2024届广西普通高等学校招生押题卷（一）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3广西2024届普通高等学校招生押题卷（一）数学试题一、选择题1.等比数列中，，，则（）A.36 B.32 C.16 D.12〖答案〗A〖解析〗因为数列为等比数列，所以化为，解得，又因为，所以，所以，所以.故选：A2.在中，，.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，，所以，又因为，所以，所以，，所以，，，，只有选项C正确；故选：C．3.在中，“”是“为等腰三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由A，B，C分别为的内角，得，，即，则，又，则，因此为等腰三角形；反之，为等腰三角形，若，则，此时，所以“”是“为等腰三角形”的充分不必要条件.故选：A4.已知正四棱柱的底面棱长与侧棱长之比为1：2，且其外接球的表面积为，则该正四棱柱的侧面积为（）A.12 B.24 C.36 D.48〖答案〗D〖解析〗设正四棱柱的底面棱长为a，则侧棱长为2a，因为其外接球的表面积为，设其外接球的半径为R，则，解得，又正四棱柱外接球的直径为其体对角线，所以，解得，则该正四棱柱的侧面积为.故选：D5.已知，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，则，所以．又，即，即，解得，所以，当且仅当，即时，等号成立，即的取值范围为.故选：D．6.已知函数，，如图为函数的图象，则可能为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意可知，函数的定义域为R，，所以函数为奇函数．函数定义域为，，所以函数为偶函数．对于A，的定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；对于B，函数的定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；对于C，函数的定义域为，，所以为奇函数，故C正确；对于D，函数的定义域为且，故D错误；故选：C．7.已知双曲线的虚轴长为4，C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则（）A. B.4 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由题意可知：，即．又因为，则，可得，即曲线在处切线的斜率，由题意可知：双曲线C的一条渐近线为，即，解得，所以双曲线C的方程为．以MN为直径的圆经过坐标原点O，连接OM，ON，可知，设直线OM的方程为，可知，则直线ON的方程为，联立方程，消去y整理得，即，故，则，同理可得：，所以.故选：A．8.已知函数，若在区间内恰好有2022个零点，则n的取值可以为（）A.2025 B.2024 C.1011 D.1348〖答案〗D〖解析〗依题意，，令，则，由，得，显然，即方程有两个不等的实数根，，当时，，，此时在上恰有3个实根，而，因此，则；当时，，，则，，此时在上恰有2个实根，而，于是或，因此或2023，所以n的取值可以为2022或2023或1348.故选：D.二、选择题9.已知集合.若，且，则集合可以为（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因为，所以，所以集合．对于A选项，，，所以A错误；对于B选项，，，所以B正确；对于C选项，不等式的解为，则，，所以C正确；对于D选项，不等式等价于，解得，则，，所以D错误；故选：BC．10.已知直线与曲线有公共点，则整数k的取值可以为（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗BCD〖解析〗曲线可化为，即，当时，曲线C是以为圆心，为半径的圆在y轴及y轴右侧的部分，直线，则当直线l与曲线C相切时，有，解得或（舍去）；当时，曲线C是以为圆心，为半径的圆在y轴左侧的部分，直线，则当直线l与曲线C相切时，有，解得或（舍去）．综上，若直线l与曲线C有公共点，则．故选：BCD．11.已知正方体的棱长为，经过棱上中点E作该正方体的截面，且，与棱和棱AD的交点分别为F，G，截面将正方体分为，两个多面体，则（）A.直线与所成角的正切值为B.截面为五边形C.截面的面积为D.多面体，内均可放入体积为的球〖答案〗AC〖解析〗取AD的中点M，连接GM，FM，则，则直线FG与所成角即为直线FG与GM所成角．在中，，，则，即直线FG与所成角的正切值为，所以A选项正确；分别取，，的中点H，N，Q，连接EN，NG，GH，HF，FQ，QE，易证正六边形GNEQFH即为截面，又正方体的棱长为，所以正六边形的边长为2，所以其面积为，所以B选项不正确，C选项正确；对于D选项，根据对称性，可知多面体，是两个完全相同的多面体，不妨设多面体内能放入最大球的球心为O，则，球O与截面相切于正方体的中心S，且球O也与以C为顶点的三个面均相切，以C为坐标原点，CD，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，又，则，解得，，所以，所以不能放入体积为的球，所以D选项不正确．故选：AC．三、填空题12.已知i为虚数单位，若非零复数z满足，则______．〖答案〗〖解析〗设，x，，则，即，解得或（舍去），则，所以．故〖答案〗为：.13.2024年春节档电影市场竞争激烈，各大影片争相上映，票房排名也在不断更新．