数列的概念教案

4.1数列的概念⑴

教材分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习数列的

概念与表示

“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函

数之间的关系等。数列是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的

教学过程教学设计意图

核心素养目标

应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中

数学中占有重要位置。数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重

点，更是本节课教学的重点。学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概

念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的

难点.

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A.理解数列的有关概念与数列的表示方法.1.数学抽象：数列的概念及表示、数列的分类

B.掌握数列的分类.2.逻辑推理：求数列的通项公式

C.理解数列的函数特征，掌握判断数列增减

性的方法.3.数学运算：运用数列通项公式求特定项

D.掌握数列通项公式的概念及其应用，能够4.数学建模：数列的概念

根据数列的前几项写出数列的一个通项公

式.

重点难点

重点：数列的有关概念与数列的表示方法

难点：数列的函数特征

课前准备

多媒体

教学过程

一、情景导学

古语云广勤学如春起之苗，不见其增,日有所

长”如果对“春起之苗''每日用精密仪器度量，

则每日的高度值按日期排在一起，可组成一通过古诗及生活中

个数列.那么什么叫数列呢？的情景，引导学生运用

数学眼光，分析问题，

二、问题探究

进行数学分析。发展学

1.王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量

生数学抽象、数学运算、

身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：

数学建模的核心素养。

75,87,96,103,110,116,120,128,138,

145,153,158,160,162,163,165,168①

记王芳第i岁的身高为小,那么儿=75,

九2=87,八17=168.我们发现加中的i反映

了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确

定位置，即生=75是排在第1位的数，电=87

是排在第2位的数…，八"=168是排在第

17位的数，它们之间不能交换位置，所以

通过具体问题的思

①具有确定顺序的一列数。

考和分析，帮助学生观

2.在两河流域发掘的一块泥板（编号K90,约生产于公元察、分析、归纳总结出

前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天，数列的概念。发展学生

每天月亮可见部分的数：数学抽象和数学建模的

5,10,20,40,80,96,112,128,核心素养。

144,160,176,192,208,224,240.②

记第i天月亮可见部分的数为Si,那么s1=5,S2=10,…，乂5=240.这

里，Sj中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1~15顺序排列时的确

定位置，即si=5是排在第1位的数，S2=10是排在第2位的数…

…Si5=240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置，所以，②

也是具有确定顺序的一列数。

3.尚的n次基按1次暴，2次暴,3次塞,4次塞……依次排成一列数:

-—...③

24816

思考：你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？

一、数列

1.定义:一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.

2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数

叫做这个数列的第1项，常用符号”表示;第二个位置上的数叫做这个

1

通过数列概念的解

数列的第2项，用气表示……第〃个位置上的数叫做这个数列的第n

读，并与集合、函数概

项，用a表示.其中第1项也叫做首项.

n念的比较，深化对数列

概念的理解。发展学生

3.表示:数列的一般形式是a,a简记为｛a｝.

12nn

数学抽象、逻辑推理和

点睛：(1)数列是按一定的“顺序”排列的一列数，有序性是数列的基本

数学建模的核心素养。

属性.数相同而顺序不同的两个数列是不相同的数列，

例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的数列.

(2)符号｛〃｝和。是不同的概念,｛a｝表示一个数列，而。表示数列中的

nnnn

第〃项.

二、数列的分类

类别含义

有穷

按项项数有限的数列

数列

的

无穷

个数项数无限的数列

数列

按项递增

从第2项起，每一项都大王它的前一项的数列

的变数列

化趋递减

从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列

势数列

常数

各项相等的数列

列

摆动从第2项起.有些项大于它的前一项.有些项

数列小于它的前一项的数列

三、数列与函数

数列｛斯｝是从正整数集N*(或它的有限子集｛1,2，…，〃｝)到实数集R

的函数，

其自变量是序号〃，对应的函数值是数列的第"项斯，

记为an-fin).

另一方面，对于函数y=«x),

如果加)(〃GN*)有意义,

那么构成了一个数列｛大〃)｝.

/(1)»/(2)»..>>/(")，...

