人教版八年级数学下册举一反三专题19.3一次函数的图象与性质(二)【八大题型】(学生版+解析)

专题19.3一次函数的图象与性质（二）【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1一次函数的平移问题】 1【题型2一次函数与坐标轴的交点问题】 2【题型3应用一次函数解决有关最值问题】 3【题型4一次函数中的对称性问题】 4【题型5根据两直线的平行关系求解析式】 5【题型6根据两直线的交点位置求解】 5【题型7一次函数的图象与几何图形的综合】 6【题型8一次函数的有关的规律探究问题】 8【题型1一次函数的平移问题】【例1】（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）将直线y=kx+b向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到直线y=2x，则（

）A．k=2，b=−8 B．k=−2，b=2 C．k=1，b=−4 D．k=2，b=4【变式1-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）一次函数y=x−6的图象是由一次函数y=x+3的图象（）得到的A．向上平移9个单位长度 B．向左平移9个单位长度C．向右平移9个单位长度 D．向下平移9个单位长度【变式1-2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将直线y=2x+b沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为．【变式1-3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）已知函数y2的图象是由一次函数y1的图象平移得到，它们的部分自变量的值与对应的函数值如表所示，则m的值是（xm02y5−1ty9n−1A．−3 B．−2 C．−1 D．1【题型2一次函数与坐标轴的交点问题】【例2】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，直线y=kx−2k+3（k为常数，k<0）与x，y轴分别交于点A，B，则A．−1 B．1 C．0 D．无法确定【变式2-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）一条直线经过点A0,2，与x轴交于点B，且△AOB的面积为4，则直线AB的解析式为

【变式2-2】（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图，直线l1：y=−x−b分别与x，y轴交于A6,0、B两点，过点B的直线l2交x轴的负半轴于点C，且OB:OC=3:1，直线BC

【变式2-3】（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）如图，直线y=23x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，点Q的坐标为m−4,12m，点Q在△ABO的内部（不包括△ABO的边），且

【题型3应用一次函数解决有关最值问题】【例3】（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）已知A0,2，B3,5，点P为x轴上任意一点，当PA+PB取最小值时，点P坐标为【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）如图，已知点A（1，1）、B（3，2），且P为x轴上一动点，则使△ABP的周长为最小值时P点坐标为．【变式3-2】（2023·江苏·模拟预测）对某一个函数给出如下定义：若存在正数M，函数值y都满足y≤M，则称这个函数是有界函数．其中，M的最小值称为这个函数的边界值．若函数y=2x+1（a≤x≤b，且a≠b）中，y的最大值是2，边界值小于3，则a应满足的条件是【变式3-3】（2023春·辽宁阜新·八年级阜新实验中学校考期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)，点B的坐标是(−2,0)．(1)点A的坐标是，点C的坐标是；(2)请作出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'(点A与点A'对应，点B(3)y轴上存在点P，使得PA+PC的值最小，则点P的坐标是．【题型4一次函数中的对称性问题】【例4】（2023春·山东德州·八年级统考期末）一次函数y=kx−5和y=2x+b（k、b为常数）的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为（

）A．k=2,b=5 B．k=−2,b=5 C．k=2,b=−5 D．k=−2,b=−5【变式4-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）关于一次函数y=2x﹣1，y=﹣2x+1的图象，下列说法正确的是（）A．关于直线y=﹣x对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称【变式4-2】（2023春·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，直线l1与l2关于直线y=1对称，若直线l1的表达式为y=−2x+3，则直线l2与A．(0,12) B．(0,23)【变式4-3】（2023春·陕西商洛·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，直线y=−3x+b与直线y=kx−1关于直线x=2对称，则k，b的值分别为（

）A．k=−3，b=11 B．k=3，b=11 C．k=13，b=1D．k=−【知识点两条直线的位置关系探究】直线（）与（）的位置关系：（1）两直线平行且（2）两直线相交（3）两直线重合且（4）两直线垂直【题型5根据两直线的平行关系求解析式】【例5】（2023春·湖北·八年级校考阶段练习）P(m，n)为坐标平面内一点，且|m|≤1，|n|≤1，过P点作直线PQ与y=−2x平行，交y轴Q(0，b)．当P点在区域内运动时，求A．3 B．2 C．1 D．4【变式5-1】（2023春·陕西西安·八年级统考期末）已知某一次函数的图像与直线y=−3x+1平行，且经过点A1,2，则这个一次函数的解析式为【变式5-2】（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）如图，点M的坐标为3,2，点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线l也随之上下平移，且直线l与直线y=−x平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值为

