第二章 《一元二次方程》-学生版

一、一元二次方程的概念二、一元二次方程的解三、配方法四、一元二次方程根的情况与判别式△的关系五、根与系数的关系（一）韦达定理计算（二）构建一元二次方程六、一元二次方程的应用一、一元二次方程的概念1．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·1）（3分）下列方程一定是一元二次方程的是A． B． C． D．2．（2021-2022成都青羊区石室联中九年级（上）期中·4）（3分）下面关于的方程中：①为常数）；②；③．一定是一元二次方程的个数为个．A．0 B．1 C．2 D．33．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·3）（3分）将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（）A．3，5 B．3，﹣5 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣54．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·1）（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．3x2﹣5x＝6 B． C．6x+1＝0 D．2x2+y2＝05．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·1）（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．﹣5＝0 B．x+2y＝﹣5 C．x2＝5 D．3x2+xy＝56．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·1）（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x2+＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．2x2﹣5xy﹣y2＝0 D．（x﹣3）（x+2）＝17．（2021-2022成都九年级（上）期中·1）（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x+2y＝1 B．x2﹣2＝0 C．x＝2x3﹣3 D．3x+＝18．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·2）（3分）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则（）A．m≠±2 B．m＝﹣2 C．m＝2 D．m＝±29．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·3）（3分）关于的方程是一元二次方程，则A．2或 B．2 C． D．0二、一元二次方程的解（一）选择题1．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·3）（3分）若是方程的一个根，则的值是A．1 B．3 C． D．52．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·2）（3分）方程x（x﹣3）＝0的解是（）A．x＝2 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝3 D．x＝33．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·4）（3分）若关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣34．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·4）（3分）若x＝1是方程x2﹣2mx+3＝0的解，则m的值为（）A． B．2 C． D．﹣25．（2021-2022成都九年级（上）期中·5）（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．（二）填空题1．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·11）（4分）若是方程的根，则代数式的值为．2．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·12）（4分）如果x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个根，那么2021﹣4a+4b＝．3．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·12）（4分）已知x＝2是关于x一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则另一根是．4．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·11）（4分）已知x＝1是一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一根，则k的值为．5．（2021-2022成都锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中·11）（4分）已知2是关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是．6．（2021-2022成都青羊区树德中学九年级（上）期中·11）（4分）关于的一元二次方程的一个根是2，则．7．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·21）（4分）根据表格中的对应值，一元二次方程其中一个解的取值范围是．3.13.23.33.40.291.76三、配方法1．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·7）（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝22．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·5）（3分）用配方法解x2﹣8x+5＝0方程，将其化成（x+a）2＝b的形式，则变形正确的是（）A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝113．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·3）（3分）一元二次方程x2+4x＝5配方后可变形为（）A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝214．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·7）（3分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x﹣2）2＝45．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·7）（3分）用配方法解方程x2﹣4x+3＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x﹣2）2＝46．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·3）（3分）用配方法解方程时，原方程变形为A． B． C． D．7．（2021-2022成都青羊区树德中学九年级（上）期中·4）（3分）一元二次方程配方后可化为A． B． C． D．四、一元二次方程根的情况与判别式△的关系（一）选择题1．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·8）（3分）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是A． B． C． D．2．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·6）（3分）如果关于的一元二次方程有实数根，那么应满足的条件是A． B．且 C．且 D．3．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·5）（3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A． B． C． D．4．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·9）（3分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠05．（2021-2022成都青羊区树德中学九年级（上）期中·9）（3分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A． B．且 C． D．且6．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·5）（3分）关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数解，那么m的取值范围是（）A．