2025版高考数学二轮复习：数列（含解析）

专题跟踪检测（八）数列

一、全练保分考法一一保大分

1.已知等差数列的前3项依次为a,a+2,3a,前〃项和为S,且&=110,则左的值

为（）

A.9B.11

C.10D.12

解析：选C由a,a+2,3a成等差数列，得公差为2,且2（a+2）=a+3a,解得a=2,

所以卜21—X2=A2+A=110,解得次=10或4=一11（舍去）.

2.（2024•云南模拟）已知数列｛aj是等差数列，若国一1,as—3,as—5依次构成公比

为（7的等比数列，则[=（）

A.—2B.-1

C.1D.2

解析：选C依题意，留意到2H3=&+的2&-6=4+为一6,即有2（&-3）=（劭-1）

+（为一5）,

即8-1,3,8一5成等差数列；

又为一1,53-3,与一5依次构成公比为q的等比数列，

因此有助-1=&—3=戊-5（若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列是一个

非零的常数列），g=1=L

3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步

不犯难.次日脚痛减一半，六朝方得至其关.要见次日行里数，请公细致算相还.”其意思

是“有一个人走378里，第一天健步行走，从其次天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半,

走了6天后到达目的地.”则第三天走了（）

A.60里B.48里

C.36里D.24里

解析：选B由题意得每天走的路程构成等比数列｛aj,其中&=378,则氏=

a"_手）1

———=378,解得a=192,所以a3=192X]=48.

一5

4.已知递减的等差数列｛aj中，a3=-l,团，&,一a成等比数列.若S为数列｛aj

的前〃项和，则S的值为（）

A.-14B.-9

C.-5D.-1

解析：选A设数列｛a｝的公差为"由题可知水0,因为国,一a成等比数列，所

以（—56）,即（ai+3#2=&X（一a一5中,又&=&+2d=-1,联立可解得d=-l

9

或（舍去）.因为d=-1,所以劭=1,所以岳=一14.

5

5.若数列｛a｝是正项数列，且伞+板H---\-y[an=ii+nf则ai+yH----^等于（）

A.2n+2nB.n+2n

C.2n+nD.2(n+2n)

，当刀=1时，y[ai=2,解得a=4.

当刀22时，

①一②，得^L=2/7,.\an=4n.

当77=1时上式也成立.

工曳=4n,则&+牛-I---1--=4（1+2H---\-n）=4X---^――=2n+2〃.

n2n2

6.已知正项等比数列｛a｝的前77项和为Sn,且&-254—5,贝！J乃9+a1（）+励1+囱2的最小

值为（）

A.10B.15

C.20D.25

解析：选C由题意可得女9+aio+au+ai2=S2—&,由&-22=5可得关-2=2+5,

由等比数列的性质可得W,S12-友成等比数列，则S（Si2-&）=（&-£）\综上可得

当且仅当&=5时等号成立，综上可得@9+句0+Z11+42的最小值为20.

7.设｛a｝是由正数组成的等比数列，S为其前〃项和.已知/&=1,5=7,则其公比

0等于.

解析：:｛a｝是由正数组成的等比数列，，数列｛a｝的公比q>0.由&a=1,得萌=1,

.*.53=1.*.*&=7,/.+az=A+-+1=7,即6"一°-1=0,解得。=：或<7=一<（舍

QQLiu

去）•故<7=2,

8.在各项均为正数的等比数列｛a｝中，8―i&+i=28（勿22）,数列｛a｝的前刀项积为北.

若0i=512,则勿的值为.

解析：由等比数列的性质，得aiai=a《=2a”.又数列｛aj的各项均为正数，所以为=

2.又7Li=(a)*|=2*|=512,所以2〃-1=9,所以0=5.

答案：5

9.设数列｛aj的前〃项和为S,且4=1,a^+aB+i=^;(/7EN*),则瓯-i=.

解析：因为a=1,所以&„-i=ai+(a+a)4----卜(々题-Z+&1)

1+77+市+

10.(2024•成都模拟)已知等差数列｛aj的前〃项和为S,短=3,a=16,」GN*.

⑴求数列｛&｝的通项公式；

⑵设4=-L,求数列｛4｝的前n项和■.

1

解：(1)设数列｛a｝的公差为4

»2=3,2=16,

4+d=3,44+64=16,

解得H=1,d=2.

•・Q，n:=2/71.

