2024年连云港宁海中学创新班自主招生数学试题真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024年江苏省连云港市宁海中学创新班提前招生数学试卷一、选择题（48分）1．若二次函数的图象经过点、，则m的值为（）A．0 B．3 C．1 D．0或32．小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差3．已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（）A．0个 B．1个C．不少于2个但有限个 D．无数个4．如图四边形与是并列放在一起的两个正方形，是与EG的交点．如果正方形的面积是，，则的面积为（）A．1 B． C．4 D．5．将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，其中正方形和正五边形的下底边是水平共线的．如果，那么（

）A． B． C． D．6．若实数x满足，则x应满足的条件是（）A．或 B． C． D．7．如下图，的三条高相交于点为角平分线，已知，则图中的等腰三角形共有（

）．A．5个 B．6个 C．7个 D．8个8．如图，截ΔABC的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为()A． B． C． D．9．如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（

）A． B． C． D．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在轴上，点D的坐标为（-2，6），点B是动点，反比例函数经过点D，若AC的延长线交轴于点E，连接BE，则△BCE的面积为（

）

A．6 B．5 C．3 D．711．如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE•OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE=，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（

）A．点P是三边垂直平分线的交点 B．点P是三条内角平分线的交点C．点P是三条高的交点 D．点P是三条中线的交点二、填空题（24分）13．已知a是一元二次方程的一个解，则代数式的值是．14．如图，正八边形中，．15．若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为．16．有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架宽为40cm，则的长．17．如图，已知四边形是平行四边形，将边绕点D逆时针旋转60°得到，线段交边于点F，连接．若，，，则线段的长为．18．如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值是．三、解答题（48分）19．已知实数a、b满足，，求的值．20．今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C：，D：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中___________，_________，B等级所占扇形的圆心角度数为___________．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用，表示），两名女生（用，表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．21．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：(1)如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点到直线的距离为．①求的长；②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值．22．已知在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，直线交坐标轴于C、D两点，已知点，．(1)设与交于点E，试判断的形状，并说明理由；(2)点P、Q在的边上，且满足与全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标．23．如图，在矩形中，，，对角线、相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为，点P沿运动．到点B停止，点Q沿运动，到点C停止．连接、、，设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为．(1)当时，求x的值；(2)当时，求y与x之间的函数关系式；(3)直接写出在整个运动过程中，使的所有x的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】本题考查了二次函数的定义以其图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质和点坐标特征是解题的关键．根据题意得二次函数一次项系数为0，可得或，再根据二次函数的定义即可求解．【详解】解：∵二次函数的图象经过点、，∴函数图象关于y轴对称，∴函数的解析式形式应该是型，∴，解得：或，∵二次函数的二次项系数不能为0，∴．故选：B．2．A【分析】本题主要考查平均数，中位数，众数和方差，解题的关键是掌握平均数，中位数，众数和方差的意义．由平均数的定义可得答案．【详解】解：小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是平均数，故选：A．3．A【分析】本题主要考查了不定方程问题，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是反证法的应用．由直线，可得，如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点，可得，都是整数，即可得，都是偶数，与中13为奇数矛盾，即可得出答案．【详解】解：由直线，得，如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点，得，都是整数，得，都是偶数，与中13为奇数矛盾，故选：A．4．D【分析】本题主要考查了正方形的性质及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．连接BD，由正方形的性质得，，，从而得，，于是，，根据面积公式即可得解．【详解】解：连接BD，∵四边形和四边形都是正方形，正方形的面积是，∴，，，∴，，，∴，，∴．故选：．5．B【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和定理，平角的定义，正确运用正多边形的外角和定理是解题的关键．【详解】如图，，∴，，，．故选B．6．C【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．根据题意分为，，三种情况，再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：当时，则，∴，，∴，故不符合题意；当时，则，∴，，∴；当时，则，∴，，∴，故不符合题意．综上所述：若实数x满足，则x应满足的条件是．故选：C．7．D【分析】根据三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质求角度，根据等角对等边进行判断即可．【详解】解：由题意知，，，，∵，∴，，，∵，，，，∴是等腰三角形，∵，为角平分线，∴，∴，，，∵，，∴，是等腰三角形，∴，∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴是等腰三角形，即共有8个等腰三角形，故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定，角平分线，三角形外角的性质．熟练掌握三角形内角和定理，等腰三角形的判定，角平分线，三角形外角的性质是解题的关键．8．C【分析】先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，从而∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出的度数．【详解】解：过点分别作、、，垂足分别为、、，连接、、、、、、、，如图：∵，∴∴∴点是三条角平分线的交点，即三角形的内心∴，∵∴∴．故选：C【点睛】本题考查的是三角形的内心、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，比较简单．9．D【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长．【详解】解：∵，∴=5，由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，∵平分，∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，∵∠DAE+∠B=90°，∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，∴Rt△ABC∽Rt△FBD，∴即，解得：AD=，故选：D．