m≠2 B．m≤3 C．m≥3 D．m≤3且m≠27．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·5）（3分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≤2 B．m＜2且m≠0 C．m≠0 D．m≤2且m≠08．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·5）（3分）若一元二次方程x2+2x+a＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤1 B．a≤4 C．a＜1 D．a≥1（二）填空题1．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·12）（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x﹣1＝0有两个不相等实数根，则k的取值范围是．2．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·11）（4分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．3．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·21）（4分）若一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0没有实数根，则直线y＝（a+1）x+a﹣1一定不经过的象限是．4．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·22）（4分）如果m是从1、2、3三个数中任取得一个数，n是2、3两个数中任取得一个数，那么关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2＝0有实数根的概率为．（三）解答题1．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·19）（10分）已知关于x的方程b（x2﹣1）+2ax+c（x2+1）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）若x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状；（2）若△ABC是等边三角形，试求这个方程的根；（3）若方程有两个相等的实数根，且a＝5，b＝12，求c的值．2．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·16）（6分）若关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值．3．（2021-2022成都九年级（上）期中·16）（6分）关于x的一元二次方程x2+2x+（m﹣1）＝0．（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若原方程的一个根是1，求此时m的值．4．（2021-2022成都青羊区石室联中九年级（上）期中·18）（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若方程的一个实数根是2，求的值．五、根与系数的关系（一）韦达定理计算1．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·12）（4分）已知是关于一元二次方程的一个根，则另一根是．2．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·21）（4分）设、是方程的两个实数根，则的值为．3．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·21）（4分）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝．4．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·21）（4分）若m和n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根，那么代数式的值为．5．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·21）（4分）设m、n是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．6．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·21）（4分）若a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两根，则a2+2a+b＝．7．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·21）（4分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个实数根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为．8．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·21）（4分）若a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两根，则a2+2a+b＝．9．（2021-2022成都锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中·21）（4分）已知x2﹣（m+3）x+m2+1＝0的实数根为α、β，且α+β＝α•β，则m的值为．10．（2021-2022成都九年级（上）期中·21）（4分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b＝．11．（2021-2022成都九年级（上）期中·22）（4分）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两实数根，则＝．12．（2021-2022成都青羊区石室联中九年级（上）期中·21）（4分）已知，为一元二次方程的两实数根，那么的值为．13．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·21）（4分）设，分别为一元二次方程的两个实数根，则．14．（2021-2022成都青羊区树德中学九年级（上）期中·21）（4分）若、为方程的两个不相等的实数根，则的值为．15．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·18）（8分）已知关于的一元二次方程．（1）证明：不论为何值时，方程总有实数根．（2）若方程的两个实数根，满足，求的值．16．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·27）（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣8，试判断动点P（m，n）所形成的图象是否经过定点（﹣3，21），并说明理由．17．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·16）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根．（1）求的取值范围；（2）若，求实数的值．（二）构建一元二次方程1．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·21）（3分）（2016秋•龙泉驿区期末）若实数，满足，，则．2．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·22）（4分）已知、，且，则．3．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·24）（4分）若α2﹣2α+k＝0，β2﹣2β+k＝0，且α2﹣α+β＝5，α≠β，则k＝．六、一元二次方程的应用（一）选择题1．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·9）（3分）九江某快递公司随着网络的发展，业务增长迅速，完成快递件数从六月份的10万件增长到八月份的12.1万件．假定每月增长率相同，设为．则可列方程为A． B． C． D．2．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·9）（3分）某厂1月印科技书籍40万册，第一季度共印140万册，问2月、3月平均每月增长率是多少？设平均增长率为，则列出下列方程正确的是A． B． C． D．3．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·9）（3分）杨倩在东京奥运女子10米气步枪决赛中夺得冠军，为中国代表团揽入首枚金牌，随后杨倩同款“小黄鸭”发卡在电商平台上爆单，该款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和26日较前一天的增长率均为．