2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）专题05 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型（解析版）

专题05圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型模型1、内切圆模型【模型解读】内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。【常见模型及结论】1）三角形的内切圆模型条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。图1图2图32）直角三角形的内切圆模型条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=；3）四边形的内切圆模型条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。结论：。例1．（2022秋·天津河西·九年级校考期末）如图，是的内切圆，若，则．【答案】【分析】根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案．【详解】解：∵是的内切圆，∴，，∵，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大．例2．（2023·浙江金华·九年级统考期中）如图，截三边所得的弦长相等，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，由三角形内角和定理可得出答案．【详解】解：截的三条边所得的弦长相等，到三角形三条边的距离相等，即是的内心，，，，，，故选：C．【点睛】本题考查的是内心的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．例3．（2023·四川宜宾·统考一模）《九章算术》卷九中记载：“今有勾三步，股四步，问勾中容圆径几何？”其大意是：“今有直角三角形勾（短直角边）长为3步，股（长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”如图是示意图，根据题意，该内切圆的半径为．【答案】【分析】连接，可知四边形为正方形，设半径为，根据切线长定理列方程求解即可．【详解】解：连接，如下图：由题意可得：，∵，∴四边形为矩形，又∵∴矩形为正方形；设半径为，则∴，∴解得故答案为：【点睛】此题考查了勾股定理，切线长定理，正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．例4．（2023秋·浙江九年级课时练习）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】设内切圆的半径为r，根据公式：，列出方程即可求出该三角形内切圆的半径．【详解】解：设内切圆的半径为r解得：r=1故选D．【点睛】此题考查的是根据三角形的周长和面积，求内切圆的半径，掌握公式：是解决此题的关键．例5．（2023·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是A．14 B．12 C．9 D．7【答案】D【分析】根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题．【详解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，∴可以假设切点分别为E、H、G、F，∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，∵AD＝2，BC＝5，∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，故选D.【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理等知识，解题的关键是证明圆的外切四边形的对边和相等，属于中考常考题型．例6．（2023·福建福州·九年级校考期末）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为．【答案】4【分析】首先利用勾股定理求出斜边的长度，再判断四边形为正方形，然后利用切线长定理求出内切圆半径，进而求出周长．【详解】如图，连接、，在中，，设内切圆半径为r，、为的切线，∴，，∵，，∴四边形为正方形，∴，由切线长定理得，，，，，∴，解得，则的周长为．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质定理，切线长定理，解题关键是判断四边形为正方形，再依据切线长定理把三角形的周长化为两条切线长，再转化为半径进行求解．例7．（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，是边长为的正三角形的内切圆，与边、均相切，且与外切，则的半径为．

【答案】【分析】由切线的性质得到，，又，得到平分，因此得到，同理得到，故，推出，由锐角的正切即可求出的长．【详解】解：设与切于，与相切于，连接，连接，，，

，，，平分，，是等边三角形，，，同理：，，，，∵，．故答案为：．【点睛】本题考查切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的内切圆与内心，等腰三角形的性质，关键是由以上知识点推出，得到是中点，应用锐角的正切即可求解．例8．（2023·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，，则的长是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，接下来设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案．【详解】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，∵，即，解得．设，则，，，得，解得，∴．在中，，∵，∴是的垂直平分线，∴．∵，即，解得，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了圆内切三角形的性质，切线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，切线长定理等，根据面积相等求出半径是解题的关键．模型2、多边形的外接圆模型【模型解读】外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。【常见模型及结论】1）三角形的外接圆模型条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。结论：①OA=OB=OC；②。图1图2图32）等边三角形的外接圆模型条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；3）四边形的外接圆模型条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。结论：①；；②。例1．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，则∠D的度数是（

）A．60° B．65 C．70° D．75°【答案】B【分析】利用三角形内心的性质得OB，OC分别是角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案．【详解】解：连接OB，OC，如图，点O是△ABC的内心，，，，，点O是△DBC的外心，，故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出本题的关键．例2．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接，∵点I是的内心，，∴，∴，∵，∴，故选：C．

【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．例3．（2023·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为.【答案】5cm【分析】作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD=BC=4，再利用三角形外心的定义得到△ABC的外接圆的圆心在AD上，连结OB，设⊙O的半径为r，利用勾股定理，在Rt△ABD中计算出AD=8，然后在Rt△OBD中得到42+（8-r）2=r2，再解关于r的方程即可；【详解】解：如图1，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD=BC=4，∴△ABC的外接圆的圆心在AD上，连结OB，设⊙O的半径为r，在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=4，∴AD==8，在Rt△OBD中，OD=AD-OA=8-r，OB=r，BD=4，∴42+（8-r）2=r2，解得r=5，即△ABC的外接圆的半径为5；【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，解题关键证明等腰三角形底边上的高经过三角形外接圆的圆心.例4．（2023·广东广州·九年级校考期末）如图，在中，，．，I是的内心，则线段的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】如图，连接，延长交于H，连接．在中，根据勾股定理求出，再根据面积相等，求出即可解决问题．【详解】解：如图，连接，延长交于H，连接，作出的内接圆，确定圆心I，连接，∵，∴，∴，∵，∴，设，在中，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查的是三角形的内心和外心、勾股定理等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．例5．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期末）如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连结，，．(1)求证：．(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，，进而得出，可证明，由圆周角定理得出，则，根据平行线的性质可得；（2）由，是的中点，得出是的中点，由圆周角定理，直角三角形的性质结合，得出，继而证明，由相似三角形性质得出，进而得出的长度．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵为直径，∴，∴，∴，∴；（2）如图，∵，是的中点，∴，即，∴是的中点，∵为直径，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴．【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质、等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．例6．（2023安徽中考数学一模卷）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APB=∠CPB=60°．(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论．(2)证明：PA+PC=PB．【答案】(1)等边三角形，证明见解析(2)见解析【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC=∠CPB=60°，∠BAC=∠CPB=60°，根据等边三角形的判定定理证明；（2）在PB上截取PH=PA，得到△APH为等边三角形，证明△AHB≌△APC，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可．（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠BCA=∠APB=60°，∠BAC=∠CPB=60°，∴∠ABC=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形；（2）证明：在PB上截取PH=PA，∵∠APB=60°，∴△APH为等边三角形，∴AP=AH，∠PAH=60°，∴∠BAH+∠CAH=∠PAC+∠CAH，即∠BAH=∠PAC，在△AHB和△APC中，，∴△AHB≌△APC（AAS）,∴BH=PC，∴PB=PH+BH=PA+PC．【点睛】本题考查的是圆周角定理，全等三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．例7．（2023广东中考模拟）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．（1）求∠BPC的度数；（2）求证：PA=PB+PC；（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度．【答案】（1）∠BPC=120°，（2）证明见解析；（3）CM=．【分析】（1）由圆周角定理得∠BPC与∠BAC互补；（2）在PA上截取PD=PC，可证明△ACD≌△BCP，则AD=PB，从而得出PA=PB+PC；（3）容易得到△CDM∽△ACM，所以CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2，设DM=x，则CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x，△BPM∽△ACM，所以BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解此分式方程求出x．【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，（2）证明：连结CD．在PA上截取PD=PC，∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；（3）∵△PCD和△ABC都为等边三角形，∴∠MDC=∠ACM=60°，CD=PC，又∵∠DMC=∠CMA，∴△CDM∽△ACM，AB=4，PC=2，∴CM：AM=DM：MC=DC：AC=PC：AC=2：4=1：2，设DM=x，则CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x∵∠BMP=∠CMA，∠PBM=∠CAM，∴△BPM∽△ACM，∴BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解得x=（舍去负值），∴CM=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理以及等边三角形的性质，是一个综合题，难度较大．课后专项训练1．（2023·山东烟台·统考中考模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56° B．62° C．68° D．78°【答案】C【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【详解】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，∵∠AIC=124°，∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）=180°﹣2（180°﹣∠AIC）=68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE=∠B=68°，故选：C．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．2．（2023·江苏南通·统考一模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，点E是边AD上一点，连结CE，将△CDE绕点C旋转，当CD落到对角线AC上时，点E恰与圆心O重合，已知AE＝6，则下列结论不正确的是（）A．BC+DE＝ACB．⊙O的半径是2C．∠ACB＝2∠DCED．AE＝CE【答案】D【分析】⊙O是△ABC的内切圆，设半径为r，切点分别为F、G、H，连接OG、OH，则四边形BGOH是正方形，得出OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋转的性质得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，得出∠ACB＝2∠DCE，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出r＝2，BC＝8，AC＝10，选项A、B、C正确；由勾股定理得：CE＝，选项D不正确．【详解】解：⊙O是△ABC的内切圆，设半径为r，切点分别为F、G、H，连接OG、OH，如图：则四边形BGOH是正方形，∴OG＝OG＝BG＝BH＝r，由旋转的性质得：OF＝DE＝r，CF＝CD，∠FCO＝∠DCE，∴∠ACB＝2∠DCE，∵BC＝AD，∴AB＝CD＝CF＝AE＝6，由切线长定理得：CH＝CF＝CD＝6，∠ACO＝∠BCO，AF＝AG＝6﹣r，∴AC＝AF+CF＝12﹣r，在Rt△ABC中，由勾股定理得：62+（6+r）2＝（12﹣r）2，解得：r＝2，∴BC＝8，AC＝10，∴BC+DE＝AC，⊙O的半径是2，所以选项A、B、C正确；由勾股定理得：，选项D不正确；故选D．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、矩形的性质、旋转的性质、切线长定理、勾股定理等知识；熟练掌握切线长定理和旋转的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．3．（2023·浙江·九年级统考阶段练习）如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（）A．1 B．2 C．2﹣2 D．4﹣2【答案】C【分析】先判断出PQ⊥CF，再求出AC=2，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可.【详解】解：如图，连接PF，QF，PC，QC∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心，∴PF是∠AFC的角平分线，FQ是∠CFE的角平分线，∴∠PFC=∠AFC=30°，∠QFC=∠CFE=30°，∴∠PFC=∠QFC=30°，同理，∠PCF=∠QCF∴PQ⊥CF，∴△PQF是等边三角形，∴PQ=2PG；易得△ACF≌△ECF，且内角是30º，60º，90º的三角形，∴AC=2，AF=2，CF=2AF=4，∴S△ACF=AF×AC=×2×2=2，过点P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，∵点P是△ACF的内心，∴PM=PN=PG，∴S△ACF=S△PAF+S△PAC+S△PCF=AF×PM+AC×PN+CF×PG=×2×PG+×2×PG+×4×PG=（1++2）PG=（3+）PG=2，∴PG==，∴PQ=2PG=2()=2-2.故选C.【点睛】本题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义.4．（2023·河北张家口·统考一模）如图，点点为的内心，且于点，若，，则的度数为（

