人教版八年级上册数学《全等三角形》教案

第十二章全等三角形

11.2全等三角形

一、教学目标

1.理解全等形、全等三角形的概念.

2.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.

3.理解并能灵活应用全等三角形的性质.培养学生动态研究几何图形的意识.

二、教学重点及难点

重点：1.理解全等形、全等三角形的概念.

2.理解并能灵活应用全等三角形的性质.

难点：全等三角形的性质的运用

三、教学用具

电脑、多媒体、课件、两个完全相同的三角形硬纸板、直尺、刻度尺

四、相关资源

两个全等三角形平移、旋转、翻折的动画演示；全等三角形的概念与性质微课

五、教学过程

（一）情景导入

1.下面哪些图形的形状相同、大小相等？

2.你能再举出生活中的一些类似例子吗？

设计意图：丰富的图形容易引起学生的注意，使他们能很快地投入到学习的情境中,

同时反映了现实生活中存在着大量的全等图形.

（二）探究新知

1.举出现实生活中能够完全重合的图形的例子.

这些形状相同、大小相等的图形放在一起能够完全重合.

能够完全重合的两个图形叫做全等形.

结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即

平移、翻折、旋转前后的图形全等.

2.全等三角形的对应边、对应角以及两个三角形全等的符号表示、读法、写法.

让学生把刚才得到的两个三角形，任意放置，与同桌交流.

（1）任何时候两个三角形能够完全重合在一起吗？

（2）此时它们的顶点、边、角，有什么特点？

把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重

合的角叫做对应角.

“全等”用“丝”表示，读作“全等于”.

两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如△A8C和

△DEF,点A和点。、点B和点E、点C和点F是对应顶点，记作△4BC丝△DEF.

（3）先让学生对全等三角形纸板进行观察，小组讨论，合作交流，观察对应边、对应

角有何关系，教师再用动画进行演示，从而得出全等三角形的性质.

全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，

全等三角形的对应角相等.

用几何语言表示：

如图：

EF

'：AABCgADEF,

：.AB=DE,AC=DF,BC=EF（全等三角形的对应边相等），

/A=/。，NB=/E,（全等三角形的对应角相等）.

3.总结找对应元素的常用方法：

（1）从运动角度看

翻折法：一个三角形沿某条直线翻折与另一个三角形重合，从而发现对应元素.

b.旋转法：一个三角形绕某一点旋转一定角度能与另一个三角形重合，从而发现对应

元素.

c.平移法：沿某一方向推移使两个三角形重合来找对应元素.

（2）根据位置元素来推理

a.有公共边的，公共边是对应边；

b.有公共角的，公共角是对应角；

C.有对顶角的，对顶角是对应角；

d.两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边;

e.两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角.

（3）对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.

设计意图：让学生通过观察图案的形状、大小，得到“全等形”的概念，进而迁移到

“全等三角形”的概念，从互相重合过渡到全等三角形的对应边、对应角相等的性质，从

而培养学生探索与发现问题的能力，并尝试应用知识解决问题，再一次激发学生的学习热

情，掌握确定全等三角形的对应顶点、对应边、对应角的方法，帮助学生不断完善和构建

正确的认知结构，完成新知识的内化.

（三）课堂练习

1.判断下列各组图形中的两个图形是全等形的是.（填序号）

①②③④⑤

2.下列命题：

①形状相同的三角形是全等三角形；

②面积相等的三角形是全等三角形；

③全等三角形的周长相等；

④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是全等三角形.

其中正确的命题有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，已知△ABC丝△BAO,点A,C的对应点分别为B,D,如果AB=5cm,BC

=7cm,AC=10cm,那么BO等于（）.

A.10cmB.7cmC.5cmD.无法确定

学生独立完成..

答案：1.①②④；2.B；3.A

设计意图：检查学生对本节课所学知识的掌握情况.

六、课堂小结

1.在自己动手实际操作中，得到了全等三角形的哪些知识?

2.找全等三角形对应元素的方法，注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元素、对顶角

等，但公共顶点不一定是对应顶点.

3.在运用全等三角形的定义和性质时，应注意规范书写格式.

设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解全等形、全等三角形的概念,

学会用全等符号表示全等三角形，会用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题.

七、板书设计

12.1.1全等三角形

全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

对应定点对应边对应角

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

第1课时

一、教学目标

1.引导学生积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数

学结论的过程.

