河北省邯郸市2025届高三数学（文）第一次模拟考试试题（含解析）

河北省邯郸市2025届高三数学第一次模拟考试试题文(含解析)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列格式的运算结果为实数的是()

A.-i(l+i)B.i(l—i)

C.(1+i)—(1—i)D.(1+i)(l—i)

【答案】D

【解析】

【分析】

利用复数运算化简每个选项即可求解

【详解】对A,-i(l+0=1-i；

对B,i(l-i)=1+i;

对C,(1+i)-(1-i)=2i;

对D,(1+0(1-0=2

故选：D

【点睛】本题考查复数的运算，熟记运算法则是关键，是基础题

2.设集合4=因产〉4。B={k区<—2卜则集合B可以为()

A.{x\x<3}B.{x|-3<x<1}

C.{x\x<1}D.{x\x>—3}

【答案】c

【解析】

【分析】

首先依据一元二次不等式的解法求得集合B,之后依据集合交集中元素的特征，选择正确的

结果.

【详解】因为4={x|x<—2或久〉2},

所以当B={刈尤<1}时，AciB=[x\x<-2},

故选D.

【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简洁题目.

3.在平行四边形ABCD中，4(1.2),8(-2,0),市7=(2,-3),则点D的坐标为()

A.(6,1)B.(—6,—1)C.(0,—3)D.(0,3)

【答案】A

【解析】

【分析】

先求脑,再求疝=应1-脑,即可求D坐标

【详解】脑=(-3,-2),：.AD=AC-AB=(5,-1),则D(6,1)

故选：A

【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记运算法则，精确计算是关键，是基础题

4.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)分布状况汇总如下:

身高(100,110](110,120](120,130](130,140](140,150]

频数535302010

有此表估计这100名小学生身高的中位数为(结果保留4位有效数字)()

A.119.3B.119.7C.123.3D.126.7

【答案】C

【解析】

【分析】

由表格数据确定每组的频率，由中位数左右频率相同求解即可.

【详解】由题身高在(100,110],(110,120],(120,130]的频率依次为0.05,0.35,0.3,前两组

03

频率和为0.4,组距为10,设中位数为x,则(x-120)x元=0.1,解x=123.3

故选：C

【点睛】本题考查中位数计算，熟记中位数意义，精确计算是关键，是基础题.

5.如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，依据图中数据可知该椭圆的离心率为()

【答案】B

【解析】

【分析】

分析图知2a,2b,则e可求.

b4I/4\3

【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,则一=三，则离心率e=1-5)2=

a5TJ\5/5

故选：B.

【点睛】本题考查椭圆的离心率，熟记a,b的几何意义是关键，是基础题.

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

依据对数的运算的性质计算即可.

【详解】f(X)=l+|x|+，，

.*.f(-x)+f(x)=2+2|x|,

11

Vlg-=-lg2,lg-=-lg5,

z□

11

(lg2)+f(lg-)+f(lg5)+f(lg-)=2X2+2(Ig2+lg5)=6,

25

故选：c

【点睛】本题考查了对数的运算，函数基本性质，考查了抽象概括实力和运算求解实力，是

基础题

7.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于:如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗

O

实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体

积为

32回40A/10

A.32B.40C.-L-D.—^―

33

【答案】C

【解析】

【分析】

将三视图还原，即可求组合体体积

【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2,高为

11132

4,则体积为-7Tx22x4+-x-7Tx22x4=—n,利用张衡的结论可得

7T25一娱皿

——=-,.*.TT=tJ10,

168tY，3

故选：C

【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题

8.若存在等比数列忸几｝,使得的(。2+。3)=6%-9,则公比q的最大值为()

A1+而1+而pT+衽

A.-----R£)•-----U.-------U.

424

-1+市

-2-

【答案】D

【解析】

【分析】

将原式表示为向，d的关系式，看做关于旬的二次型方程有解问题，利用判别式列不等式求

解即可.

【详解】由题设数列的公比为q(q/0),则%(4q+%q2)=6%-9，整理得

(/+q)a：-6%+9=0,当/+q=o时，易知q=-l,符合题意；但q#0,当q2+qW0时,

A=36-36(q2+q)>0,解得二^<q<二1故q的最大值为二

故选：D

【点睛】本题考查等比数列，考查函数与方程的思想，精确转化为面的二次方程是关键，是

中档题.

