新高考数学二轮复习平面向量（选填题10种考法）（解析版）

专题03平面向量（选填题10种考法）

考法解读

a+b=(xi+x2,a-b=(x\—x2,yi-yi)

坐

|=皆+".

标=(An,2yi)|a

运

算已知两个非零向量1=(*1，y。，b=(x2,yi),夕为［与b的夹角，则

公

①=期+贯②・

式Ia|aU=xix2+/i^

__—♦—♦

③a_Lb0x1X2=0@cos人啊

W+j彳&+炉

⑤a//bOx^y'：—x^i=0

①a〃b=a=Jib（AW0）是判断两个向量共线的主要依据.

注意特定系数法和方程思想的运用.

②当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，

一

共线向量,

即』，B,C三点共线o石，就共线.

平

-③若二与不共线且;则;.=〃=

面bo.

向匚®OA=jidB+/iOC（A,〃为实数），若4,B,C三点共线，则计“=1.

量

苴应注当已知向量的模和夹角。时，可利用定义法求解，适

"基底伍一用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题

数

量

--坐标法—当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.

积

Ln面注一利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法

'儿网法一则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶

点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.

＜E+无+左=0=0是的重心.

三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点

三的连线与对边垂直

角

形8•方=丽・无=反・万。。是的垂心.

的｛

四三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆

心｛的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r

a应+b丽+c友=0=。是"BC的内心.

三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是

｛三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等

|次卜|丽H女I=o是“BC的外心.

典例剖析

考法一平面向量的坐标运算考法六平面向量与四心

考法二平面向量的基本定理考法七平面向量巧建坐标

考法三平面向量的数量积考法八平面向量与奔驰定理

考法四平面向量的共线定理考法九平面向量中的新定义

考法五平面向量中的取值范围考点十平面向量与其他知识综合

考法一平面向量的坐标运算

【例1】（2023・湖南•校联考二模）（多选）已知向量。=（2,-1）,”〃入旧=2/|,c=（l,2）,则（）

A.a_LcB.|a|=|c|C.Z?=（4,—2）D.b=a+c

【答案】AB

【解析】因为小。=（2,-1）-（1,2）=0,所以a'c，则A正确；口=口=石，则B正确；

因为“/人所以设"=%=刈2,-1）=（2%-力，因为愀=2卜|=2右，

所以42田2+（_田2=2式,解得4=±2,所以6=（4,-2）或匕=（-4,2）,故C错误；

a+c=（3,l）wb,故D错误.故选：AB

【变式】

1.（2023•广东广州•广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知向量d=（l,w）,6=（2,Y）,则下列说法正确

的是（）

A.+=y/10,贝I]“2=5

B.若〃b,贝!J帆二一2

C.若a1b，则m=-l

D.若根=1,则向量的夹角为锐角

【答案】B

【解析】对于选项A：因为力=(2,-4),贝M+6=(3,加-4),

所以M+£|=,9+(〃L4)2=M,解得根=5或m=3,故A错误；

对于选项B：因为4〃/7,所以2根=-4,解得m=-2,故B正确；

.r11

对于选项C：因为a_Z.b，所以a-/?=2-4根=0，解得加=］，故C错误；

对于选项D：当机=1时，o=(l,l),a-i>=2—4=—2<0,

由选项B可知：a,b不共线，所以向量。力的夹角为钝角，故D错误.

故选：B.

2(2023・广东广州・统考三模)(多选)已知向量a=(1,2),6=(-2,1),则()

A.(a-b)_L(“+b)B.(a-b)ll(a+b)

C.\a-b\=\a+b\D.6-a在a上的投影向量是a

【答案】AC

【解析】因为a=(3,1),a+b=(-l,3),

所以(a-加•(a+b)=3x(-l)+lx3=0,(a-b)_L(a+b),故A正确；

因为3x3-lx(T)=10w0,故B错误；

|a-/?|=A/10,|o+Z?|=V10,故C正确；

因为j=(-3,-1)在°上的投影向量是铝产比=?曦=-。，故D错误.

故选：AC.

