专题10成比例线段（4个知识点3种题型2个易错点2种中考考法）原卷版-初中数学北师大版9年级上册

专题10成比例线段（4个知识点3种题型2个易错点2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.形状相同的图形知识点2.两条线段的比（重点）知识点3.成比例线段（重点）知识点4.比例的性质（难点）（重点）【方法二】实例探索法题型1.比例线段的有关计算题型2.利用比例的性质求值题型3.关于写比例式的开放性问题【方法三】差异对比法易错点1在求两条线段的比时忽略了要统一单位易错点2判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错【方法四】仿真实战法考法1.比例的性质考法2.成比例线段【方法五】成果评定法【学习目标】认识形状相同的图形，结合实例能识别生活中形状相同的图形。了解线段的比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法。理解并掌握比例的性质，能利用比例式变形解决一些简单的实际问题。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.形状相同的图形形状相同，大小、位置不一定不同的图形叫做形状相同的图形。一般而言形状相同的图形就是相似图形。全等图形是一种特殊的形状相同图形。重点剖析：相似图形不仅有平面图形，还有立体图形，在初中阶段主要研究平面图形的相似。在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形经过放大而成的，也可以认为小的图形是由大的图形经过缩小而成的。学法指导：两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关。知识点2.两条线段的比（重点）1.两条线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么这两条线段的比就是它们的长度之比。即AB:CD=m:n，或写成其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把表示成比值k，那么，或.2.比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比值通常叫比例尺，比例尺是两条线段的比的一种.注意！！！在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。两条线段的比是一个没有单位的正实数，该比值与线段的长度无关。在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比通常称为比例尺，因此比例尺也是两条线段的比的一种形式。【例1】在比例尺为的地图上，量得与两地的距离是厘米，则与两地的实际距离是 ．知识点3.成比例线段（重点）1.成比例线段：四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a,b,c,d叫作成比例线段,简称比例线段.注意！！！比例线段是有顺序的，即比例线段、b、c、d与比例线段、c、b、d是不同的。2.比例中项：如果，那么b叫做a的比例中项，【例2】下列四组线段中，成比例线段的是（

）A．4，1，3，8B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，2知识点4.比例的性质（难点）（重点）1.基本性质：如果，那么；如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么（有多种不同的变换形式，如，，）2.等比性质:;3.合比性质：.重点剖析：利用比例的基本性质可以在比例式和等积式之间互相转化。将比例式化为等积式是有条件的，并不是比例式中的四个字母中的任意两个字母的乘积就等于另外两个字母的乘积，而是比例的外项之积等于内项之积。使用等比性质时，要注意分母不为0这个条件，否则这个性质不成立。【例3】设线段、、满足，求、、的值．【方法二】实例探索法题型1.比例线段的有关计算1.已知a，b，c，d是成比例线段，且，那么．2.若a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项是______cm．3.已知三条线段、、，其中，，是、的比例中项，则_____．4.如图所示，有矩形ABCD和矩形，AB＝8cm，BC＝12cm，＝4cm，＝6cm．（1）求和；（2）线段，AB，，BC是成比例线段吗？题型2.利用比例的性质求值5.若（x，y，z均不为0），则的值是．6.若，则________．7.设线段、、满足，求、、的值．8．（2022秋•金安区校级月考）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0．（1）求的值；（2）若b﹣2d+3f＝5，求a﹣2c+3e的值．9.已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代数式3x﹣2y+z的值．10.已知a、b、c分别是△ABC的三条边的边长，且a：b：c＝5：7：8，3a﹣2b+c＝9，求△ABC的周长．11.已知，，，是的三边，且，，求的面积．题型3.关于写比例式的开放性问题12.已知有三条线段的长分别为，，的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度．【方法三】差异对比法易错点1：在求两条线段的比时忽略了要统一单位。13.在比例尺为1：400000的地图上，量得线段AB两地距离是24cm，则AB两地实际距离为km．14.东海大桥全长千米，如果东海大桥在某张地图上的长为厘米，则这张地图的比例尺是（ ）（A） （B） （C） （D）易错点2：判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错。15.已知有三条线段的长分别为，，的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度．16.已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为、、，乙三角形其中一边的长为，求乙三角形的另外两边的长．【方法四】仿真实战法考法1.比例的性质1．（2020•毕节市）已知＝，则的值为（）A． B． C． D．2．（2023•金昌）若＝，则ab＝（）A．6 B． C．1 D．3．（2020•湘潭）若，则＝．4．（2021•大庆）已知，则＝．5．（2021•攀枝花）若（x、y、z均不为0），则＝．6．（2020•娄底）若＝＝（a≠c），则＝．7．（2023•丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．考法2：成比例线段8．（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的倍．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列四组线段中，成比例线段的是（

）A．4，1，3，8 B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，22．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）已知，那么的值是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，则的值为（）A． B． C． D．4．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）已知3、4、5、x成比例，则x的值为（

）A． B． C． D．65．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）已知，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）题目：“已知数x，y，z，m满足，求m的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（

）．A．甲的答案正确 B．甲、乙的答案合在一起才完整C．乙、丙的答案合在一起才完整 D．甲、丙的答案合在一起才完整7．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）若，则的值为（

）A． B．1 C．1.5 D．38．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，则直线一定经过（）A．第一、二象限 B．第二、三家限 C．第三、四象限 D．第一、四象限9．（2023秋·全国·九年级专题练习）若，则下列运算不正确的是（

）A． B． C． D．10．（2023春·江苏南京·九年级专题练习）已知代数式，，，下列结论：①若，则；②若，且z为方程的一个实根，则；③若x，y，z为正整数，且，则；④若，则；其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．（2023春·贵州六盘水·九年级校考阶段练习）假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1：500000的地图上测得所居住的城市距A地10cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为km．12．（2023秋·江苏徐州·九年级统考期末）若，且，则a的值为．13．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）已知，则．14．（2023春·江西上饶·九年级统考阶段练习）已知，则的值为．15．（2023·湖南郴州·模拟预测）若，则．16．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知线段厘米，厘米，那么线段、的比例中项等于．17．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，则：．18．（2023·全国·九年级假期作业）若，则的值为．三、解答题19．（2023秋·全国·九年级专题练习）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下：解；设，则有：，，，将以上三个等式相加，得.，，都为正数，，即，..仔细阅读上述材料，解决下面的问题：（1）若正数，，满足，求的值；（2）已知，，，互不相等，求证：.20．（2023秋·全国·九年级随堂练习）已知，求的值．21．（2023春·江西吉安·九年级统考期末）已知，且2x+3y﹣z＝18，求x+y+z的值．22．（2023·全国·九年级假期作业）若，求的值．23．（2023秋·九年级课时练习）若a，b，c，d均不为0，且式子成立，则称a，b，c，d成比例．如式子成立，故2，4，5，10这四个数成比例．(1)当a，b，c，d成比例，即成立时，分式与分式相等吗？请举例说明．(2)阅读下列推理过程，解决相应问题：均不为0，对于式子．①两边同乘以，得．②在式子的两边都除以，得．③问题1：从①式