4

80

60

40

20

00

80

60

40

20通过典型例题，加深

学生对数列概念的理解

和运用，发展学生逻辑

1.下列叙述正确的是()

A.所有数列可分为递增数列和递减数列两类推理，直观想象、数学

B.数列中的数由它的位置序号唯一确定抽象和数学运算的核心

C.数列1,3,5,7可表示为｛1,3,5,7｝

素

D.同一个数在数列中不可能重复出现

解析:按项的变化趋势，数列可分为递增数列、递减数列、常数列、摆

动数列等数列,A错误;数列1,3,5,7与由实数1,3,5,7组成的集合

｛1,3.5,7｝是两个不同的概念,C错误;同一个数在数列中可能重复出现,

如2,2,2,…表示由实数2构成的常数列,D错误;对于给定的数列，数列

中的数由它的位置序号唯一确定,B正确.

答案:B

四、数列的通项公式

如果数列｝的第八项。与它的序号〃之间的对应关系可以

nn

用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.

点睛：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子

集)｛1,2,｝为定义域的函数表达式.

(2)并不是所有的数列都有通项公式.

(3)同一数列的通项公式，其表达形式可以是不唯一的，例如数列

nn+2

…的通项公式可以写成。=(-1),4=(-1)=COS〃兀等.

nnn

1.若数列仅｝的通项公式是。=；-1,则该数列的第10项

nn

a=,224是该数列的第项.

10

22

解析:a=10-1=99.令a=n-1=224,解得〃=15,

10n

即224是该数列的第15项.通过典型例题，帮助

答案：9915灵活运用数列的概念解

三、典例解析

决问题，发展学生逻辑

例1.根据下列数列｛“｝的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们

n推理，直观想象、数学

的图像.抽象和数学运算的核心

/I、n2+n/与、(n-l)7r素养。

(1)an=;(2)an=cos—^—

解：(1)当通项公式中的n=l,2,3,4,5时，数列｛a)的前5项依

n

次为1,3,6,10,15

如图所示(1)

(2)当通项公式中的n=l,2,3,4,5时，数列｛a｝的前5项依次

n

为1,0,-1,0,1

如图所示(2)

例2.根据数列的前4项，写出下列数列的一个通项公式:

(1弼蟾，…;

⑵1,-3,5,-7,9,...;

(3)9,99,999,9999,...;

，j.___1___1___i__

"s'1x2*2x3,3x4,4xS,"，＞

(6)4,0,4,0,4,0,.…

解:(1)数列的项有的是分数，有的是整数，可先将各项都统一成分数再

观察以统/卷，…，所以，它的一个通项公式为册与

(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…是连续的正奇数淇通项公式

«+1

为2〃-1;考虑(-1)具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为

”+1

a=(-1)(2/2-1).

n

(3)各项加1后，分别变为10,100,1000,10000,…,此数列的通项公式为

10：可得原数列的一个通项公式为a

n

(4)数列中每一项均由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公

式为2〃-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为

5+1)：分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为〃，综合得原

数列的一个通项公式为斯=嘤包=咚

2n-l2n-l

(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且

奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是斯=(-1)"•扁；

(6)由于该数列中，奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段

(471为奇数

函数的形式表示通项公式，即如='又因为数列可改写为

[0,n为偶数.

2+2,2-22+2,2-2,2+2,2-2,…，因此其通项公式又可表示为

a„=2+2x(-l)n+l.

根据数列的前几项写通项公式的具体思路为：

(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.

(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与

对应序号间的关系.

k

(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(-1)处理符号.

(4)对于周期出现的数列，考虑利用周期函数的知识解答.

2.常见数列的通项公式

n

⑴数列-1,1,-1,1,…的一个通项公式是a=(-1)，数列1,-1,1,-1,...

n

«+171-1

的一个通项公式是a=(-1)或(-1).

n

(2)数列1,2,3,4…的一个通项公式是a=%

n

(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是a=2〃-I.

n

(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是a=2〃.

M

n-1

(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是q=2.

n

2

(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是。-n.

n

(7)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是小=硬罗.

(8)数列i，m..的一个通项公式是

234n

跟踪训练1.写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列

各数：

(1)1(2)2三,*及,8三;

一，3'5,7，'d屋16，

(3)3,5,9,17;(4)|444；

(5)7,77,777,7777.

解:(1)为=白;(2)斯=2〃+白⑶%=2〃+1;

2n-l2"

(4)%=品;⑸斯=白1°"-1)・

2*

例3(1)已知数列｛。｝满足a=n-5/t-6,neN.

nn

①数列中有哪些项是负数？

②当n为何值时,a取得最小值?求出此最小值.

n

(2)已知数列｛«„｝的通项公式斯=(〃+1照)%GN*),试问数歹U｛%｝有没

有最大项?若有，求出最大项和最大项的项数;若没有，请说明理由.