则可列方程正确的是A． B． C． D．4．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·10）（3分）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（）A．x（x+1）＝90 B．x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90 D．x（x﹣1）＝905．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·7）（3分）为满足人们对防疫物资的需求，某口罩加工厂增加设备，努力提高口罩生产量．2020年10月份该工厂的口罩产量为600万个，12月份产量为720万个，若口罩产量平均每月增长率为x，则可列方程为（）A．600（1+2x）＝720 B．720（1﹣x）2＝600 C．600（1+x2）＝720 D．600（1+x）2＝7206．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·9）（3分）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 C．30x+2×20x＝×20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×307．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·6）（3分）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）A．x（x﹣10）＝900 B．x（x+10）＝900 C．10（x+10）＝900 D．2[x+（x+10）]＝9008．（2021-2022成都锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中·6）（3分）《九章算术》中有一问题，译文如下：现有一竖立着的木柱，木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，若牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设木柱长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．82+x2＝（x﹣4）2 B．82+（x+4）2＝x2 C．82+（x﹣4）2＝x2 D．x2+82＝（x+4）29．（2021-2022成都九年级（上）期中·10）（3分）某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（）A．10（1+x）2＝36.4 B．10+10（1+x）2＝36.4 C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.410．（2021-2022成都青羊区石室联中九年级（上）期中·9）（3分）某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为A． B． C． D．（二）解答题1．（2021-2022成都九年级（上）期中·17）（8分）从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？2．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·18）（8分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【增长率问题】3．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·26）（8分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是斤（用含的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？【销售问题】4．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·26）（8分）商场销售服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售量，减少库存，该商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，一件衣服降价1元，每天可多售出2件．（1）设每件降价元，可以销售出件．（用的的代数式表示）（2）若商场每天要盈利1200元，同时尽量减少库存，每件应降价多少元？（3）每件降价多少元时，商场每天盈利达到最大？最大盈利是多少元？【销售问题】5．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·26）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？【陷阱题】6．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·26）（8分）节能减排是国家“十四五”规划中的一个重要目标，规划提出要在2030年前实现“碳达峰”，到2060年实现“碳中和”发展．为响应国家号召，某省政府计划对一批工业园区的碳排放工厂进行改建和重建，该计划拟定2021年，工厂改建和重建数量共100座，且改建座数不低于重建座数的4倍．（1）按拟定计划，2021年至少要改建多少座工厂？（2）经财政实际预算，2021年改建与重建工厂的平均费用之比为，且改建工厂按照拟定计划中最少的数量计算，将花费资金156亿元．为加快实现“碳达峰的目标，该省政府计划加大投入，计划指出2022年用于工厂改建和重建的费用将在2021年实际预算的基础上增加，另外2022年改建与重建工厂的平均费用将比2021年分别增加和，改建与重建工厂的座数将比2021年分别增加和，求的值．【增长率问题】7．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·26）（8分）成都市将在2022年举办第31届世界大学生夏季运动会，成都大运会吉祥物是一只名叫“蓉宝”的大熊猫．（1）据市场调研发现，某工厂今年四月份共生产200个“蓉宝”，该工厂为增大生产量，平均每月生产量增加20%，则该工厂在今年第二季度（4、5、6月）共生产个“蓉宝”；（2）已知某商店以30元的单价购入一批吉祥物“蓉宝”准备进行销售，据市场分析，若每个“蓉宝”售价为60元，则每天可售出40个．商店经过调研发现，如果每个“蓉宝”降价1元，那么平均每天可多售出8个，若商店想平均每天盈利2000元，销售单价应定为多少元？【销售问题】8．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·26）（8分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？【销售+函数】9．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·26）（8分）某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨1元，其销量就减少20件．（1）试求涨价为多少元时，使每天的利润为700元．（2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大？最大利润是多少元？【销售问题】10．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·26）（8分）如图①，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．（1）若围成的花圃面积为40平方米时，求BC的长；（2）如图②，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．【面积问题】11．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·26）（8分）某种茶具，平均每天可以销售20套，每套盈利44元，在每套降价幅度不超过22元的情况下，若每套降价1元，则每天可多售5套，设每套茶具降价x元．（1）求每套茶具降价x元时每天销售茶具的套数；（2）如果每天要盈利1600元，每套应降价多少元？【销售问题】12．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·26）（8分）某服装专卖店在销售中发现，一款衬衫每件进价为70元，销售价为100元时，每天可售出20件，今年受“疫情”影响，为尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件．（1）每件衬衫降价多少元时，平均每天盈利750元？（2）要想平均每天盈利1000元，可能吗？请说明理由．【销售问题】13．（2021-2022成都锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中·26）（8分）新冠疫情全球爆发，口罩成了生活必需品．某药店销售一种口罩，每包进价为9元，日均销售量y（包）与每包售价x（元）成一次函数关系，且10≤x≤16．当每