【变式5-3】（2023春·广西北海·八年级统考期中）在平面直角坐标系中有两点A(−1,2)，B(2,3)，如果函数y=kx−1的图象与线段AB的延长线相交（交点不包括点B），则实数k的取值范围是．【题型6根据两直线的交点位置求解】【例6】（2014·陕西·八年级专题练习）若一次函数y＝ax＋b的图象与一次函数y＝mx＋n的图象相交，且交点在x轴上，则a、b、m、n满足的关系式是．【变式6-1】（2023·贵州贵阳·统考一模）在同一平面直角坐标系中，两个一次函数y=k1x+5A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式6-2】（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）平面直角坐标系中，已知直线l1经过原点与点P（m，2m），直线l2：y＝mx+2m﹣3（m≠0）．(1)求证：点（﹣2，﹣3）在直线l2上；(2)当m＝2时，请判断直线l1与l2是否相交？【变式6-3】（2023春·北京朝阳·八年级统考期末）一次函数的图象经过点（-1，0）和（0，2）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）若直线y=nx与该一次函数的图象相交，且交点在第三象限，直接写出n的取值范围．【题型7一次函数的图象与几何图形的综合】【例7】（2023春·湖北十堰·八年级统考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(4，b)满足关系式(a＋3)2＋b−7＝0，AB交y轴于点C，(1)①a=，b=，三角形AOB的面积=；②求点C的坐标；(2)点P在y轴上，且三角形PAB的面积为21，求点P的坐标；(3)如图2，若(2)中点P在y轴的正半轴上，过点P在AP左侧作∠APQ=∠PAB，PQ交x轴于点Q，过点Q作QR∥PB，交BA的延长线于点R，求点R的坐标．【变式7-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A1，2，B5，2．若一次函数y=kx−2k≠0的图象经过C点，且与x，y

【变式7-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，C(0,5)、D(a,5)，A、B在x轴上，连接AC、CD、BC，点E在BC上，连接DE,∠CAB=∠D．(1)请直接写出AB与CD的位置关系；(2)请应用（1）中结论求证：∠ACB=∠CED；(3)连接AE，若点A−52【变式7-3】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−34x+m分别与x轴、y轴交于点B、A，其中B点坐标为（12，0）．直线y=38(1)求点A的坐标．(2)求△BOC的面积．(3)点D为直线AB上的一个动点，过点D作x轴的垂线，与直线OC交于点E，设点D的横坐标为t，线段DE的长度为d．①求d与t的函数解析式(写出自变量的取值范围)．②当动点D在线段AC上运动，以DE为边在DE的左侧作正方形DEPQ，若以点H（12，t）、G（1，t）为端点的线段与正方形DEPQ的边只有一个交点时，请直接写出t【题型8一次函数的有关的规律探究问题】【例8】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=−x的图象分别为直线l1，l2，过点1,0作x轴的垂线交l1于点A1，过A1点作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3

A．−21011,−C．−21011,【变式8-1】（2023春·江西宜春·八年级统考期末）直线y=kx+k（k为正整数）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk，当k分别为1，2A．1023132 B．1027176 C．1027684 D．1023638【变式8-2】（2023春·四川凉山·八年级统考期末）如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，……，△AnBnA

A．22021 B．22022 C．22023【变式8-3】（2023春·山东济南·八年级统考期中）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=12x+12相交于点P﹣1，0．直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线lA．22022-1 B．22022-2 专题19.3一次函数的图象与性质（二）【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1一次函数的平移问题】 1【题型2一次函数与坐标轴的交点问题】 3【题型3应用一次函数解决有关最值问题】 7【题型4一次函数中的对称性问题】 12【题型5根据两直线的平行关系求解析式】 15【题型6根据两直线的交点位置求解】 18【题型7一次函数的图象与几何图形的综合】 21【题型8一次函数的有关的规律探究问题】 27【题型1一次函数的平移问题】【例1】（2023春·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）将直线y=kx+b向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到直线y=2x，则（

