的方程：(2)已知点P在曲线C上，点A，B在曲线Γ上，若四边形OAPB为平行四边形，则其面积是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由【解题思路】（1）设Mx,y，NxN,yN，依题意可得（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0【解答过程】（1）设Mx,y，NxN,yN，因为点所以xN因为ON=2OM，所以xN=即x24+y2（2）设Ax1,y1因为点P在曲线C上，所以x0因为四边形OAPB为平行四边形，所以OP=所以x0所以x1+x22所以x1因为x1所以x1y2−y点B到直线OA的距离d=x所以平行四边形OAPB的面积SOAPB

7．（2023春·广西南宁·高二校考期末）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个端点为B0,1，且离心率为32，过椭圆左顶点A的直线l与椭圆C交于点M，与y轴正半轴交于点N

(1)求椭圆C的标准方程；(2)求证：AM⋅【解题思路】（1）根据离心率和过点列方程组求出a,b，得到椭圆的标准方程；（2）应用弦长公式分别求出AM,【解答过程】（1）因为椭圆C：x2a2所以b2又椭圆的离心率为32，则所以a=2，故椭圆方程为x（2）设直线l的方程为y=kx+2，所以AN=设Mx1,得1+4k则−2+x1所以AM=设直线OP的方程为y=kx，由y=kxx24设Px0,y0所以|OP|故AM⋅因此AM⋅8．（2023春·江西上饶·高二统考期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为22，左、右焦点分别为F1(1)求椭圆C的方程；(2)设圆O:x2+y2=2上任意一点P处的切线l交椭圆C于点【解题思路】（1）根据给定条件，求出a,b,c即可作答.（2）直线l的斜率存在时，设出其方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理推理计算，再验证斜率不存在的情况作答.【解答过程】（1）设椭圆C的半焦距为c，因为△BF1F2的周长为椭圆的离心率为22，则ca=22所以椭圆C的方程为x2（2）当直线l的斜率不存在时，直线l:x=±2，与椭圆方程联立解得x则|OM|=|ON|=2,1

当直线l的斜率存在时，设直线l:y=kx+m,Mx由y=kx+mx2+2y2显然点P在椭圆C内，即直线l与C必交于两点，有x1又直线l与圆x2+y2得x1显然y12=3−因此1=6+所以1|OM|2题型三题型三椭圆中的定直线问题9．（2023春·江苏镇江·高二校考期末）如图，在△ABC中，BC=23,AB+AC=4，若以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.设动顶点(1)求顶点A的轨迹方程；(2)记第（1）问中所求轨迹曲线为M，设D1−2,0,D22,0，过点1,0作动直线l与曲线M交于P,Q两点（点P在x轴下方）.求证：直线【解题思路】（1）根据椭圆的定义，求得椭圆的a,b,c的值，可得答案；（2）根据联立直线PQ与椭圆M写出的韦达定理，表示出直线QD【解答过程】（1）由AB+AC=4，则A的轨迹为以B,C为焦点的椭圆，且2a=4，a=2；由BC=23，则2c=23，c=3故A的轨迹方程为x2（2）直线l方程可设为x=my+1，联立可得x=my+1x24+yΔ=4设Qx1,y1设QD2:y=联立上述两方程，消去y可得y1y1x1y1my由4my1y3y1+综上所述，动点E的轨迹方程为直线x=4.10．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知曲线C:(5−m)x(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(2)设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线l:y=kx+4与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．【解题思路】（1）由椭圆的标准方程计算即可；（2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线MN与椭圆联立消y，设直线AN、BM的方程解出G纵坐标，结合韦达定理化简计算即可.【解答过程】（1）因为曲线C是椭圆，所以5−m>0m−2>05−m≠m−2，解得（2）是在定直线y=1上，理由如下：当m=4时，此时椭圆C:x2+2y2=8，设点Δ=16k2所以x易知A0,2、B0两式作商得y−2y+2故G在定直线y=1上.

11．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右顶点分别为A1−2,0，A22,0，过点D1,0的直线l与椭圆(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线A1M与直线A2N交于点【解题思路】（1）由题知a=2，再利用已知条件求出b的值即可；（2）由题知直线A1M与直线A2N的斜率存在，分别联立直线A1M、直线A2N与椭圆方程解出M,N的坐标，根据M,D,N共线，找出直线A1【解答过程】（1）由题知椭圆焦点在x轴上，左、右顶点分别为A1−2,0，所以a=2，又过点D1,0的直线l与椭圆C交于异于A1，A2的M当l与x轴垂直时，MN=所以将x=1代入C中，求得：y=±3b2所以椭圆的标准方程为：x2（2）如图所示：由题知直线A1M与直线设lA1M由y=k1x+21+2k解得：x1又M,N是异于A1，A所以有M2−4同理可得：N4又D1,0，且M,D,N所以4k化简得：3k由题知k1所以3k联立：y=k所以P2将3k1=则xP所以点P在定直线x=4上.12．（2023春·河南安阳·高三校考阶段练习）已知椭圆C：x2a2+y2b(1)求C的标准方程；(2)点A，B分别为C的左、右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点О，点M关于原点О的对称点为M′，若直线AM′与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q【解题思路】（1）利用离心率和点在椭圆上，建立a,b,c的方程，求解椭圆方程即可；（2）设点M，N坐标，联立直线与椭圆方程，韦达定理，利用坐标关系找到点在定直线上.【解答过程】（1）设椭圆C的焦距为2cc>0由题意得ca=2∴C的标准方程为x2（2）由题可知A−3,0，B设Mx1,则M′−x1,−联立x=my+nx29+y∴y1+y又kAM'=y1x1−3又∵点P为直线AM'和BN的交点，∴x1故2xP=2m+n−3y∴xP=3mn+3y联立lOP:x=3mn+3y因此，点Q位于定直线x=−3上．题型四题型四双曲线中的定点问题13．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1（a>0(1)求双曲线E的方程.(2)点M，N在E上，且AM⊥AN，直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解题思路】（1）利用点到直线的距离公式，a,b,c的关系和离心率即可求解.（2）由题知直线AM的斜率存在且不为0，设直线AM：y=kx−1，与E的方程联立，可得Mk2+3k2−3,6kk2【解答过程】（1）由题意，取渐近线bx−ay=0，右顶点A到该渐近线的距离d=ab又a2+b2=c，ca=2E的方程为x2（2）由题意知直线AM的斜率存在且不为0，设直线AM：y=kx−1与E的方程联立，消去y得3−k易知k2由韦达定理得1×xM=因为AM⊥AN，所以kAM用−1k代替k（显然此时同理得N3得kMN直线MN：y=2k过定点−2,0.当k2=1时，直线易知直线MN的方程为x=−2，过左焦点−2,0.综上，直线MN过定点−2,0.

14．（2023春·湖南岳阳·高二统考期末）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a∈N(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点，若直线P2A与直线P2B【解题思路】（1）根据题意代入相应的点运算求解即可；（2）设直线l的方程以及A,B的坐标，再根据题意结合韦达定理运算求解.【解答过程】（1）易知双曲线C:x2a2−y2b2=1关于x轴对称，P3若P11,1，P3则1a2−1b若P21,0，P3则1a2−0b综上所述：双曲线C的方程为x2（2）设直线P2A与直线P2如果直线l斜率不存在，则k1设直线l：y=kx+m，m≠1，Ax1,联立y=kx+mx2−3−k2≠0则x1+x则k1+k整理得2k+1x即−2k+1化简得：k2+2m+6k+m当k=−m时，直线l的方程为y=−mx+m=−mx−1令x=1时，y=0，所以直线l过定点1,0，又因为直线l不经过P2当k=−m−6时，直线l的方程为y=kx−k−6=kx−1当x=1时，y=−6，所以直线l过定点1,−6；综上所述：l过定点1,−6.

15．（2023春·上海嘉定·高二校考阶段练习）双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F(1)求双曲线C的标准方程；(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k1，k2，若k1⋅k【解题思路】（1）根据题意及椭圆的性质，建立方程即可求解；（2）根据题意设直线MN的方程为x=my+n，联立椭圆方程，根据根与系数的关系及k1⋅k【解答过程】（1）根据题意可得∠BAD=90°，AF=BF=DF当x=2时，4a2−所以y2=b由AF=BF=DF，得a2+a−2=0，解得a=1或所以b2所以双曲线方程为x2（2）由题意可知直线MN的斜率不为零，所以设直线MN为x=my+n，设M(x由x2−y由Δ=36m2所以y1由（1）知A(−1,0)，所以k1因为k1⋅k所以y1所以y1化简得(2m所以(2m所以3(n化简得n2−4n−5=0，解得n=5或因为M，N是C右支上的两动点，所以n>0，所以n=5，所以直线MN的方程为x=my+5，所以直线MN恒过定点(5,0)

16．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知双曲线C：x2a2−y(1)求双曲线C的方程；(2)若直线y=kx+m与双曲线C交于P,Q两点，M是C的右顶点，且直线MP与MQ的斜率之积为−23，证明：直线【解题思路】（1）根据题意可得关于a,b的方程组，解得a2，b2即可得到双曲线（2）联立直线PQ与双曲线C的方程，结合韦达定理再化简kMP⋅kMQ=−23【解答过程】（1）根据题意可得e=ca=3c所以双曲线C的方程为x2（2）设Px1,联立y=kx+mx2−Δ=8x1+x2所以k==2(k+m)(k−m)所以m=2k，所以直线PQ的方程为y=kx+2，恒过定点−2,0题型五题型五双曲线中的定值问题17．（2023春·湖北咸宁·高二统考期末）已知l1，l2既是双曲线C1：x2−y24=1的两条渐近线，也是双曲线C

(1)任作一条平行于l1的直线l依次与直线l2以及双曲线C1，C2交于点L，M，(2)如图，P为双曲线C2上任意一点，过点P分别作l1，l2的平行线交C1于A，【解题思路】（1）求出双曲线C2的方程，设l1：y=−2x，l：y=−2x+m，分别联立l1与l、联立l与C1、联立l与C2的方程可得xL=（2）延长PA、PB分别交渐近线于C、D两点，设Px0,y0，求出PA、PB的方程与l1的方程联立解得xC=2【解答过程】（1）依题意b=2a，根据双曲线C2的焦距是双曲线C1的焦距的3倍，可得即a2=3，故双曲线C2不妨设l1：y=−2x，则设l：y=−2x+m联立y=−2x+my=2x，可得xL=m4联立y=−2x+mx23从而LMMN（2）如图，延长PA，PB分别交渐近线于C，D两点，

由（1）可知PAPC=PB设Px0,y0，则PA解得xC而PB：y=2x−x0+y从而PC⋅设l2的倾斜角为α，则tanα=2，而∠APB=∠COD=2α，故则S△PCD=118．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知直线l:mx+y−2m−3=0过定点A，双曲线C:x2a2−y2(1)求点A的坐标和C的方程；(2)若直线l′:y=kx+1k≠1与C交于M，N两点，试探究：直线AM【解题思路】（1）将直线l:mx+y−2m−3=0化简为l:mx−2+y−3=0即可得出点（2）联立双曲线和直线l′:y=kx+1k≠1【解答过程】（1）由直线l:mx+y−2m−3=0知，l:mx−2得定点A2,3则4a2−故C的方程为x2（2）

由（1）知，A2,3，设Mx1联立x2整理得3−k则3−k2≠0∴k2<4且∴x1+x∴k=2k+所以直线AM，AN的斜率之和是为定值，定值为3.19．（2023春·重庆渝中·高二校考期末）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a,b>0的渐近线方程为y=±12x，其左右焦点为(1)求该双曲线的标准方程；(2)过x轴上一动点Pt,0作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），连接BA′并延长交x【解题思路】（1）根据双曲线方程设x24−y2=λ，（2）设l的方程为y=k(x−t)，Ax1,y1,Bx2,【解答过程】（1）因为双曲线的渐近线方程为y=±1故可设双曲线的方程为x2设Dx0,y0，因为△D所以x03=43y0所以双曲线的标准方程为x（2）由题意知直线l的斜率必存在，设l的方程为y=k(x−t)，Ax1,y1化简得1−4k则Δ=8k由韦达定理得x1+x则直线BA′的方程为：令y=0，则x==8k3

.20．（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0(1)求C的方程；(2)设点P是直线l：x=2上的任意一点，直线PA1、PA2分别交双曲线C于点M、N，A2Q⊥MN，垂足为【解题思路】（1）由双曲线的渐近线方程及焦距求解双曲线的方程即可；（2）设出直线MN的方程与双曲线的方程联立得到韦达定理，与直线A1M，A2【解答过程】（1）依题意ba=3（2）证明：如图：

设Qx0,y0直线MN：y−y0=x0（记k=−x0−4y09−16k所以x1+x又因为直线A1M：y=y1x−1⇒16⇒m⇒−24km−6m即32k2−4km−所以x0所以，Q点轨迹为，以6,0为圆心，2为半径的圆上，所以R6,0，QR题型六题型六双曲线中的定直线问题21．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为−25,0，离心率为(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点−4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA【解题思路】（1）由题意求得a,b的值即可确定双曲线方程；（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线MA1与NA2的方程，联立直线方程，消去y，结合韦达定理计算可得x+2x−2【解答过程】（1）设双曲线方程为x2a2则由e=ca=5可得双曲线方程为x2（2）由(1)可得A1−2,0,显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my−4，且−1与x24−y2则y1

直线MA1的方程为y=y1x联立直线MA1与直线x+2=m⋅由x+2x−2=−13可得据此可得点P在定直线x=22．（2023秋·山西大同·高三统考阶段练习）从双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1(1)求双曲线的方程；(2)过点23,0作直线L分别交双曲线左右两支于C,D两点，直线A1C与直线A2【解题思路】（1）由A2B//OP可得−b2ac=−（2）设Cx1,y1，Dx2,y2，直线CD:x=ty+23【解答过程】（1）令x=−c，代入双曲线方程可得y=±b2a，所以设P因为A2B//OP，所以−b2因为F1A2所以b=1，c=2，a=3所以双曲线的方程为x2

（2）设Cx1,y1联立x23−由t2−3≠0Δ>09所以y1+y直线A1C:y=直线A2Dy1⋅由①÷②可得x+3x−把③代入上式化简可得x+3解得x=32，所以点M在定直线

23．（2023·安徽安庆·安徽省校考一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E:x24−y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1、F2，从F2

(1)求双曲线E的方程；(2)设A1、A2为双曲线E实轴的左、右顶点，若过P4,0的直线l与双曲线C交于M、N两点，试探究直线A1M【解题思路】（1）延长CA与DB交于F1，分析可得BF1AB=34，令BF1=3tt>0，则AB（2）分析可知，直线l不与x轴垂直，设直线l的方程为x=my+4，设点Mx1,y1、Nx2,y2，将直线【解答过程】（1）解：如图所示：

延长CA与DB交于F1，因为AB⊥AD，tan则tan∠F1令BF1=3t所以，AF由双曲线的定义可得AF1−BF1−又因为AB=AF2+所以，BF1=3t=6由勾股定理可得2c=F1F故b=c因此，双曲线E的方程为x2（2）解：若直线l与x轴重合，则直线l与双曲线E的交点为双曲线E的两个顶点，不合乎题意，设直线l的方程为x=my+4，设点Mx1,联立x=my+43x2

由题意可得3m2−2≠0由韦达定理可得y1+y易知点A1−2,0、A22,0，则直线A1M的方程为y=y1m联立直线A1M、A2N的方程并消去可得x+2=−108m3因此，直线A1M与直线A2N的交点24．（2023·安徽六安·安徽省校考模拟预测）已知点(2,3)在双曲线C:x(1)双曲线上动点Q处的切线交C的两条渐近线于A,B两点，其中O为坐标原点，求证：△AOB的面积S是定值；(2)已知点P(12,1)，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M､N，在线段MN上取异于点M､N的点H，满足PM【解题思路】（1）先求出双曲线方程，设Qm,n，则x2−y23=1过点Qm,n的切线方程为（2）考虑直线l斜率不存在，不合题意，故直线l斜率存在，设直线l方程y−1=kx−12，与双曲线方程联立，设出Mx1,y1,Nx2,y2，得到两根之和，两根之积，再设点【解答过程】（1）将(2,3)代入双曲线中，4a解得a2=1，故双曲线方程为下面证明x2a2−y理由如下：当切线方程的斜率存在时，设过点x0,y0的切线方程为1a由Δ化简得y0因为k=y−y0整理得xy同除以a2b2即x2因为x02a所以x2联立x02a从而x0故−1+x即−1+x令t=x0xa2解得t=1，即x0当切线斜率不存在时，此时切点为±a,0，切线方程为x=±a，满足x0综上：x2a2−y设Qm,n，则x2−y2故mx−ny3=1为x双曲线的两条渐近线方程为y=±3联立mx−ny3=1与y=联立mx−ny3=1与y=−直线AB方程为y−y1x−故点O到直线AB的距离为−y且AB=故△AOB的面积为1==1（2）若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件，故直线l斜率存在，设直线l方程y−1=kx−与x2−y由Δ>0因为14k2故k2解得−2−213设Mx1,设点H的坐标为xH则由PMPN=MH变形得到2x将x1+x将xH=8−k3−2k代入则xH故点H恒在一条定直线x−y=−1题型七题型七抛物线中的定点问题25．（2023春·辽宁朝阳·高二统考期末）已知A1,1，P是抛物线C:y2=4x的准线与x轴的交点，过P的直线l与C交于不同的(1)若直线l的斜率为−12，求(2)若直线AM交C于另外一点B，试判断直线BN是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【解题思路】（1）首先求出抛物线的准线方程，即可得到P点坐标，从而得到直线l的方程，联立直线与抛物线方程，设MxM,yM（2）设Mx1,y1，Nx2,y2，Bx【解答过程】（1）抛物线C:y2=4x的准线方程为x若直线l的斜率为−12，则直线l的方程为由y=−12x+1y2=4x得显然Δ>0，所以xM+所以MN=又A到直线l的距离d=1+2+1所以S△AMN

（2）设Mx1,y1，N所以直线MN的方程为y−y1=又直线MN过P−1,0，所以y1y同理可得直线BM的方程为4x−y又直线BM过A1,1，所以4−同理可得直线BN的方程为4x−y2+所以4x−4即4y1x−又4−y1+即4x−yy1+4−yy所以直线BN恒过定点1,4.

26．（2023春·四川资阳·高二统考期末）已知抛物线G：x2=2pyp>0焦点为F，R为G上的动点，K1,2位于(1)求G的方程；(2)过点P0,2作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交G于A，B两点，l2交G于C，D两点，且M，N分别为线段AB【解题思路】（1）首先得到抛物线的焦点与准线方程，根据抛物线的定义可得RK+RF≥2+（2）依题意直线l1和l2的斜率均存在且不为0，设直线l1的方程为y=kx+2，则直线l2的方程为y=−1kx+2，Ax1【解答过程】（1）抛物线G：x2=2pyp>0焦点为F0,p设R到l的距离为d，因为K1,2位于G根据抛物线的定义可知RK+RF=又RK+RF的最小值为3，所以2+p所以抛物线G：x2

（2）依题意直线l1和l2的斜率均存在且不为设直线l1的方程为y=kx+2，则直线l2的方程为y=−1kx+2联立方程得y=kx+2x2=4y，消去y则Δ=−4k2+32=16k所以y1因为M为AB的中点，所以M2k,2k2所以直线MN的方程为y−2整理得y=k−1kx+4，所以直线

27．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F1,0，点M在直线x=−2上运动，直线l1，l2经过点(1)求C的方程；(2)试问直线AB是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【解题思路】（1）利用抛物线焦点坐标求得p，从而得解；（2）联立直线AB:x=ty+m与抛物线方程得到y1y2=−4m，再由l1，l【解答过程】（1）由题意得p2=1，解得所以抛物线C的方程为y2（2）直线AB恒过定点，定点坐标为(2,0)，

由题意可知直线AB斜率不为0，设直线AB:x=ty+m,Ax联立x=ty+my2=4x则Δ=16由题意可知直线l1,l设直线l1:y=kx−x1则Δ=16−16ky1−kx1=0所以直线l1:y=2同理直线l2又点M(−2,a)在l1,l消去a得y1−2+x所以y2又y1≠y2，所以y1所以直线AB:x=ty+2，故直线AB恒过定点(2,0).28．（2023春·四川资阳·高二统考期末）过点K(0,−1)作抛物线G:x2=2py(p>0)在第一象限部分的切线，切点为A，F为G的焦点，O(1)求G的方程；(2)过点P(0,2)作两条互相垂直的直线l1和l2，l1交G于C，D两点，l2交G于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和【解题思路】（1）利用导数求解切线方程，即可得切点坐标，由面积公式即可求解p=2，（2）联立直线与抛物线的方程得韦达定理，结合中点坐标公式可得M，N的坐标，即可由点斜式求解直线的方程，化简即可求解.【解答过程】（1）由题，y′设切点Ax0,y0K(0,−1)的坐标代入，得−1−y0=x0p−由△OAF的面积S=12⋅所以G的方程为x2（2）由题意可知，直线l1和l设直线l1的方程为y=kx+2，则直线l2的方程为联立方程组y=kx+2,x2=4y消去y则Δ=设Cx1,y1，D所以y1因为M为CD中点，所以M2k,2同理可得N−所以，直线MN的方程为y−2整理得y=k−1kx+4，所以，直线题型八题型八抛物线中的定值问题29．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为