截至3月3日上午8点，最新数据显示，《热辣滚烫》以33.81亿元的票房成绩稳居第一，《飞驰人生2》以32.21亿元的成绩位列第二，而《第二十条》和《熊出没·逆转时空》分别以22.45亿元和18.81亿元的票房成绩排名第三和第四，《年会不能停!》则以10.60亿位居第五名，则这五部影片票房的第60百分位数是______；某影院为了照顾大人和孩子一起观影的便利，《第二十条》和《熊出没·逆转时空》必须连续安排播放，则不同安排方式共有______种．〖答案〗27.3348〖解析〗将五部影片的票房从小到大排序为10.60，18.81，22.45，32.21，33.81，又，则第60百分位数是；若《第二十条》和《熊出没·逆转时空》连续安排播放，则不同的安排方式共有（种）．故〖答案〗为：27.33；4814.已知，分别为椭圆的两个焦点，点P为椭圆C上的动点，I为内心，G满足．若直线IG的斜率不存在，则椭圆C的离心率为______．〖答案〗〖解析〗因为，所以G为的重心，设，不妨取，又，则，即．设，因为直线IG的斜率不存在，所以轴，所以，即内切圆的半径为，所以，整理得，则椭圆C的离心率，故〖答案〗为：.四、解答题15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD为等腰三角形，，E为侧棱PD的中点，F为棱DC上的动点．（1）若∥平面PAC，试确定F的位置，并说明理由；（2）若，求平面PBF与平面AEF夹角的余弦值．解：（1）当F为CD的中点时，平面，理由如下：连接AC，在中，F为CD的中点，E为PD的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面．（2）因为平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AD．又为等腰三角形，所以为等腰直角三角形，所以，连接AE，AF，EF，BF，PF，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，则，，，，，所以，，，，设平面的法向量为，则令，得，，所以，设平面AEF的法向量为，则，令，得，，所以，设平面PBF与平面AEF的夹角为θ，所以，所以平面PBF与平面AEF夹角的余弦值为．16.设函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：．（1）解：当时，，定义域为，所以，令，得，令因为，所以在上单调递增，即在上单调递增，所以当时，；当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明：，即，的定义域为，且．在上单调递增，当时，在上单调递增，故在上单调递增，又，当趋近于0时，，根据零点存在定理可知，导函数存在唯一的零点，设该零点为．当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值．则，即，即，两边同时取对数得，所以，当且仅当，即时，取等号，故当时，，即．17.流感病毒是一种RNA病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲流病毒带来的危害最大，传染性最强，致死率最高．某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2列联表：预防甲流药品病毒合计感染未感染未使用222345使用163955合计3862100（1）根据小概率值的独立性检验，分析预防甲流药品对预防甲流的有效性；（2）用频率估计概率（仅保留一位有效数字），从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗甲流药品对该动物进行治疗，已知治疗甲流药品的治愈数据如下：对未使用过预防甲流药品的动物的治愈率为0.5，对使用过预防甲流药品的动物的治愈率为0.75．若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动物中被治愈的动物只数为X，求X的分布列与数学期望．附：，．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）零假设为：预防甲流药品对预防甲流无效果，根据2×2列联表中的数据，得，根据小概率值独立性检验，我们推断零假设不成立，即预防甲流药品对预防甲流有效果．（2）设事件A表示治疗甲流药品治愈甲流，事件表示未使用过预防甲流药品，事件表示使用过预防甲流药品，由题意可得，，且，，则，故治疗甲流药品治愈甲流的概率，则，所以，，，，所以随机变量X的分布列为X0123P．18.已知圆E恒过定点，且与直线相切，记圆心E的轨迹为，直线与相交于A，B两点，直线与相交于C，D两点，且，M，N分别为弦的中点，其中A，C均在第一象限，直线与直线的交点为G．（1）求圆心E的轨迹的方程；（2）直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标？若不是，请说明理由．解：（1）设圆E的圆心．因为圆E恒过定点且与直线相切，即圆心E到点的距离与到直线的距离相等，即圆心E的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以圆心E的轨迹方程为．（2）直线恒过定点．解法一：直线的方程为，直线的方程为，设，，联立，消去x整理得，，则，则，则，所以，同理可得．当时，直线的方程为，即．因为，所以直线的方程，故当时，，此时过定点；当时，由，得，此时直线的方程为，同样经过点．综上，直线恒过定点，该定点为．解法二：设，，由题可知直线，都恒过定点，斜率均存在，不为0，且互相垂直，设直线，，则直线，联立，去y整理得，易得，则，则，所以，同理可得．若直线的斜率存在，则，直线，，则直线恒过定点；若直线的斜率不存在，则，得，直线的方程为，则直线恒过定点．综上，直线恒过定点，该定点为．19.已知集合，，，若，，或，则称集合A具有“包容”性．（1）判断集合和集合是否具有“包容”性；（2）若集合具有“包容”性，求的值；（3）若集合C具有“包容”性，且集合C的子集有64个，，试确定集合C．解：（1）集合中的，，所以集合不具有“包容”性．集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合，所以集合具有“包容”性．（2）已知集合具有“包容”性，记，则，易得，从而必有，不妨令，则，且，则，且，①当时，若，得，此时具有包容性；若，得，舍去；若，无解；②当时，则，由且，可知b无解，故．综上，．（3）因为集合C的子集有64个，所以集合C中共有6个元素，且，又，且C中既有正数也有负数，不妨设，其中，，，根据题意，且，从而或．①当时，，并且由，得，由，得，由上可得，并且，综上可知；②当时，同理可得．综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个，分别是，，，或．广西2024届普通高等学校招生押题卷（一）数学试题一、选择题1.等比数列中，，，则（）A.36 B.32 C.16 D.12〖答案〗A〖解析〗因为数列为等比数列，所以化为，解得，又因为，所以，所以，所以.故选：A2.在中，，.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，，所以，又因为，所以，所以，，所以，，，，只有选项C正确；故选：C．3.在中，“”是“为等腰三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗由A，B，C分别为的内角，得，，即，则，又，则，因此为等腰三角形；反之，为等腰三角形，若，则，此时，所以“”是“为等腰三角形”的充分不必要条件.故选：A4.已知正四棱柱的底面棱长与侧棱长之比为1：2，且其外接球的表面积为，则该正四棱柱的侧面积为（）A.12 B.24 C.36 D.48〖答案〗D〖解析〗设正四棱柱的底面棱长为a，则侧棱长为2a，因为其外接球的表面积为，设其外接球的半径为R，则，解得，又正四棱柱外接球的直径为其体对角线，所以，解得，则该正四棱柱的侧面积为.故选：D5.已知，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，，则，所以．又，即，即，解得，所以，当且仅当，即时，等号成立，即的取值范围为.故选：D．6.已知函数，，如图为函数的图象，则可能为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意可知，函数的定义域为R，，所以函数为奇函数．函数定义域为，，所以函数为偶函数．对于A，的定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；对于B，函数的定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；对于C，函数的定义域为，，所以为奇函数，故C正确；对于D，函数的定义域为且，故D错误；故选：C．7.已知双曲线的虚轴长为4，C的一条渐近线与曲线在处的切线垂直，M，N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则（）A. B.4 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由题意可知：，即．又因为，则，可得，即曲线在处切线的斜率，由题意可知：双曲线C的一条渐近线为，即，解得，所以双曲线C的方程为．以MN为直径的圆经过坐标原点O，连接OM，ON，可知，设直线OM的方程为，可知，则直线ON的方程为，联立方程，消去y整理得，即，故，则，同理可得：，所以.故选：A．8.已知函数，若在区间内恰好有2022个零点，则n的取值可以为（）A.2025 B.2024 C.1011 D.1348〖答案〗D〖解析〗依题意，，令，则，由，得，显然，即方程有两个不等的实数根，，当时，，，此时在上恰有3个实根，而，因此，则；当时，，，则，，此时在上恰有2个实根，而，于是或，因此或2023，所以n的取值可以为2022或2023或1348.故选：D.二、选择题9.已知集合.若，且，则集合可以为（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗因为，所以，所以集合．对于A选项，，，所以A错误；对于B选项，，，所以B正确；对于C选项，不等式的解为，则，，所以C正确；对于D选项，不等式等价于，解得，则，，所以D错误；故选：BC．10.已知直线与曲线有公共点，则整数k的取值可以为（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗BCD〖解析〗曲线可化为，即，当时，曲线C是以为圆心，为半径的圆在y轴及y轴右侧的部分，直线，则当直线l与曲线C相切时，有，解得或（舍去）；当时，曲线C是以为圆心，为半径的圆在y轴左侧的部分，直线，则当直线l与曲线C相切时，有，解得或（舍去）．综上，若直线l与曲线C有公共点，则．故选：BCD．11.已知正方体的棱长为，经过棱上中点E作该正方体的截面，且，与棱和棱AD的交点分别为F，G，截面将正方体分为，两个多面体，则（）A.直线与所成角的正切值为B.