9.已知函数/'(x)=2cos2(2x+\)+®sin(4久+1，则下列推断错误的是()

7T

A.7'(乃为偶函数B.7'(%)的图像关于直线工=彳对称

4

c.f(乃的值域为[-1,3]D.八乃的图像关于点卜对称

【答案】D

【解析】

【分析】

化简f(x)=l+2cos4x后，依据函数的性质可得.

【详解】f(x)=l+cos(4x+-)+干sin(4x4--)=l+2sin(4xd--1"-)=l+2cos4x,

3336

f(x)为偶函数，A正确；

k冗

4x=kn得x=一，当k=0时，B正确；

4

因为2cos4xe[-2,2],.•./■(%)的值域为11,3],C正确；

故D错误.

故选：D.

【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，精

确计算是关键，是基础题

10.已知/n>0,设满思约束条件|x-2<0,z=久+y的最大值与最小值的比值为k,

(2x—y+m>0,

贝lj()

A.k为定值一1B.k不是定值，且k<-2

C.k为定值一2D.k不是定值，且

【答案】C

【解析】

【分析】

由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程

组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为3求得实数m的值..

；y+2>o

【详解】画出m>0,x,y满意约束条件%-2<0的可行域如图：

(2x-y+m>0

当直线z=x+y经过点A(2,m+4),z取得最大值，当直线经过B(-l-,，-2)时，z取

m+6

得最小值，故卜二1二=一2为定值.

----3

2

故选：C.

【点睛】本题考查简洁的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

H.在棱长为2的正方体48CD-中，F为棱81%上一点，且F到直线4人与C%的距离

相等，四面体4避名尸的每个顶点都在球。的表面上，则球。的表面积为()

417r337r

A.87rB.---C.97rD.---

44

【答案】D

【解析】

【分析】

由题，先确定F的位置，由九必力义出/相互垂直，构造以切瓦山公出/为棱的长方体，求

其外接球半径即可求得球的表面积

【详解】过外做%N1A^,B/i±面44拉世，，8/_LA】B,A/_L面%NF,二&B1FN：.FN

________1

为F到直线的距离，则|NF|=|C/|,设|B/|=x,&2+(的2=2一％解得x=.

•.里此生4昆?相互垂直，以8百8/1产/为棱的长方体球心即为0,贝U

2R=,4+4+：=卓二球。的表面积为4m2=竽

故选：D

【点睛】本题考查椎体的外接球，明确点F的位置是突破点，构造长方体是关键，是中档题

12.已知函数f(%)的导函数f'(%)满意(汽+Inx)f(x)<f(%)对％G(:,+8)恒成立，则下列不等式

中肯定成立的是()

A.2/(1)>/(e)B.e2/(l)>f(e)

C.2/(1)</(e)D.吹l)<f(e)

【答案】A

【解析】

【分析】

9(%)”匕求出函数g(x)的导数，推断函数的单调性，从而得出答案.

1+Lnx

【详解】令g(九)=一,"),由(x+xlnx)ff(x)<f(x),+ooj

1+lnx\e/

得(1+lnx)f'(x)--f(x)<0,

X

f(x)(l+Znx)-/(x)-

g,(x)__________________工,

(1+lnx)2

则g'(x)<0,

故g(x)在xeg,+8)递减；故g(e)<9(1),即与<?,.•.2f(l)>f(e)

故选：A

【点睛】本题考查抽象函数的单调性，构造函数，精确构造新函数是突破，精确推断单调性

是关键，是中档题

二、填空题：将答案填在答题卡中的横线上.

13.小张要从5种水果中任选2种赠送给好友，其中芒果、榴莲、椰子是热带水果，苹果、葡

萄是温带水果，则小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为.

3

【答案】三(或0.6)

【解析】

【分析】

确定基本领件个数即可求解

【详解】由题从5种水果中任选2种的事务总数为量=10,小张送的水果既有热带水果又有温

带水果的基本领件总数为6吗=6,二小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为

6_3

10-5

故答案为看3

14.函数/"(x)=｛箫言f2"的值域为-

【答案】(一5,3]

【解析】

【分析】

由函数性质确定每段的值域，再求并集即可

【详解】由题/■(*)=2"-5单调递增，6(-5,-1],又f(x)=3sinxE[-3,3],故函数的值域

为(-8,-1]u[-3,3]=(-5,3]

故答案为(-5,3]

【点睛】本题考查分段函数的值域，三角函数性质，指数函数的性质，熟记函数性质，精确

计算是关键，是基础题

22

15.已知4B分别是双曲线C匕—匕=1的左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则的外接圆APAB的

m2

标准方程为.

【答案】一+(y_3)2=10

【解析】

【分析】

由点P(3,4)为C上，求m,由外心设外心坐标M(0,t),M在PB的中垂线上求t即可

9164

【详解】P(3,4)为C上一点，一-k=1,解得m=l,则B(1,0),Ak=-=2,PB中垂线方程为

m22PB

1

y=2)+2,令x=0,则y=3,设外接圆心M(0,t),则M(0,3),r=\MB\=产手，△PAB

外接圆的标准方程为/+(y_3)2=10

故答案为久2+(y_3)2=10

【点睛】本题考查圆的标准方程，双曲型方程，熟记外心的基本性质，精确计算是关键，是

基础题

16.设S.为等差数列｛与｝的前几项和，若。7=5品=-55,贝MS”的最小值为.

【答案】-343

【解析】

【分析】

分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得a”d,在代入求和公

式，并利用导数判单调性求最值即可求解.

【详解】由题意可得，，(请乙:；二：55解可得出=-19,d=4,

n(n-1)„,,

J

/.Sn=-19n------x4=2n-21n,.".nS„=2n-21n",

设f(x)=2x3-21x2,f'(x)=6x(x-7),

当0<x<7时，f'(x)<0；函数是减函数；

当x>7时，f,(x)>0,函数是增函数；

所以n=7时，ns”取得最小值：-343.

故答案为-343

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简洁应用，精确计算是关键，属

于基础试题.

三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在△4BC中，3sinA=2sinB,tanC=2T/2.

。)证明：△ABC为等腰三角形.

(2)若△4BC的面积为2蚀，。为力C边上一点，且=3CD,求线段CD的长.

【答案】(1)详见解析；(2)T+作

12

【解析】

【分析】

1

(1)由正弦定理得3a=2b,由tcmC=得cosC=§,利用余弦定理求得b二c即可证明；(2)由

A4BC的面积求a,设CD二化,在△DBC中运用余弦定理求得x,即为所求

【详解】(1)证明：3sinA=2sinBf3a=2b

L1

•・•tanC=2^/2,cosC=-

设的内角的对边分别为a,b,,

由余弦定理可得c?=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2ax^cosC=b2

即人=6贝必ABC为等腰三角形.

(2)vtanC=2盘,:.sinC=—^―

则A4BC的面积S=^absinC=1a2x=2^2

解得a=2.

]

设CD=x,贝i]BD=3x,由余弦定理可得(3x)2=/+22-4久x§,

解得"-1+丑（负根舍去），从而线段CD的长为」±2^.

1212

【点睛】本题考查正余弦定理，同角三角函数基本关系，证明三角形形态，娴熟运用定理及

三角公式，精确计算是关键，是中档题

18.如图，在三棱柱ABC—&B1G中，A41平面4BC,。为BC边上一点，

乙BAD=60°,AA^=AB=2.AD=2.

⑴证明：平面平面BBiJC.

©若BD=CD,试问：&C是否与平面4。位平行？若平行，求三棱锥4-4/7的体积；若不

平行，请说明理由.

./3

【答案】（1）证明见解析；（2）A£与平面ADBi平行.体积为L.

3

【解析】

【分析】

（1）禾［j用A&1平面ABC,证得BB］!.平面ABC,得至iJ8Bi_L4D,利用余弦定理证得4。_LBC,

由此证得AD1平面BB/jC,从而证得平面平面B%GC.（2）取名J的中点E,连接

DE,CE,A^,通过证明四边形4DE占为平行四边形，证得&E〃4D,同理证得CE〃B/,所以平

面平面ARE,由此证得&C〃平面40%.利］用匕=UB「4&D=嗫一4&D求得三

棱锥的体积.

