专题02矩形的性质与判定（4个知识点9种题型1个易错点中考4种考法）（原卷版）-初中数学北师大版9年级上册

【关注公众号：林樾数学】免费获取更多初高中数学学习资料专题02矩形的性质与判定（4个知识点9种题型1个易错点中考4种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：矩形的定义知识点2：矩形的性质（重难点）知识点3：直角三角形斜边上的中线的性质（重点）知识点4：矩形的判定（重难点）【方法二】实例探索法题型1：利用矩形的性质求角的度数题型2：利用矩形的性质求边的长度题型3：直角三角形斜边上的中线的性质应用题型4：利用矩形的性质证明题型5：矩形的判定题型6：矩形的实际应用题型7：矩形中的折叠问题题型8：计算矩形中阴影部分面积题型9：矩形中的动态问题【方法三】差异对比法易错点1判断矩形的条件不足【方法四】仿真实战法考法1矩形性质的应用考法2矩形的判定考点3直角三角形斜边上的中线考法4矩形的性质与判定【方法五】成果评定法【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：矩形的定义1.定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法．知识点2：矩形的性质矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质．(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的两条对角线相等．注意：(1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分．(2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)．对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心)．知识点3：直角三角形斜边上的中线的性质在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．知识点4：矩形的判定矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．【方法二】实例探索法题型1：利用矩形的性质求角的度数例1.如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为（） A． 3 B． 4 C．5 D．6题型2：利用矩形的性质求边的长度例2．已知矩形ABCD的周长为16，AB＝5，则BC等于（）A．3 B．5 C．6 D．11题型3：直角三角形斜边上的中线的性质应用例3.如图，BD、CE是△ABC不同边上的高，点G、F分别是BC、DE的中点，试证明GF⊥DE．例4.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．求证：∠EBC＝∠A．题型4：利用矩形的性质证明例5.如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，于点E，于点F，求证：BE=CF．AABCDEFO例6.已知：若从矩形ABCD的顶点C作BD的垂线交BD于E，交∠BAD的平分线于F．求证：△CAF是等腰三角形．GG例7.已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE中点，连接AF、CF．求证：AF⊥CF．AABCDEF题型5：矩形的判定例8.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形；例9.如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．题型6：矩形的实际应用例10.如图是一个矩形桌子，一小球从P撞击到Q，反射到R，又从R反射到S，从S反射回原处P，入射角与反射角相等（例如∠PQA＝∠RQB等），已知AB＝8，BC＝15，DP＝3．则小球所走的路径的长为．题型7：矩形中的折叠问题例11.如图所示，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，把矩形折叠使点C与点A重合，求折叠EF的长．例12.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点处，交AB于点F，则重叠部分△AFC的面积为________．题型8：计算矩形中阴影部分面积例13.矩形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一部分是平行四边形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为．题型9：矩形中的动态问题例14如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，，点P是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是．例15．如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O．（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．【方法三】差异对比法易错点1判断矩形的条件不足1.下列命题中真命题是（）A．对角线互相垂直的四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形；C．四条边都相等的四边形是矩形；D．四个内角都相等的四边形是矩形；2.已知四边形是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（）A．当AB=BC时，四边形是矩形B．当时，四边形是矩形C．当OA=OB时，四边形是矩形D．当时，四边形是矩形【方法四】仿真实战法考法1矩形性质的应用1．（2022•无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对边平行 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角互补2．（2022•西宁）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．3．（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．4．（2022•邵阳）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为cm2．5．（2022•鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．（1）求证：DF＝CF；（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．6．（2022•哈尔滨）已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE，CE，OE，且BE＝CE．（1）如图1，求证：△BEO≌△CEO；（2）如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等．考法2矩形的判定7．（2022•聊城）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两条对角线是否相等 B．度量两个角是否是90° C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D．测量两组对边是否分别相等8．（2022•恩施州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）A．当t＝4s时，四边形ABMP为矩形 B．当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形 C．当CD＝PM时，t＝4s D．当CD＝PM时，t＝4s或6s9．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD10．（2022•甘肃）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是．11．（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．12．（2022•六盘水）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程．13．（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：BE＝DF；（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．考点3直角三角形斜边上的中线14．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A． B．2 C．2 D．415．（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求证：CE＝CM．（2）若AB＝4，求线段FC的长．考法4矩形的性质与判定16．（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．17．（2022•德阳）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023·河南平顶山·统考一模）下列叙述错误的是（

）A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线相等的四边形是矩形2．（2023·广东珠海·统考一模）将一张矩形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下，得到①和②两部分，如图所示，则将①展开后得到的平面图形是（

）A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形3．（2023·四川泸州·统考一模）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点E，连接，若菱形的面积为，，则的长为（

）A．3 B． C． D．24．（2023·安徽·校联考一模）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，点M是边的中点，连接，若，菱形的面积为48，则的值为（）A． B． C． D．5．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，在矩形ABCD中，，，点E是中点，连接，作于F，则的长为（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江宁波·统考一模）如图矩形由矩形逆时针旋转一个锐角得到，点C在边上，过点E作平行线得矩形，则要知道矩形的面积只需知道（

）A． B． C． D．二、填空题7．（2023·山东临沂·统考一模）如图，在中，，．以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点(异于点)，连接，则的长为______．8．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，矩形，点E为上一点，连接，在上取一点F，连接，过F作的垂线交于点H，若，，，，则的长是___________．9．（2023·天津·校联考一模）如图，矩形对角线相交于点，为上一点，连接，F为的中点，．若，，则的长为______．10．（2023·黑龙江哈尔滨·校考一模）如图，矩形中，为对角线，是上一点，连接，，，，则的长为________．11．（2023·山东泰安·统考一模）如图，菱形的对角线相交于点O，，，点P为边上一点，且P不与B、C重合．过P作于E，于F，连接，则的最小值等于______．12．（2023·河南周口·统考二模）如图，在中，，，，点P在的内部，，D是的中点，连接．当为等腰三角形时，的长为______．13．（2023·四川成都·统考模拟预测）在数学“折向未来”的活动课上，小明用如图所示的长方形纸片折四边形，，点E，G分别是边上的中点，点F，H分别是边上的点，且，连接．将，分别沿，翻折，点B的对应点为点，点D的对应点为点，当点落在线段上时，则______cm；当点在内部时，连接，若为直角三角形，则四边形的面积为______．三、解答题14．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在中，点E是的中点，延长交的延长线于F．(1)求证：；(2)连接，当时，若，求的长．15．（2023·浙江温州·模拟预测）规定：每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．在的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（设每个小正方形的边长为1）．(1)在图甲中画出一个以为边的平行四边形，且它的面积等于8；(2)在图乙中画出一个以为对角线的矩形，且它的周长为无理数．16．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，已知点是矩形中边的中点，连接．(1)分别在、边上求作点、点，使得点关于的对称点恰好落在线段上；（请保留作图痕迹，不需要写作法）(2)在（1）的条件下，若，，求．17．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点．(1)求证：四边形为矩形；(2)若，，，求的长．18．（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，O为矩形的对角线的中点，过O作分别交，于点E，F．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求菱形的面积．19．（2023·河南南阳·统考一模）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．(1)如图1，若F为边的中点，，点G与