数列求和问题过关练习卷- 高考数学一轮复习

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页数列求和问题过关练习卷-高考数学一轮复习一、单选题1．某旅游景区计划将山脚下的一片荒地改造成一个停车场，根据地形，设计7排停车位，靠近山脚的第1排设计9个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍减去8，则设计的停车位的总数是（

）A．172 B．183 C．286 D．3112．在数列中，已知，，则它的前30项的和为（

）A． B． C． D．3．已知是递增的等比数列，且，等差数列满足，，．设m为正整数，且对任意的，，则m的最小值为（

）A．8 B．7 C．5 D．44．数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（

）A． B． C．49 D．1495．已知数列满足，，是数列的前项和，则（

）A． B． C． D．6．如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列an的前4项.记，则下列结论正确的为（

）A． B．C． D．与的大小关系不能确定7．已知首项为2的数列满足，当的前项和时，则的最小值为（

）A．40 B．41 C．42 D．438．如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（

）A．2290 B．2540 C．2650 D．2870二、多选题9．已知函数满足，，，下列说法正确的是（

）A． B．C．时， D．10．利用不等式“，当且仅当x=1时，等号成立”可得到许多与n（且）有关的结论，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为bn，bn的前项和记为，则下列说法正确的有（

）A． B．的前项和C． D．三、填空题12．在数列中，且，当时，，则实数的取值范围为．13．已知数列满足，则其前9项和，数列的前2024项的和为．14．高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，已知数列满足，，若为数列的前项和，则．四、解答题15．已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.16．已知数列满足．(1)证明：数列是等差数列．(2)若，求数列的前n项和．17．已知数列是递增的等差数列，它的前三项和为9，前三项的积为15.(1)求数列的通项公式.(2)记bn=1an+12，设数列的前项和为18．已知是等差数列，是等比数列，且的前项和为，，，在①，②这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.(1)求数列和的通项公式；(2)设数列的前项和为，求.19．已知．(1)若在上单调递增，求的取值范围；(2)证明：．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：题号12345678910答案BDDBDCBDABCABD题号11答案BCD1．B【分析】设每排停车位的个数构成数列an，则，构造新数列，可以证明为等比数列，求出，再分组求和即可.【详解】设每排停车位的个数构成数列an，则，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以设计的停车位总数为.故选：B.2．D【分析】由题意可得，运用数列的恒等式可得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．【详解】解：由，可得，所以当时，，又，所以，所以．故选：D．3．D【分析】根据已知条件求出，设，利用错位相减求出可得答案.【详解】设等比数列an的公比为，由得，①因为bn是等差数列，所以，即，可得，②由①②解得，或，因为an是递增的等比数列，所以，即，设数列bn的公差为，由，，得，，解得，，所以，设，则，两式相减可得，所以，因为，所以，若，则，可得，所以最小值为4.故选：D.4．B【分析】由与的关系，结合等差数列的通项公式求得，即可得到，再由并项求和法计算可得．【详解】因为，当时，，即，可得，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，则，当时，所以，当时也成立，所以，可得数列的前项之和为．故选：B．5．D【分析】由题意可得，可得数列是以2为公比的等比数列，从而可求出，进而可求出.【详解】因为，所以，由于，则，所以，所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列，所以，所以，所以，故选：D6．C【分析】根据图象的规律，归纳各项，通过放缩结合等比数列的求和公式即可求解.【详解】由图分析可知，，，，依次类推，，所以.故选：.7．B【分析】通过计算得到为一个周期为4的数列，从而计算出，得到答案.【详解】由题意得，，解得，同理，解得，，解得，，解得，故为一个周期为4的数列，且，故，，故的最小值为41.故选：B8．D【分析】由题意总结规律得，再利用累加法求得an的通项公式，然后再进分组求和，建立一个关于的方程，解方程可得.