全国百校联盟高二月考领航卷（一）数学（理）试题

全国百校名师联盟高二月考领航卷（一）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则这个函数的导函数为A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】因为，所以选C.2.函数从到的平均变化率为，则实数的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：从1到的平均变化率为，解方程即可.详解：从1到的平均变化率为，解得实数的值为9.故答案为B.点睛：这个题目考查了平均变化率的定义，根据定义写出表达式即可得到结果.3.函数的递增区间为A.， B.C.， D.【答案】A【解析】【详解】分析：直接对函数求导，令导函数大于0，即可求得增区间.详解：，，增区间为.故答案为A.点睛：本题考查了导数在研究函数的单调性中的应用，需要注意的是函数的单调区间一定是函数的定义域的子集，因此求函数的单调区间一般下，先求定义域；或者直接求导，在定义域内求单调区间.4.已知函数，则等于A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】分析：先对函数求导，再将代入即可.详解：函数，将代入，得故选D点睛：本题考查复合函数的导数，解题的关键是准确掌握导数计算的公式.5.曲线与直线所围成图形的面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由得因此曲线与直线所围成图形的面积为，选D.点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．6.若点为曲线上任意一点，且曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出导函数，即可得到导函数的值域，再根据导数的几何意义及正切函数的性质计算可得.【详解】解：因为，所以，所以，因为，所以；故选：B.7.已知的图象如图所示，其中是的导函数，则下列关于函数说法正确的是（）A.仅有2个极值点，一个是极大值点，一个是极小值点B.因为有四个根，故函数有四个极值点C.有2个极大值点，3个极小值点D.没有极值【答案】A【解析】【分析】根据极值点的定义和的图象得出结论．【详解】若是的极值点，则，且在两侧异号，