【详解】⑴证明:因为AA」平面ABC,

所以BB」平面ABC,

因为4。u平面4BC,

所以AD_LBBi.

在4ABD中，由余弦定理可得，BD2=AB2+AD2-7.ABADcos6G0=3.

^\AB2=AD2+BD2,

所以AD±BC,

又BCnBB、=B,

所以AD_L平面BBiCiC,

因为ADu平面

所以平面ADBi_L平面BBCC.

⑵解:A£与平面ADBi平行.

证明如下：取BC的中点E,连接DE,CE,AF,

因为BD=CD,所以DE〃AAi,且DE=AA”

所以四边形ADEA,为平行四边形，

则A1E/7AD.

同理可证CE/7B1D.

因为4述nCE=E,

所以平面ADBi〃平面A£E,

又A/u平面&CE,

所以AC〃平面ADBi.

因为AAi〃BBi,

所以唳[-4/。

又BD=y^,且易证BD_L平面AAD

所以乙-勺％。=U8]-44/=^B-AA^D=3X^X2X^X1=^3-

【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查线面垂直的证明以及三棱锥体积的求法，属

于中档题.

19.某小学举办“父母哺育我，我报父母恩”的活动，对六个年级（一年级到六年级的年级

代码分别为12•一,6）的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计，绘制得到下面的散

点图.

⑴由散点图看出，可用线性回来模型拟合y与％的关系，请用相关系数加以说明.

（2）建立y关于久的回来方程，并据此预料该校学生升入中学的第一年（年纪代码为7）给父母

洗脚的百分比.

6n

附注：参考数据：£（勺_三）2=1752（勺一秋％-9）=35,口羽丽《365参考公式：相关系

i=lM

n

2（々一秋%一歹）

1=1

数「=

nnJ若r>0.95,贝力与龙的线性相关程度相当高，可用线性回来模型拟

)z

i=1i=1

合y与久的关系.回来方程夕=bx+a中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为:

n

2（々一秋％一歹）

公i=l__

3---------,a=y-bx.

2（—）2

i=l

【答案】（1）详见解析；（2）23%.

【解析】

【分析】

6

（1）计算歹=16,得历2=76,代入计算公式求值即可推断y与#的线性相关程度；（2）

1=1

35

由公式计算8=,=2,求元带入回来直线求得必进而求得回来方程，将x=7代入直线，

即可确定百分比

1

【详解】(1)因为歹=-x(ll+13+16+15+20+21)=16

6

6

所以£(%-歹)2=76,

1=1

「…3535

所以r===/，

口7.5X7671330

因为“1330002365,所以黄频亡36.5,

…35

所以r0.96.

36.5

由于y与4的相关系数约为0.96>0.95,说明y与龙的线性相关程度相当高，从而可用线性回来

模型拟合y与％的关系.

(2)b=—=2

17.5

_1

因为三=—x(1+2+3+4+5+6)=3.5,所以6=歹一破=9

6

所以回来方程为夕=2%+9.

将x=7,代入回来方程可得夕=23,

所以预料该校学生升入中学的第一年给父母洗脚的百分比为23%.

【点睛】本题考查相关系数r,回来直线方程，娴熟运用公式计算是关键，是基础题

20.已知点8(1,2)是抛物线“丁2=22工伽>0)上一点，F为M的焦点.

⑴若4(：,a),C(|,b)是M上的两点，证明：|凡4|,|印，因依次成等比数列.

(2)过B作两条相互垂直的直线与M的另一个交点分别交于P,Q(P在Q的上方)，求向量8

在y轴正方向上的投影的取值范围.

【答案】⑴详见解析；(2)(8,+8).

【解析】

【分析】

(1)由在抛物线上求P,再利用焦半径公式求|F4|,|FB|,|FC|,再利用等比数列定义证明即

可(2)设直线PB的方程为丫=卜0-1)+2%>0),与y2=4支联立，得力2_到+4(2-々)=0,

由△>(),求k的范围，并求得P坐标，同理求得Q坐标，则向量◎在y轴正方向上的投影为

44

二丁+4k,求函数f(k)=7+4k的范围即求得结果

kk

【详解】(1)证明：・・・8(1,2)在抛物线M/=2p%(p>0)上，.・.4=2p,・・.p=2.