分析：(1)①根据数列的函数的特征，以及不等式的解法，即可求出;②根

据二次函数的性质即可求出.

(2)数列｛m｝的通项坐享计算a”+.如以萼确定单调性苦大求解

new正、负单调性

最大(小)项

2

(1)解：①〃-n・5小6<0,解得0</?<6.

n

♦

:力£N，•:数列中第123,4,5项为负数，

即12,-10,6

②如=庐5〃-6=(n-|)-詈，当九=2,3时，处取得最小值，最小值为-12.

(2)解法一：：“=(〃+2)(患)+D借)

=(雪•等，

•:当n<9时-a>0,即a>a;

ZJ+In?1+!n

当〃=9时,a-a=0,即a=a;

«+1nn+in

当72>9时,a-a<0,即a<a.

“+ln〃+ln

故a<a<a<...<a-a>a>a>...,

1239101112

•:数列中有最大项，最大项为第9,10项，即〃9=。10=5所.

解法二:设。是数列｛a｝的最大项，

kn

则件>%,即任+呜）"n呜y'

、瓜L+D《）F（k+2）C

整理得+10>life,得9<女<10

整理,父114+11>10fc+20尸--1U,

所以k=9或左=10.又。］=患<。9=。10,即数列｛〃〃｝中的最大项为

1O10

〃9=。10="^7.

求数列的最大（小）项的两种方法

（1）由于数列是特殊的函数,所以可以用研究函数的思想方法来研究数

列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义

域为正整数集或其有限子集｛1,2,…,〃｝这一条件.

（2）可以利用不等式组燃蓝）找到数列的最大项；

利用不等式组优，¥“（”>1）找到数列的最小项.

Van-an+l

变式探究：在本例（2）中，若己知数列的通项公式所劣-仁）”,〃6",

试求该数列｛如｝的最小项.

解:设第"项内最小，则伊笑j

ian—an+l>

(2)"vi(々人

用J"3\sJ-n+2V87*

即屋5,

%+3\87-n+4V87»

所以50於6,所以n=5或〃=6.又。］=2>〃5=46,

即的与%都是数列的最小项，且。5="6=，

三、达标检测

1.下列各项表示数列的是（）通过练习巩固本节所

A.学知识，通过学生解决

B.2008,2009,2010,...,2017问题，发展学生的数学

C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形运算、逻辑推理、直观

D.a+b,a-b,ab,Aa想象、数学建模的核心

解析:数列是指按照一定次序排列的一列数，而不能是图形、文字、向素养。

量等，只有B项符合.

答案:B

2.下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是()

A.1,2,3,...,20

B.-1,-2,-3,...,

C.1,2,3,2,5,6,...

D.-l,0,l,2,...,100,...

解析:由递增数列和无穷数列的定义知D项正确.

答案:D

3.观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律,猜想第n个图

中有_________小圆圈.

oS

0O®O

OOOO°C°°O-O。

°OOOOOOO0°OQO°

0°oo..........

oOoO

O。0。。

⑴(2)(3)(4)(5)

分析:仔细观察每个图形中圆圈的个数与对应顺序之间的关系，从而归

纳出第〃个图形中小圆圈的个数.

解析:观察图中5个图形小圆圈的个数分别为

1,1x2+12x3+1,3x4+1,4x5+1,…，故第〃个图中小圆圈的个数为

22

+-〃+1.答案:〃+1

4.已知数列｛〃｝的通项公式为。=log(2+1),则a=__________.

n"33

解析:观察可得数列的一个通项公式是处二-4几-1,而5A/3=V75=

V4x19-1,所以5次是该数列的第19项.

答案:19

5.已知数列6V7,Vil,贝lj5g是该数列的第__________项.

n3

解析：：Z=log(2+l),.：a=log(2+l)=log9=2.

n3333

答案：2

6.在数歹|J｛%｝中，已知小=3(〃@N).

(1)与出00,〃“+].

(2)79|是不是该数列中的项?如果是，是第几项？

及刀八\102+10-1109(n+l)2+(n+l)-ln2+3n+l

解：(1)〃10=§=3匐〃+户3