第3章 概率的进一步认识（4个知识点6种题型2种中考考法与检测卷）（原卷版）-初中数学北师大版9年级上册

第3章概率的进一步认识（4个知识点6种题型2种中考考法与检测卷）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.利用树状图或表格求概率（重点）（难点）知识点2判断游戏的公平性（重点）知识点3用频率估计概率（重点）知识点4模拟试验【方法二】实例探索法题型1.卡片中的概率问题题型2.运用概率知识分析游戏问题题型3.与概率有关的综合型问题题型4.用频率估计概率题型5.设计模拟试验解决问题题型6.用计算器模拟试验估计概率【方法三】仿真实战法考法1.求某一事件发生的概率考法2.利用频率估计概率【检测卷】【学习目标】1.会运用画树状图和列表的方法计算简单事件发生的概率，体会概率是反映现实生活中事件发生可能性大小的模型。2.掌握判断游戏的公平性的方法。3.能利用概率解决一些简单的实际问题。4.能用试验频率估计一些随机事件发生的概率，进一步体会概率的意义。5.了解模拟试验，能用模拟试验的方法估计一些随机事件发生的概率。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.利用树状图或表格求概率（重点）（难点）1.树状图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：(1)树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.2.表格法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用表格法.表格法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：（1）表格法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）表格法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.【例1】把一副扑克牌中的张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是、、）洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是的概率是多少？（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当张牌面数字相同时，小王赢；当张牌面数字不相同时，小李赢．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.【变式】不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为.（1）试求袋中蓝球的个数.（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到的都是白球的概率.知识点2判断游戏的公平性（重点）【例2】（2023春·广东云浮·九年级校考期末）甲、乙两班进行篮球比赛，裁判员采用同时抛掷两枚完全相同硬币的方法选择比赛场地：若两枚硬币朝上的面相同，则甲班先选择场地；否则乙班先选择场地．为了判断这种方法的公平性，明明画出树状图如图所示，根据树状图，这种选择场地的方法对两个班级．（填“公平”或“不公平”）

【变式】（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动；将一个材质均匀的转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到4的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘．(1)转盘转到4的倍数的概率是多少？(2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由．知识点3用频率估计概率（重点）当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点诠释：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.【例3】某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：(1)计算并完成表格：转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”的次数m68111136345546701落在“铅笔”的频率(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？

(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到1°)

【变式】（2023·河南洛阳·校联考一模）如图是小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，则黑色部分的面积为．知识点4模拟试验【例4】（2023·河南周口·统考一模）某人在做掷硬币试验，投掷次，正面朝上有次，若正面朝上的频率，随着次数的增加，的值接近．【变式1】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条．【变式2】一个密封不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出来的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入8个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不断重复,共摸球400次,其中88次摸到黑球.估计盒中大约有白球().

A.28个B.30个C.36个D.42个

【方法二】实例探索法题型1.卡片中的概率问题1．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期中）在一个不透明的袋子中装有4张形状大小质地完全相同的卡片.它们上面分别标有数字：、、0、2，随机抽取一张卡片，记下数字为，放回后再随机抽取一张卡片，记下数字为，则落在第三象限的概率是.2．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）西安有“碳水之都”的美誉，现有4张卡片正面分别写着“碳”“水”“之”“都”，卡片除汉字不同其他别无二致，将卡片正面朝下洗匀，然后同时随机抽取2张，刚好抽到“碳”“水”二字的概率是．3．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）张相同的卡片上分别写有数字，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的张卡片中任意抽取张，将卡片上的数字记录下来．(1)求第一次抽取的卡片上数字是正数的概率；(2)明明设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．明明设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）．4．（2022秋·吉林白城·九年级校考阶段练习）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字、、，这些卡片除数字不同外其余均相同，现从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上的数字之和为偶数的概率．5．（2023·江苏·统考中考真题）在张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③；④乘法；⑤加法．将这张小纸条做成支签，①、②、③放在不透明的盒子中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．(1)从盒子中任意抽出支签，抽到无理数的概率是______；(2)先从盒子中任意抽出支签，再从盒子中任意抽出支签，求抽到的个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）将分别标有数字，，，的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．(1)随机地抽取一张，则抽到奇数的概率是______；(2)随机抽取两张，请利用列表或画树状图的方法，求这两个数字之和能被整除的概率是多少？7．（2023·江苏盐城·校考二模）有4张扑克牌，牌面数字分别为2、3、4、4，其余都相同．小明随机从中摸出一张牌，记录牌面数字后放回；洗匀后再从中摸出一张牌，记录牌面数字后又放回．小明摸了100次，结果统计如下：牌面数字2344次数26243020(1)上述试验中，小明摸出牌面数字为3的频率是；小明摸一张牌，摸到牌面数字为3的概率是；(2)若小明一次摸出两张牌，求小明摸出的两张牌的牌面数字之和为6的概率．题型2.运用概率知识分析游戏问题8.（2023春·山东日照·九年级校考期中）下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．(1)请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率．(2)该游戏规则是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．9.（2023·陕西咸阳·校考一模）为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，某班准备从甲、乙两名热爱诗词的同学中选出一名参加学校组织的“弘扬民族文化，品味诗词精华”活动，他们想通过做游戏的方式来决定谁去参加活动，于是让班长设计了一个游戏，规则如下：现有两个不透明的盒子，其中一个装入分别标有字母A、B、C的三个小球，另一个装入分别标有字母B、C、D的三个小球，这些小球除字母不同外，其余完全相同，从两个盒子中分别摸出一个小球，若所摸出的两个小球上的字母相同，则甲去参加活动，否则就是乙去．(1)用列表或画树状图的方法求出乙去的概率；(2)甲说：“这个规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．10．（2022春·九年级单元测试）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题，(1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率；(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？题型3.与概率有关的综合型问题11．（2022·江苏·九年级专题练习）一批电子产品的抽样合格率为75%，当购买该电子产品足够多时，平均来说，购买个这样的电子产品，可能会出现1个次品．12．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）某商场，为了吸引顾客，在“元旦”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：方案一：是直接获得20元的礼金卷；方案二：是得到一次播奖的机会．规则如下：已知如图是由转盘和箭头组成的两个转盘A、B，这两个转盘除了颜色不同外，其它构造完全相同，摇奖者同时转动两个转盘，指针分别指向一个区域（指针落在分割线上时重新转动转盘），根据指针指向的区域颜色（如表）决定送礼金券的多少．指针指向两红一红一蓝两蓝礼金券（元）27927(1)请你用列表法（或画树状图法）求两款转盘指针分别指向一红区和一蓝区的概率．(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．13．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）九（1）班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：转动转盘的次数落在“手工”区域的次数落在“手工”区域的频率(1)求出的值；(2)请估计当很大时，频率将会接近______；假如你去转动该转盘一次，你获得“手工”奖品的概率约是______．（精确到）14．（2023·安徽·模拟预测）综合与实践【问题再现】(1)课本中有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答．【类比设计】(2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．【拓展运用】(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数．15．（2023·河北·模拟预测）为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如下表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3．甲78798182x889395乙7580808385909295（1）求x的值；

（2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．16．（2023·河北·模拟预测）一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项．（1）如果小新在第--题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率；（2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么．17．（2023·安徽·模拟预测）某中学开展黄梅戏演唱比赛，组委会将本次比赛的成绩（单位：分）进行整理，并绘制成如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）．成绩频数频率20.040.16200.40160.324合计501请你根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）求出,的值并补全频数分布直方图．（2）将此次比赛成绩分为三组：；；若按照这样的分组方式绘制扇形统计图，则其中组所在扇形的圆心角的度数是多少？（3）学校准备从不低于90分的参赛选手中任选2人参加市级黄梅戏演唱比赛，求都取得了95分的小欣和小怡同时被选上的概率．18．（2023·全国·九年级专题练习）有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）(1)用列表法求；(2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；(3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由．题型4.用频率估计概率19．（2023春·福建福州·九年级校考期中）不透明袋子中装有15个红球和若干个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．经过大量重复试验后发现摸到红球的频率稳定在，则绿球的个数约是．20．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）党的二十大报告中的“深入实施种业振兴行动”将为“中国种”的选育和发展打下一针强心剂．山西农业大学（省农科院）玉米研究所育种的“晋糯20号”已在全国26个省市推广种植，大获丰收．下面是科研小组在相同的实验条件下，对该粮食种子发芽率进行研究时所得到的部分数据：种子数307513021048085612502300发芽287212520045781411872185依据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是．（结果精确到0.01）21．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，平整的地面上有一个不规则图案图的阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了如下方法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果，他将若干次有效试验的结果绘制成了图所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为．

22．（2023·全国·九年级专题练习）某批足球的质量检测结果如下：抽取足球数1002004006008001000合格的数量93192384564759950合格的频率0.930.960.960.94

(1)填写表中的空格（结果保留0.01）．(2)画出合格的频率的折线统计图．(3)从这批足球中任意抽取一个足球是合格品的概率估计值是多少？并说明理由．(4)若某工厂计划生产10000个足球，试估计生产出的足球中合格的数量有________个．23．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）某玩具公司承接了第19庙杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：抽取的公仔数n10100100020003000优等品的频数m99696219202880优等品的频率0.90.96a0.96b(1)________；________．(2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是________．（精确到0.01）(3)若该公司这一批次生产了10000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？24．（2022春·湖南长沙·九年级统考期末）从一副张（没有大王、小王）的扑克牌中，每次抽出张，然后放回洗匀再抽，在试验中得到下表中部分数据：试验次数出现方块的次数出现方块的频率(1)上表中，；(2)从上表中可以估计出现方块的概率是．（精确到）．25．（2022秋·山东济南·九年级统考期中）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1002003005008001000摸到黑球的次数m摸到黑球的频率(1)填空：______；当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近______(精确到)；(2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率．26．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字．小明做了60次投掷试验，结果统计如下：

朝下数字1234出现的次数13172010(1)计算上述试验中“3朝下”的频率是_________;(2)根据试验结果，“投掷一次正四面体，出现4朝下的概率是．”的说法正确吗？为什么？(3)随机投掷正四面体两次，请用列表法，求两次朝下的数字之和不小于4的概率．题型5.设计模拟试验解决问题27．（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（

）

A．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”28．（2023秋·广东惠州·九年级校考开学考试）在一个不透明的盒子中装有个黑、白两种颜色的球，小明又放入了个红球，这些球大小都相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值大约为（

）A． B． C． D．题型6.用计算器模拟试验估计概率29．（2023·重庆·九年级统考学业考试）为了解我区某条斑马线上机动车驾驶员“礼让行人”的情况，下表是某志愿者小组6周累计调查的数据，由此数据可估计机动车驾驶员“礼让行人”的概率（精确到）为（

）抽查车辆数200400800150024004000礼让行人的驾驶员人数169332689127220473404礼让行人的频率0.8450.8300.8610.8480.8530.851A．0.83 B．0.84 C．0.85 D．0.86【方法三】仿真实战法考法1.求某一事件发生的概率30．（2023•镇江）如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（）A．1 B． C． D．31．（2023•镇江）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，不放回，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到红球的概率．32．（2023•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有：①；②；③1；④乘法；⑤加法．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到无理数的概率是；（2）先从盒子A中任意抽出2支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率．33．（2023•南通）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁．（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于；（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．34．（2023•宿迁）某校计划举行校园歌手大赛．九（1）班准备从A、B、C三名男生和D、E两名女生中随机选出参赛选手．（1）若只选1名选手参加比赛，则女生D入选的概率是；（2）若选2名选手参加比赛，求恰有1名男生和1名女生的概率（用画树状图或列表法求解）．35．（2023•泰州）某校组织学生去敬老院表演节目，表演形式有舞蹈、情景剧和唱歌3种类型．小明、小丽2人积极报名参加，从3种类型中随机挑选一种类型．求小明、小丽选择不同类型的概率．36．（2023•无锡）为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．（1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是．（2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．37．（2023•徐州）甲，乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，则三人选择相同景点的概率为多少？38．（2023•扬州）扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览．（1）甲选择A景点的概率为；（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．39．（2023•苏州）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）40．（2023•连云港）如图，有4张分别印有Q版西游图案的卡片：A唐僧、B孙悟空、C猪八戒、D沙悟净．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率：（1）第一次取出的卡片图案为“B孙悟空”的概率为；（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A唐僧”的概率．考法2.利用频率估计概率41．（2023•扬州）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：每批粒数n2510501005001000150020003000发芽的频数m2494492463928139618662794发芽的频率（精确到0.001）1.0000.8000.9000.8800.9200.9260.9280.9310.9330.931这种绿豆发芽的概率的估计值为（精确到0.01）．【检测卷】一、单选题1．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（）A． B． C． D．2．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）向上抛掷两枚相同的硬币，落地后出现一正面、一反面的概率是（

）A． B． C． D．13．（2023春·山东泰安·九年级校考期中）用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为（

）.A． B． C． D．4．（2023春·河南新乡·九年级校联考开学考试）某校初三8班准备举行班干部竞选活动，张林和王亮准备从“纪律委员”“学习委员”“卫生委员”三个职务中随机竞选一个，则两人恰好选择同一个职务的概率是（

）A． B． C． D．5．（2023春·河南信阳·九年级校考阶段练习）红旗渠是纪念碑，它记载了林县人不认命、不服输、敢于战天斗地的英雄气概．红旗渠精神主要是指自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献．某学校为了弘扬红旗渠精神，决定开展教育宣讲活动．准备从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和乙的概率为（

）A． B． C． D．6．（2023·安徽六安·统考模拟预测）甲、乙、丙三个同学并排走在一起，则甲乙恰好相邻的概率是（）A． B． C． D．7．（2023·江苏盐城·校考二模）如图，点C、D在线段上，且．以点A为圆心，分别以线段为半径画同心圆，记以为半径的圆为区域Ⅰ，所在的圆环为区域Ⅱ，所在的圆环为区域Ⅲ．现在此图形中随机撒一把豆子，统计落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则（

）

A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同8．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）将分别标有“最”、“美”、“宜”、“昌”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些小球除汉字以外其它完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“宜昌”的概率是（）A． B． C． D．9．（2022秋·云南楚雄·九年级校考阶段练习）小明和小芳做一个“配色”的游戏，下图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明获胜；在其它情况下，则小明、小芳不分胜负，那么小明获胜的概率为（

）

A． B． C． D．10．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）四张背面完全相同的卡片上分别写有1、2、3、4四个数字，把卡片背面朝上洗匀后，王明从这四张卡片中随机选两张，则王明选中的卡片中有偶数的概率是（）A． B． C． D．二、填空题11．（2023·山西运城·校联考模拟预测）年月日起至年月日止，“印象长治诗画太行”主题摄影展进行征稿，作品内容包括“产业发展”“城市建设”“自然人文”“民生福祉”四部分，展览按照四部分分类展出，现小文和小乐两人各随机从中选择一类展览先进行观看，则两人选择先观看的展览作品内容恰好是同一类别的概率为．12．（2022秋·江西吉安·九年级校考期中）从、、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率．13．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）一个袋子中装有2个黑球1个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出两个黑球的概率是．14．（2023秋·九年级课时练习）小丽准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，后三位由5，3，2这三个数字组成，但具体顺序忘记了，则她第一次就拨对电话的概率是．15．（2023春·河南驻马店·九年级校考阶段练习）如图，有4张形状大小质地均相同的卡片，正面印有自由式滑雪、单板滑雪、短道速滑、冰壶四种不同的图案，背面完全相同，现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取两张，抽出的卡片正面恰好是“短道速滑”和“冰壶”项目图案的概率是．16．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）某九年级一名学生进行定点投篮训练，其成绩如表，则这名学生定点投篮一次，投中的概率约为（精确到）．投篮次数投中次数17．（2022·河南濮阳·校考三模）一把钥匙只能打开一把锁，现有三把钥匙和两把锁，其中的两把钥匙分别能打开这两把锁，现任取一把钥匙去开一把锁，能打开的概率为．18．（2023·辽宁辽阳·校联考三模）如图，三角形纸板，点M，N分别是中点，点D，E在上，连接、，，小明随机向纸板内投掷飞镖一次，飞镖落在阴影部分的概率是．

三、解答题19．（2022秋·四川南充·九年级校考阶段练习）一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．(1)请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果；(2)求两次取出的小球标号的和大于6的概率．20．（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）山东省高考实行“3＋3”的高考选考方案．其中第一个“3”是指语文、数学、外语三科必考；另一个“3”是指从物理、化学、政治、历史、地理、生物六科中任选三科参加考试，若小明和小亮将参加高考，他们都酷爱物理和地理，因此两人都选物理和地理．他们两人都将从化学、生物、政治三科中任选一科．若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中生物的概率．21．（2023·江苏泰州·校考三模）李老师带领甲、乙、丙三名同学乘飞机去北京参加活动，若航班售票系统随机分配座位，且系统已将4人分配到同一排，如图所示是飞机内同一排座位A，B，C，D的排列示意图：窗AB过道CD窗(1)利用树状图或表格，求甲乙两同学被分配到相邻座位的概率（过道两侧座位B、C不算相邻）；(2)为方便管理，若李老师首先选择过道左侧座位B，让甲、乙、丙三名同学随机选择座位，甲同学认为：座位不在过道左侧，就在过道右侧，所以他自己也在过道左侧的概率为．请判断甲同学的观点是否正确，并简述理由．22．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）一个游戏转盘如图，游