由的图象可知共有4解，其中只有两个零点的左右两侧导数值异号，一个导函数的符号由正变负，是极大值点，一个导函数符号由负变正，是极小值点，故A正确，BCD错误．

故选：A．8.若函数在区间上递减，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】由题意得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因此；选D.9.已知直线与曲线相切，则的值为A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【详解】设切点为，则因为，所以，因为，所以选A.10.若，恒成立，则正数的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】因为，所以，当时，当时，的最小值，令，则，当时，；当时，；所以当时，；综上，正数的取值范围为，选C.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.11.定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意借助于指数函数分析可得，构建新函数，求导，利用导数判断单调性解不等式.【详解】∵，则由于在上单调递增∴，即令，则在上恒成立∴在上单调递减，且若，则即不等式的解集为故选：B.12.在直角中，，，，点、分别在、边上，且，沿着将折起至的位置，使得平面与平面所成二面角的平面角为（其中点为点翻折后对应的点），则四棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】翻折后，过点在平面内作，垂足为点，分析可知平面与平面所成二面角的平面角为，设，其中，计算出四棱锥的体积关于的函数关系式，利用导数法可求得四棱锥的体积的最大值.【详解】翻折前，在中，，，，则，因为，则，且，翻折后，如下图所示，则有，，，、平面，平面，所以，平面与平面所成二面角的平面角为，过点在平面内作，垂足为点，平面，平面，，，，、平面，平面，设，其中，则，，，梯形的面积为，所以，，令，其中，由可得，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，当时，四棱锥的体积取最大值为.故选：B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，则__________．【答案】2【解析】【详解】分析：对函数求导，将x=1代入导函数即可求得结果.详解：函数，=解得2.故答案为2.点睛:这个题目考查了导数几何意义，导数几何意义指的是在曲线上任意一点处的切线的斜率.14.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.若在第时，原油的温度（单位：）为，则在第时，原油温度的瞬时变化率为__________．【答案】1【解析】【详解】分析：任意时刻的原油的温度（单位：）为，由导数的几何意义得到详解：根据题意得到，任意时刻的原油的温度（单位：）为，由导数的几何意义得到故答案为1.点睛：这个题目考查的是导数的几何意义，以及导数的实际应用，导数几何意义指的是在曲线上任意一点处的切线的斜率.15.已知函数在区间上是减函数，则的最小值是__________．【答案】【解析】【详解】由题意得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，调整为：，而且时，，所以的最小值是.16.若函数在上有个零点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【详解】由或，所以当时，；当时，；当时，；而，因此要使函数在上有个零点，由示意图可知，需或，即或点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数.（1）求函数的导函数；（2）求过点且与曲线相切的直线方程.【答案】（1）.（2）和.【解析】【详解】分析：（1）根据多项式的求导法则求导即可；（2）设切点的坐标为，切线方程为：，将点的坐标代入上述方程可得求得或，进而得到切线方程.详解：（1）.（2）由，设切点的坐标为，由所求切线方程为：，将点的坐标代入上述方程可得：，整理为：，解得：或，将或代入切线方程，可求得切线方程为：和.点睛：这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.18.已知函数在处有极值，求实数、的值.【答案】【解析】【详解】试题分析：由极值定义得，与联立方程组解得实数、的值.然后代入检验是否为极值点.试题解析：解：由，有，可得由，联立上述两方程消去得：，当时可得：，此时；当时可得，此时①当时，，f'x=2x+2-故当时函数有极小值.②当时，，，故函数单调递减，没有极值.由上知19.已知函数，且为函数的极值点.（1）求实数的值；（2）若当时，存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）先根据极值点定义得，解得a的值，再代入验证为函数的极值点.（2）先转化不等式为：，再根据（1）确定函数单调性：当时函数单调递增；当时函数单调递减.根据单调性确定函数，最后解不等式可得实数的取值范围.试题解析：解：（1），由得，解得：，（2）由（1）知，令可得，故当时函数单调递增；当时函数单调递减.由，，故有，则.由存在实数使得不等式成立，可得：，解得：.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.20.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在区间的最值.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再根据a讨论，按0，1分割成五类分别进行讨论，最后根据导函数符号确定对应区间单调性，（2）先根据a与1的大小分类讨论，当时，函数单调性递增，即得最值；当时，函数先减后增，可得最小值，再比较两个端点值大小确定最大值.试题解析：解：（1）令，①当时，，为常数函数，则在上没有单调性.②当时，，故函数在上单调递增.③当时，令可得：或，则在上递减，在，上递增.④当时，令可得：或，则在上递减，在，上递增.⑤当时，令可得：，故在上递增，在，上递减.（2）①当时，由（1）知函数在区间上单调递增，故，.②当时，由（1）知函数区间上单调递减，在区间上单调递增；故，由，故当时，；当时，；21.如图所示，有、、三座城市，城在城的正西方向，且两座城市之间的距离为；城在城的正北方向，且两座城市之间的距离为.由城到城只有一条公路，甲有急事要从城赶到城，现甲先从城沿公路步行到点（不包括、两点）处，然后从点处开始沿山路赶往城.若甲在公路上步行速度为每小时，在山路上步行速度为每小时，设（单位：弧度），甲从城赶往城所花的时间为（单位：）.（1）求函数的表达式，并求函数的定义域；（2）当点在公路上何处时，甲从城到达城所花的时间最少，并求所花的最少的时间的值.【答案】（1），定义域为；（2）点所在的位置为处，甲所花最短时间为.【解析】【详解】试题分析：（1）先在直角三角形中用表示，，再根据时间等于路程除以速度得，最后根据实际意义得定义域，（2）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值取法.试题解析：解：（1）在中，，，故.由图知，，故函数的定义域为（2）令则.令，可得，由可解得.故函数的增区间为，减区间为故当时，函数.故点所在的位置为处，甲所花最短时间为.22.已知函数.（1）若曲线在点处的切线与圆相切，求的值；（2）若函数在上存在极值，求的取值范围；（3）若函数有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)根据导数几何意义得切线斜率为，结合直线的点斜式得切线方程，由圆心到切线距离等于半径即可求得的值；(2)根据题意可知导函数在上有零点且在零点附近变号，由于导函数为单调递增函数，根据零点存在定理得解得的取值范围；(3)由函数有两个零点知函数不单调，即导函数至少有一个零点，由导函数单调递增得导函数有且仅有一个零点，且为极小值点，利用以及导数研究可得，再由，可得.最后证明时函数有两个零点，先证，再证，再证，，结合零点存在定理可得结论.【小问1详解】∵，由，，故曲线在点处的切线方程为：，整理为：，由切线与圆相切，有，解得：；【小问2详解】∵为上的增函数，∴即，解得：.小问3详解】由，当时由函数为增函数，则函数若存在零点，有且仅有一个，令.①当时，，令，由，得，故当时函数单调递增，当单调递减，又由，，可知当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增，故，此时函数有且只有一个零点.②当时，由，，故方程在区间上有解.③当时，由，，故