【详解】在第堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第层的球的个数多n，记第n层球的个数为，则，得，其中也适合上式，则，在第n堆中，，当时，，解得.故选：D.9．ABC【分析】关键利用函数恒等式得到，和，从而可以利用数列思想求解并加以判断.【详解】令得：，又因为，，所以，所以选项A是正确的；令得：，因为，所以由上式得，，，根据递推可得，，所以选项B是正确的；令得：，所以是等比数列，由，可得公比为，所以，所以选项C是正确的；，所以选项D是错误的.故选：ABC.10．ABD【分析】对于A：令，代入可得，运算整理即可；对于B：可得，令，可得，运算整理即可；对于C：取特值检验即可；对于D：令，可得，结合等比数列求和公式分析证明.【详解】对于不等式，当且仅当时，等号成立，对于选项A：令，则，可得，其中，所以，A正确；对于选项B：将x替换为，可得，当且仅当时等号成立．令，可得，整理可得，故，即，所以，故B正确；对于选项C：令，可得，即，这显然不成立，故C错误；对于选项D：等价于证明，将中的x替换为，其中，，则，即，可得，当且仅当时，等号成立，则，所以，故D正确．故选：ABD．【点睛】方法点睛：对于已知不等式证明不等式的问题，常常利用代换的思想，结合数列求和进而放缩证明.11．BCD【分析】由题意分析出数列an【详解】从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，所以，所以an为等比数列，，所以，故A错误；，故的前项和为，故B正确；去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3…，构成一个等差数列，项数之和为，则的最大整数为11，此时,杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，取的就是第12行中的第3项，，故C正确；是中去掉22个1，再加上第12行中的第2项和第3项，所以，故D正确.故选：BCD．【点睛】关键点点睛：本题考查“杨辉三角”与数列求和问题，解题的关键是将数列与“三角数阵”联系起来，结合二项式系数的性质与等比数列求和公式求解.12．【分析】由数列的递推式可得，求和后结合条件可得，求出即可.【详解】因为，，所以，当时，，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得.所以实数的取值范围为.故答案为：【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由数列的递推式可得，然后利用累加法求和求解范围即可.13．45【分析】第一空方法一由递推关系得到，即奇数项和偶数项分别称等差数列，再计算前9项和；第一空方法二利用每两项和成等差数列，再求出前9项和；第二空分别讨论n为奇数和n为偶数时求出通项，和前项和公式，再将的通项裂项后求和即可.【详解】方法一：由得，所以．又因为，所以．方法二：．由题意知，则，当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以，所以数列an所以，故，所以，所以．故答案为：45；.14．【分析】由变形为，得到数列是等比数列，从而得到，再利用累加法得到，从而，再利用裂项相消法求解.【详解】解：由得，又，所以数列是以4为首项和公比的等比数列，故，由累加法得所以，，又，令，，，代入得.故答案为：202515．(1)(2)【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式；（2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和．【详解】（1）由题意，可得，故，，数列是公比为2的等比数列，且，，，．（2）由题意及（1），可得，则．16．(1)证明见解析.(2).【分析】（1）通过构造证明即可；（2）采用裂项相消法求解出即可.【详解】（1）因为，所以，化简得，所以为等差数列.（2）由，则为首项为，公差为的等差数列；所以，即，，所以.17．(1)(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意列出方程，求出等差数列的首项和公差即可.（2）先求数列的通项，放缩后再裂项求和即可证明.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，依题意：a1+a所以3a2=9，所以a1+d=3a1所以解得所以a（2）b所以T因为n∈N+，所以14n+418．(1)(2)【分析】（1）根据等差数列定义可求得数列an的通项公式，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得数列b（2）利用错位相减法求出.【详解】（1）设等差数列an的公差为，∵，，∴，∴.∴.设等比数列bn的公比为，若选条件①，，由，且，得，∴，解得.所以bn故.若选条件②，，令，得，∴公比，∴数列bn从而.（2）因为，所以，两式相减，得，即，所以.19．(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得在上恒成立．构造相应函数后借助导数分类讨论研究其单调性即可得解；（2）由