3.(2023•广西南宁・南宁二中校联考模拟预测)(多选)已知向量&=。,根)，6=(2,-4),则下列说法正确的

是()

A.若林+则根=5B.若。回匕，贝”"?=-2

C.若，贝=TD.若m=1,则向量〃，6的夹角为钝角

【答案】BD

【解析】对于A,因为a=(l,m)，Z?=(2,-4),所以5+，=(3,机-4),\a+b|=^9+(m-4)2=回,解得〃z=5

或机=3,故A错误;

对于B,因为〃回/?,所以=解得根=-2,故B正确；

rLX

对于C,因为a16，所以a为=2-4m=0，解得机=5,故C错误；

对于D,当〃?=1时，a=(1,1),1z?=2-4=-2<0，又因为此时a，〃不共线，所以向量a，b的夹角为钝

角，故D正确.故选：BD.

考法二平面向量的基本定理

【例2-1](2023・安徽•校联考二模)如图，在ABC中，点。为线段8C的中点，点、E,P分别是线段AO上

靠近。，A的三等分点，则A〃=()

114

A.-BE--CFB.--BE-CFC.-BE-CFD.——BE-CF

9

【答案】C

1133

【解析】BE=BD+DE=BD--AD,则5A。=①;

233

CF=CD+DF=CD--AD,贝l|AD=5。-5cp②；

333

①+②两式相加，-AD=--CF--BE,BPAD=-BE-CF,

故选：C.

【例2-2](2023・河南•校联考模拟预测)在平行四边形A5CD中，点E满足m=45石,

CE=ZBA+//GR),贝1」丸4=()

333

A.——B.一一C.—D.1

16816

【答案】A

【解析】因为8O=43E，贝一CB=4(CE-C8),

131313

整理得CE=—CD+—C5=—5A——BC,可得力=—,〃=——,

444444

故选：A.

【变式】

1（2023•江苏徐州彳余州市第七中学校考一模）在平行四边形A8CD中，£\尸分别在边AD、C。上，AE=3ED,

£)/=27cA/与BE相交于点G,记AB=a,A£)=6,则AG=()

B.%+1

1111

D,L+%

1111

【答案】D

【解析】过点尸作—V平行于3C,交BE于点、M,

1133

因为DF=FC,则尸为。。的中点，所以脑VA£且MN=-A^=—x—AO=—AO,

2248

35

因为NF=4),所以MF=NF—MN=AD——AD=-AD

88f

_An

AEAGAEA^U6

由AEGFMG可得:------iryTKA——=------------=—

FMFGFGFM5^5

8

因为AG=BA/=白（AO+D产）=白（9+；43）=得48+白包，

所以AG=L+9b,

故选：D.

2.（2023•海南海口•海南华侨中学校考二模）如图，在“ABC中，E是的中点，BD=2DC,FC=^AF,EF

与AD交于点"，则40=（）

3333?834

A.-AB+-ACB.—AB+—ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

【答案】A

1?

【解析】在中，设由3O=2OC，AD=-AB+-AC,故

AM=AAD=-AAB+-AAC.

33

1A9R

又E是AB的中点，FC=-AF,所以AB=2AE,AC=§AF,所以AM==+52Ab.

由点b三点共线，可得g+^=l,解得几=2，

33

故AM=—A5+—AC.

147

故选：A.

3.（2023•湖南娄底•娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯

首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一

部分与这部分之比，黄金分割比为止二L如图，在矩形ABCD中，AC与3D相交于点。，

2

BF.LAC,DH.LAC,AE.LBD,CG±BD,且点E为线段30的黄金分割点，贝!）3尸=（）

5-A/5

B.BG

10

C.仆+蔻BG昔BA笠BG

D.

【答案】D

【解析】由题意得显然BE=DG,BO^OD^-BD,

22

同理有4斤=好匚4。，r»G=6匚。。，

22

因为BFuBA+AFuBA+^^AO

2

=BA+^^-（BO-BA）=^^-BA+^:^-BO,

2''22

所以3尸=士=5&1+好BG.

25

故选：D

考法三平面向量的数量积

【例3-1］（2022•全国•统考高考真题）已知向量〃,1满足I。|=1,|6|=石,|〃一2办|=3,则〃二（

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】团1〃一2们2=|〃『一4〃.》+4忖，

又团|=1,|。|二6"2b|=3,

回9=1—4〃2+4x3=13—4〃2，

回〃二1

故选：C.

【例3-2］（2023•全国•统考高考真题）正方形ABC。的边长是2,£是4吕的中点，则EC£O=

A.y[5B.3C.2A/5D.5

【答案】B

,、lUimiluumiuunnum

【解析】方法一：以｛AB,A。｝为基底向量，可知kq=k4=2,AB.AO=0,

uunuuruuniuunuumuunuirumniuunuum

贝UEC=EB+BC=-AB+AD,ED=EA+AD=一一AB+AD,

,22

uunuum（iuunWSL\（iuunuumAiutm2uum2

所以ECE£）=/A5+AO.匕人吕+人。=-1A5+AD=—1+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

ULIUUUU1

则£（l,0）,C（2,2）,D（0,2）,可得EC=（1,2）,即=（一1,2）,

UUUULI1U

所以ECm=-l+4=3;

方法三：由题意可得：ED=EC=ECD=2,

2322

rip+rp_r)c5+5.43

在ACDE中，由余弦定理可得cosZDEC=UE「广=*陌=f，

ZDE-CE2x\/5x，53

uufluunluuniiuuai3

所以石。£7)=陷]皎眄/0石0="*6*《=3.

故选：B.

【变式】

1.（2023•河南•校联考模拟预测）已知等边三角形ABC的边长为2,E分别是8C,AC上的点，且2。=京。,

2

CE=-CA,则AZ>.3^=()

2222

A.2B.-2C.—D.

9~9

【答案】D

1。[

【解析】ADABBDABACABABAC

=+=+3-(、-,}=3-3+-,

BE=BA+AE=-AB+-AC

3f

22112

国AD•BE=|AB+|ACJ-AB+|AC^|——AB——ABAC+-AC

399

2c21.11c222

x22—x2x2x——i-—x22=---

39299

故选：D.

2.（2023•全国•统考高考真题）已知向量入方满足,叫=日卜++|2"可，则忖=.

【答案】目

【解析】法一：因为,++忸-小即卜+6『=（2"-耳

贝IJ+2a-〃+7=4«2-^a-b+b'整理得/-2a-b=0，

又因为卜一万卜君，即

则＞2荽+1=九3,所以1*5

rrrrrrrrr

法二：设c=，―/?,则卜==c+2Z?,2a-J=2c+Z?,

由题意可得：（c+26）=（2c+Z?）,则12+4；：+4,2=4；2+4；.力+，2,

整理得：；2=1，即M='=若.

故答案为：6

3.（2023•河北保定・统考二模）在一ABC中，点Z）在边AB上，CO平分/ACB,若刊=1,画=2,ZACB=60°,

贝!IC。28=.

【答案】1

【解析】延长C4至点p，使CF=CB=2,连接防，

延长8交即于点E,过点E作A3的平行线交C尸于H.

CD平分/ACB,CF=CB,;.E为防的中点，得AH=HF,

12

CB=2CA,:.AH=-CA,可得CD=±CE,

23

CDAB=-CE(CB--CF)=-CECB--CECF.

3233

CB=2,ZBCD=30°,\CE=0,

nf^CECB=CECF=2x73x—=3,

2

CDAB=-x3=\.

3

故答案为：1.

考法四平面向量的共线定理

UUQI/Fr

【例4-1】（2023•山西临汾•统考一模）已知.、b为不共线的向量，AB=a+5b，BC=-2a+Sb,CD=3（a-b

则（）

A.AB,C三点共线B.AC,。三点共线

C.AB,。三点共线D.B,C,。三点共线

【答案】C

【解析】因为a、b为不共线的向量，所以a、〃可以作为一组基底，

对于A：AB=a+5b，BC=-2a+8b，若存在实数/使得AB=4C，

则a+58=《-2a+8b）,所以］方程组无解，所以A5与8c不共线，故A、B、C三点不共线，即A

错误；

对于B：因为A2=a+5b，BC=-2a+8Z?>所以AC=42+20=£+5人+卜2a+8b）=-a+13b,

同理可以说明不存在实数t,使得AC=fC£>，即AC与CO不共线，故A、C、D三点不共线，即B错误;

uum/Trx

对于C：因为BC=-2a+8），CD=3^a-bj,

所以BD=BC+CD=~~2a+86+3（a-6）=a+5b,

又AB=a+5b=BD，所以A2//3D,故A、B、。三点共线，即C正确；

对于D：BC=-2a+8b，CD=3\a-b^,

同理可以说明不存在实数f,使得BC=9。，即BC与CO不共线，故8、C、。三点不共线，即D错误;

故选：C

【例4-2】（2023•河北沧州•校考模拟预测）在ABC中35=：改,加'=g（3A+3C）,点尸为AE与BF的交

点，AP=A,AB+pAC,则％-〃=()

11

A.0B.-C.—

42

【答案】B

【解析】因为B/=g(8A+BC),所以尸为AC中点,

2,P,尸三点共线，故可设=尸，^AP-AB=k[AF-AB),

^^^AP=kAF+(l-k)AB=(l-k)AB+^kAC,

因为8E=」EC,所以AE-AB=LAC-LAE,即4石='43+243,

22233

A,P,E三点共线，

可得AP=mAE=AC+gAB]=mAC+mAB,

2mi1(1

——=l-kk=—

37

所以1,解得;，

m1.3

—=—km=—

〔32〔4

11-111

p]*^AP=-AB+-AC,则4=5，〃=Z，2-//=-.

故选：B

【变式】

1.（2023•广东广州•统考模拟预测）在ABC中，M是AC边上一点，且AM=g〃CN是5M上一点，若

AN^AC+mBC,则实数加的值为（）

1111

A.—B.—C.-D.—

3663

【答案】D

【解析】由=得出AC=3AM，

由AN=^AC+mBC得AN=-^AC+rn^AC-ABj=+~

=（g+3相JAM-mAB,

因为氏N,M三点共线，所以（；+3“|+（-m）=1,解得加=；.

故选：D.

2.（2023•湖南长沙•长沙市实验中学校考三模）如图，在一ABC中，M为线段5c的中点，G为线段AM上

一点，AG=2GM，过点G的直线分别交直线A5,AC于尸，。两点，AB=xAP（x>0）,AC=yAQ（y>0）f

41

则提十的的最小值为（）.

A

44

【答案】B

【解析】因为M为线段3C的中点，所以AM=g(AB+AC),又因为AG=2GM，所以

AG=|AM=|(AB+AC),

又AB=xAP(尤>0),AC=yAQ(y>0),所以AG=1AP+。AQ,

又尸,G,。三点共线，所以：+1=1,即x+y=3,

”【、1411.41、「/i、ix4(y+1)~\1__[_x4(y+l)9

所以一+--=-(-+—-)x+(y+l)>-4+一；+△—^+1>-(z5+2-x

xy+14Xy+14[_y+1xJ4yy+1x4

当且仅当上7=也型，即x=q,y=J时取等号.

y+1x33

3.（2023・四川成都模拟预测）er02是两个不共线的向量，已知48=20+加2,CB=ei+3e2,

CD=2q—且三点共线，则实数上=.

【答案】-8

【解析】依题意得，BC=-el-3e2,于是BD=BC+CD=_q_3e2+2e；_e2=e；—4e2,

由A,民。三点共线可知，存在;I,使得48=28。，即2q+姐=彳（《-402）,

12—%

由于e；,e；是两个不共线的向量，贝U二,解得左=-8.

K——T'X.

故答案为：-8

考法五平面向量中的取值范围

【例5-1】（2023•福建福州•福建省福州第一中学校考模拟预测）在边长为2的菱形A8CD中,

ZBAD=60°,AE=xAB+AD,xG[0,1],则。曰DC的最小值为（）

421

A.—2B.—C.—D.----

332

【答案】B

【解析】边长为2的菱形ABCD中，ZR4D=60°,如图所示，

则|AB|=|AD|=2,ABAD=|AB|-|A£>|-COSABAD=2x2x1=2,

1—x.—2—x

DE=AE-AD=xAB+——AD-AD=xAB+-------AD,DC=AB,

33

(—2—x\.2—2—x42[OY—4

DEDC=\xAB+——-AD\-AB=xAB'+——ADAB=Ax--------x=———，

I3J3333

由于xw[0,l],所以当x=0时，DEQC有最小值

故选：B

【例5-2](2023•山东潍坊・昌乐二中校考模拟预测)已知平面向量a、b、c满足卜|=1，b-c=O,a-b=l，

a-c=-l>贝1]卜+1的最小值为()

A.1B.y/2C.2D.4

【答案】C

【解析】不失一般性，在平面直角坐标系宜力中，设a=(l,0),b^(xl,y1),c=(9,%)，

因为〃包=玉=1,a-c=x2=-l,b-c=x{x2+%%=%%—1=。，

22

所以，\b+c\=7(i-i)+(yi+y2)=1^+y2|=x+(=闻+本22小升亡=2,

当且仅当％=±i时，等号成立.

因此，|b+c|的最小值为2.故选：C.

【变式】

1.（2023•河南开封•统考模拟预测）折扇又名"撒扇"、"纸扇"，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做

扇面的能折叠的扇子，如图L其展开几何图是如图2的扇形AOB,其中ZAO5=120。，OC=2,。4=5,

点E在CO上，则的最小值是

【答案】q37

【解析】如下图，EAEB^(EO+OA)■(EO+OB)=ECf+EO(OA+OB)+OAOB>

若尸为A8中点，且NAO3=120。，贝！IOA+OB=O厂，

贝I|EA.E8=22+EO.OP+5X5X]-J]=EO.OP-，，

要使其最小，只需EO,。尸共线，

止匕时，由图知止匕时E4EB=2x5xcosl80——=一10——=———.

222

37

故答案为：

2.（2023•四川成都•校联考二模）平面向量£,b满足|。|=|6|，且|a-3bl=1,则cos〈6,3b-a〉的最小值是

【答案】孚/g应

【解析】由|〃-3万|=1两边平方得。2_6〃电+9片=].

-2

又因为|a|=|b|,所以4巾=1°"T

6

22

1ZQI\公人218b—110tz—1|8|6|+上112瓜=当,当

所以cos(b,3b-a)=b-(3b-a)_3b-a-b_\8|邸+1=

6

\b\-\3b-a\\b\6gl6\b\

且仅当|回二手时取等号,

所以cos〈。,3Z?-〃〉的最小值是名旦.

3

故答案为：当

3.(2023•河南郑州・统考模拟预测)已知二ABC中，AB=AC=2j2,IAB+ABC^=2(2eR),AM=^MB,

，则|“尸|的取值范围为（）

AP=sin2a•AB+cos2a•AC»ae:g

6311

404A/5

A.亍，亍B.

V17国4

C.D.

35

【答案】D

【解析】由卜3+23cLi=2（2eR）,结合向量加法法则知：A到8c的距离为2,

XAB=AC=2^2,贝113c=4,所以=3C?,故-ABC为等腰直角三角形,

由AP=sin2a.AB+cos2a.AC»则sin2a+cos2a=1,所以尸,民C共线,

「兀兀13

又as—,则sin2a,cos2a£1，R,若。，石为3c的两个四等分点，N为BC中点,如下图示,

63

所以P在线段。石上运动，且4V=2,BD=1,BE=3,

174

由图：若贝UMP//4V,止匕时3尸=—3N=—£[l,3],

233

MF=A；V=22

故上述情况||mm|p易知ME=^1MP+(BE-BP)=J/；=可,

由图知：P与E重合时，=ME=—,

IImax3

综上,

故选：D

4.（2023•全国•统考高考真题）已知。的半径为1,直线融与。相切于点A,直线尸B与。交于B,C

两点，。为BC的中点，若「。|=女，则PAPD的最大值为（）

A1+五„1+2正

22

C.1+72D.2+72

【答案】A

【解析】如图所示，|OA|=1,|OP卜及，则由题意可知:NAPO=：,

由勾股定理可得1PH=NOP?-。1=1

TT

当点A。位于直线尸。异侧时或PB为直径时，设ZOPC=a,0<a<-

4f

则：PAPD=lPA\-\PD\cos^a+^

=lx血cosacosa+—

I4

A（也7Z.

=V2cosa—cosa------sincr

=cos2a—smacosa

1+cos2a1.小

-----------------sin2a

22

a<

°-P则一k

IT

当点AO位于直线PO同侧时，设N。尸

4

则：PAPD=\pA\'\pD\c°s[-?]

=1x夜cosacos[a一

=V2cosa—coscrH-----sma

=cos2a+sinacosa

1+cosla1.-

--------------F—sin2a

22

1V2

=—i-----sin2a+升

22

0Wa<j则?2a+?<?

.•.当2c+/=g时，PAP。有最大值匕e.

422

综上可得，P4P。的最大值为匕包.

故选：A.

考法六平面向量与四心

【例6】（2023春•福建莆田•高一福建省仙游县华侨中学校考阶段练习）已知。，N,/在aABC所在的平

面内，则下列说法不正确的是（）

A.若|OA|=|O@=|OC],则O是..ABC的外心

B.CB-IA=AC-IB=BA-IC=0,贝I/是ABC的内心

C.PAPB=PBPC=PCPA,则尸是AABC的垂心

D.若NA+NB+N(j=G，则N是—ABC的重心

【答案】B

【解析】对于选项A：若|。4卜|。@=|。4，即。到4尻C的距离相等，

根据外心的定义可知：。是-ABC的外心，故A正确；

对于选项B：^CBIA=AC-IB=BAIC=O>则CB_LZA,AC_LZB,54_L/C,

即/是三边高线的交点，所以/是..ABC的垂心，故B错误；

对于选项C：若PA，PB=PB-PC，

LUXutrutruuu,uiruun、uirutruir

贝｝]PA.PB-P8.PC=（PA_PC）-P8=CA.P8=O,即C4_LP3,

同理可得：PA±CB,PC±AB,由选项B可知：尸是..ABC的垂心，故C正确；

UUlULIUUUIUUUU1UUIU1

对于选项D：右NA+NB+NC=G，则NA+NB+NC=2ND+NC=a（。为AB的中点）,

即潴=-2湍，根据重心的性质可知：N是重心，故D正确；

故选：B.

【变式】

1.（2023春•河南濮阳•高一统考期末）点QG,尸为所在平面内的点，且有

|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+\AB[,GA+GB+GC=O,

（PA+PB）AB=（PB+PC）BC=（PC+PA）CA=O,贝。点O,G,尸分另i]为ABC的（）

A.垂心，重心，外心B.垂心，重心，内心

C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心

【答案】A

2222

【解析】^\OA\+\BC\=\OB\+\CA\,IT#|OA|2-|OB|2=|CA|：-|BC|2,

即（OA+0孙（04-02）=（C4+BC）.（C4-BC）,

贝！]（OA+OByBA=BA-（CA+CB）,

^（OA+OB-CA-CB）BA=Q

所以20c・54=0，则OC_LAB，同理可得OA_L2C，OB1AC-

即。是“ABC三边上高的交点，则。为..ABC的垂心；

由G4+GB+GC=0,得GA+GB=-GC，

设AB的中点为M,贝！IGA+G3=2GM=_GC，即G,M,C三点共线，

所以G在ABC的中线CM上，同理可得G在.ABC的其余两边的中线上，

即G是,ABC三边中线的交点，故G为.ABC的重心；

由（PA+P3>A2=O,得2PM-A8=0，即PAf_L4B，

又M是A3的中点，所以P在A3的垂直平分线上，

同理可得，尸在3C,AC的垂直平分线上，

即尸是..ABC三边垂直平分线的交点，故P是A5C的外心，

故选：A

（\

45AC

2.（2023春广东珠海）（多选）在ABC所在平面内，点满足AP=41一r+—।，其中4«0,zo）,加,

㈤叫nn\AC\\）

neR,m^O,〃wO,则下列说法正确的是（）

A.当时，直线AP一定经过ABC的重心

B.当根=〃=1时，直线A尸一定经过，ABC的外心

C.当相=cosB,〃=cosC时，直线AP一经过.ABC的垂心

D.当机=sin_B,〃=sinC时，直线AP一定经过..ABC的内心

【答案】AC

（、

【解析】对于A,因为AP=X+辛:，m\AB\=n\AC\=l,所以AP=2（A3+AC）,

设点。为3C的中点，所以AB+AC=2AO，

所以AP=22A。，所以直线A尸一定经过ABC的重心，所以A正确，

A

A

DD

（、

AC

对于B,当机—〃—1时，AP-％||+

AC

〔网7

JUIU

AB4C

因为用为与钻同方向的单位向量，r招为与AC同方向的单位向量,

ASAC

所以网+冈平分々AC，

所以直线AP一定经过的内心，所以B错误,

c

ABAC

对于C,当根=cos_B,〃=cosC时，AP=A

cosBABCOSCIACI

/、\

ABBCAC5C-|AB|-|BC|COSBAC|-|BC|COSC

所以AP-5C=2=Z

COSBIABICOSCIACIcosBABcosCAC