高考数学《推理与证明》技巧及练习题（附答案解析）

【高中数学】数学《推理与证明》试卷含答案

一、选择题

1.已知〃+/?+c=2,则次?+bc+ca的值()

A.大于2B.小于2C.不小于2D.不大于2

【答案】B

【解析】

【分析】

把已知变形得到Q+Z?=-C,a+c=-b,b+c=-a,把2(〃b+bc+ac)拆开后提取公因式

代入〃+Z?=-c,a+c=-b,b+c=—a,则可判断2(aZ?+Z?c+〃c)的符号，从而得至(J

++的值的符号.

【详解】

Q+Z?+C=2,

tz+Z7—2—cfa+c=2—b,Z7+c=2—a.

则2(ab+bc+ac)

=2ab+2ac+2bc

=ab+ac+be+ac+ab+be

=a(b+c)+c(b+a)+b(a+c)

=b(2-b)+a(2—a)+c(2-c)

—2b—/+2Q—a?+2c—c?

=-(a?++02)+2(a+b+0)

=-(/+/+，)+4,

a+b+c=2,+Z?2+c2)>0,

即-(/+/+，)〈0,

2(ab+bc+ac)<4,/.(ab+bc+ac)<2

即ab+bc+ac的值小于2.

故选：B.

【点睛】

本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力.

2.我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角

形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.（）

I35792013201520172019

481216•••402840324036

12202880608068

4X16128

从第二行起，每一行中的数字均等于其"肩上"两数之和，表中最后一行仅有一个数。，则

a的值为()

A.2018x21008B.2018x21009

C.2020x21008D.2020x21009

【答案】c

【解析】

【分析】

根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果.

【详解】

解：第一行第一个数为：1=1x2°；

第二行第一个数为：4=2x2'；

第三行第一个数为：12=3x22；

第四行第一个数为：32=4x23；

第n行第一个数为：%=nx2"，

一共有1010行，

.,.第1010行仅有一个数：a=1010x21009=2O2Ox21008；

故选C.

【点睛】

本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

22

3.已知点尸(10,3)在椭圆C：—+靠=1上.若点N(%,为)在圆〃：/+/=/上，则

圆"过点N的切线方程为/x+%>=由此类比得椭圆。在点P处的切线方程为

()

xy1XV1xy1

B.----1---—IC.---1—ID.---1—I

H099II3399H0

【答案】c

【解析】

【分析】

先根据点在椭圆上,求得/，再类比可得切线方程.

【详解】

22

因为点尸(10,3)在椭圆。：［+上=1上,

a299

故可得干+短j解得a-.

由类比可得椭圆C在点P处的切线方程为:

10%3y,

——+—=1整理可得二+2=1.

110991133

故选：C.

【点睛】

本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.

4.已知函数/(X)的导函数为了'(X),记工(%)=/'(X),力(力=1'(力，…,

力+1(%)=力'⑺("N*).若〃x)=xsinx,则为O19(X)+为021(力=()

A.-2cosxB.-2sinxC.2cos%D.2sinx

【答案】D

【解析】

【分析】

通过计算于1(%),/(%)/(%)/(%)"(%)，可得

于4k.3(%)(%)，于4"\(%)，力左(%),最后计算可得结果.

【详解】

由题可知：/(x)=xsinx

所以fi(X)=sinx+xcosx,(x)=2cosx-xsinx

^(x)=-3sinx-xcosx,y4(x)=­4cosx+xsinx

f5(x)=5sinx+xcosx,---

所以猜想可知：以―3(x)=(4左—3)sinx+%cosx

九一2(x)=(4左一2)cosx-xsinx

力j(%)=—(4%-l)sinx-xcosx

%左(％)=Tkcosx+xsinx

由2019=4x505—1,2021=4x506—3

所以A019(x)--2019sinx-xcosx

力02i(x)=202lsinx+xcosx

所以力019(%)+力021(%)=2sinx

故选：D

【点睛】

本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳

猜想等方法的使用，属中档题.

5.观察(Y)'=2X,(x4)-4x3,(cosx)'=-sinx,由归纳推理可得：若定义在R上的

函数/(X)满足/(一%)=/(%),记g(x)为f(x)的导函数，则g(—x)=

A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.~g(x)

【答案】D

【解析】

由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为f(x)是偶函数，则g(x)=/'(灯是奇函数，

所以g(—x)=—g(x),应选答案D.

6.平面上有几个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成

/(〃)块区域，有/⑴=2,/(2)=4,f(3)=8,则/(")=().

2

A.2"B.n-n+2

C.2"-(附-1)(〃-2)(〃-3)D.H3-5n2+10/7-4

【答案】B

【解析】

【分析】

分析可得平面内有〃个圆时,它们将平面分成了(")块，再添加第〃+1个圆时，因为每两个都

相交于两点，每三个都无公共点，故会增加2〃个圆.再求和即可.

【详解】

由题,添加第〃+1个圆时，因为每两个都相交于两点，每三个都无公共点，故会增加2几个圆.

