专项突破11　数学思想在线段和角的计算中的应用

第六章ꢀ几何图形初步专项突破ꢀ数学思想在线段和角的计算中的应用题型1分类讨论思想在线段和角的计算中的应用1.[2024成都期末]点O为数轴的原点，点A，B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为5，线段AB的长为线段OA长的1.2倍.点C在数轴上，M为线段OC的中点.(1)点B表示的数为－1；(2)若线段BM的长为4.5，则线段AC的长为2或16；HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(3)若线段AC的长为x，求线段BM的长(用含x的式子表示).解：(3)①当点C在点A的右侧(或重合)时，如图①，①HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8则点C表示的数为5＋x.因为M为线段OC的中点，ꢀ+ꢁ所以点M表示的数为.ꢂꢀ+ꢁꢃ+ꢁ所以BM＝－(－1)＝.ꢂꢂHYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8②当点C在点A的左侧时，点C表示的数为5－x，ꢀ−ꢁ所以点M表示的数为.ꢂꢀ−ꢁꢂ)若点M在点B的右侧(或重合)，如图②，则BM＝ꢃ−ꢁ－(－1)＝.ꢂ②HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8ꢀ−ꢁꢂⅱ)若点M在点B的左侧，如图③，则BM＝－1－ꢁ−ꢃ＝.ꢂ③HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"82.[2024怀化模拟]如图，已知点O在直线AB上，作射线OC，点D在平面内，∠BOD与∠AOC互余.(1)若∠AOC∶∠BOD＝4∶5，则∠BOD＝50°ꢀ；HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(2)若∠AOC＝(0°＜≤45°)，ON平分∠COD，补全图形，求出∠AON的值(用含的式子表示).解：(2)因为∠BOD与∠AOC互余，所以∠BOD＋∠AOC＝90°.当点D在∠BOC内，0°＜≤45°时，补全图形如图①.则易知∠COD＝90°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8因为ON平分∠COD，所以∠CON＝45°.所以∠AON＝＋45°.①②HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8当点D在∠BOC外，0°＜≤45°时，补全图形如图②.易知∠BOD＝90°－.因为∠AOB＝180°，所以∠AOD＝180°－(90°－)＝90°＋.所以∠COD＝90°＋2.因为ON平分∠COD，所以∠CON＝45°＋.所以∠AON＝∠CON－∠AOC＝45°.综上所述，∠AON的值为45°或＋45°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8题型2方程思想在线段和角的计算中的应用3.[2024北京朝阳区期末]如图，点C把线段MN分成两部分，其比为MC∶CN＝5∶4，点P是MN的中点，PC＝2cm，求MN的长.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8解：因为MC∶CN＝5∶4，所以设MC＝5xcm，则CN＝4xcm.所以MN＝MC＋CN＝5x＋4x＝9x(cm).因为点P是MN的中点，ꢄꢅ所以PN＝MN＝x(cm).ꢂꢂ因为PC＝PN－CN，ꢅ所以x－4x＝2，解得x＝4.ꢂ所以MN＝9×4＝36(cm).HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"84.如图，已知AB为一条直线，O是AB上一点，OC平分∠ꢄAOD，OE在∠BOD内，∠DOE＝∠BOD，∠COEꢆ＝75°.求∠EOB的度数.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8解：设∠AOD的度数为x°，则∠BOD＝(180－x)°.因为OC平分∠AOD，∠DOE＝ꢄ∠BOD，ꢆꢄꢁꢄ所以∠COD＝∠AOD＝°，∠DOE＝(180－ꢂꢂꢆx)°.又因为∠COE＝∠COD＋∠DOE＝75°，ꢇ180−ꢇ所以＋2＝75，解得x＝90.3所以∠BOD＝90°.所以∠DOE＝30°.所以∠EOB＝∠BOD－∠DOE＝60°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8题型3整体思想在线段和角的计算中的应用5.如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点.(1)如果AB＝10cm，AM＝3cm，求CN的长；HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8解：(1)因为M是AC的中点，所以AC＝2AM.因为AM＝3cm，所以AC＝2×3＝6(cm).因为AB＝10cm，所以BC＝AB－AC＝10－6＝4(cm).又因为N是BC的中点，11所以CN＝BC＝×4＝2(cm).22HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(2)如果MN＝6cm，求AB的长.解：(2)因为M是AC的中点，所以MC＝AC.ꢄꢂꢄ因为N是BC的中点，所以CN＝CB.ꢂ111所以MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝(AC＋CB)＝22212AB.又因为MN＝6cm，所以AB＝2×6＝12(cm).HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"86.[2024苏州二模]已知，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.(1)如图，若C为∠AOB内一点，探究∠MON与∠AOB的数量关系；ꢄ解：(1)∠MON＝∠AOB.ꢂHYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(2)若C为∠AOB外一点，且C不在OA，OB的反向延长线上，请你画出图形，并探究∠MON与∠AOB的数量关系.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8ꢄ解：(2)当C在如图①所示的位置时，∠MON＝∠AOB.ꢂꢄ当C在如图②所示的位置时，∠MON＝∠AOB.ꢂꢄ当C在如图③所示的位置时，∠MON＝180°－∠AOB.ꢂ①③②HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8题型4特殊到一般思想在线段和角的计算中的应用7.[2024济宁期末]探究题：如图，已知线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点.(1)若点C恰好是AB的中点，则DE＝6cm；HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(2)若AC＝4cm，求DE的长；解：(2)因为AB＝12cm，AC＝4cm，所以BC＝8cm.因为点D，E分别是AC和BC的中点，ꢄꢄ所以CD＝AC＝2cm，CE＝BC＝4cm.所以DE＝ꢂꢂCD＋CE＝6cm.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(3)试利用“字母代替数”的方法，设AC＝acm，请说明不论a取何值(a不超过12cm)，DE的长不变.解：(3)因为AC＝acm，所以BC＝AB－AC＝(12－a)cm.因为点D，E分别是AC和BC的中点，1ꢈ112−ꢈ所以CD＝AC＝cm，CE＝BC＝cm.2222所以DE＝CD＋CE＝6cm.所以不论a取何值(a不超过12cm)，DE的长不变.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"88.刘星对几何中的角平分线兴趣浓厚，请你和他一起探究下面的问题.已知∠AOB＝100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的平分线.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(1)如图①，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；解：(1)因为∠AOB＝100°，∠AOC＝30°，所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝70°.因为射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的平分线，HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"81所以∠EOC＝∠AOC＝15°，∠FOC＝212∠BOC＝35°.所以∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝15°＋35°＝50°.HYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\l"br24"8(2)如图②，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，求∠EOF的度数；解：(2)因为射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的平分线，ꢄꢄ所以∠EOC＝∠AOC，∠FOC＝∠BOC.ꢂꢂꢄ所以∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝(∠AOC＋ꢂꢄꢄ∠BOC)＝∠AOB＝×100°＝50°.ꢂꢂHYPERLINK\l"br2"1HYPERLINK\l"br7"2HYPERLINK\l"br11"3HYPERLINK\l"br13"4HYPERLINK\l"br15"5HYPERLINK\l"br18"6HYPERLINK\l"br21"7HYPERLINK\