）A．163 B．164 C．165 D．166【答案】C【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C=86°，过点E作ED⊥AC于D，得到∠CDE=∠CFE=90°，由此求出∠AED=90°-19°=71°，∠DEF=180°-∠C=94°，即可求出答案.【详解】∵，，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=86°，过点E作ED⊥AC于D，∵，∴∠CDE=∠CFE=90°，∵点点为的内心，∴∠CAE=∠BAC=19°，∴∠AED=90°-19°=71°，∠DEF=180°-∠C=94°，∴∠AEF=∠AED+∠DEF=165°，故选：C.【点睛】此题考查三角形的内角和定理，三角形内心定义，熟记三角形的内心定义是解题的关键.5．（2023秋·天津河北·九年级校考期末）若直角三角形的两直角边分别为6和8，则这个直角三角形内切圆的半径是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】首先根据勾股定理求得该直角三角形的斜边是，等面积法即可求解．【详解】解：直角三角形的两直角边分别为6和8，根据勾股定理，得该直角三角形的斜边是，设直角三角形内切圆半径为r，则，解得．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是勾股定理以及三角形内切圆与内心，牢记直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解此题的关键．6．（2023春·浙江九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC＝（

）度A．70 B．135 C．55 D．125【答案】D【分析】根据圆周角定理求出，求出度数，根据三角形内角和定理求出，根据三角形的内心得出，，求出的度数，再求出答案即可．【详解】解：在中，，是外心，，，，为的内心，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内切圆和三角形的外接圆，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．7．（2034·浙江杭州·三模）如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，下列结论正确的是（）A．∠EDF＝∠B B．2∠EDF＝∠A+∠CC．2∠A＝∠FED+∠EDF D．∠AED+∠BFE+∠CDF＞180°【答案】B【分析】不妨设∠B=80°，∠A=40°，∠C=60°．求出各个角，首先判定出A、C错误，再证明B、D两项的正误．【详解】解：不妨设∠B＝80°，∠A＝40°，∠C＝60°．∵△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，∴BE＝BF，AE＝AD，CF＝CD，∴∠BEF＝∠BFE＝∠EDF＝50°，∠CFD＝∠CDF＝∠FED＝60°，∠AED＝∠ADE＝∠EFD＝70°，∴∠EDF≠∠B，2∠A≠∠FED+∠EDF，故A、C不正确，∵∠B+∠BEF+∠EFB＝180°，∠B+∠A+∠C＝180°，∴∠BEF+∠BFE＝∠A+∠C，∴2∠EDF＝∠A+∠C，故B正确，∵∠AED＝∠EFD，∠BFE＝∠EDF，∠CDF＝∠FED，∴∠AED+∠BFE+∠CDF＝∠EFD+∠EDF+∠FED＝180°，故D不正确．故选B．【点睛】本题考查三角形的内接圆与内心，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊值法解决问题，属于中考常考题型．8．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（

）

A． B． C． D．5【答案】A【分析】如图，连接，，由题意知，平分，平分，则，，，，由，可得，由垂径定理得，则，由勾股定理得，，如图，连接交于，则，设，则，由勾股定理得，，即，解得，进而可得，，由勾股定理得，，计算求解即可．【详解】解：如图，连接，，

由题意知，平分，平分，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，由勾股定理得，，如图，连接交于，则，设，则，由勾股定理得，，即，解得，∴，，由勾股定理得，，故选：A．【点睛】本题考查了内心，勾股定理，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．9．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据圆周角定理，等弧和等弦的关系及等腰三角形的性质可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断．【详解】解：∵点是的内心，∴平分，∴，故①正确；如图，连接，，∵点是的内心，∴，，∵，∴，∴，∴，故②不正确；

