人教A版（2019）必修第二册8.2立体图形的直观图(学案)(原卷版+解析)

8.2立体图形的直观图（学案）知识自测知识自测一．水平放置的平面图形的直观图的画法（1）画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或），它们确定的平面表示（2）画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段（3）取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中，平行于y轴的线段，在直观图中长度

为原来的

二.空间几何体直观图的画法(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，

画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.三．直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．四．直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．知识简用知识简用题型一斜二测画法的概念理解【例1-1】（2022·高一课时练习）对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（

）A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．的角的直观图会变为的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【例1-2】（2022云南）关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（

）A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D．斜二测坐标系取的角可能是题型二斜二测画法画平面图形【例2】（2022·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：(1)边长为的正三角形；(2)边长为的正方形；(3)边长为的正八边形．题型三斜二测画法画空间图形【例3】（2022·全国·高一专题练习）画出下列图形的直观图：(1)棱长为4cm的正方体；(2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥．题型四斜二测画法的相关计算【例4-1】（2022春·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，在四边形OABC中，OA=2，，BC=3，且，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（

）A． B．5 C． D．【例4-2】（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（

）A．1 B． C．2 D．【例4-3】（2022春·云南昆明·高一昆明一中校考期中）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形周长是__________．8.2立体图形的直观图（学案）知识自测知识自测一．水平放置的平面图形的直观图的画法（1）画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或），它们确定的平面表示（2）画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段（3）取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度

为原来的一半

二.空间几何体直观图的画法(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴.(2)画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面，按照平面图形的画法，

画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.三．直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．四．直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝eq\f(\r(2),4)S或S＝2eq\r(2)S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．知识简用知识简用题型一斜二测画法的概念理解【例1-1】（2022·高一课时练习）对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（

）A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．的角的直观图会变为的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【答案】B【解析】对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，的角的直观图会变为或的角，故B错误；对于C，D，由斜二测画法的特点可知，C，D显然正确．故选：B．【例1-2】（2022云南）关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（

）A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D．斜二测坐标系取的角可能是【答案】C【解析】对于A选项，在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同，A选项正确；对于B、C选项，由平行于轴或轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，平行于轴的线段长度在直观图中是原来的一半，则B选项正确，C选项错误；对于D选项，在平面直角坐标系中，，在斜二测画法中，或，D选项正确.故选：C.题型二斜二测画法画平面图形【例2】（2022·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：(1)边长为的正三角形；(2)边长为的正方形；(3)边长为的正八边形．【答案】作图见解析【解析】(1)解：如图①所示，以边所在的直线为轴，以边的高线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，画对应的轴、轴，使，在轴上截取，在轴上截取，连接、、，则即为等边的直观图，如图③所示.(2)解：如图④所示，以、边所在的直线分别为轴、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，画对应的轴、轴，使，在轴上截取，在轴上截取，作轴，且，连接，则平行四边形即为正方形的直观图，如图⑥所示.(3)解：如图⑦所示，画正八边形，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，设点、在轴上的射影点分别为、，画对应的轴、轴，使，在轴上截取，，，在轴上截取，作轴且，作轴，且，作轴，且，作轴，且，作轴，且，连接、、、、、、、，则八边形为正八边形的直观图，如图⑨所示.题型三斜二测画法画空间图形【例3】（2022·全国·高一专题练习）画出下列图形的直观图：(1)棱长为4cm的正方体；(2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥．【答案】(1)画法见解析，；(2)画法见解析，【解析】(1)如下图所示，按如下步骤完成：第一步：作水平放置的正方形ABCD的直观图，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四边形ABCD的中心O，作x轴∥AB，y轴∥BD，第二步：过点O作∠xOz=90°，过点A、B、C、D分别作等于4cm，顺次连接，第三步：去掉图中的辅助线，就得到棱长为4的正方体的直观图.(2)如下图所示，按如下步骤完成：第一步：作水平放置的圆的直观图，使cm，cm.第二步：过作轴，使，在上取点，使=4cm，连接，.第三步：去掉图中的辅助线，就得到所求圆锥的直观图.题型四斜二测画法的相关计算【例4-1】（2022春·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，在四边形OABC中，OA=2，，BC=3，且，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（

）A． B．5 C． D．【答案】C【解析】如图所示，为的直观图，根据斜二测画法的规则可知，，，平行于轴，∴该图形的面积为．故选：C.【例4-2】（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是