实际应用与二次函数（解析版）

考点03、实际应用与二次函数

知识框架

'列二次函数解决实际问题的一般步骤

基础知识点，

’实际问题中自变量的取值

‘球类运动轨迹问题

拱桥问题

销售问题（利润问题）

重难点题型

面积问题

分段函数问题

二次函数综合问题

一、基础知识点

知识点3-1列二次函数解决实际问题的一般步骤

1）列二次函数解决实际问题的原则，与一元二次方程的实际问题原则类似：

①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；

②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）；

③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题；

④解决二次函数，并解答。

注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。

例1.（2020.重庆市初三期中）某商品现在的销售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查发现，若

果每降价1元，每星期多少卖20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

【答案】每件降价5元利润最大，最大利润为：6250元

【解析】①建立等量关系式：

此题是利润问题，等量关系式为：总利润=每件的利润X售出的件数

②设出2个变量：

•••题目研究总利润，...设总利润为因变量y,便于研究

♦.•每件的利润与售出的件数都与商品降价有关，，设每件降价x元

③建立函数关系式：

总利润为：y；每件的利润为：（60-X-40）=（20-x）元；售出的件数为：（300+20x）件

二函数关系式为：y=（20-x）（300+20X）

化筒得：y^-10x2+100%+6000

④解决二次函数问题，并解答：

题干求最值，2种方法：

方法一：配方法求最值：函数配方得：产-10(%-5)2+6250

...当x=5时，y有最大值，为6250

方法二：利用函数的性质求最值：.♦.函数有最大值

当户一2=--限=5时有最大值，最大值产竺=

.♦•降价5元时有最大利润，为6250元

答：略

例2.(2020•浙江省初三其他)小林家的洗手台面上有一瓶洗手液(如图1),当手按住顶部A下压时(如图

2),洗手液瞬间从喷口8流出，已知瓶子上部分的CE和FD的圆心分别为。，C,下部分的视图是矩形CGHD,

GH=\0cm,GC=8c，〃，点E到台面GH的距离为14cm,点3距台面G/Z的距离为16。*,且8,D,H三点、

共线.如果从喷口B流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C.E两点，接洗手液时,

当手心。距。”的水平距离为2c/n时，手心。距水平台面GH的高度为cm.

—AB

GH

图1图2

【答案】11.

【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解.

【解析】如图：

I.

c%\

G\-Hx

由题意可知：C£>=QE=10cv”，根据题意，得C(-5,8),E(-3,14),B(5,16).

设抛物线解析式为y=af+Ax+c,因为抛物线经过C、E、8三点，

11

a二----

9a-3b-^-c=1440

4ii4i5i

25。—5b+c=8，解得vb=-,所以抛物线解析式为y=-二f++

54058

25a+5/?+c=16

151

c=---

8

当x=7时，>'=11,：.Q（7,11）,所以手心。距水平台面G”的高度为lie”.故答案为11.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数解析式及准确进行计算.

例3.（2020•浙江省初三二模）为运用数据处理道路拥堵问题，现用流量Q（辆/小时）、速度n（千米/小

时）、密度出（辆/千米）来描述车流的基本特征.现测得某路段流量4与速度v之间关系的部分数据如下

表：

速度U（千米/小时）.....1520324045.....

流量9（辆/小时）.....105012001152800450.....

若己知9、v满足形如g=加声+⑶，（m、〃为常数）的二次函数关系式，且q、u、％满足q=H:.根据

监控平台显示，当54V<10时，道路出现轻度拥堵，试求此时密度k的取值范围是.

【答案】804490

【分析】利用待定系数法求出4=-2廿+100丫，将4=成变形为：k=（,将q=-2/+100y代入人=（,

再求出当54丫410时，k的取值范围即可.

【解析】由表格可知函数q=过（15,1050）、（20,1200）,可得:

mxl52+nx15=1050m=-2n

解得《।八八q=-2v~+1OOu*••乡=丫左J&二工，

mx202+nx20=1200n=100v

将q=-2v2+100u代入攵=幺得：k=幺=空+L'=-2v+l00

VVV

V5<v<10A80<-2v+100<90A80<A:<90故答案为：8042490

【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，掌握待定系数法求反函数的解析

式是解题的关键.

例4.（2020•吉林省第二实验学校初三月考）某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大

小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警.现将A、B两点放置于

平面直角坐标系xoy中，（如图），已知点A、B的坐标分别为（0,4）,（4,4）,小车沿抛物线y=ax2-2ax-3a

（«<0）运动.若小车在运动过程中触发两次报警装置，则。的取值范围是.

【分析】先把抛物线解析式分解因式，得其与x轴的交点坐标及对称轴，再分别代入临界点的坐标（0,4）

和（4,4）,结合二次项系数大小与开口大小及与x轴的交点为定点等即可解答.

【解析】解：抛物线y=双2-2ar—3a=a（x+l）（x-3），

,其对称轴为：x=l,且图象与x轴交于（—1,0）,（3,0）.

•.•抛物线顶点为（1,—4a）,当顶点在线段AB上时，有Ya=4,则a=—l；

4

当抛物线过点（0,4）时，代入解析式得：-3a=4：

由对称轴为x=l及图象与x轴交于（-1,0）,（3,0）可知，

4

当-§Va时，抛物线与线段AB有两个交点；

4

二小车在运动过程中触发两次报警装置，则a的取值范围是-,va<-\.

4

故答案为：—L

【点睛】本题实质是二次函数图象与线段交点个数的问题，需要综合分析二次函数开口方向，对称轴，与x

轴交点情况等，难度较大.

例5.（2020•四川省中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同.当水面

刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个

小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）

*I

A.4G米B.5女米C.2至米D.7米

【答案】B

【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小

孔所在抛物线的解析式，将x=-10代入可求解.

3

【解析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4,EF=14,BC=10,DO=-,

2

233

0),0=aX(-5)"+一/.a=------

250

33

大孔所在抛物线解析式为y=-而x2+g,设点A(b,0),

则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m(x-b)2,

36362

•.•EF=14,.•.点E的横坐标为-7,.•.点E坐标为(-7,--),------=m(x-b)

2525

99,

；.m=q，，顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为丫=-摄(x-b)2,

999,

,♦,大孔水面宽度为20米，.,.当x=-10时,y=—>-------(x-b),

■2225

*4.x।=—5/2+b,X2=-3JZ+b,单个小孔的水面宽度=i(—V2+b)-(—V2+b)=5y/2(米)

2222、

【点睛】本题考查二次函数的应用，解答的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.

例6.(202()•江苏省中考真题)加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件

下，可食用率)'与加工时间x(单位：min)满足函数表达式y=-0.2/+1.5%—2,则最佳加工时间为

min・

【答案】3.75

【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可.

2a

.b1.5…

【解析】；y=—0.2/+1.5%—2的对称轴为》=一五=一百mj=3.75（min）,

故：最佳加工时间为3.75min,故答案为：3.75.

【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是

解题关键.

例7.（2020•扬州市江都区国际学校初二期中）如图，线段AB的长为6夜，C为4B上一个动点，分别以

AC.8C为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACQ和△BCE,那么。E长的最小值是.

【答案】3亚

【分析】根据题意利用等腰直角三角形的特点知道AD=CD,CE=BE,ZACD=ZA=45°,NECB=NB=45°,

ZDCE=900.利用勾股定理得出DE的表达式，进而设AC=x,BC=&应一X,利用配方法即可求出DE的

最小值.

【解析】解：在等腰Rt^ACD和等腰RtZXCBE中AD=CD,CE=BE,ZACD=ZA=45°,ZECB=ZB=45°

NDCE=90°AD2+CD2=AC2,CE2+BE2=CB?，；.CD2=-AC2,CE2=-CB2,

22

*/DE2=CD2+CE1，,DE2=-(AC2+CB2),

2

设AC=x,8C=60—x,即有。6=；[f+(6夜—X)2]=(X-30)2+18,

...当x=30时，。炉有最小值为18,

.•.当AC=3上时，DE的值最小，即OE=JiM=3j2.故答案为：3亚.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的特点及二次函数求最值的方法，解答的关键是利用设参法和配方法进

行分析计算.