∵，∴，∴，∵点为的中点，∴，∴，故③正确；如图，连接，∵点是的内心，∴平分，∴，∵，∴，∴，∴，故④正确，∴一定正确的是①③④，共3个，故选：C．

【点睛】本题考查三角形内心，圆周角定理，等弧与等弦的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理与三角形外角的性质．掌握三角形的内心是解题的关键．10．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接、、，交于，作交BC于点G，利用，求出，进一步可得，求出，设⊙的半径为，利用，求出，求出，进一求出，再证明OB垂直平分，利用面积法可得，求得HE长即可求得答案．【详解】解：连接、、，交于，作交BC于点G，如图，∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，∴，即，解得：，∴，∴，设内切圆的半径为r，则，解得：，的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，∴∠ODB=∠OEB=90°，又∵OD=OE，OB=OB，∴，∴BD=BE，同理，CE=CF，AD=AF，∵BE+CE=BC=7，∴BD+BE+CE+CF=14，∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2，∴，∴，，，垂直平分，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内切圆性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，面积法等，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键．11．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中，一定正确的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【分析】根据点是的内心，可得，可判断①正确；连接，，可得，从而得到，进而得到，可判断②错误；，得出，再由点为的中点，则成立，可判定③正确；根据点是的内心和三角形的外角的性质，可得，再由圆周角定理可得，从而得到，得出，但可判断④错误．【详解】解：∵点是的内心，∴，故①正确；如图，连接，，∵点是的内心，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故②错误；∵点是的内心，∴，∴,∵点为的中点，∴线段经过圆心O，∴，∴成立，故③正确；∵点是的内心，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵点E不一定是的中点，∴，∴，故④错误；综上分析可知，①③正确，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．12．（2022秋·江苏·九年级校考周测）如图，内接于，若为的内心，连结并延长交于点，为、交点，连结、，以下结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）若，则．以上结论正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据内心是三角形三条角平分线的交点，利用圆周角定理和外角的性质，得到，从而推出即可说明（1）的正误；再证明，得到即可证得（2）的正误；再证明，得到即可说明（3）；如图，过点作的平行线与的延长线交于点，利用平行线分线段成比例定理即可证得（4）；如图所示，在线段截取，过点作于点，连接，利用三角形全等、圆周角定理以及余弦函数即可求证（5）的正误．【详解】解：∵点是的内心∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，故（1）错误；∵∴，∵，∴，∴，∴，∴；故（2）正确；∵，∴，∴，∴；故（3）错误；如图，过点作的平行线与的延长线交于点，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故（4）正确；如图所示，在线段截取，过点作于点，连接在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴在中，，∴，∴，故（5）错误，∴（2）（4）说法正确，故选：A【点睛】本题考查三角形的内心，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理．熟练掌握三角形的内心是三条角平分线的交点，以及等弧所对的圆周角相等，证明三角形相似是解题的关键．13．（2023春·四川南充·九年级统考期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③；④若点为的中点，则，其中一定正确的序号是．【答案】①②③④【分析】根据点是的内心，可得，故①正确；连接，可得，从而得到，进而得到∠BEC=120°，故②正确；根据点是的内心和三角形的外角的性质，可得，再由圆周角定理可得，从而得到，故③正确；，得出，再由点为的中点，则成立，故④正确．【详解】解：∵点是的内心，∴，故①正确；如图，连接，∵点是的内心，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故②正确；∵点是的内心，∴，∵，∴，

∵，∴，∴，∴，∴，故③正确；∵点是的内心，∴，

∴，∵点为的中点，∴线段经过圆心O，∴成立，故④正确；∴正确的有①②③④．故答案为：①②③④．【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心的定义，圆周角定理，垂径定理及其推论是解题的关键．14．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）如图，为外接圆的直径，点M为的内心，连接并延长交于点D，①若，的直径为4，则扇形的面积为；②若，，则．【答案】//【分析】①首先根据圆周角定理得到，然后利用扇形面积公式求解即可；②作交于点E，作交于点F，根据三角形内心的性质求出，进而得到，然后利用勾股定理和等腰直角三角形的性质得到，进而求解即可．【详解】①∵，，∴∵的直径为4，∴的半径为2，∴扇形的面积为；②如图所示，作交于点E，作交于点F，∵，，∴∴∵点M为的内心，∴是内切圆的半径，∴，∵点M为的内心，∴是的角平分线，∴，，∵∴∴是等腰直角三角形∵∴∵∴∴∴∴∴∴．故答案为：，．【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形内心的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．15．（2023秋·山东泰安·九年级统考期末）如图，中，点是内心，若，则的度数为．【答案】/115度【分析】根据三角形内角和定理即可求得的度数，再根据内心的定义即可求得，然后根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵，∴，∵点是的内心，∴，∴，故．故答案是：．【点睛】本题主要考查了三角形的内心以及三角形内角和定理的知识，理解三角形内心的定义是解题关键．16．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是．【答案】121°【分析】先利用⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数．【详解】∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°-∠A）=（180°-62°）=59°，∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）=180°-59°=121°．故答案是：121°．【点睛】此题考查三角形的内心，三角形内角和定理，解题关键在于掌握其性质定义．17．（2023·四川德阳·统考二模）如图，是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与的三边相切，已知，，．若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率为（取3）【答案】/0.5【分析】利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，再根据切线长定理求出圆的半径，分别求出三角形和圆的面积即可．【详解】解：∵，，，∴，，，∴，∴，如图设三角形内切圆为⊙O，与三边分别相切于点E、F、G，连接，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，，圆的面积为，从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理和三角形内切圆，简单的概率公式，解题关键是利用切线长定理求出三角形内切圆半径．18．（2023广东九年级上期中）已知中，，则它的外接圆半径为，内切圆半径为．【答案】52【分析】由勾股定理的逆定理可得，为直角三角形，即可求得外接圆的半径；设内切圆半径为，利用切线长定理求得内切圆半径．【详解】解：∵，∴∴为直角三角形，，∴外接圆的圆心为斜边的中点，半径为设内切圆的半径为，如下图，

