2023-2024学年山东省济宁市泗水县高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2山东省济宁市泗水县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以=（5，7）.故选：A.2.如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则△OAB的面积为（）A. B. C.24 D.48〖答案〗D〖解析〗根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB，其面积为.故选：D.3.将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将所得函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，∴.故选：B.4.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗，对应点为，位于第二象限.故选：B.5.若一个球的外切正方体的表面积等于6cm2，则此球的体积为（）A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3〖答案〗A〖解析〗设球的半径为Rcm，正方体棱长为acm，∴6a2＝6，∴a＝1cm，即2R＝1，∴Rcm，∴球的体积故选：A.6.已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，即，令，因为，所以，所以，即，依题意与在上有交点，则，所以，即.故选：D.7.在中，，，，D，E分别是边上的三等分点，则的值是（）A.6 B. C.8 D.〖答案〗B〖解析〗因为D，E分别是边上的三等分点，不妨设，，所以，由可得，，即，同理可得，，所以．故选：B．8.已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.〖答案〗A〖解析〗依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴ω2，又∵当x时，函数f（x）取得最小值，∴2φ＝2kπ，k∈Z，可解得：φ＝2kπ，k∈Z，∴f（x）＝Asin（2x+2kπ）＝Asin（2x），∴f（﹣2）＝Asin（﹣4）＝Asin（4+2π）＞0，f（2）＝Asin（4）＜0，f（0）＝AsinAsin0，又∵4+2π，而f（x）＝Asinx在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．故选：A．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.设是复数，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗ABC〖解析〗对于A：若，则，所以，故A正确；对于B：若，根据共轭复数的定义可得，故B正确；对于C：∵，若，即，可得，故C正确；对于D：例如，显然成立，但，即，故D错误.故选：ABC.10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则△ABC为等腰三角形C.若，，，则符合条件的三角形有2个D.若△ABC的面积，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A：在中，由正弦定理得：，为的外接圆半径，因为，即，所以，故A正确；对于B：因为，即，展开整理得，又，所以或，故为直角三角形或等腰三角形，故B错误；对于C：因为，，，所以，所以，所以符合条件的三角形有两个，故C正确；对于D：三角形面积且可得，因为，所以，故，所以，故D正确．故选：ACD．11.一对不共线的向量，的夹角为θ，定义为一个向量，其模长，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论正确的是（）A.B.当时，C.若，，则D.平行六面体的体积〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，而，故，正确；对于B，，当，有意义，则，正确；对于C，，，，，，错误；对于D，的模长即为平行六面体底面OABC的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，就是在垂直于底面OABC的方向上的投影向量的模长（即为高）乘以底面的面积，即为体积，正确.故选：ABD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为______（用代数形式表示）．〖答案〗〖解析〗复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为故〖答案〗：.13.已知，，，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为______.〖答案〗〖解析〗设与的夹角，则，所以在上的投影向量为.故〖答案〗为：.14.如图，在三棱锥中，，，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为______．〖答案〗〖解析〗如图，沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图所示：则即为的周长的最小值，在中，，，由余弦定理得：．故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知复数，，其中是实数．（1）若，求实数的值；（2）若是纯虚数，是正实数，求．解：（1）∵，，，∴，从而，解得a=2，所以实数a的值为2．（2）依题意得：，因为是纯虚数，所以：，从而a=2或；又因为a是正实数，所以a=2，当a=2时，，因为，，，，……，，，，，（），所以，所以.16.函数的部分图像如图所示．（1）求函数的〖解析〗式；（2）求在上的单调递减区间及对称轴．解：（1）由图可得，周期为，所以，因为，所以；根据图像可得，解得，因为，所以，所以.（2）令，解得，令，解得对称轴方程为：；所以单调递减区间为；对称轴方程为：，所以在上的单调减区间为；在上的对称轴方程为和.17.已知向量，，且与的夹角为．（1）求；（2）若与的夹角为钝角，求实数取值的集合．解：（1）向量，，可得，，且，因为与的夹角为，可得，解得或（舍），所以，则，所以.（2）由向量，，可得，，由，解得，当向量与共线时，可得，解得，所以实数的取值集合为．