例8.（2020•山东省中考真题）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一

辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，

又要装上该站发往后面各站的货包各1个.在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是个.

【答案】210

【分析】根据理解题意找出题目中所给的等量关系，找出规律，写出货包数量的函数解析式，再根据二次

函数最值的求法求出快递货车装载的货包数量最多的站.

【解析】当一辆快递货车停靠在第X个服务驿站时，

快递货车上需要卸下己经通过的(X-1)个服务驿站发给该站的货包共(X-1)个，

还要装上下面行程中要停靠的(n-x)个服务驿站的货包共(n-x)个.

根据题意，完成下表：

服务驿站序号在第X服务驿站启程时快递货车货包总数

1n-1

2(n-1)-1+(n-2)=2(n-2)

32(n-2)-2+(n-3)=3(n-3)

43(n-3)-3+(n-4)=4(n-4)

54(n-4)-4+(n-5)=5(n-5)

n0

由上表可得y=x(n-x).当n=29时，y=x(29-x)=-x2+29x=-(x-14.5)2+210.25,

当x=l4或15时，y取得最大值210.

答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个.故答案为：210.

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，二次函数的性质在实际生活中的应用，二次函数的最值在x

=-时取得.

知识点3-2实际问题中自变量的取值

1)根据二次函数的性质知：函数的顶点为竺二］故当x=-2时，函数取得最值，即：

1244al2a

①当a>0时，x=-2时函数有最小值，最小值y=4'"二I

2a4a

②当a<0时，x=-2时函数有最大值，最大值严处至

2a

2)在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到x=-2,这是就需要根据二次函数

2a

的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑，则解决

实际问题的步骤为：

①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；

②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量；

③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题；

④根据实际问题，确定自变量的取值范围；（添加步骤）

⑤解决二次函数，并解答。

例1.某商品现在的销售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查发现，若果每降价1元，每星期多

少卖20件。已知商品的进价为每件40元，商务部规定商品价格不得低于56元，如何定价才能使利润最大？

【答案】每件降价5元利润最大，最大利润为：6250元

【解析】①建立等量关系式：

此题是利润问题，等量关系式为：总利润=每件的利润X售出的件数

②设出2个变量：

•••题目研究总利润，，设总利润为因变量y,便于研究

•；每件的利润与售出的件数都与商品降价有关，•••设每件降价x元

③建立函数关系式：总利润：y；每件的利润：（60—x—40）=（20-x）元；售出的件数：（300+20x）件

.,.函数关系式为：y=（20-x）（300+20%）化简得：y=-10/+加。》+6000

④确定自变量取值范围：

根据题意，xW60—56,且x>0,且x为整数.•.自变量的取值范围为：0WxW4（x为整数）

⑤解决二次函数问题，并解答：•・％=-10<0,.•.函数有最小值

当户一二=1=5时有最小值，但是x无法取到5

2a2（-10）

根据函数图像性质，当x=4时，有最大值，最大值产6240

例2.（2020.湖北省初三模拟）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A、B两种型号的“手写板”，

获利颇丰.已知A型，3型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：

进价（元/个）售价（元/个）销量（个/日）

A型600900200

8型8001200400

根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对8型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降

低5元就可多卖1个，8型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中4型手写板每

天多销售X个，每天总获利的利润为)'元(1)求了与％之间的函数•关系式并写出龙的取值范围；(2)要使

每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；(3)该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐。

元给(0<aW100)因“新冠疫情”影响的困难家庭，当304x440时，每天的最大利润为229200元，求a

的值.