2.掌握三角形全等的“边边边”的判定方法，了解三角形的稳定性，能用三角形的全等解

决一些实际问题。.

3.培养学生的空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力，积累数学活动经验。

二、教学重点与难点

重点：三角形全等条件的探索过程

难点：1.通过三角形全等条件的探索过程，体会研究几何问题的方法.

2.探索并理解“边边边”判定方法，会用“边边边”证明两个三角形全等.

3.会用尺规作一个角等于己知角，了解作图的原理

三、教学用具

电脑、多媒体、课件、三角形硬纸板、刻度尺、直尺

四、相关资源

《三角形全等的条件》动画；《三角形全等的判定-SSS》微课

五、教学过程

(-)复习导入

回忆前面研究过的全等三角形.如图,

已知△ABC红ADEF,找出其中相等的边与角.

图中相等的边是：AB=DE,BC=EF,AC^DF.相等的角是：NA=N。，NB=/E,

NC=NF.

这里有一个三角形纸片，你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？

根据定义，先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、

角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等.这样作出的三角形一定与已知的三角形

纸片全等.请问，是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个

问题.

设计意图：提出“全等判定”问题，明确探究方向，激发探究欲望.

(二)探究新知

探究1：先任意画一个△ABC,再画一个△DEF,使△ABC与△DEF,满足上述条件中

的一个或两个.你画出的尸与△ABC一定全等吗？

让学生按照下面给出的条件作出三角形.

1.如果只满足一个条件

(1)只给一条边时如3cm；

(2)只给一个角时如45°.

结论：只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.

2.如果满足两个条件

(1)三角形的两条边分别是3cm,4cm；

结论：两条边对应相等的两个三角形不一定全等.

(2)三角形的一条边为4cm,一个角为30°；

结论：一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.

(3)三角形的两个角分别是30°,45°.

结论：两个角对应相等的两个三角形不一定全等.

根据三角形的内角和为180°,则第三个角一定对应相等，所以当三个内角对应相等时,

两个三角形不一定全等.

通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：

只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的两个三角形一定全等.

3.如果满足三个条件

(1)三个角；(2)三条边；(3)两边一角；(4)两角一边.

(1)已知两个三角形的三个内角分别为30°,60°,90°,它们一定全等吗？

这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等.

（2）已知两个三角形的三条边都分别为3cm,4cm,6cm,它们一定全等吗？

通过平移、旋转、翻折，得到它们能够完全重合，也就是说它们是全等的.

探究2：先任意画出一个△A8C,再画一个夕C',使Ab=A8,B'C'=BC,C'A'=

CA,把画好的夕C剪下，放到△ABC上，它们全等吗？

让学生交流之后作出△4'夕C,并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等.

画法：（1）画射线夕在射线截取线段夕C=BC；

（2）分别以C为圆心，AB,AC为半径画弧，两弧相交于点4.

（3）连结ATT,A'3得△4'B'C'.

剪下△4EC放在△ABC上，可以看到

通过观察，我们得到一个规律：

三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定

了，这也是三角形具有稳定性的原理.

如何用符号语言来表达呢？

如图：

在AABC马4DEF中,

AB=DE,

.BC=EF,

AC=DF,

：./\ABC^/\DEF(SSS).

证明的书写步骤：

(1)准备条件：证全等时要用的条件要先证好.

(2)三角形全等书写三步骤：

①写出在哪两个三角形中；

②摆出三个条件用大括号括起来：

③写出全等结论.

设计意图：学生通过动手操作、自主探究、交流、获得新知，增强了动手能力，同时

也渗透了分类的思想.

(三)例题讲解

【例1】如下图△力BC是一个钢架，AB=AC,4力是连接点A与BC中点。的支架，

求证：△ABO丝△ACZX

证明：•.•。是BC的中点,

：.BD=DC.

在△A8O和△AC£)中,

AB=AC,

BD=CD,

AD=AD,

.,.△AB。丝△ACC(SSS).

设计意图：运用“边边边”判定方法证明简单的几何问题，感悟判定方法的简捷性,

体会证明过程的规范性.

【例2】用圆规和直尺画一个角等于已知角的方法：

已知：ZAOB.

求作：ZA'0'B',使

作法：(1)以点。为圆心、任意长为半径画弧，分别交OA,0B与点C,。；

(2)画一条射线O7V,以点。，为圆心、0C长为半径画弧，交04于点CZ

(3)以点。为圆心、CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点O；

(4)过点。，画射线0®,则NA'0'B'=NA0B.