1p35P8

AR=2+2?|FB|=2,R=3+23，

382

v-x-=22

23

尸切，|尸C|依次成等比数歹!J.

(2)设直线PB的方程为〉二解%-1)+2(4>0),与/=4工联立，得女/_到+4(2-k)=0

则A=16-16fc(2-fc)>0,vfc>0,/.fc6(04)0(1,+oo

、44

设尸(久”力)，Q(久2)2)，则2+%=0,BPy1=——2

K.K

­•­P在Q的上方­­•Ji>0,则kG(0,1)U(1,2).

以代比得丫2=-4卜-2,

4

则向量在在y轴正方向上的投影为yi-%=工+4比

4

设函数/(忆)=7+4匕则/(A)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，从而

故向量。在y轴正方向上的投影的取值范围为(8,+00).

【点睛】本题考查抛物线的简洁性质与应用，直线与抛物线位置关系，范围问题，娴熟运用

定义，精确计算P,Q坐标，将⑪在y轴正方向上的投影表示为k的函数时关键，是中档题.

]

21.已知函数/'(x)=(x-a-l)ex--x2+ax.

(1)探讨/"(X)的单调性.

(2)若弘°e[l,2],/(x)<0,求a的取值范围.

【答案】(1)f(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增；(2)

1

【解析】

【分析】

(l)f'(X)=O-a)eX-x+a=(x-a)(e*-1),探讨当a<0,a=0,a>0时导数符号改变状况求

1

得单调性(2)由(1)的探讨知：awo时，/'(x)min=/(l)<°，解j_-<a<0；0<a〈l时，

2(1-e)

1

a2

f(X)m讥=/(1)<0,解0<a<1符合；当1<。<2时，fWmin=/(«)=-e+-a,构造函数

1

g(x)=-/+/2,尤e(l,2),求导判单调性解a的不等式；。22时，/0)„1讥=/(2)<。,解@

范围，则问题得解

x

【详解】(1)/'(X)=(常-a)e*-第+Q=(X-d)(e-1)

当a<0时，xG(-co,d)U(0,+oo),f*(x)>0；xG(a,O),f'(x)<0.

所以f(%)在(-8.)上单调递增，在(a,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

当Q=0时，/'(第)之0对％WR恒成立，所以/(%)在R上单调递增.

当a>0时，xG(-oo,0)U(a,+oo),fl(x)>0；xG(0,a),f'(x)<0.

所以/(%)在(-8,0)上单调递增，在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.

(2)①当a40时，由(1)知/(%)在(0,+8)上单调递增，则/㈤在［1,2］上单调递增,

111

所以f(E)m讥=/(D==(l-e)a--<0,解得而一^-<a<0.

②当a>0时，由(1)知/1(%)在(0,a)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.

当0<"1时，/1(%)在［1,2］上单调递增.

11

所以fO)m讥=/(1)=一。。一］+a=(1-。)。一5<0对。€(0,1］恒成立，则0<a〈l符合题

-zsir.

思；

当l<a<2时，/(%)在口a)上单调递减，在(a,2］上单调递增.

1

所以fCOmin=f(a)=-ea+^a2.

］

设函数g(x)=-/+/2,%e(i,2),

易得知x6(1,2)时，1x26(1,2),_e*e(-e2,_e),

所以g(x)<0,

故讥=f(a)=-ea+^a2<0对aG(1,2)恒成立，即1<a<2符合题意.

当a之2时，/(%)在［1,2］上单调递减.

2

所以f(x)m讥—/(2)=(1-a)e之-2+2Q=(1-a)(e—2)<0对aE［2,+8)怛成立,则a>2符

合题意.

1

综上所述：a的取值范围为(———+co).

2(1-e)

【点睛】本题考查函数与导数的综合问题，导数与函数单调性与最值，不等式有解问题，分

类探讨思想，明确分类标准，不重不漏是关键，是