）A．k=2，b=−8 B．k=−2，b=2 C．k=1，b=−4 D．k=2，b=4【答案】A【分析】根据直线y=kx+b向左平移2个单位，变为y=k+2x+b，再向上平移4个单位，变为y=kx+2+b+4，然后结合得到直线y=2x，即可解出【详解】解：直线y=kx+b向左平移2个单位，变为y=k+2再向上平移4个单位，变为y=kx+2∵得到直线y=2x，∴k=2，2k+b+4=0，∴k=2，b=−8，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图像平移变换，熟练掌握图象左加右减，上加下减的变换规律是解答本题的关键．【变式1-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）一次函数y=x−6的图象是由一次函数y=x+3的图象（）得到的A．向上平移9个单位长度 B．向左平移9个单位长度C．向右平移9个单位长度 D．向下平移9个单位长度【答案】D【分析】据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解．【详解】解：一次函数y=x−6的图象可以由一次函数y=x+3的图象向下平移9个单位得到，故选：D．【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．【变式1-2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将直线y=2x+b沿y轴向上平移3个单位后恰好经过原点，则b的值为．【答案】−3【分析】根据平移规律得到平移后的直线为y=2x+b+3，然后把0，【详解】解：将直线y=2x+b沿x轴向上平移3个单位后得到y=2x+b+3，∵经过原点，∴0=b+3，解得b=−3，故答案为：−3．【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确把握变换规律是解题关键．【变式1-3】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）已知函数y2的图象是由一次函数y1的图象平移得到，它们的部分自变量的值与对应的函数值如表所示，则m的值是（xm02y5−1ty9n−1A．−3 B．−2 C．−1 D．1【答案】A【分析】根据两直线平行，则一次项系数相同可设设函数y1的解析式为y=kx+a，函数y2的解析式为y=kx+b，把0，−1代入y=kx+a得：a=−1，把2，−1代入y=kx+b得：2k+b=−1，进而得到函数y1的解析式为y=kx−1，函数y2的解析式为y=kx−1−2k，把m，5代入y=kx−1得：mk−1=5，把【详解】解：设函数y1的解析式为y=kx+a，函数y2的解析式为把0，−1代入y=kx+a得：∴函数y1的解析式为y=kx−1把2，−1代入y=kx+b得：∴b=−1−2k，∴函数y2的解析式为y=kx−1−2k把m，5代入y=kx−1得：把m，9代入y=kx−1−2k得：∴5−2k=9，解得k=−2，∴−2m−1=5，解得m=−3，故选A．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，熟知两直线平行，一次项系数相同是解题的关键．【题型2一次函数与坐标轴的交点问题】【例2】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，直线y=kx−2k+3（k为常数，k<0）与x，y轴分别交于点A，B，则A．−1 B．1 C．0 D．无法确定【答案】B【分析】根据一次函数图像与x，y轴分别交于点A，B，可用含k的式子分别表示出【详解】解：y=kx−2k+3，∴当y=0时，x=2k−3k，当x=0时，∴OA=−3k+2=∴2OA故选：B．【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，掌握以上知识是解题的关键．【变式2-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）一条直线经过点A0,2，与x轴交于点B，且△AOB的面积为4，则直线AB的解析式为

【答案】y=±【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，将A点代入解析式，求出b的值，再根据△AOB的面积为4，求出OB=4,根据点B在原点左侧和右侧两种情况求解出解析式即可．【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，∵直线经过点A0,2，即OA=2∴b=2，∵S∴1∴OB=4，∴当点B在原点右侧时，B4,0∴当点B在原点左侧时，B−4,0当直线经过B4,00=4k+2，解得k=−1∴解析式为y=−1当直线经过B−4,00=−4k+2，解得k=1∴解析式为y=1故答案为：y=±1【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数关系式，根据面积求出OB的长，B点在原点左右两种情况进行计算是解答本题的关键．【变式2-2】（2023春·山东德州·八年级统考期末）如图，直线l1：y=−x−b分别与x，y轴交于A6,0、B两点，过点B的直线l2交x轴的负半轴于点C，且OB:OC=3:1，直线BC

【答案】y=3x+6【分析】根据点A在直线l1：y=−x−b，求出b的值，继而求出点B的坐标，再根据OB:OC=3:1，求出点C的坐标，设直线BC的函数解析式：y=kx+bk≠0，把B，C两点代入y=kx+bk≠0，解出k【详解】∵点A6,0在直线l1：∴−6−b=0，解得：b=−6，∴直线l1：y=−x+6当x=0时，y=6，∴B0,6，OB=6∵OB:OC=3:1，∴OC=2，∵点C在x轴的负半轴，∴C−2,0∴设直线BC的函数解析式：y=kx+bk≠0∴b=60=−2x+b解得：k=3b=6∴直线BC的函数解析式为：y=3x+6，故答案为：y=3x+6．【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解一次函数的解析式．【变式2-3】（2023春·辽宁营口·八年级统考期末）如图，直线y=23x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，点Q的坐标为m−4,12m，点Q在△ABO的内部（不包括△ABO的边），且