截面为五边形C.截面的面积为D.多面体，内均可放入体积为的球〖答案〗AC〖解析〗取AD的中点M，连接GM，FM，则，则直线FG与所成角即为直线FG与GM所成角．在中，，，则，即直线FG与所成角的正切值为，所以A选项正确；分别取，，的中点H，N，Q，连接EN，NG，GH，HF，FQ，QE，易证正六边形GNEQFH即为截面，又正方体的棱长为，所以正六边形的边长为2，所以其面积为，所以B选项不正确，C选项正确；对于D选项，根据对称性，可知多面体，是两个完全相同的多面体，不妨设多面体内能放入最大球的球心为O，则，球O与截面相切于正方体的中心S，且球O也与以C为顶点的三个面均相切，以C为坐标原点，CD，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，又，则，解得，，所以，所以不能放入体积为的球，所以D选项不正确．故选：AC．三、填空题12.已知i为虚数单位，若非零复数z满足，则______．〖答案〗〖解析〗设，x，，则，即，解得或（舍去），则，所以．故〖答案〗为：.13.2024年春节档电影市场竞争激烈，各大影片争相上映，票房排名也在不断更新．截至3月3日上午8点，最新数据显示，《热辣滚烫》以33.81亿元的票房成绩稳居第一，《飞驰人生2》以32.21亿元的成绩位列第二，而《第二十条》和《熊出没·逆转时空》分别以22.45亿元和18.81亿元的票房成绩排名第三和第四，《年会不能停!》则以10.60亿位居第五名，则这五部影片票房的第60百分位数是______；某影院为了照顾大人和孩子一起观影的便利，《第二十条》和《熊出没·逆转时空》必须连续安排播放，则不同安排方式共有______种．〖答案〗27.3348〖解析〗将五部影片的票房从小到大排序为10.60，18.81，22.45，32.21，33.81，又，则第60百分位数是；若《第二十条》和《熊出没·逆转时空》连续安排播放，则不同的安排方式共有（种）．故〖答案〗为：27.33；4814.已知，分别为椭圆的两个焦点，点P为椭圆C上的动点，I为内心，G满足．若直线IG的斜率不存在，则椭圆C的离心率为______．〖答案〗〖解析〗因为，所以G为的重心，设，不妨取，又，则，即．设，因为直线IG的斜率不存在，所以轴，所以，即内切圆的半径为，所以，整理得，则椭圆C的离心率，故〖答案〗为：.四、解答题15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD为等腰三角形，，E为侧棱PD的中点，F为棱DC上的动点．（1）若∥平面PAC，试确定F的位置，并说明理由；（2）若，求平面PBF与平面AEF夹角的余弦值．解：（1）当F为CD的中点时，平面，理由如下：连接AC，在中，F为CD的中点，E为PD的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面．（2）因为平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AD．又为等腰三角形，所以为等腰直角三角形，所以，连接AE，AF，EF，BF，PF，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示，则，，，，，所以，，，，设平面的法向量为，则令，得，，所以，设平面AEF的法向量为，则，令，得，，所以，设平面PBF与平面AEF的夹角为θ，所以，所以平面PBF与平面AEF夹角的余弦值为．16.设函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）证明：．（1）解：当时，，定义域为，所以，令，得，令因为，所以在上单调递增，即在上单调递增，所以当时，；当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明：，即，的定义域为，且．在上单调递增，当时，在上单调递增，故在上单调递增，又，当趋近于0时，，根据零点存在定理可知，导函数存在唯一的零点，设该零点为．当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值．则，即，即，两边同时取对数得，所以，当且仅当，即时，取等号，故当时，，即．17.流感病毒是一种RNA病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲流病毒带来的危害最大，传染性最强，致死率最高．某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2列联表：预防甲流药品病毒合计感染未感染未使用222345使用163955合计3862100（1）根据小概率值的独立性检验，分析预防甲流药品对预防甲流的有效性；（2）用频率估计概率（仅保留一位有效数字），从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗甲流药品对该动物进行治疗，已知治疗甲流药品的治愈数据如下：对未使用过预防甲流药品的动物的治愈率为0.5，对使用过预防甲流药品的动物的治愈率为0.75．若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动物中被治愈的动物只数为X，求X的分布列与数学期望．附：，．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）零假设为：预防甲流药品对预防甲流无效果，根据2×2列联表中的数据，得，根据小概率值独立性检验，我们推断零假设不成立，即预防甲流药品对预防甲流有效果．（2）设事件A表