18.记的内角的对边分别为，已知．（1）证明：；（2）若，求的周长．解：（1）证明：因为，所以，所以，即，所以.（2）因为，由（1）得，由余弦定理可得，则，所以，故，所以，所以的周长为.19.设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后图象关于原点对称．（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，①若，求的值；②若，，求c的取值范围．解：（1）依题意，，，而函数的图象关于原点对称，则有，即，而，则，因此，由，得，所以函数的单调递增区间是.（2）由（1）知，，即，在中，，即，则，解得，①，由余弦定理得：，因此，所以.②中，，则有，得，又，因此，由正弦定理，得，显然，即，从而，所以c的取值范围是.山东省济宁市泗水县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以=（5，7）.故选：A.2.如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则△OAB的面积为（）A. B. C.24 D.48〖答案〗D〖解析〗根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB，其面积为.故选：D.3.将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将所得函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，∴.故选：B.4.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗，对应点为，位于第二象限.故选：B.5.若一个球的外切正方体的表面积等于6cm2，则此球的体积为（）A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm3〖答案〗A〖解析〗设球的半径为Rcm，正方体棱长为acm，∴6a2＝6，∴a＝1cm，即2R＝1，∴Rcm，∴球的体积故选：A.6.已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，即，令，因为，所以，所以，即，依题意与在上有交点，则，所以，即.故选：D.7.在中，，，，D，E分别是边上的三等分点，则的值是（）A.6 B. C.8 D.〖答案〗B〖解析〗因为D，E分别是边上的三等分点，不妨设，，所以，由可得，，即，同理可得，，所以．故选：B．8.已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.〖答案〗A〖解析〗依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴ω2，又∵当x时，函数f（x）取得最小值，∴2φ＝2kπ，k∈Z，可解得：φ＝2kπ，k∈Z，∴f（x）＝Asin（2x+2kπ）＝Asin（2x），∴f（﹣2）＝Asin（﹣4）＝Asin（4+2π）＞0，f（2）＝Asin（4）＜0，f（0）＝AsinAsin0，又∵4+2π，而f（x）＝Asinx在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．故选：A．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.设是复数，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则〖答案〗ABC〖解析〗对于A：若，则，所以，故A正确；对于B：若，根据共轭复数的定义可得，故B正确；对于C：∵，若，即，可得，故C正确；对于D：例如，显然成立，但，即，故D错误.故选：ABC.10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则△ABC为等腰三角形C.若，，，则符合条件的三角形有2个D.若△ABC的面积，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A：在中，由正弦定理得：，为的外接圆半径，因为，即，所以，故A正确；对于B：因为，即，展开整理得，又，所以或，故为直角三角形或等腰三角形，故B错误；对于C：因为，，，所以，所以，所以符合条件的三角形有两个，故C正确；对于D：三角形面积且可得，因为，所以，故，所以，故D正确．故选：ACD．11.一对不共线的向量，的夹角为θ，定义为一个向量，其模长，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论正确的是（）A.B.当时，C.若，，则D.平行六面体的体积〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，而，故，正确；对于B，，当，有意义，则，正确；对于C，，，，，，错误；对于D，的模长即为平行六面体底面OABC的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，就是在垂直于底面OABC的方向上的投影向量的模长（即为高）乘以底面的面积，即为体积，正确.故选：ABD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为______（用代数形式表示）．〖答案〗〖解析〗复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为故〖答案〗：.13.已知，，，且是与方向相同的单位向量，则在上的投影向量为______.〖答案〗〖解析〗设与的夹角，则，所以在上的投影向量为.故〖答案〗为：.14.如图，在三棱锥中，，，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为______．〖答案〗〖解析〗如图，沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图所示：则即为的周长的最小值，在中，，，由余弦定理得：．故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知复数，，其中是实数．（1）若，求实数的值；（2）若是纯虚数，是正实数，求．解：（1）∵，，，∴，从而，解得a=2，所以实数a的值为2．（2）依题意得：，因为是纯虚数，所以：，从而a=2或；又因为a是正实数，所以a=2，当a=2时，，因为，，，，……，，，，，