专题16相似三角形的性质（3个知识点4种题型1个中考考点）（原卷版）-初中数学北师大版9年级上册

专题16相似三角形的性质（3个知识点4种题型1个中考考点）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.相似三角形中对应线段比的性质定理（难点）知识点2.相似三角形的周长比、面积比（重点）知识点3.相似多边形的性质（拓展）【方法二】实例探索法题型1.利用相似三角形的性质求线段的长度题型2.利用相似三角形的性质解面积问题题型3.利用相似三角形的性质解决实际问题题型4.动态探究题【方法三】差异对比法易错点1：弄错相似比的前后项出错易错点2：误认为相似三角形的面积比等于相似比出错【方法四】仿真实战法考法.相似三角形的性质【方法五】成果评定法【学习目标】了解相似三角形的性质：相似三角形对高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比，面积比等于相似比的平方，并能运用相似三角形的性质解决简单的问题。类比相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，猜想相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体验类比思想。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.相似三角形中对应线段比的性质定理（难点）1.性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．【例1】如图，正方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH是的高，BC=60厘米，AH=40厘米，求正方形DEFG的边长．AABCDEFGHP【变式1】已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，BE、B1E1分别是它们的对应中线，且．求B1E1的长．【变式2】已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，,的平分线A1D1的长为6，求的平分线的长．2.性质定理的证明【例2】求证：相似三角形对应高的比等于相似比．【变式1】求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．【变式2】求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．知识点2.相似三角形的周长比、面积比（重点）相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【例3】若∽，与的相似比为1:2，则与的周长比为( )（A）1:4 （B）1:2 （C）2:1 （D）【变式1】如果两个相似三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是 ．【变式2】已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，它们的周长分别为48和60，且，，求BC和A1B1的长．【变式3】如图，梯形ABCD的周长为16厘米，上底厘米，下底厘米，分别延长AD和BC交于点P，求的周长．AABCDP【例4】如图，在中，点D、E在AB、AC上，DE//BC，和四边形BCED的面积相等，求AD:BD的值．AABCDE【变式】如图，中，点D是BC延长线上一点，直线EF//BD交AB于点E， 交AC于点G，交AD于点F，若，求的值．AABCDEFG知识点3.相似多边形的性质（拓展）1.相似多边形的对应角相等，对应边成比例。2.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。3.相似多边形对应对角线的比等于相似比。4.相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。【例5】（2023秋·全国·九年级专题练习）两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应高之比为（）A． B． C． D．【变式1】（2023秋·九年级课前预习）两个相似多边形的面积比是，若较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在正方形中，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，、、、分别是、、、上靠近、、、的四等分点，则．【变式3】（2022秋·九年级单元测试）观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？

【方法二】实例探索法题型1.利用相似三角形的性质求线段的长度1.如图，在中，，，，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上，PQ//AB．当的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．AABCPQ2.如图，等边三角形ABC边长是7厘米，点D、E分别在AB和AC上，且，将沿DE翻折，使点A落在BC上的点F上．（1）求证：∽；（2）求BF的长．AABCDEF题型2.利用相似三角形的性质解面积问题3.如图，在中，矩形DEFG的一边DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，AH是BC边上的高，AH与GF交于点K．若，，矩形DEFG的周长为76cm，求矩形DEFG的面积．AABCDEFGHK4.如图，点D、E分别在的边AB和AC上，DE//BC，，，．求的值．AABCDE5.如图，在中，D是AB上一点，若，，，，求的面积．AABCD6.如图，在中，，，D、E分别为垂足．若，，求四边形DEAB的面积．AABCDEF题型3.利用相似三角形的性质解决实际问题7.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．8．（2022·陕西西安·校考模拟预测）张红武和学习小组的同学们想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵树的高度，经讨论之后大家决定用以下方法进行测量：首先准备一长方形的笔记本和一根笔直的长约厘米的木条．测量时，如图，由一位同学把笔记本拿在手里（笔记本封面所在平面在竖直平面内），另一位同学沿笔记本边观察树的顶端，调整角度之后使树的顶端与边在一条直线上．这时让木条的一端与点重合．用手捏住这一端，并使木条自然下垂，这时木条与边交于点．经测量点到地面的距离为米，笔记本的长厘米，宽厘米，厘米．一位同学从点的正下方走向树的底部共走了步，若该同学每一步的长为厘米，请求出这棵树的高度．