(2)由题意，b—

n2\2z?—12n~\~1

北=bi+坊+…+4

+-+2T?—12〃+1

2刀+1

2刀+「

11.(2025届高三•南宁二中、柳州中学联考)已知a=2,&=4,数列｛4｝满意：ba

=26〃+2且4+1—5^—bn.

⑴求证:数列伉+2｝是等比数列;

⑵求数列｛a｝的通项公式.

切/八、〒□口上日古卜4+1+224+2+2

角牛：(1)证明：由寇知，,I—/।=2,

仇十292十29

*.*4=/—2=4-2=2,61+2=4,

・•・数列的+2｝是以4为首项，2为公比的等比数歹！J.

(2)由(1)可得,4+2=4・2"T,故4=2"+i—2.

•ZA+13，nbn,

••&-4=A,

&-&='

34-3,3=bi9

3，n3，n~lbn—\.

累加得，%—a=61+庆+&+~+4—1(〃22),

23

an=2+(2-2)+(2-2)+(2,-2)+…+(2”—2)

21一2”

~1-22(〃一1)

n+l

=2~2nf

故品=2"+1—27?(7?22).

・・・4=2符合上式，

・,・数列｛2｝的通项公式为4=2"+】一2〃5WN*).

12.已知数列｛4｝是等差数列，&=6,前〃项和为S,｛4｝是等比数列，&=2,出晟=

12,&+4=19.

⑴求｛a｝，仇｝的通项公式；

(2)求数列｛Acos3兀)｝的前n项和Tn.

解：(1)・・,数列｛2｝是等差数列，&=6,

旦+61=3勿+61=18+61=19,61=1,

,:庆=2,数列伍｝是等比数列，・・・4=2".

&=4,Vai&=12,・\HI=3,

,・2=6,数列｛a｝是等差数列，

••8?=3/7.

(2)由(1)得，令Q=bncos⑸兀)=(―

・,・2+1=(-

&+1_

~=~2,又C\=—1,

・・・数歹(HAcos(为五)｝是以一1为首项，-2为公比的等比数列,

-IX[1--2"]

Tn=1+2

o

二、强化压轴考法一一拉开分

1.已知数列｛a｝的前〃项和为S,且&=2,S+i=44+2,则@2=（）

A.20480B.49152

C.60152D.89150

解析：选B由S=4a+2,得&+a=4&+2,联立功=2,解得a=8.又2+2=S+2

—S+i=4&rR—4为，・••劣+2—2a+i=2（Z+L2a；）,・••数歹（J｛a+1—2&J是以色―2谢=4为首项，

以2为公比的等比数列，"+「2&=4X2"T=2〃+I,.产+""=1,...券一京=1,.•.数

列］是以胃=1为首项，以1为公差的等差数列，，£=1+（〃-1）=〃，•2",江

=12X212=49152.

2.已知2=1,a=〃（A+L劣）（〃£N*）,则数列｛a｝的通项公式是（）

A.2/7-1B.

C.nD.n

解析：选D因为劣=〃（a+1—Q-n）—DQn+\—nan，所以Z7a+1=（〃+1）为，所以=，

ann

生nn-12

所以为=..妇—,&=----•---7~,1=77.

Hn―13，n—2din-177—2

3.（2024.郑州模拟）已知数列｛&｝满意国=1,1“「a」=〃，•若――

功〃+2<H2〃O?£N*）,则数列｛（―1）3｝的前40项的和为（）

19325

A——

20B-菽

4120

C，84D•五

解析：选D由题意可得82〃+l—曲-1>0,如+2-82<0,则谢+1—a〃-1>谢+2—&n，

所以82〃+1-&〃+2>82〃-1-&n.①

]

而|&什1一己2〃+2

2n~\~12刀+3

]

3-2n-\—&n

2n—12T?+1

即|82/?+1-&〃+2|<|&n-l-|•②

综合①②，得azi—azO,

1

即&n—L改n

2/7-12T?+1*

裂项，得加一azinTxt*一击)

综上可得，数列｛(-1)"2｝的前40项的和为(4一81)+(2-&)H-----\~(-940—539)=2

x[(讨+(H)+…+盖斓卜冬

4.(2025届高三•河北“五个一名校联盟”联考)在正整数数列中，由1起先依次按如

下规则，将某些数染成红色.先染1;再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇

数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续

奇数17,19,21,23,25.按此规则始终染下去，得到一红色子数列

1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…，则在这个红色子数列中，由1起先的第2018个数是

()