又/⑴=2,故/5+1)—/(句=2〃.

即〃2)-〃1)=21(3)—〃2)=4.45)—/5—1)=2九—2.

累加可得/(〃)=2+2+4+...+2〃—2=2+—2"一2)="2—〃+2

故选：B

【点睛】

本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法，需要画图分析进行理解.或直接计

算/(4),/(5)等利用排除法判断.属于中档题.

7.在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老

师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生

团队进行了角逐.将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队

伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如

下：小张说：“甲或乙团队获得冠军"；小王说："丁团队获得冠军"；小李说"乙、丙两个团

队均未获得冠军"；小赵说："甲团队获得冠军若这四位同学中只有两位预测结果是对

的，则获得冠军的团队是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【解析】

【分析】

对甲、乙、丙、丁分别获得冠军进行分类讨论，结合四人的说法进行推理，进而可得出结

论.

【详解】

若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；

若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符；

若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；

若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符.

故选：D.

【点睛】

本题考查合情推理，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

8.甲、乙、丙、丁四人通过抓阉的方式选出一人周末值班（抓到"值"字的人值班）.抓完

阉后，甲说："我没抓到."乙说："丙抓到了."丙说："丁抓到了"丁说："我没抓到."已知他们

四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【解析】

【分析】

可采用假设法进行讨论推理，即可得到结论.

【详解】

由题意，假设甲：我没有抓到是真的，乙：丙抓到了，则丙：丁抓到了是假的，

T：我没有抓到就是真的，与他们四人中只有一个人抓到是矛盾的；

假设甲：我没有抓到是假的，那么丁：我没有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以断定值班人是甲.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了合情推理及其应用，其中解答中合理采用假设法进行讨论推理是解答的关

键，着重考查了推理与分析判断能力，属于基础题.

9.二维空间中圆的一维测度（周长）/=2w,二维测度（面积）S=»，；三维空间中球的二

42

维测度(表面积)s=4"2，三维测度(体积)V=.若四维空间中“超球，，的三维测度

V=8万r3,猜想其四维测度卬=()

A.2%/B.3"4C.4万74D.6"4

【答案】A

【解析】

分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W.

详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，〃+1维测度关于「求导可得〃维测度，

结合"超球"的三维测度V=阮，，可得其四维测度w=271rA.

本题选择A选项.

点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算

求解能力.

10.在等差数列｛%｝中，若。“>0,公差dwO,则有。4%,>%%•类比上述性质，在等比

数列他“｝中，若包>0,公比则关于打，以,“，名的一个不等关系正确的是

()

A.b5b^>b4bsB.&瓦>b4b5C.b5+Z?7<b4+b&D.Z?7+Z?8<Z?4+b5

【答案】C

【解析】

【分析】

类比等差数列｛4｝与等比数列｛2｝各项均为正数，等差数列中的"和”运算类比到等比数列

变为"积"运算，即可得到答案.

【详解】

在等差数列｛4｝中，由4+6=3+7时，有％%,〉%%，

类比到等比数列｛々｝中，由5+7=4+8时，有句+々>4+67，

3

因为“+4-(么+2)="4-b&q-b&q3=b4(l—q)+b4q｛q—1)

=d(j)(l-/)=d(i—Mi+q+q2)〉。，

所以“+々>4+2成立.

故选：C

【点睛】

本题主要考查类比推理，同时考查观察、分析、类比能力及推理论证能力，属于中档题.

/+/

11.用数学归纳法证明T+2+3+...+r)3=-----,nGN*",则当n=k+l时，应当在n=k时对应

2

的等式左边加上()

A.k3+lB.(k3+l)+(k3+2)+...+(k+1)3

（左+1）6+（左+1）3

C.（k+1）3D.

2

【答案】B

【解析】

分析：当项数从“=左到〃=左+1时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

详解：当〃=左时，等式左边=1+2+3+..../

当〃=左+1时，等式左边=1+2+3+.…左3+伏3+1)+伏3+2)伏3+3)…伏+1)3

3

所以增加的项为(左3+1)+(左3+2)(左3+3)…/+I)

所以选B

点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。

11r\1O1

12.已知数组(一)，(―,—),(—?—?—)，(一，----7<，—-—,不)，…，记该数组为

121321nn-121

(%)，(%'。3)，(“4，%，。6)，…,则。200=()

.910119

A.—B.—C.—D.—

11111210

【答案】B

【解析】

【分析】

设。200在第。组中，则"〃+1)(nCN*),

22

]9x20

由等差数列求和得：。2。。在第20组中，前19组的数的个数之和为：------=190,

2

再进行简单的合情推理得：。20。=---=—,得解.

20-10+111

【详解】

由题意有，第“组中有数”个，且分子由小到大且为1,2,3...n,设azo。在第。组中，则

(n-\\n+

——^-<200<-^——("GN*),

22

解得：〃=20,

]9x20

即。20。在第20组中，前19组的数的个数之和为：------=190,

2

即。20。在第20组的第10个数，即为一--=—,

20-10+111

_10

0200------，

11

故选B.

【点睛】

本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题.

13.对于实数。，b,已知下列条件：①。+/?=2；②。+/?〉2；③2；

@ab>l；⑤log/<0.其中能推出"。，万中至少有一个大于1"的条件为()

A.②③④B.②③④⑤

C.①②③⑤D.②⑤

【答案】D

【解析】

【分析】

根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可.

【详解】

①当a=b=l时，满足a+b=2,但此时推不出结论，

②若awl,b<l,则a+b42,与a+b>2,矛盾，即a+b>2,可以推出，

③当a=—,b=工时，满足条件a+b>-2,则不可以推出，

22

④若a=-2,b=-1.满足ab>L但不能推出结论，

⑤由logab<0得logabClogal,若a>l,则0<b<l,若0<a<l,则b>l,可以推出结

论.

故可能推出的有②⑤，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查合情推理的应用，利用特殊值法以及反证法是解决本题的关键.比较基础.

14.幻方最早起源于我国，由正整数1,2.3,......,〃2这〃2个数填入"X"方格中，使得

每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫九阶幻方.定义了(九)为〃

阶幻方对角线上所有数的和，如/(3)=15,则/(10)=()

A.55B.500C.505D.5050

【答案】C

【解析】

【分析】

1+9+3—•+n

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得/(")=

n

即得解.

【详解】

因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，

所以〃阶幻方对角线上数的和/(")就等于每行(或每列)的数的和，

又“阶幻方有〃行(或九列)，

因此，f(n)=----------------，

n

12+----1.99+100

于是y(io)=--+----J。~—=505.

故选：c

【点睛】

本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.

15.观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第〃个图案

中正六边形的个数是

由/⑴=1,/(2)=7,43)=19,…,可推出〃10)=()

A.271B.272C.273D.274

【答案】A

【解析】

【分析】

观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；…

根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数.

【详解】

由图可知，/(1)=1，

/(2)=l+2x6-6=7,

/(3)=l+(2+3)x6-2x6=19,

〃2)=l+(2+3)x6-2x6=19,

/(4)=l+(2+3+4)x6-3x6=37,

/(10)=l+(2+3+4+...+10)x6-9x6=271.

故选A.

【点睛】

此类题要能够结合图形，发现规律：当〃22时，/(〃)—/(〃-1)=6(〃—1).

16.某学校为响应国家强化德智体美劳教育的号召，积极实施国家课程校本化.每个学生除

学习文化课程外，还可以根据自己的兴趣爱好来选修一门校本课程作为自己的特长课程来

学习.该校学生小刚选完课后，本班的其他三位同学根据小刚的兴趣爱好对小刚的选课做出

了自己的判断：甲说：小刚选的不是书法，选的是篮球；乙说：小刚选的不是篮球，选的

是排球；丙说:小刚选的不是篮球，选的也不是国画.已知三人中有一个人说的全对，有一

人说对了一半,另一个人说的全不对，由此推断小刚的选择的（）

A.可能是国画B.可能是书法C.可能是排球D.一定是篮球

【答案】B

【解析】

【分析】

依次假定小刚的选择,逐一验证得到答案.

【详解】

若小刚选择的是国画,则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足，排除;

若小刚选择的是书法,则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足；

若小刚选择的是排球,则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足，排除；

若小刚选择的是篮球,则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足；

故小刚可能选择的是书法和篮球.

故选：B.

【点睛】

本题考查了推理分析，意在考查学生的逻辑推理能力.

17.已知/(x+1)二了;72,"1)=1(XGN*),猜想/(%)的表达式为()

A

-小）=匕B.f(x}=---C.f(x}=——D.f(x}=---

V72"+2V7x+1')2x+l

【答案】A

为〃x+l)=2/S),所以111

【解析】因-----=----1-,因此

八)〃x)+2/(x+1)/(X)2

—L=—TX+—(x-1)=—(x+l)^>=?—，选A.

/(x)/(I)2、'2、'x+1

18.下列表述正确的是（）

①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；

③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；

A.②④B.①③C.①④D.①②

【答案】D

【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即

可得答案.

详解：根据题意，依次分析4个命题：

对于①，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确；

对于②，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确；

对于③，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误；

对于④，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误；

则正确的是①②，故选D.

点睛：该题考查的是有关推理的问题，对归纳推理、演绎推理和类比推理的定义要明确,

以及清楚哪些方法是直接证明方法，哪些方法是间接证明方法，就可以得结果.

19.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层

班级，生物在3层班级.该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目

的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有()

第一节第二节第三节第四节

地理3层2班化学A层3班地理A层1班化学4层4班

生物A层1班化学3层2班生物3层2班历史B层1班

物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班

物理3层2班生物3层3班物理3层1班物理A层4班

政治1班物理A层3班政治2班政治3班

A.8种B.10种C.12种D.14种

【答案】B

【解析】

【分析】

根据表格，利用分类讨论思想进行逻辑推理一一列举即可.

【详解】

张毅同学不同