题型4.动态探究题9．（2023春·河南驻马店·九年级校考阶段练习）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：在正方形纸片的边上选取一点E，沿对折纸片，得到；操作二：继续沿着对折纸片，并展开，得到折痕，连接；根据以上操作，如图1，与的位置关系是_______，_______°；（2）迁移探究小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：将矩形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点H，过点E作于M．①如图2，当点E为中点时，与的数量关系是_________；②改变点E在上的位置，使点G、H仍分别落在边、上（均不与端点重合），①的结论是否仍然成立？并说明理由；（3）拓展应用在（2）的探究中，若．直接写出DE的长．10．（2023秋·陕西榆林·九年级校考期末）（1）问题发现，如图1，在中，，点是边上一动点（不与点重合），，连接．

(1)①求的值；②求的度数．(2)拓展探究，如图2，在中，．点是边上一动点（不与点重合），，连接，请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由．11．（2023·江苏南通·校考三模）（1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：；（2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．（3）拓展：如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，．将沿翻折得到，直线交于点，求的长．

【方法三】差异对比法易错点1：弄错相似比的前后项出错1.已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.

易错点2：误认为相似三角形的面积比等于相似比出错2.已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．

【方法三】仿真实战法考法.相似三角形的性质1．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（）A． B． C． D．2．（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：163．（2022•连云港）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（）A．54 B．36 C．27 D．214．（2021•镇江）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝．【方法四】成果评定法一．选择题（共10小题）1．（2023•泸县一模）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝2，A′D′＝3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．4：9 B．9：4 C．2：3 D．3：22．（2023•沙坪坝区校级开学）若两个相似三角形的相似比为1：9，则这两个三角形的周长之比为（）A．1：3 B．1：9 C．1：27 D．1：813．（2022秋•槐荫区期末）若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（）A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．1：814．（2022秋•阜平县期末）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△DEF与△ABC的相似比为（）A．1：2 B．1：3 C．4：1 D．1：165．（2023•红花岗区校级一模）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ABC的面积比是（）A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：46．（2023•秀屿区校级开学）已知△ABC∽△DEF，且AB＝3，DE＝6，若△ABC的面积为20，则△DEF的面积为（）A．5 B．40 C．80 D．无法计算7．（2023•江安县一模）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：3，BC＝，则DE的长为（）A． B． C． D．8．（2023•玉屏县三模）如图，把△AOB缩小后得到△COD，则△COD与△AOB的相似比为（）A． B． C． D．9．（2023•禅城区校级三模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36，则它的最长边的长为（）A．8 B．12 C．16 D．2010．（2022秋•阜宁县期末）如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝5：3，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•南开区期末）若△ABC∽△DEF，且，若△ABC的面积为8，则△DEF的面积为．12．（2023秋•宝应县校级月考）两个相似三角形的相似比是2：3，周长的差为15cm，则它们的周长分别为．13．（2022秋•平陆县期末）已知△ABC∽△A'B'C'且＝，则S△ABC：S△A'B'C'为．14．（2023•石城县模拟）如图，将等边三角形ABC沿AC边上的高线BD平移到△EFG，阴影部分面积记为S，若，S△ABC＝16，则S＝．15．（2023•肃州区三模）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知BC＝，AC＝5，那么△DBF的面积等于．16．（2023•叶县模拟）如图，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A′DE，且点A′落在BC边上，若△A′DC恰好与△ABC相似，AD的长为．17．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为．18．（2023•邗江区校级二模）如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是．三．解答题（共8小题）19．（2022秋•西安期末）已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30，求△A'B'C'的周长．20．（2022秋•礼泉县期末）如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积．21．（2022秋•东港市期中）如图，矩形ABDE中，AB＝3cm，BD＝7cm，点C在边ED上，且EC＝1cm，点P在边BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PD的长．22．（2021秋•大荔县期末）如图，在△ABC，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比．23．（2022秋•襄都区期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB