高考数学一轮复习全程复习构想·数学（文）第 十 二 章 　 复数、推理与证明、算法练习

第十二章复数、推理与证明、算法第一节数系的扩充与复数的引入·最新考纲·1．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示及其几何意义．4．能进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．·考向预测·考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，复数的代数形式的四则运算仍是高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题．学科素养：通过复数的概念、运算及其几何意义考查数学运算的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的________和________．若________，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若______________，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔________(a，b，c，d∈R)．(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．________叫做实轴，________________叫做虚轴．实轴上的点都表示________；虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示________________．复数集C和复平面内的______________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以______________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．(5)复数的模向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝____________．2．复数的几何意义3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________________．②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________________．③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝____________________．④除法：z1z2＝a+bic+di＝a+bic−dic+dic−di(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．二、必明3个常用结论1．(1±i)2＝±2i；1+i1−i＝i；1−i2．－b＋ai＝i(a＋bi)；3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．()(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i，3＋4i>3＋3i等．()(4)原点是实轴与虚轴的交点．()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．()(6)复数z＝－1＋2i的共轭复数对应点在第四象限．()(二)教材改编2．[选修2－2·P103例题改编]已知z＝(m＋1)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－1，1)B．(－1，3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)3．[选修2－2·P116复习参考题A组T1(2)改编]复数z＝2+i1−i(三)易错易混4．(对复数的虚部认识不清)已知复数z1满足(2－i)z1＝6＋2i，z1与z2＝m－2ni(m，n∈R)互为共轭复数，则z1的虚部为________，m＋n＝________．5．(复数的几何意义出错)如图所示，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则z2(四)走进高考6．[2022·全国乙卷]设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则()A．a＝1，b＝－1B．a＝1，b＝1C．a＝－1，b＝1D．a＝－1，b＝－1提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一复数的有关概念[基础性]1．若复数z满足zi＝3－5i，则z的虚部为()A．－3B．3C．5D．－52．[2022·广东深圳市高三质量评估]若复数z＝1+ia+i－i为纯虚数，则实数aA．－1B．－123．已知z为复数，i为虚数单位．若复数z−iz+i为纯虚数，则|zA．2B．2C．1D．2反思感悟求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．考点二复数的代数运算[基础性][例1](1)[2021·北京卷]在复平面内，复数z满足(1－i)z＝2，则z＝()A．2＋iB．2－iC．1－iD．1＋i(2)[2021·全国乙卷]设2(z＋z)＋3(z－z)＝4＋6i，则z＝()A．1－2iB．1＋2iC．1＋iD．1－i(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝()A．－1－32iB．－1＋3C．－32＋iD．－3听课笔记：反思感悟复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式【对点训练】1．设复数z满足1+2z1−z＝i，则zA.15+35iC.－15+32．若复数z满足z(1＋2i)＝(1＋i)2(i为虚数单位)，则|z＋i2021|＝()A.45B．655C．3．[2022·浙江省舟山中学高三月考]若z＝2＋i，则|z|＝________，2iz·考点三复数的几何意义[基础性、应用性][例2](1)复数2−i1−3iA.第一象限B．第二象限C.第三象限D．第四象限(2)[2023·开封市模拟考试]在复平面内，复数a+i1+i对应的点位于直线y＝x的左上方，则实数aA.(－∞，0)B．(－∞，1)C.(0，＋∞)D．(1，＋∞)听课笔记：反思感悟复数几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ＝(a，b)．(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[提醒]|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝x2+y2，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1【对点训练】1．[2023·重庆市高三月考]在复平面内，复数2i1−iA.(－1，1)B．(1，－1)C.(－1，i)D．(i，－1)2．[2023·合肥市教学质量检测]设复数z满足|z－1|＝|z－i|(i为虚数单位)，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A.y＝－xB.y＝xC.(x－1)2＋(y－1)2＝1D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1第十二章复数、推理与证明、算法第一节数系的扩充与复数的引入积累必备知识一、1．(1)实部虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0(2)a＝c且b＝d(3)a=c，b=−d(4)x轴y轴除去原点实数纯虚数实部不为0的虚数点原点(5)a3．(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)iac+bd+三、1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×2．解析：要使复数z对应的点在第四象限，应满足m+1＞0m−1＜0，解得－1＜m答案：A3．解析：因为z＝2+i1−i＝2+i1+i1−i1+i＝1+3i2答案：124．解析：由(2－i)z1＝6＋2i，得z1＝6+2i2−i＝6+2i2+i2−i2+i＝10+10i5＝2＋2i，则z2＝2－2i，则m＝2，n答案：235．解析：由题图得：z1＝－2－i，z2＝i，所以z2z1＝i−2−i＝i−2+i−2−i答案：－156．解析：由（1＋2i）a＋b＝2i，得a＋2ai＋b－2i＝0，即（a＋b）＋（2a－2）i＝0，所以a＋b＝0，答案：A提升关键能力考点一1．解析：由复数的运算法则，可得z＝3−5ii＝−3i+5i2答案：A2．解析：化简原式可得：z＝1+ia+i－i＝1+ia−ia2+1－i＝a+1+a−a2−2ia2+1.z答案：A3．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，所以复数z−iz+i＝＝a+＝a2+b2−1−2aia2+b+12.因为复数z−iz+i为纯虚数，所以a2答案：C考点二例1解析：(1)由题意可得：z＝21−i＝21+i1−i(2)设z＝a＋bi，则z＝a－bi，则2(z＋z)＋3(z－z)＝4a＋6bi＝4＋6i，所以，4a=46b=6，解得a＝b＝1，因此，z(3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝3+2i−2i＝3+2i·i−2i·i＝−2+3i答案：(1)D(2)C(3)B对点训练1．解析：由1+2z1−z＝i得1＋2z＝i－iz，所以z＝−1+i2+i＝−1+i2−i答案：C2．解析：由z(1＋2i)＝(1＋i)2得复数z＝1+i21+2i＝2i1−2i∴z＝4−2i5.z＋i2021＝4−2i5＋i＝∴|z＋i2021|＝4+3i5＝4答案：D3．解析：因为z＝2＋i，所以|z|＝22+12iz·z−i＝2i2+i·2−i−i＝2i答案：5