集合间的基本关系原卷版

高一第一章集合与常用逻辑用语史老师高一第一章集合与常用逻辑用语史老师第二节集合间的基本关系学习目标学习目标理解集合之间包含与相等的含义；理解子集、真子集的概念；能利用韦恩图表达集合间的关系；了解空集的含义．18801880年Venn首次采用也称韦恩图或文氏图.Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合.多元导学多元导学我们知道，两个实数之间有相等关系，大小关系，如5=5，5<7，5>3，等等。两个集合之间是否也有类似的关系呢?问题1：观察下面的例子，类比实数间的大小或相等关系，试说说每组的两个集合间有何关系?(1)A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}；(2)A为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合；B为立德中学高一(2)班全体学生组成的集合；(3)A={等边三角形}，B={等腰三角形}；集合A小，集合B大(4)A={4，6，8}，B={8，4，6}；(5)A={x∈Z||x|<2}，B={1，0，1}集合相等互动精讲+互动精讲+课堂检测要点一：包含关系与子集知识点1、子集子集：若集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则说集合A包含于集合B(或集合B包含集合A).并称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)如：{1,2}⊆{1,2,3,5};{0,1,2}⊆{x∈N|x<3}符号语言:对任意的x∈A，总有x∈B，则A⊆B图形语言:注意：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆CVenn图在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(1)表示集合的Venn图边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线;(2)用Venn图表示集合的方法叫图示法,其优点是能直观地表示出集合间的关系,缺点是集合元素的共同特征不明显例一：已知A＝{x|x是正数}，B＝{x|x是正整数}，C＝{x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是()A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆CC．C⊆A⊆B D．A＝B⊆C例二：（2324高二下·河北保定·期末）已知集合A=x-1<x<2，B=xA．A>B B．A⊆B C．B⊆A D．【变式1】（2324高一下·贵州六盘水·期末）已知集合A=x|x2A．-2,2⊆A B．-2,2∈A C．2∉A D【变式2】（2021高一上·北京·期末）已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，集合A与B的关系如图所示，则集合A．2,4,5 B．1,2,5 C．1,6 D．1,3【变式3】（2223高一·全国·随堂练习）判断下列各组中两个集合之间的关系：(1)1,2,3与xx是6的正因数}(2)xx=3n,n∈Z与x知识点2、集合相等集合相等：一般的，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说：若A⊆B，且B⊆A，则A=B.与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，你有什么体会？例一：（2425高一上·全国·课堂例题）若A=0,1(1)如何从元素的角度判断两个集合A与B的关系？(2)如何从子集的角度判断集合A与B的关系?【变式1】下列集合x|x3=1，x|x2=1，A．x|x3=1 B．x|x2=1【变式2】下面选项中的两个集合相等的是（

）A． B．M=1,0C．M=xx2【变式3】判断题1．1,-12．集合M=x∣x=2k-1,k∈Z，N=x∣x=2k+1,k∈Z知识点3、真子集真子集：如果集合𝐴⊆𝐵, 但存在元素𝑥∈𝐵, 且𝑥∉𝐴, 就称集合𝐴 是集合𝐵 的真子集("propersubset"), 记作：A读作：“A真包含于B”（或“B真包含A”）所以集合A是集合B的真子集例一：判断下列两个集合之间的关系：(1)A=1,2,4，B={x∣x是8的因数}(2)，．【变式1】（2223高一上·江苏苏州·阶段练习）设集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x=k+3,k∈Z}，则（A．A=B B．A⫋B C．B⫋A D．A知识点4、空集空集：定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.规定：空集是任何集合的子集．即∅⊆A.是任何非空集合的真子集.注意点：(1)在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.(2)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}．例一：（2324高一上·北京东城·期中）下列正确的是（）A．0∈0,1,2 B．0∈∅ C．∅=0 D【变式1】已知六个关系式①∅∈∅；②∅⊂≠∅；③0⊃≠∅；④0∉∅；⑤A．3 B．4 C．5 D．6【变式2】（2324高一上·重庆·期中）下列关于0与∅说法不正确的是（）A．0∉∅ B．0C． D．0⊇∅【变式3】判断题1、（2425高一上·全国·课堂例题）∅=02、（2425高一上·全国·课堂例题）空集没有子集．()3、（2324高一上·河南南阳·阶段练习）0是空集.()例一：（（2425高一上·全国·课后作业）已知集合A=xa-1<x<2a+1，B=x0<x<1，若【变式1】（2324高一上·陕西延安·阶段练习）集合A=(1)若A是空集，求a的取值范围(2)若A中只有一个元素，求a的值并把这个元素写出来【变式2】（2324高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合A=x|0(1)若B=∅，求a的取值范围.(2)若B⊆A，求a的取值范围.要点二：子集、真子集个数的确定假设集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．求集合的子集的两个关注点：(1)要注意两个特殊的子集：∅和自身．(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏．例一：（2425高一上·上海·课前预习）子集（1）对于两个集合A与B，如果集合A的都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），那么集合A叫做集合B的子集，记作（或），读作“”（或““）．可用文氏图表示为：（2）子集的性质：①A⊆A，即②∅⊆A，即③若A⊆B且B⊆A，则④传递性：若A⊆B且B⊆C，则【变式1】（2122高一·全国·课后作业）写出下列集合的所有子集：(1)；(2)；(3)．【变式2】（2223高一上·山东聊城·阶段练习）设集合，列出集合A的子集.【变式3】（2223高一上·上海黄浦·阶段练习）已知集合，则的所有真子集为.【变式4】（2022高一·全国·专题练习）已知A⫋B，且B＝{0，1，2}写出满足条件A的所有集合．例二：（2324高一上·浙江宁波·期中）集合A=x∈Z|【变式1】（2324高三上·浙江·阶段练习）已知集合N=x∈N1<x<3，则集合N有（A．0 B．1 C．2 D．4【变式2】（2122高一下·安徽·期中）设集合A=x∈N|y=12x+3∈N【变式3】（1920高一·浙江杭州·阶段练习）集合0,2,3的真子集共有（

）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【变式4】（1819高三下·浙江·阶段练习）集合0,1,2,3,4,5的真子集个数是A．23 B．24-1 C．2【变式5】（2019·浙江·二模）集合{2, 0, A．13 B．14 C．15 D．16【变式6】（2021高一上·宁夏中卫·期中）已知集合A=x∈Z【变式7】（2019高一·浙江·专题练习）已知集合A=a-3,2a-1，且3∈A，实数a=，A的真子集个数为【变式8】（2223高一上·浙江·阶段练习）集合{x∈N∣【变式8】（2021高一上·陕西宝鸡·期中）集合x∈Nx=5A．2个 B．3个 C．6个 D．7个【变式9】（2223高三上·浙江衢州·阶段练习）已知集合A=a1,a2,aA．3 B．4 C．6 D．2【变式10】（1920高一上·西藏山南·期中）已知A=a,b,c（1）集合A的子集的个数，并判断与集合A的关系（2）请写出集合A的所有非空真子集例三：（2021·浙江绍兴·三模）已知集合满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3}，则集合A．{3} B．{1,3} C． D．{1,2}【变式1】（2024·浙江·二模）已知集合M=1,2,3，N=0,1,2,3,4,7，若M⊆A⊆N，则满足集合A的个数为（A．4 B．6 C．7 D．8【变式2】（2223高一上·浙江绍兴·阶段练习）满足1，2，3⊆A．3 B．4 C．5 D．6【变式3】（1718高二下·广西玉林·期末）已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，那么这样的集合M的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【变式4】（2223高一上·浙江温州·期中）满足1,2⊆M⊆1,2,3,5的集合【变式5】（1920高一·全国·课后作业）满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有【变式6】已知集合满足：1,2⫋M⊆1,2,3,4,5，写出集合【变式13】（1）已知集合，则集合的子集依次是．（2）已知集合，则集合的真子集依次是．【变式7】（2223高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知⫋的集合M的个数是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【变式8】（多选）（2122高一上·广东·期末）以下满足{0,2,4}⊆A⫋{1,2,3,4}的集合A有（

）A． B．{0,1,3,4} C．{0,1,2,4} D．【变式9】（多选）（2324高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足⫋的集合有（

）A． B． C． D．【变式10】（2324高一上·江苏盐城·期中）集合满足⫋，则满足条件的集合的个数为.【变式11】（2223高一上·北京西城·阶段练习）⫋⫋，这样的共有个.【变式12】（2324高一上·上海静安·阶段练习）满足{1，2，3}⫋M⫋{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【变式13】（2324高一上·山西太原·阶段练习）满足关系⫋⫋的集合的个数是（

）A．4 B．6 C．8 D．9要点三、包含关系与属于关系之间的关系问题：包含关系a⊆A与属于关系注：包含关系刻画的是集合与集合间的关系；而属于关系刻画的是元素与集合间的关系要点三：根据集合间的基本关系求参数的取值或取值范围利用集合间的关系求参数的关注点(1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值．(2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集．易错点：忽视对空集的讨论而致错例一：（2324高一上·湖南株洲·阶段练习）已知集合，，若，则实数（

）A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．1或4【变式1】（2425高一上·上海·随堂练习）已知集合A=0,2，B=-1,0,a+3，且A⊆【变式2】已知集合，．若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3】已知集合，．(1)若，求m的取值范围．(2)若，求m的取值范围．例一：（2324高一上·吉林·阶段练习）设集合，若是的真子集，则的取值集合为（

）A． B． C． D．【变式1】（2223高一上·北京·阶段练习）设，若，则的值为.【变式2】若集合A=-13,12.【变式3】设集合，集合，若且，则实数.【变式4】（2223高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：(1)；(2)恰有一个元素.知识点总结知识点总结知识点1：Venn图在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(1)表示集合的Venn图边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线;(2)用Venn图表示集合的方法叫图示法,其优点是能直观地表示出集合间的关系,缺点是集合元素的共同特征不明显知识点2：子集定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C知识点3：集合相等一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.知识点4：真子集定义如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集记法与读法记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)图示性质：(1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；(2)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC.知识点5：空集的含义(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．注意点：(1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.(2)∅与{0}的区别：∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}．要点1：子集、真子集个数的确定假设集合A中含有n个元素，则有(1)A的子集的个数有2n个．(2)A的非空子集的个数有2n－1个．(3)A的真子集的个数有2n－1个．(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．求集合的子集的两个关注点(1)要注意两个特殊的子集：∅和自身．(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏．要点2：根据集合间的基本关系求参数的取值或取值范围利用集合间的关系求参数的关注点(1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值．(2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集．易错点：忽视对空集的讨论而致错课后练习课后练习一、单选题1．（2425高一上·上海·随堂练习）下列写法中正确的是（）A． B．C． D．2．（2122高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）若集合，则集合A的真子集个数是（

）A．3个 B．4个 C．7个 D．15个3．（2324高一上·吉林延边·期末）已知集合，下列式子错误的是（）A． B． C． D．4．（2324高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．5.（2022高一上·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2