【答案】(1)y=-10x2+900x+220000(04x460),且x为整数；(2)20<x<60,且x为整数；

(3)a=30

【分析】(1)设A型手写板每天多销售为个，则8型手写板每天少销售％个，根据总获利的利润y等于销

售A型手写板所获利润加上销售B型手写板所获利润，根据每件销售的利润，每日的销量都为非负数且X为

非负整数求出x的取值范围；(2)结合(1)将总利润函数进行配方，求出当y=234000时的x值，结合图

象得到每天的利润不低于234000元时的x的取值范围，进而求解；(3)设捐款后每天的利润为W元，则

卬=丁_(400-x)a,然后利用二次函数的性质进行求解.

【解析】⑴y=(900-600-5x)(200+%)+(1200-800+5x)(400—x),

x>0

化简得，y=-10x2+900x+220000,由题意知，<300—5x20,解得，04x460,

400-x>0

故X的取值范围为0460且X为整数；

(2)x的取值范围为20WXW60，

理由如下：y=-1()/+900x+22000()=-1O(X-45)2+240250,

当y=234000时，-10(x-45)2+240250=234000,

.\(X-45)2=625,X-45=±25,x=20或x=70,

要使yN2340(X),由图象知，20<x<70；

0<x<60,.-.20<x<60,且x为整数；

(3)设捐款后每天的利润为W元，

则w——10x~+900x+220000—(400—=-10x~+(900+a)x+220000—400a,

对称轴为x=+"=45+<-,0<fl<100,45+—>45,

202020

抛物线开口向下，当304x440时，w随X的增大而增大,

当X=40时，w最大，一16000+40（900+a）+220000-400a=229200,解得，a=30.

【点睛】本题考查二次函数的应用，正确理解题意，列出二次函数的表达式是解题的关键，第（2）（3）题

可结合二次函数的图象进行求解.

例3.（2020.广东省初三期末）网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲

自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗.为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000

元现金，作为红包发给购买者.已知该板栗的成本价格为6元/kg,每日销售量y（kg）与销售单价K元/kg）

满足关系式：y=-100%+5000.经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg.当每日销售

量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）.（1）请求出日获

利卬与销售单价x之间的函数关系式（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为

多少元？（3）当W240000元时，网络平台将向板栗公可收取〃元/kg（a<4）的相关费用，若此时日获利

的最大值为42100元，求a的值.

[套案](1)卬_1一100尤2+550()%—27000(64尤410)

卬一1一1OOf+5600%—32000(10〈尤W30)（2）当销售单价定为28元时，日获利最大,

FL最大为46400元；(3)a=2

【分析】（1）首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可；

（2）对于（1）得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果:

（3）先求出当w=40000,即一100%2+5600彳一32000=40000忖的销售单价，得当

w>40000,20<x<36,从而204x<30,得不=(x—6—a)(—100x+5000)—2000,可知，当

x=28+；a时，脸=42100元，从而有(28+ga-6—a)[—100(28+；a)+5000-2000=42100,

解方程即可得到a的值.

【解析】(1)当y之4000,即—100x+5000N4000,."=10.

.:当6WxW10时，w=6+1)(-100x+5000)-2000=-100/+5500A:-27000

2

当10<xW30时，卬=(%—6)(—100x+5000)—2000=-1()()X+5600x-32(X)0.

_J-100x2+5500%-27000(6<x<10)

,,次一[—lOOf+560Gx_32000(10<x<30)

(2)当6WxW10时，w=-100x2+5500x-270(X).

•••对称轴为x==_c55,?=学〉］0,.•.当x=l(H寸，叫皿=5x4000—2000=18000元.

2a2x(-100)2™

当10<x<30时，w=-100x2+5600x-32000.

二对称轴为x=一二=一、；=28,.•.当尤=28时，叱皿=22x2200—2000=46400元.

2。2x(-100)

46400>18000.•.综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，旦最大为46400元.

(3)40000>18000,/.10<x<30,则w=TOO%2+5600%-32000.

令川=40000,则一100/+5600%—32000=40000.解得：石=20,9=36.

在平山直角坐标系中画出W与X的数示意图.观察示意图可知：w>40()00,20<^<36.