由题意可得：∴四边形为矩形，又∵∴矩形为正方形，∴∴，由切线长定理可得：，则：，解得故答案为：5，2【点睛】此题考查了圆的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的逆定理，切线长定理等性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．19．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，中，是边E上的高，分别是的内切圆，则与的面积比为．【答案】【分析】根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式求出，由三角形内切圆圆心到三条边的距离相等以及三角形的面积公式求出两个圆的半径，再求出面积比即可．【详解】解：在中，，，，，，，在中，由勾股定理得，，，设的半径为，的半径为，则，即，，同理，与的面积比为，故答案为：．【点睛】本题考查三角形的内切圆，掌握勾股定理以及三角形内切圆的圆心到三角形三边距离相等是正确解答的前提．20．（2023·山西·九年级专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则.如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，∴△MDI∽△ANI，∴，∴①，如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，∴∠DBE=∠IFA，∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，∴△AIF∽△EDB，∴，∴②，任务：(1)观察发现：，(用含R，d的代数式表示)；(2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm.

【答案】(1)R-d；(2)BD=ID，理由见解析；(3)见解析；(4).【分析】(1)直接观察可得；(2)由三角形内心的性质可得∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，由圆周角定理可得∠DBC=∠CAD，再根据三角形外角的性质即可求得∠BID=∠DBI，继而可证得BD=ID；(3)应用(1)(2)结论即可；(4)直接代入结论进行计算即可．【详解】(1)∵O、I、N三点共线，∴OI+IN＝ON，∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d，故答案为R﹣d；(2)BD=ID，理由如下：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠CBI=∠ABI，∵∠DBC=∠CAD，∠BID=∠BAD+∠ABI，∠DBI=∠DBC+∠CBI，∴∠BID=∠DBI，∴BD=ID；(3)由(2)知：BD=ID，又，，∴DE·IF=IM·IN，∴，∴∴；(4)由(3)知：，把R=5，r=2代入得：，∵d>0，∴，故答案为.【点睛】本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定义，三角形外角性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.21．（2023·江苏·九年级假期作业）已知，如图，为⊙O的直径，内接于⊙O，，点P是的内心，延长交⊙O于点D，连接．(1)求证：；(2)已知⊙O的半径是3，，求的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）由圆周角定理得出，由内心得出，，，由三角形的外角性质得出，即可得出结论；（2）连接，由圆周角定理得出，证出是等腰直角三角形，得出，由勾股定理可求的长，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵为直径，∴，∵点P是的内心，∴，，∴，∵，，∴，∴；（2）解：连接，过点B作于H，如图所示：∵是直径，，∴，是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰直角三形，勾股定理，内心的定义；添加辅助线构造特殊角直角三角形是解题的关键．22．（2023山东德州九年级期中）如图，等边三角形ABC内接于圆O，点P是劣弧BC上任意一点（不与C重合），连接，求证：．【初步探索】小明同学思考如下：如图1，将绕点A顺时针旋转到，使点C与点B重合，可得P、B、Q三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：(1)根据小明的思路，请你完成证明；(2)若圆的半径为4，则的最大值为__________；(3)【类比迁移】如图2，等腰内接于圆O，，点P是弧BC上任一点（不与B、C重合），连接，若圆的半径为4，试求周长的最大值．【答案】(1)见解析(2)8(3)【分析】（1）可证得P、B、Q三点在同一条直线上，进而证得是等边三角形，进一步得出结论；（2）当是的直径时，的值最大，即最大，进而求得结果；（3）将绕点A顺时针旋转90°到，使点C与点B重合，P、B、Q三点在同一条直线上，进而证明是等腰直角三角形，类比（2）可得出结果．