【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．10．A【分析】依据点D的坐标为（-2，6），CD⊥CO，即可得出CO=2，CD=6=AB，进而得到CO×AB=12，再根据，可得BC•EO=AB•CO=12，进而得到△BCE的面积.【详解】解：∵点D的坐标为（-2，6），CD⊥CO，∴CO=2，CD=6=AB，∴CO×AB=12，∵AB∥OE，∴，即BC•EO=AB•CO=12，∴△BCE的面积【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用．解题的关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．11．C【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∵BP=CQ，∴AP=BQ，在△DAP与△ABQ中，，∴△DAP≌△ABQ，∴∠P=∠Q，∵∠Q+∠QAB=90°，∴∠P+∠QAB=90°，∴∠AOP=90°，∴AQ⊥DP；故①正确；∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠P，∴△DAO∽△APO，∴，∴AO2=OD•OP，∵AE＞AB，∴AE＞AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE•OP；故②错误；在△CQF与△BPE中，∴△CQF≌△BPE，∴CF=BE，∴DF=CE，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE，∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF；故③正确；∵BP=1，AB=3，∴AP=4，∵△EBP∽△DAP，∴，∴BE=，∴QE=，∵△QOE∽△PAD，∴，∴QO=，OE=，∴AO=5﹣QO=，∴tan∠OAE==，故④正确，故选C．点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．12．D【分析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则=，可得P(2，)时，最小，进而即可得到答案．【详解】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，设P(x，y)，则===，∴当x=2，y=时，即：P(2，)时，最小，∵由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：，AC边上中线所在直线表达式为：，又∵P(2，)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式，∴点P是三条中线的交点，故选D．【点睛】本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是解题的关键．13．2【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程得：，从而求出，的值，再整体代入是代数式进行计算即可．【详解】解：把代入方程得：，，，，故答案为：2．14．【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，结合已知条件得出平分是解题的关键．根据多边形内角和与正多边形的性质求得的度数，然后根据平分即可求得答案．【详解】解：八边形是正八边形，，平分，，故答案为：．15．或【分析】直接利用函数图象即可得出结论．【详解】∵由函数图象可知，当x<1或x>3时，函数图象在x轴的下方，∴函数y=a（x-2）2+b（x-2）+c的图象与x轴的交点为3，5，（把x-2作为一个整体，代入上面的函数中，）∴不等式a（x-2）2+b（x-2）+c<0<0的解集为x<3或x>5，故答案为x<3或x>5．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．16．##【分析】先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，设，从而可得，然后在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得．【详解】解：由题意得：，，，，在和中，，，，设，则，，解得，在中，，即，解得或（不符题意，舍去），即，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．17．【分析】连接AE，过E作EG⊥AB于G，由旋转的性质得出DE=DA，∠ADE=60°，证出△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质得出AE=AD，证出∠GBE=45°，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．【详解】解：连接AE，过E作EG⊥AB于G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=42，∠BAD=∠C，∵将边AD绕点D逆时针旋转60°得到DE，∴DE=DA，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE=AD，∴AE=BC，∵∠C+∠BEF=165°，∴∠DAB+∠BEF=165°，∴∠ABE=360°-（∠ADE+∠BEF+∠DAB）=135°，∴∠GBE=45°，∴BG=GE=BE=2，∴AG=AB+BG=42+2=52，∴BC=AE=．故答案为：2．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．18．【分析】如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE．想办法证明CE=CA，当CD是直径时的值最小．【详解】如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE．∵∠ACB＝∠ADB＝90°，OA＝OB，∴OC＝OD＝AB，∴A，C，B，D四点共圆，∵CA＝CB，∴∠CBA＝∠CBA＝45°，∴∠CDA＝∠CBA＝45°，∠CDB＝∠CAB＝45°，∴∠CDB＝∠CDA，∵BE平分∠ABD，∴AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝45°+∠BAE，∠CEA＝∠EDA+∠EAD＝45°+∠DAE，∴∠CAE＝∠CEA，∴CA＝CE＝定值，∴当CD的值最大时，的值最小，∴CD是直径时，的值最小，最小值＝＝，故答案为．【点睛】本题考查了三角形的内心、等腰直角三角形的性质、四点共圆、圆周角定理、等腰三角形的判定等知识；证明CA=CE是解题的关键．19．【分析】此题考查的是完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的特征是解决此题的关键．根据公式即可求出，再根据，求出，从而求出的值．【详解】解：∵，，∴，，，．20．（1）见解析；（2）15，5，252°；（3）【分析】(1)先求出总人数，减去A、B、D等级的人数即可补充统计图；(2)利用每个等级是人数除以总数再乘以100%求出m与n，根据百分比乘以360°求出B等级所占圆心角的度数；(3)列树状图解答.【详解】解：（1）总人数为（人），C等级的人数为：（人），补充统计图：（2），，B等级所占扇形的圆心角度数为，故答案为：，，252°；（3）列树状图如下：共有12种等可能的情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的有8种，∴P（1男，1女）.【点睛】此题考查统计的计算：求调查的总人数，计算部分的百分比，计算部分的圆心角的度数，还考查了利用列树状图求事件的概率.21．(1)见解析(2)①4；②【分析】（1）由旋转性质得，再证明，便可；（2）①过点作于点，证明得，设，在中，则勾股定理列出的方程解答便可；②延长到，使得，延长到，使得，连接，分别与、交于点、，求出便是的最小周长．【详解】（1）解：四边形是正方形，，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，，，，，四边形为“直等补”四边形；（2）解：①过作于点，如图1，则，四边形是“直等补”四边形，，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，，设，则，，，解得，，或（舍，；②如图2，延长到，使得，延长到，使得，连接，分别与、交于点、，过作，与的延长线交于点．则，，，，，的周长的值最小，四边形是“直等补”四边形，，，，，，，，，，，，，，周长的最小值为．【点睛】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第（2）①题关键在证明全等三角形，第（2）②题关键确定、的位置．22．(1)等腰三角形，见解析(2)点Q在坐标为或或或【分析】（1）由待定系数法求出的解析式为，联立方程组联立，得，得到点的坐标为，由，求出点的坐标，分别求出，，，从而可判断出为等腰三角形；（2）分①，在上；②在上，在上；③在上，在上；④在上，与点重合四种情况结合图形求解即可【详解】（1）解：把，代入得，解得，，直线的解析式为；联立，得，解得，点的坐标为，对于直线，当