高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第04讲简单的三角恒等变换(高频精讲)(原卷版+解析)

第04讲简单的三角恒等变换(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高考真题回归 3第三部分：高频考点一遍过 3高频考点一：三角函数式的化简 3高频考点二：三角函数求值问题 5角度1：给角求值型 5角度2：给值求值型 6角度3：给值求角型 8高频考点三：半角公式 10高频考点四：万能公式 11第四部分：数学文化题 12温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、半角公式（1）.（2）.（3）.2、万能公式（拓展视野）（1）（2）（3）其中3、和差化积公式（拓展视野）4、积化和差公式（拓展视野）第二部分：高考真题回归（2022·浙江·统考高考真题）若，则__________，_________．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：三角函数式的化简典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）若，则等于（

）．A． B． C． D．例题2．（2023·江苏·高一专题练习）化简=（

）A．1 B． C． D．2例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则（

）A． B． C． D．例题4．（2023·全国·高一专题练习）计算下列各式的值：(1)；(2)；(3)．练透核心考点1．（2023春·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）设，，，则有（

）A． B． C． D．2．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）若，则等于（

）A． B． C． D．3．（2023春·山东淄博·高一校考阶段练习）（1）化简：；

（2）求值：．（2023·全国·高三专题练习）化简：(0<θ<π)．高频考点二：三角函数求值问题角度1：给角求值型典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）化简：（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）若，则___________.例题3．（2022·全国·高三专题练习）的值是______.例题4．（2023春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知且．(1)求，，；(2)若为锐角，且，求．练透核心考点1．（2023·贵州六盘水·高二校考阶段练习）的值为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）的值为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）___________.角度2：给值求值型典型例题例题1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的值为（

）A． B． C． D．例题3．（2023·广西南宁·统考一模）已知，则（

）A． B． C． D．例题4．（2023春·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习）已知为第二象限角，且，求的值．例题5．（2023春·安徽滁州·高一校考开学考试）已知，且．(1)求的值；(2)求的值．练透核心考点1．（2023·四川南充·统考二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．2．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）已知为第一象限角，且，则的值为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·广东·高一统考期末）已知，β是第二象限角，则________．4．（2023春·广东湛江·高一校考阶段练习）已知，，，．(1)求的值；(2)求的值，并确定的大小．5．（2023秋·浙江·高一期末）已知，满足．(1)求的值；(2)若是锐角，且，求．角度3：给值求角型典型例题例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）设，是方程的两根，且，则（

）．A． B． C．或 D．例题2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）若，则的值可能为（

）A． B． C． D．例题3．（2023·高一单元测试）若，均为锐角，且，，则________．例题4．（2023秋·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于点、两点，且点在直线上，.（1）求的值；（2）求的值.例题5．（2023·全国·高一专题练习）在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.已知，且满足条件___________.(1)求的值；(2)若，且，求的值.练透核心考点1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知，则的值可能为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则______．3．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若，且，，则______.4．（2023春·陕西安康·高一统考开学考试）已知.(1)求的值；(2)求角的值.5．（2023秋·浙江·高一校联考期末）已知.(1)求的值;(2)若，且，求角.高频考点三：半角公式典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知点是角的终边上一点，则（

）A． B． C．或 D．或例题2．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）已知，，则等于（

）A． B． C． D．例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知，则__________.例题4．（2023·全国·高一专题练习）在中，．(1)求的值；(2)若，求．练透核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）若，，则（

）．A． B． C． D．2．（2023·全国·高一专题练习）若，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则___________.4．（2023·高一课时练习）已知，，求和的值.高频考点四：万能公式典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知角的大小如图所示，则（

）A． B．5 C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）若，，则的值为（

）A． B． C．0 D．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，求.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）曲线在处的切线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）若，则（

）A． B． C． D．3．（2023·江苏南京·南京市宁海中学校考模拟预测）已知，___________.第四部分：数学文化题1．（2022·全国·高三专题练习）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成，则（

）A．4 B． C．2 D．2．（多选）（2022春·辽宁葫芦岛·高一统考期末）几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．底与腰之比为黄金分割比（）的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，将五角星的五个顶点相连，记正五边形的边长为，正五边形的边长为，，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．对任意的，3．（2023·全国·高三专题练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若，___________.第04讲简单的三角恒等变换(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高考真题回归 3第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：三角函数式的化简 4高频考点二：三角函数求值问题 7角度1：给角求值型 7角度2：给值求值型 10角度3：给值求角型 14高频考点三：半角公式 21高频考点四：万能公式 25第四部分：数学文化题 27温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、半角公式（1）.（2）.（3）.2、万能公式（拓展视野）（1）（2）（3）其中3、和差化积公式（拓展视野）4、积化和差公式（拓展视野）第二部分：高考真题回归1．（2022·浙江·统考高考真题）若，则__________，_________．【答案】

【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵，∴，即，即，令，，则，∴，即，∴，则.故答案为：；.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵，∴，即，又，将代入得，解得，则.故答案为：；.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：三角函数式的化简典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）若，则等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】，原式；故选：B.例题2．（2023·江苏·高一专题练习）化简=（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【详解】.故选：C.例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由可得，则，又，，故，又，解得：，所以：.故选：C.例题4．（2023·全国·高一专题练习）计算下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）（2）.（3）.练透核心考点1．（2023春·江苏镇江·高一江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）设，，，则有（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，.因为函数在上是增函数，所以.故选：C.2．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：，，，所以，，，，．故选：A．3．（2023春·山东淄博·高一校考阶段练习）（1）化简：；