【详解】（1）证明：由旋转得，，，，，，、、三点在同一条直线上，，是等边三角形，，，是等边三角形，，；（2）解：是的弦，且的半径为4，当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，的最大值是8；（3）解：如图2，，，∵BC是的直径，且圆心在BC上，∴，，将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，，，，、、三点在同一条直线上，，，当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，，的最大值是，，周长的最大值是．【点睛】本题考查了等边三角形性质，旋转性质，圆内接四边形性质等知识，解决问题的关键是类比证明和计算．23．（2023年广东省深圳市宝安区中考三模数学试题）综合与实践数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、、在半径为的上静止不动，第四只蚂蚁在上的移动，并始终保持．(1)请判断的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：是______三角形；(2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁在上的移动时，线段、、三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明；(3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁同时随着蚂蚁的移动而移动，且始终位于线段的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）．【答案】(1)等边(2)；证明见解析(3)【分析】（1）根据圆周角定理可得对应的圆周角为，即、，说明为等边三角形即可；（2）如图，在上截取，连接，先说明为等边三角形可得，，，进而证明可得，最后根据等量代换即可解答；（3）如图：的轨迹是以为直径的圆，设圆心为，连接，过作于，过作，，根据题意可得，然后说明是三角形的中位线，进而得到；再根据中点的定义可得，利用勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答．【详解】（1）解：，对应的圆周角为，，，，为等边三角形．故答案为：等边．（2）解：如图，在上截取，连接，，为等边三角形，，，，，，在和中，，，，，．故答案为：．（3）解：根据题意可知，如图：的轨迹是以为直径的圆，设圆心为，连接，过作于，过作，，，，，，是的中点，是三角形的中位线，为的中点，，又是的中点，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．24．（2023·天津北辰·九年级校考阶段练习）（1）尺规作图，如图作出△ABC的外接圆⊙O；（2）若AB=AC=10,BC=12,则△ABC的外接圆半径R=,△ABC的内切圆半径r=．【答案】（1）见详解；（2）；3．【分析】（1）分别作BC和AC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点O，然后以点O为圆心，OC为半径作圆即可；（2）过A作AD⊥BC于D，连接OB，可知O在直线AD上，然后在Rt△OBD中，利用勾股定理即可求出外接圆半径R；过A作AM⊥BC于M，由条件可知内心P在直线AM上，过P作PN⊥AB于N，利用△ANP∽△AMB，对应边成比例即可求出△ABC的内切圆半径．【详解】解：（1）如图所示，⊙O为所作，（2）如图，过A作AD⊥BC于D，由AB=AC=10可知，AD垂直平分BC，BD=CD=BC=6，又∵圆心O在BC的垂直平分线上，∴O在直线AD上，在Rt△ABD中，，连接OB，设OA=OB=R，则OD=8-R，在Rt△OBD中，∵OD2+BD2=OB2，∴（8-R）2+62=R2，解得，即△ABC外接圆的半径为；如下图，过A作AM⊥BC于M，由于AB=AC=10，BC=12，∴BM=CM=6，AM为∠BAC的角平分线上，∴△ABC的内心在直线AM上，取点P为△ABC的内心，过P作PN⊥AB于N，可知，PN=PM，在Rt△ABM中，，设PN=PM=r，则AP=8-r，∵∠AMB=∠ANP=90°，∠NAP=∠MAB，∴△ANP∽△AMB，∴，即，∴即△ABC内切圆的半径为3；答案为：；3．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了三角形的外心和内心，题目比较综合．25．（2023秋·成都市九年级上期中）如图，⊙O是GDP的内切圆，切点分别为A、B、H，切线EF与⊙O相切于点C，分别交PA、PB于点E、F．（1）若△PEF的周长为12，求线段PA的长；（2）若∠G＝90°，GD=3，GP=4，求⊙O半径．【答案】（1）6；（2）1【分析】（1）由切线长定理可得，，，再由△PEF的周长为12，即可得到，由此即可得到答案；（2）连接OA、OB、OH、OP、OD、OG，设圆的半径为r，由，可以得到，再利