为什么这样作出的N40b和N408是相等的？

学生独立思考后，教师点名学生叙述理由.

由作法可知0C=0'C,OD^O'D',CD=C'D',根据“边边边”可知△COO丝△C077,

所以

设计意图：让学生运用“边边边”条件进行尺规作图，同时体会作图的合理性，增强

作图技能.

(四)课堂练习：

1.己知：如图，AB=4。，BC=DC,

求证：△ABC9XADC.

A

w

c

2.已知：如图，AB=DC,AD=BC.

求证：NA=NC.

BL------------------'c

提示：要证明/4=NC,可设法使它们分别在两个三角形中，为此，只要连结8。即

可.

第1题学生独立完成，第2题学生独立思考后，教师点拨.

答案：1.证明：在AABC和△AOC中，

AB=AD,

■BC=DC,

AC=AC,

:.XABg缸ADC(SSS).

2.证明：连结BD.

在△54。和△OCB中，

AB=CD,

«BD=DBt

AD=CB,

：.^BAD^/\DCB(SSS).

AZA=ZC(全等三角形的对应角相等).

BJ---------------'c

设计意图：通过练习，熟悉全等三角形判定的证明格式，通过解题实践，锻炼学生探

索与发现问题的能力.

六、课堂小结

1.探索三角形全等条件的基本思路.

2.三边对应相等的两个三角形全等（边边边或SSS）；

3.书写格式：

（1）准备条件；

（2）三角形全等书写的三步骤.

设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解和掌握构建三角形全等条件的

探索思路，以及“边边边”判定方法.

七、板书设计

12.2三角形全等的判定（边边边）

“边边边”：三边分别相等的两个三角形全等

“边边边”的几何语言

作一个角等于已知角的作图步骤

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

第2课时

一、教学目标：

1.理解三角形全等的判定定理（边角边），并能灵活地运用，进行有条理的简单的推理.

2.经历探索三角形全等判定方法的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.

二、教学重点及难点

重点：“边角边”判定条件的理解和应用.

难点:利用“边角边”的判定三角形全等，灵活解决问题.

三、教学用具

电脑、多媒体、课件、直尺、刻度尺、量角器

四、相关资源

动画演示《“已知两边及其夹角”做一个三角形与已知三角形重合的过程》

五、教学过程

（一）问题导入

在上节课的讨论中，我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时，都不能保证所画出

的三角形一定全等.给出三个条件时，有四种可能，你能说出是哪四种吗？

生：三内角；三条边；两边一内角；两内角一边.

师：很好，这四种情况中我们已经研究了两种，三内角分别相等不能保证两三角形一定

全等；三条边分别相等的两三角形全等.今天我们接着研究第三种情况：“两边一内角”.

师：如果已知一个三角形的两边及一内角，那么它有几种可能情况？

生：两种：

（1）两边及其夹角；（2）两边及一边的对角.

设计意图：明确给出三个条件时有四种情况和本节课要探究的内容.

（二）探究新知

师：按照上节方法，我们有两个问题需要探究.

探究1：先任意画出一个△ABC,再画一个夕C,使C'A'=CA,ZA'=

/A（即保证两边和它们的夹角对应相等）.把画好的aA，夕C剪下，放到△ABC上，它们全

等吗？

探究2：先任意画出一个△A8C,再画一个△AQC,使C'A'^CA,NB'=

NB（即保证两边和其中一边的对角对应相等）.把画好的剪下，放到aABC上，它

们全等吗？

学生活动：

（1）学生自己动手，利用直尺、三角尺、量角器等工具画出aABC与夕C,将△从夕C

剪下，与△ABC重叠，比较结果.

（2）作好图后，与同伴交流作图心得，讨论发现什么样的规律.

教师活动：

在学生作完图后，由一个学生口述作图方法，教师进行动画演示，再次体会探究全等三

角形条件的过程.

操作结果展示：

对于探究1：画一个△AbC,使A'C'^AC,/A，=/A.

（1）画/£>4E=NA；

（2）在射线4。上截取AE=A8,在射线4E上截取4C=AC；

（3）连结B'C.

将△力⑻C剪下，发现△ABC与△4B，C'全等.

由此得出判定方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简称“边角边”和

“SAS”).