”=(x—6—a)(-l00%+5000)-2000=-1OOx2+(5600+100a)x-32000—5000a.

b5600+1004-c1

对称轴为x-------------------=28-1—a

2a2x(-100)2

a<4,...对称轴x=28+'a<30..•.当》=28+!”时，叱11ax=42100元.

22

28+—fz—6—izj—100(28+—1t/j+5000—2000=42100—88a+172=0,q=2,4=86,

2

又a<4,:.a=2.

【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及

二次函数的性质是解题的关键.

重难点题型

题型1.球类运动轨迹问题

解题技巧：球类运动与抛物线息息相关，如运动轨迹、速度的变化等。在分析球类问题时，题干一般并未

告知函数的解析式，仅告知了某些特殊点的坐标，因此，球类问题的解题步骤为：

①根据图形中的特殊点，利用待定系数法，求解函数解析式；②转化为二次函数问题进行求解，并解答

1.（2020•吉林省初三二模）如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4.4机处跳起投篮，球沿条抛

物线运动，当球运动的水平距离为2.4加时，达到最大高度4m，然后准确落入篮箧内.已知篮圈中心距离地

面的高度为3m，则这位运动员投跳时，球出手处距离地面的高度力为m.

【答案】2.56

【分析】先根据题意抽象出数学模型，设球的运动轨迹y=ax2+c,代入函数图象经过的点，求出函数解析式，

再计算当x=-2.4时y的值即可求解.

【解析】解：设球的运动轨迹y=ax?+c,4.4-2.4=2,；.y=ax;:+c经过点（0,4）,（2,3）,

c=4

4=c・12

代入可得：仁,,解得：＜1,•,y——x+4,

3=4o+ca=——4

当x=-2.40寸，y=2.4『+4=2.56,即球出手处距离地面的高度人为2.56m,故答案为：2.56m.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建

模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键.

2.（2020•山西省初三期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为尸，羽毛球

123

飞行的水平距离S（米）与其距地面高度〃（米）之间的关系式为〃=一一?+-5+-,如图，已知球网A3

1232

_9

距原点5米，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为了米，设乙的起跳点C的横坐标为机，若乙原地起

跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则机的取值范围是.

力/米

［答案J5<w<4+V?

o1?39

【解析】当人=（时，-^52+15+|=^,解得S=4士行；

•••扣球点必须在球网右边,即机>5,，5<小<4+g.

点睛：本题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以选取h等于最大高度，求自变量的值，再

根据题意确定范围.

3.（2020•湖北初三期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：加）与水平距离x（单位：m）

125

之间的关系是丫=-丁/+%+求：（1）铅球在行进中的.最大高度；（2）该男生将铅球推出的距离

1233

是多少m?

【答案】（1）铅球在行进中的最大高度为3m：（2）该男生把铅球推出的水平距离是10m.

1751

【解析】（1）y=--x2+-x+1=-—（X-4）2+3,

•.•一5<0,•••），的最大值为3,.•.铅球在行进中的最大高度为3m.

125

（2）令y=0得：----x2+—x+-=0

1233

解方程得，=10,X2=-2（负值舍去）.

,该男生把铅球推出的水平距离是10m.

【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，二次函数与一元二次方程的关系.

4.（2020•山西省中考真题）竖直上抛物体离地面的高度/?（〃?）与运动时间《5）之间的关系可以近似地用公

式/1=-5/+%/+%表示，其中片（根）是物体抛出时离地面的高度，%（a/s）是物体抛出时的速度.某人

将一个小球从距地面1.5机的高处以20/〃/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）

A.23.5mB.22.5mC.21.5mD.20,5m

【答案】C

【分析】将4=1.5,%=20代入人=一55+%/+%,利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案.

【解析】解：依题意得：%=1.5,%=20,

把％=1.5,%=20代入〃=-5/+卬+小得。=一5/+20/+1.5

20c

当—讦声2时,

/7=-5X4+20X2+1.5=21.5

故小球达到的离地面的最大高度为：21.5加，故选：C

【点睛】本题考查二次函数的性质的应用利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键属于基础题.