(1)求抛物线的标准方程；(2)抛物线C在x轴上方一点A的横坐标为2，过点A作两条倾斜角互补的直线，与曲线C的另一个交点分别为B，C，求证：直线BC的斜率为定值．【解题思路】（1）根据已知中抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F2,0（2）设出直线AB、AC的方程与椭圆方程联立，求出B、C的坐标，利用斜率公式，即可证明直线BC的斜率为定值．【解答过程】（1）∵抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为∴p2=2故抛物线C的标准方程为：y2（2）∵点A的横坐标为2，即y2=8×2，解得故A点的坐标为2,4，设Bx1,由已知设AB：my−4=x−2，即代入抛物线的方程得y2=8my−4m+2则y1+4=8m，故所以x1即B8设AC：−my−4=x−2，即同理可得y2=−8m−4，则即C直线BC的斜率kBC所以直线BC的斜率为定值．30．（2023春·广东·高二校联考期末）设点F为抛物线C：x2=2pyp>0的焦点，过点F且斜率为5的直线与C交于A，B两点S(1)求抛物线C的方程；(2)过点E0,2作两条斜率分别为k1，k2的直线l1，l2，它们分别与抛物线C交于点P，Q和R，S.已知EP⋅EQ【解题思路】（1）写出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合三角形面积求解作答.（2）联立直线l1与抛物线C的方程，结合弦长公式求出EP【解答过程】（1）抛物线C：x2=2pyp>0的焦点F(0,p2由y=5x+p2x2=2py则x1+x因此S△AOB=12|OF|⋅|所以抛物线C的方程为x2

（2）存在λ=1，使得k1依题意，直线l1:y=k由y=k1x+2x2=4y消去则x3+x4=4设Rx5,y5由|EP|⋅|EQ|=|ER|⋅|ES|，得8(1+k12)=8(1+k22所以存在λ=1，使得k131．（2023·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线C1:y

(1)求a，p的值；(2)设P为直线x=−1上除−1,−3，−1,3两点外的任意一点，过P作圆C2:x−22+y2=3的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，【解题思路】（1）根据抛物线的定义求出p，利用两点距离公式求出a；（2）设切线方程，联立方程韦达定理，结合直线与圆相切得到斜率关系，从而求解纵坐标之积为定值.【解答过程】（1）根据抛物线的定义，Q1,a到准线x=−∴1+p2=3∴抛物线的焦点坐标为2,0，∴1+a2=3（2）设P−1,y0，过点P由y2=8xy−若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，设A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，∴y1y2∵C2到l的距离d=3k+y∴k1+k∴y1y2∴A，B，C，D四点纵坐标之积为定值，且定值为64.32．（2023·河北·模拟预测）已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，圆(1)求C的方程及点F与圆D上点的距离的最大值；(2)O为坐标原点，过点M0,1的直线l与C相交于A，B两点，直线AD，BD分别与y轴相交于点P，Q，MP=mMO，MQ【解题思路】（1）由题意可列式求得p，即可得抛物线方程，进而求得点F与圆D上点的距离的最大值；（2）设直线l方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系式，设P0,yP,Q0,yQ结合【解答过程】（1）由题意得抛物线C的焦点坐标为F(p2,0)圆D:x−12+y−22由圆D:x−12+y−22故p=2，故C方程为y2=4x，故点F与圆D上点的距离的最大值为|DF|+r=1−1（2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设过点M0,1的直线l的方程为y=kx+1,A(x

联立y2=4xy=kx+1则△=2k−42−4k2>0且则x1设P0,yP由MP=mMO可得yP−1=−m，即直线的AD方程为y−2=2−令x=0，得yP=2因为m+n==8−2即mnm+n=1题型九题型九抛物线中的定直线问题33．（2023春·黑龙江大庆·高二校考期末）已知抛物线E:y2=2pxp>0，过点−1,0的两条直线l1、l2分别交E于A、B两点和C、D两点．当(1)求E的标准方程；(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G在定直线上．【解题思路】（1）