几何语言表示：

如图，

在△46。和△应尸中，

AB=DE,

-NB=NE,

BC=EF,

:.△ABgiXDEF(SAS).

对于探究2：

学生画出的图形各式各样，有的说全等，有的说不全等.教师在此可引导学生总结画图

方法：

(1)画NDB，E=NB；

(2)在射线8'力上截取B'A'=BA；

(3)以A为圆心，以AC长为半径画弧，此时只要/CW90°,弧线一定和射线夕E交

于两点C,F,也就是说可以得到两个三角形满足条件，而两个三角形是不可能同时和AABC

全等的.

也就是说：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.所以它不能作为

判定两三角形全等的条件.

归纳总结：

“两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等.即：两边及其夹角对

应相等的两个三角形全等.(简记为“边角边”或“SAS”).

设计意图：类比“边边边”探究得出“边角边”，学生通过动手操作、自主探究、交流、

获得新知，进一步增强了动手能力.

(三)例题解析

【例】如图，有一池塘，要测池塘两端A,B的距离，可先在平地上取一个点C,从点

C不经过池塘可以直接到达A和B.连结AC并延长到。，使CD=CA.连结BC并延长到

点E,使CE=CB.连结。£,那么量出。£的长就是A,8的距离.为什么？

师生共同分析：如果能证明△ABC也△OEC,就可以得出A8=OE.在△ABC和△DEC

中，AC=DC,BC=EC.要是再有N1=N2,那么△ABC与△£)£■(7就全等了.而N1和N

2是对顶角，所以它们相等.

证明：在△ABC和△£>£<?中，

AC=DC,

"Z1=Z2,

BC=EC,

.'.△ABC/△力EC(SAS).

：.AB=DE.

设计意图：运用“边角边”判定方法解决实际问题，引导学生把实际问题转化为几何

问题，分析问题中的已知条件，以及两个三角形全等还需要的条件.

(四)课堂练习

1.如图，0A平分NBOC,并且。B=OC.求证：AB=AC.

2.如图，已知△ABC中，AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点，且C£)=BE,△AOC

与△AE8全等吗？小明是这样分析的：因为AB=4C,BE=CD,ZBAE=ZCAD,所以△

ADC^/\AEB(SSA),他的思路正确吗？请说明理由.

A

学生独立完成.

答案：

1.证明：平分NBOC,

：.ZBOA=ZCOA.

在△OAB和△OAC中，

OB=0C,

"NBOA=ZCOA,

0A=0A,

：.ZXOAB丝△OAC(SAS).

：.AB=AC.

2.小明的思路错误.错解在把“SSA”作为三角形全等的判别方法，实际上，“SSA”

不能作为三角形全等的判别条件.因为两边及一边对角相等的两个三角形不一定全等.

正解：△AOC四△4EB.因为4B=AC,D,E为AB,AC的中点，所以AO=AE.在X

AQC和△AE8中，因为AC=A8,AD=AE,CD=BE,所以△AQC附△AEB(SSS).

或者因为AB=AC,D,E为AB,AC的中点，所以AZ)=AE.在△AOC和△AE8中，

因为AC=A8,NCAD=NBAE,AD=AE,所以△AOC丝(SAS).

设计意图：通过练习，掌握全等三角形判定的证明格式，通过解题实践，锻炼学生分

析问题，寻找判定三角形全等条件的能力.

六、课堂小结

1.根据“边角边”判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件.

2.找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公

共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理.

设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解“边角边”判定方法.

七、板书设计

12.2三角形全等的判定(边角边)

“边角边"（SAS）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等

边角边的几何语言

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

第3课时

一、教学目标

1.掌握三角形全等“ASA”和“AAS”条件.

2.能运用“ASA”和“AAS”条件判定两个三角形全等.

二、教学重点及难点

重点：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，.

难点：“角边角”和“角角边”判定条件的理解和应用

三、教学用具

电脑、多媒体、课件、三角形硬纸板、直尺、刻度尺

四、相关资源

“已知两角及其夹边”作一个三角形与已知三角形重合的过程；三角形全等的判定微课

五、教学过程

（-）情境导入

（1）一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如下图，你能制作一张与原来同样

大小的新教具吗？能恢复原来三角形的原貌吗？

（2）到目前为止，可以作为判别两个三角形全等的方法有几种？各是什么？

三种：（1）定义；（2）SSS；（3）SAS.

今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等？

设计意图：设置问题情境，激发学生的求知欲，明确本节课要探究的内容.

(二)探究新知

1.拿出准备好的三角形硬纸片△ABC,再画一个△A‘B'C',使4B，=AB,乙4'

=NA,ZB'=NB(即保证两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A'B'C',放到

丛ABC上,它们全等吗？

学生活动：

(1)学生自己动手，利用直尺、三角尺、量角器等工具画出将△48。与

重叠，比较结果.

(2)作好图形后，与同伴交流作图心得，讨论发现什么样的规律.

操作结果展示：

画一个△A'B'C',使/'B'=AB,NZZB'=ZB.

(1)画W=4B；

(2)在4'B'的同旁画/。NEB'A'=/B,A'D,配E相交于点C.

将做好的夕C剪下，'发现AABC与AA'B'C'全等.

由此得出判定方法：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边

角”或“ASA”).

几何语言表示：

如图，

在△ABC和尸中,

NB=NE,

<BC=EF,

ZC=NF,

:.XABC色XDEF(ASA).

设计意图：类比''边边边”和“边角边”探究得出“角边角”的两个三角形全等的判

定方法，学生通过动手操作、自主探究、交流、获得新知，进一步增强了动手能力，渗透

类比思想.

2.在两个三角形中，是不是只要有两个角对应相等，一条边对应相等，这两个三角形

就全等呢？

下面，我们来看一个问题：

如图，在△ABC和△OEF中，4人=/D,/B=/E,BC=EF.求证：△ABgl\DEF.

证明：在中，ZA+ZB+ZC=\^°,

.：/C=180。-ZA-ZB.

同理4=180°-ZD-ZE.

又NA=〃，/B=/E,

:.NC=NF.

在和△%T7中

ZB=Z£,

-BC=EF,

NC=NF,

:.丛ABC沼/XDEF(ASA).

由此得出：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”

或aAAS").

几何语言表示:

如图，

在△4BC和△OEF中，

ZA=ZZ),

"ZB=NE,

BC=EF,

：./\ABC^/\DEF(AAS).

设计意图：用"角边角”证明满足两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等

的正确性，得出“角角边”的判定方法.

（三）例题解析

【例】如图，点。在AB上，点E在AC'上，AB=AC,NB=NC.求证：AD=A£

证明：在△AC。和△ABE中,

ZA=NA,

AC=AB,

NC=ZB,

/.AACD^AABE(ASA).

.'.AD=AE.

设计意图：运用“角边角”判定方法证明两个三角形全等，从而证明两条线段相等.

（四）课堂练习

1.如图，点。在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点。，AB^AC,ZB=ZC.求

证：BO=CO.

2.解决课前导入的问题：一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如下图，你能

制作一张与原来同样大小的新教具吗？能恢复原来三角形的原貌吗？

学生独立完成.

答案：

1.证明：在△AC。和△ABE中，

NA=N4

<AC=AB,

NC=NB,

：./\ACD^/\ABE（ASA）.

'.AD=AE.

'：AB=AC,

：.AB-AD=AC-AE.

即BD=CE.

在△800和△COE中，

Z.BOD=乙COE,

<ZB=ZC,

BD=CE,

:.△BODQXCOECAAS）.

：.BO=CO.

2.被撕坏的这块三角形硬纸板保留了原三角形硬纸板的两角及其夹边，新制作的三角

形硬纸板的两角及其夹边和被撕坏的这块三角形硬纸板对应相等，新制作的三角形硬纸板和

原三角形硬纸板满足“角边角”，自然就同样大小了，所以能恢复原来三角形的原貌.

设计意图：运用“角边角”和“角角边”的判定方法证明两个三角形全等，体会全等

三角形判定方法的多样性，锻炼学生挖掘题目中隐含条件的能力.

六、课堂小结

1.如何找对应相等的边和角？

寻找对应相等的边：公共边、中点或中线、通过计算（同加或同减）、作辅助线（构造

公共边等）.

寻找对应相等的角：公共角、角平分线平分角、直角或垂直（90°）、平行线性质、通

过计算（同加或同减）；同角的余角相等.

对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.

2.我们现在学了五种判定三角形全等的方法：

(1)全等三角形的定义；

(2)边边边(SSS)；

(3)边角边(SAS)；

(4)角边角(ASA)；

(5)角角边(AAS).

3.要根据题意选择适当的判定方法.

4.用三角形全等来证明线段相等或角相等.

设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解“角边角”和“角角边”的判

定方法，灵活选择全等三角形的判定方法判定两个三角形全等.

七、板书设计

12.2三角形全等的判定(“角边角”和“角角边”)

“角边角”(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.

“角角边”：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.

“角边角”的几何语言

“角角边”的几何语言

第十二章全等三角形

12.2全等三角形的判定

第4课时

一、教学目标

1.让学生经历探究全等直角三角形判定方法“HL”的过程，学会用操作确认、归纳发现

问题结论的方法。

2.通过操作确认、归纳得到直角三角形全等的判定方法，感知实验操作在发现问题结

论中的重要作用，让学生体会到学习几何的乐趣。

二、教学重点及难点

重点：直角三角形全等的条件、判定方法。

难点：运用全等直角三角形的判定方法解决问题。

三、教学用具

电脑、多媒体、课件、直角三角形硬纸板、直尺、刻度尺、量角器

四、相关资源

《全等三角形的判定（斜边，直角边）》微课

五、教学过程

（一）复习导入

1.我们已经学习了判定两个三角形全等的方法：“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”.

2.如图，RtZXABC中，直角边是48和BC,斜边是4c.

3.对于两个直角三角形，除了直角相等的条件外，还要满足几个条件，这两个直角三

角形就全等了？说说你的看法.

例如：（1）满足一边一锐角分别相等的两个直角三角形全等.（利用“ASA”或“AAS”）,

（2）两直角边分别相等的两个直角三角形全等.（利用“SAS”）

如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？

设计意图：通过回顾已学过的全等三角形的判定方法，构建三角形全等的知识体系，

接着利用提出“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等”问题，明确本节

课的探究内容，激发学生探究知识的欲望.

（二）探究新知

探究：拿出准备好的Rt/XABC,,再画一个RtZXA'B'C',使NC'=90°,B'C

=BC,A'8/=AB,把画好的RtAA'8'C'剪下，放到上，它们全等吗？

学生活动：

（1）学生自己动手，利用直尺、三角尺、量角器等工具画出RtZ\ABC与44'8'C',

将Rt^A'B'C剪下，与RtZVIBC重叠，比较结果.

（2）作好图后，与同伴交流作图心得，讨论发现什么样的规律.

操作结果展示：

画一个Rt44'B'C,使"C'=BC,A'B'=A&

（1）画NMCW=90°；

（2）在射线CM上取B'C=BC；

(3)以方为圆心、A8为半径画弧，交射线CW于点4；

(4)连接48'.

通过重叠发现RtAABC与RtzMB'C'全等.

于是得出直角三角形的判定方法：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).

在使用“HL”时，同学们应注意:

(1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.

(2)注意对应相等.

用几何语言表示为：

如图，

在RtAABC和Rt/\DEF中,

\AB=DE,

1AC=DF,

：.RtAABC^RtADEF(HL).

设计意图：类比"SSS”“SAS”“ASA”“AAS”探究得出“HL”，学生通过动手操

作、自主探究、交流、获得新知，掌握直角三角形的判定方法和书写格式.

(三)例题解析

【例】如图，ACLBC,BDVAD,垂足分别为C,D,AC^BD.求证：BC=AD.

AB

证明："：ACLBC,BD1AD,

：.ZD=ZC=90°.

在RtAABC和RtABAD中,

AB=BA,

AC=BD,

：.Rt/\ABC^Rt/\BAD(HL).

：.BC=AD.

变式：如图，/ACB=乙4。8=90°,要使△ABC丝△54。还需增加一个什么条件？把

增加的条件填在横线上,并在后面相应括号内填上判定它们全等的理由:

(1)();(2)();

(3)().

答案：（1）AC=BD,HL；(2)AD=BC,HL；

(3)ZBAC^ZABD,AAS；(4)ZABC^ZBAD,ASA.

设计意图：运用“斜边、直角边”判定方法证明两个直角三角形三角形全等，从而证

明两条线段相等.

（四）课堂练习

1、如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高AC与右边滑梯水平方向的长度OF

相等，两滑梯倾斜角/ABC和/。FE有什么关系？

学生独立完成.

答案：

解：ZABC+Z£）FE=90°.

理由如下：

在RtAABC和RtADfF中,

JBC=EF,

\AC=DF,

：.RtAABC^RtADEF(HL).

・・・ZABC=ZDEF.

又•.*ZDEF+ZDFE=90°9

：.ZABC+ZDFE=90°.

即两滑梯的倾斜角NABC与NDFE互余.

2、已知：如图，AC平分/BAO,CE1.ABE,CF±ADF,_SBC=DC.

求证：BE=DF.

答案：YAC平分N84。，

・•・NDAC=NBAC.

・.・CEJ_A8于E,C凡1_4。于产，

・・・ZAFC=ZAEC.

'：AC=AC,

：./XAFC^/XAEC(AAS).

：.EC=FC.

在RtADCF和RtABCE中

jBC=DC,

[EC=FC,

：.RtADCF^RtABCE.

：.BE=DF.

设计意图：运用“斜边、直角边”判定方法证明两个直角三角形全等，熟练书写格式,

锻炼学生挖掘题目中隐含条件解决实际问题的能力.

六、课堂小结

1.到目前为止，我们有六种判定三角形全等的方法：

(1)全等三角形的定义；

(2)边边边(SSS)；

(3)边角边(SAS)；

(4)角边角(ASA)；

(5)角角边(AAS)；

(6)HL(仅用在直角三角形中).

2.要根据题意灵活选择适当的三角形全等的判定方法.

3.用三角形全等来证明线段相等或角相等.

设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解“斜边、直角边”判定方法,

灵活选择全等三角形判定方法判定两个三角形全等.

七、板书设计

12.2三角形全等的判定(HL)

直角三角形全等的判定(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等

直角三角形全等的判定(HL)的几何语言

第十二章全等三角形

12.3角的平分线的性质

一、教学目标

1.会用尺规作一个已知角的平分线；

2.掌握角的平分线的性质和判定；能够完成严密的逻辑推理；

3.能运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题.

二、教学重点及难点

重点：角平分线的尺规作图，角的平分线的性质和判定及其应用.

难点：1.对角平分线性质定理中“点到角两边的距离”的正确理解.

2.角的平分线的性质及判定定理的运用.

三、教学用具

电脑、多媒体、课件、直尺、刻度尺、量角器、角平分仪

四、相关资源

《角的平分线的性质》微课

五、教学过程

(-)引出新知

问题1：给出一个纸片做的角，能不能找出这个角的角平分线呢？

师生活动：可用量角器，若不利用工具，也可用折纸的方法，教师课件演示.

问题2：哪一种方法用起来更方便？在生活中，这些方法是否都可行呢？

师生活动：用量角器比较方便，但有误差，用折叠的方法比较简捷，但若换成木板、钢

板等无法对折的材料，此方法就不行了，那还有别的方法适合吗？引出课题.

［设计意图］依据弗雷登塔尔的现实性原则，设计“激趣设疑、联旧带新”环节，既

能激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的

知识建构提供了理想途径.

（-）探究新知

探究（1）：出示仪器模型，说明工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平

分线.介绍仪器特点（有两对边相等），将A点放在角的顶点处，和AD沿角的两边放下,

过AC画一条射线AE,4E即为/8AQ的平分线.为什么？

学生口述，用三角形全等的方法（SSS）证明AE是NBA。的平分线.

师问：把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，也就是4B=A£>,

从几何作图角度怎么画？BC=DC,从几何作图角度怎么画？

师生活动：学生同桌交流，归纳角的平分线的作法.学生板演示范作图.

预设：为什么要以大于LMN的长为半径画弧？为什么强调交于角的内部？提倡学生自

2

学、对学、再群学.

［设计意图］帮助学生体验从生产生活中分离，抽象出数学模型，以此为线索，先自

学、再对学，有问题（或困难）的在小组内交流，从实验操作中获得启示，探究出作角的

平分线的方法，不仅注重了个人的实效性发展，而且也实现了学生自身能力的资源共享.

探究（2）：请将一张用纸片做的角NA08对折，再折出一个直角三角形（使第一条折

痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？再连续折出几

个直角三角形，然后展开，观察折痕，你能得到什么结论？

问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？

问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？

学生动手折叠

师生活动：第一次折痕是角的平分线，第二次的折痕是角平分线上的点到两边的距离,

它们的长度相等，连续再折出折痕长度也对应相等.由此可见，角的平分线除了有平分角的

性质，还有其他性质.用文字语言阐述得到的猜想：

角的平分线上的点到角两边的距离相等

［设计意图］学生动手动脑，可猜测并能说出观察到的结论，为逻辑推理做好了铺垫.

几何语言：：0C是/A0