（2）求值：．【答案】（1）；（2）1【详解】（1）；（2）.4．（2023·全国·高三专题练习）化简：(0<θ<π)．【答案】【详解】由θ(0,π)，得0<<，则cos>0．又，且(1＋sinθ＋cosθ)＝＝2cos＝－2coscosθ．∴原式＝．高频考点二：三角函数求值问题角度1：给角求值型典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）化简：（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】故选：A例题2．（2023春·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）若，则___________.【答案】【详解】故答案为：例题3．（2022·全国·高三专题练习）的值是______.【答案】【详解】，所以的值是.故答案为：例题4．（2023春·北京顺义·高一北京市顺义区第一中学校考阶段练习）已知且．(1)求，，；(2)若为锐角，且，求．【答案】(1)，，.(2)【详解】（1）解：因为，所以；又，，，所以，则，，又，且，解得：，.（2）因为且，所以，，因为为锐角，，所以，则.练透核心考点1．（2023·贵州六盘水·高二校考阶段练习）的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】原式.故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）___________.【答案】【详解】.故答案为：.角度2：给值求值型典型例题例题1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，，故.故选：A例题2．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，又因为，所以，所以.故选：B例题3．（2023·广西南宁·统考一模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由于，故，故选：B．例题4．（2023春·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习）已知为第二象限角，且，求的值．【答案】【详解】解：因为为第二象限角，且，则，原式.例题5．（2023春·安徽滁州·高一校考开学考试）已知，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得：.（2）由（1）可知：，则，∵，，则，，可得，故练透核心考点1．（2023·四川南充·统考二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意角的终边经过点，则，故，故，故选：C2．（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）已知为第一象限角，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为为第一象限角，则，所以故为第一或第三象限角．且，则．当为第一象限角时，；当为第三象限角时，．故选：C．3．（2023秋·广东·高一统考期末）已知，β是第二象限角，则________．【答案】【详解】由得，由于β是第二象限角，所以，故，进而，故，故答案为：4．（2023春·广东湛江·高一校考阶段练习）已知，，，．(1)求的值；(2)求的值，并确定的大小．【答案】(1)(2)【详解】（1），，，，，，；（2）由（1）得，，，，由，得，.5．（2023秋·浙江·高一期末）已知，满足．(1)求的值；(2)若是锐角，且，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）由诱导公式得，①∴,∴，而，∴，∴，∴，②由①②得：，∴.（2），∴，又，∴,∴．角度3：给值求角型典型例题例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）设，是方程的两根，且，则（

）．A． B． C．或 D．【答案】B【详解】因为，是方程的两根，所以所以，因为所以且，所以，所以，所以，故选:B.例题2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）若，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】解：由题意得，所以，所以的值可能为，．故选：AC例题3．（2023·高一单元测试）若，均为锐角，且，，则________．【答案】##45°【详解】因为，所以，又因为，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，因为，所以.故答案为：例题4．（2023秋·陕西榆林·高一陕西省榆林中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于点、两点，且点在直线上，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）根据题意可得，因为，所以，所以，.因为，，所以，所以，..（2）因为且，所以，所以.又，，所以，所以.例题5．（2023·全国·高一专题练习）在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.已知，且满足条件___________.(1)求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)任选①②③，；(2)任选①②③，．【详解】（1）选①，，由诱导公式得，则；选②，，两边平方得，所以，又，所以，即，，从而由解得，或（舍去），；选③，，因为，所以，即，，因此由可解得，或（舍去），以下同选②；（2）选①，因为，所以，即，，由（1），所以，所以（负值舍去），，，，，又，所以．选②或③，均由（1）得，，，，，又，所以．练透核心考点1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考开学考试）已知，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，得，而，从而或，当时，只有B符合；当时，四个选项均不符合.故答案为：B．2．（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则______．【答案】##【详解】依题意，，，所以，所以，所以，由于，所以.故答案为：3．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若，且，，则______.【答案】【详解】因为，所以，，所以，所以，所以，，所以，因为，，则，，，所以所以，所以.故答案为：.4．（2023春·陕西安康·高一统考开学考试）已知.(1)求的值；(2)求角的值.【答案】(1)；(2).【详解】（1），解得或，；（2）由得，.,，.5．（2023秋·浙江·高一校联考期末）已知.(1)求的值;(2)若，且，求角.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，所以，解得；（2）解：因为，，则，解得，又，所以，又因，所以，则，所以.高频考点三：半角公式典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知点是角的终边上一点，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【详解】由三角函数的定义可得，，所以，.故选：A.例题2．（2023秋·青海西宁·高一统考期末）已知，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】方法一：∵，，∴.方法二：∵，，∴的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，即，∴故选：C例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知，则__________.【答案】【详解】因为，且，所以，故答案为：.例题4．（2023·全国·高一专题练习）在中，．(1)求的值；(2)若，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，平方得，所以，在中，，∴，．由，得，由，解得，．所以．（2）因为，所以，由正弦定理得，有，所以，可得．所以．练透核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）若，，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，又因为，，所以，即，所以，又因为，所以，．故选：B．2．（2023·全国·高一专题练习）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，所以，因为，所以，，所以，，所以，则，故选：B.3．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则___________.【答案】5【详解】由，得，解得或.当时，，不符合题意，舍去；当时，，，∴.故答案为：54．（2023·高一课时练习）已知，，求和的值.【答案】；.【详解】，又，，；，，，.高频考点四：万能公式典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知角的大小如图所示，则（

）A． B．5 C． D．【答案】A【详解】由图可知，，；故选：A.例题2．（2023·全国·高三专题练习）若，