A.3971B.3972

C.3973D.3974

解析：选B由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数，…，依据等差数列的前

工三八一-12A+1._,_63X63+1

〃项和公式，可知前〃组共有——----个数.由于2016=--------------------<2

018\64X；4+1—Ogo,因此，第?个数是第64组的第2个数.由于第1组最终

一个数是1,第2组最终一个数是4,第3组最终一个数是9,…，第〃组最终一个数是丁,

因此，第63组最终一个数为632632=3969,第64组为偶数组，其第1个数为3970,第2

个数为3972,故选B.

5.(2025届高三•南昌调研)设数列｛aj的前n项和为S,若a=3且当时，2a〃

=Sn•S-I(T?£N*),则数列｛a｝的通项公式an=.

解析：当刀22时，由2an=Sn•S-1可得2(S—S—J=Sn•Sn-i,即三一一一

0/74JnOn—1

1

.••数歹心是首项为《公差为一加等差数列，(f=T,

-2-

6」11665-J8”又

•・S=5_3,当〜2时，an=2SnSn-l=2X5-3/7X5-3n-1

为=3,

3,77=1,

••3，n18________>

5—3〃8-3/7J

3,n=lf

答案：1________18________

力22

5—3T?8-3T?

6.(2024•开封模拟)已知数列｛a｝满意[2—(―1)口为+[2+(—1)”]2+1=1+(—

1)"X3/7(〃£N*),则825一4=.

解析：:[2—(-1)"]2+[2+(-1)"]a+1=1+(―1)"X3/?,・••当〃=2A(A@N*)时，a2k

+3加+i=l+6A,当n=2k—1(A£N*)时，3/衣-1+劭=1—6A+3,;・骸+1—&-i=4A—1,

〃25=(己25—523)+(己23—己21)+…+(&—a)+&=(4X12-1)+(4X11—1)+…+(4X1-1)

]2X12+1

+ai=4X--------------------12+ai=300+a,/.azs-ai=300.

答案：300

三、加练大题考法一一少失分

1.已知等差数列｛a0｝的前〃项和为S,S=0,a3-2a2=12(/7eN*).

(1)求数列｛a„｝的通项公式a“；

⑵求数列产井［的前n项和S.

解：(1)设等差数列｛aj的公差为d,

7囱+d=0,Hi=—12,

由已知得，2解得

(7=4,

、Hi+2d_2a+d=12,

所以^=4/7—16.

为+164/7-16+16n

⑵由⑴知2=4刀一16,所以，2五2尹

所以S=g+/+枭----琛,

两边同乘以提

得5$=炉+彳+,+■■■+―2n+2〃+小

1n

两式相减，得----

乙乙乙乙乙F2n~2n+i

n〃+2n+2

2〃+i12"+i所以Sn=2一_F

2"—1

2.设数列｛4｝的前刀项和为北=丁(〃£N*).

⑴求｛a｝的通项公式;

(2)若数歹!)｛4｝满意仇=log2外,数列｛，｝的前〃项和为Sn,定义［x］为不小于X的最小

整数，求数列卜勺前n项和旦.

2"—1

解：(1)因为数列｛劣｝的前n项和为Tn=-

21—11

所以a=71-=1•

2f2小一1『

当时，a=T—T-\

nnn44

当〃=1时，囱=；符合上式.

故为=2"T.

(2)由(1)可知，6〃=log2a=刀一3,

则数歹()｛4｝是首项为-2,公差为1的等差数列，其前〃项和S=^■一，〃，则3=:一怖.

乙乙n乙乙n

c15

因为当心1时，涓而一元单调递增,

C9C

所以声-2,当2W后5时，一产产。,

1s1

当后6时，访W涓〈5,

所以7?1=-2,

当2W〃W5时，%=—2+0+0H---H0=-2,

当时，Rn——2+（77—5）,1=77—7,

所以此=!:1

［〃一7,“26.

3.已知等差数列｛2｝的前〃项和为S(〃£N*),且a=3,W=25.

⑴求数列｛a｝的通项公式；

⑵若数列｛4｝满意4=-;」=,记数列｛4｝的前〃项和为北，证明：7X1.

解：(1)设等差数列｛aj的公差为d.

@+d=3,

因为/=3,£=25,所以152a+4d

=25,

2