5.（2020•湖北省初三其他）小亮同学参加了学校体育兴趣小组，在今年的校体育节中参加了跳远比赛，若

S7

函数h=—t--t2（t的单位：s,h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高

22

时所用的时间是

【答案】3

【分析】重心最高点，就是求这个二次函数的顶点，将二次函数化为顶点式，由此即可得.

,.5727/5、225

【解析】h=-t--t=-—（^-―）^+—

2221456

由二次函数的性质可知，当，=上时，h取得最大值，故答案为:5

一s

1414

【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题关键.

6.（2019•安徽初三月考）如图所示的是跳水运动员10机跳台跳水的运动轨迹，运动员从10m高A处的

跳台上跳出，运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平面与跳台墙面垂直）.若运动员的最高点M离墙1加，离

40一一

水面q-加，则运动员落水点8离墙的距离OB是

A.2mB.3,mC.4mD.5m

【答案】B

/、,40

【解析】由题意，设抛物线解析式为y=〃（尢—1）+§,代入A（0,10）得，

10=4（0-1）+~y,解得--1，所以抛物线解析式为y=---（X—1）+}",

in40

-9

当y=0时，——（%1）+?"=（）,解得玉=-1,X2=3.

因为8点在x轴正半轴，故8点坐标为（3,0）,所以。8=3,选B.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，并运用抛物线的性质解决实际问题，根据题意设出合

适的解析式是解题的关键.

7.如图I,排球场长为18根，宽为9加，网高为2.24根.队员站在底线。点处发球，球从点。的正上方1.9〃?

的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88匹即区4=2.88九这时水

平距离08=7"，以直线03为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2.

（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（，w）与水平距离x（相）之间的函数关系

式（不必写出x取值范围）.并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；

（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点尸（如图1,点尸距底线1〃?，边线0.5机），问发球点。在

底线上的哪个位置？（参考数据：加取1.4）

【答案】（1）这次发球过网，但是出界了，理由详见解析；（2）发球点。在底线上且距右边线0.1米处.

【分析】（1）求出抛物线表达式，再确定x=9和x=18时，对应函数的值即可求解；（2）当y=0时，y=

1,L

--（x-7）-+2.88=0,解得：x=19或-5（舍去-5）,求出2。=60=8.4,即可求解.

【解析】

1

(1)设抛物线的表达式为：(x-7)?2+2.88,将x=0,y=1.9代入上式并解得：,

1

故抛物线的表达式为：y=~(X-7)7“+2.88；

1

当x=9时，y=------(x-7)-+92.88=2.8>2.24,

50

当x=18时，y=-1(%-7)2+2.88=0.64>0,故这次发球过网，但是出界了；

(2)如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、。。交于点。，

在RtZ\OPQ中，Og=18-1=17,

当y=0时，y=-—(x-7)2+2.88=0,解得：x=19或-5(舍去-5),

.♦.OP=19,而。。=17,故2。=6&=8.4,

V9-8.4-0.5-0.1,...发球点。在底线上且距右边线0.1米处.

【点睛】此题考查求二次函数的解析式，利用自变量求对应的函数值的计算，勾股定理解直角三角形，二

次函数的实际应用，正确理解题意，明确“能否过网”，“是否出界”词语的含义找到解题的方向是解答此题

的关键.

题型2.拱桥问题

解题技巧：此类题型，需要我们自己建立合适坐标系，然后求解函数解析式，最后根据解析式求响应问题。

建立坐标系原则：纵坐标建在对称轴上，横坐标依题意，可随意选择

优点：①顶点坐标容易得出，便于利用二次函数顶点坐标求解解析式；

②函数关于y轴对称，函数解析式可设为：y=ax2+k

③二次函数关于y轴对称，实际问题方便求解

(2)解题步骤：

①建立合适的坐标系(纵坐标建在对称轴上)，得出特殊点的坐标值

②利用顶点式求出函数解析式

③实际问题，需确定函数取值范围

④根据题干要求，分析二次函数解析式，求解相应内容。

1.（2020•吉林省初三一模）如图，有一座抛物线拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20加，如果水位上升

3〃?达到警戒水位时，水面CO的宽是10米，建立如图所示的平面直角坐标系，。为坐标原点，如果水位以

02"/〃的速度匀速上涨，那么达到警戒水位后，再过力水位达到桥拱最高点。.

【答案】5

【分析】设抛物线解析式为y=公2,先根据二次函数的对称性可得点B、D的横坐标，再利用待定系数法

可求出a的值，从而可得抛物线的解析式，然后可求出点D的纵坐标，由此即可得.

【解析】由题意，设抛物线解析式为丁=这2

因为抛物线关于y轴对称，A3=20,。。=10

所以点B的横坐标为当=10，点D的横坐标为W=5

22

100。=n

设点3（10,则点。（5,〃+3）将点B、D代入抛物线的解析式得：。

25。=〃+3

解得＜“=一天则抛物线解析式为丫=-专/

77=-4一」

1

当x=5时，y=--x592=-l即水面CD到桥拱最高点。的距离为加

则所求的时间为1+0.2=5（份故答案为：5.

【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，依据题意，正确求出抛物线的解析式是解题关键.

2.（2020•东北师大附属明达学校初三二模）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥

面相交于AB两点，拱桥最高点C到AB的距离为4/«,AB=12m,D,E为拱桥底部的两点，且QE//AB,若

DE的长为18〃z,则点E到直线AB的距离为一m

【答案】5

【分析】首先建立平面直角坐标系，X轴在直线OE上，y轴经过最高点C，设AB与》轴交于〃，然后

设该抛物线的解析式为：y=a（x-9）（x+9）,OH=m,代入4和C的坐标，得到关于。和加的二元一次

方程，求解即可.

【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，》轴在直线OE上，）’轴经过最高点c.

•••设该抛物线的解析式为：y=a（x-9）（x+9）,

AB=12，AH=BH=6,设OH=加，则A（-6,"Z）,C（0,m+4）,

m--45a1

代入可得：\,c,，解得。=一=，加=5,故答案为：5.

【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系.

3.（2020•全国初三课时练习）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1）,它由五个高度不同，跨径也

不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图

象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A,B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的

距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为X轴建立平面

直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（）

13,

D.y=-----------X'

1350

【答案】B

【分析】设抛物线解析式为y=ax?,由已知可得点B坐标为（45,-78）,利用待定系数法进行求解即可.

【解析】••,拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O为坐

标原点，以平行于AB的直线为X轴建立平面直角坐标系，

二设抛物线解析式为y=ax1点B(45,-78),，-78=45%,解得：a=-----

675

.•.此抛物线钢拱的函数表达式为y=-笑V，故选B.

675

【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

4.(2020•山西初三期末)如图1所示的是山西大同北都桥的照片，桥上面的部分是以抛物线为模型设计而

成的，从正面观察该桥的上面部分是一条抛物线，如图2,若A8=60,OC=15,以A8所在直线为％轴,

抛物线的顶点。在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为()

图1图2

1

A.y=-----x2+15B.y=------x?—15c.y=--------x2+15D.y=x2-15

6060240240

【答案】A

【分析】首先设抛物线的解析式y=ax2+bx+c,由题意可以知道A(-30,0)B(30,0)C(0,15)代入即可得

到解析式.

【解析】解：设此桥上半部分所在抛物线的解析式为y=ax'bx+c

VAB=60OC=15/.A(-30,0)B(30,0)C(0,15)将A、B、C代入y=ax?+bx+c中

得至I」y=-3x2+15故选A

60

【点睛】此题主要考查了二次函数的实际应用问题，主要培养学生用数学知识解决实际问题的能力.

5.(2020•浙江初三其他)一隧道内设双行公路，隧道的高MN为6米.下图是隧道的截面示意图，并建立

如图所示的直角坐标•系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF的三条边围成的，矩形的长DE是8米，宽

CD是2米.

«2

（1）求该抛物线的解析式；（2）为