【答案】5【分析】首先根据直线AB的解析式求出A，B两点的坐标，由Q在△ABO的内部(不包括△ABO的边)，得出Q点的横坐标大于A点的横坐标小于0，纵坐标大于0小于B点的纵坐标，列出不等式，求出m的取值范围，从而求出m的整数值与和．【详解】∵直线y=23x+2与x轴、y轴分别相交于点A∴A−3,0，B∵点Q在△ABO的内部(不包括△ABO的边)，∴−3<m−4<00<12∵m为整数，∴m=2或3，∴满足条件的m所有值的和为2+3=5，故答案为：5【点睛】此题考查了一次函数的应用，解题关键是根据直线的解析式，求出A，B两点的坐标．【题型3应用一次函数解决有关最值问题】【例3】（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）已知A0,2，B3,5，点P为x轴上任意一点，当PA+PB取最小值时，点P坐标为【答案】6【分析】首先通过轴对称变换，得到A关于x轴的对称点A'0,−2，然后根据PA+PB=PA'+PB≤A'B得到当点A'，P，B三点共线时，PA+PB【详解】如图，

∵A0,2∴点A关于x轴的对称点A'∴PA+PB=PA连接A'B交x轴于点∴当点A'，P，B三点共线时，PA+PB取最小值，即A∵B3,5，A∴设A'B所在直线的表达式为∴b=−23k+b=5，解得b=−2∴A'B∴当y=0时，即0=7解得x=6∴点P坐标为67故答案为：67【点睛】本题考查了轴对称变换求最短距离问题，构造点A关于x轴的对称点A'【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）如图，已知点A（1，1）、B（3，2），且P为x轴上一动点，则使△ABP的周长为最小值时P点坐标为．【答案】5【分析】做点B关于x轴的对称点B'，连接AB'，当点P运动到AB'与x【详解】解：做点B关于x轴的对称点B'，连接AB'，当点P运动到AB'∵A1,1,B设AB'∴1=k+b解得k=−所以AB'令y=0，则x=∴点P的坐标为5故答案为：53【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，根据题意找到使周长最短的P点是解题的关键．【变式3-2】（2023·江苏·模拟预测）对某一个函数给出如下定义：若存在正数M，函数值y都满足y≤M，则称这个函数是有界函数．其中，M的最小值称为这个函数的边界值．若函数y=2x+1（a≤x≤b，且a≠b）中，y的最大值是2，边界值小于3，则a应满足的条件是【答案】−2<a<【分析】根据2>0可知函数y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y随x的增大而增大，再根据函数增减性可知当x=a时函数值为边界值，然后由边界值小于3列关于a的不等式求解即可．【详解】解：∵2>0∴函数y=2x+1(a≤x≤b,a≠b)的y随x的增大而增大∴当x=a时，函数y=2x+1的函数值为边界值，∵边界值小于3∴−3<2a+1<2，解得：−2<a<1故答案为：−2<a<1【点睛】本题主要考查了阅读理解、一次函数的增减性、解不等式等知识点，理解“边界值”的定义成为解答本题的关键．【变式3-3】（2023春·辽宁阜新·八年级阜新实验中学校考期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)，点B的坐标是(−2,0)．(1)点A的坐标是，点C的坐标是；(2)请作出△ABC关于x轴对称的△A'B'C'(点A与点A'对应，点B(3)y轴上存在点P，使得PA+PC的值最小，则点P的坐标是．【答案】(1)-5,4，-1,2(2)见解析(3)0，73【分析】（1）根据坐标系写出点的坐标，即可求解；（2）根据轴对称的性质，找到A,B,C的对应点A',B（3）找到C关于y轴的对称轴点C1(1,2)，连接AC1，交y轴于点P，进而求得直线【详解】（1）解：如图，A(−5,4)，C(−1,2)．故答案为：(−5,4)，(−1,2)；（2）如图，△A

（3）如图，点P即为所求．作C关于y轴的对称轴点C1(1,2)，连接AC1，交y轴于点∵A(−5,4)，C1(1,2)，设直线AC∴−5k+b=4解得：k=−∴直线AC1的解析式为当x=0时，y=7∴点P的坐标是(0,7

故答案为：(0,7【点睛】本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，一次函数与坐标轴交点问题，轴对称的性质求线段和的最值问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．【题型4一次函数中的对称性问题】【例4】（2023春·山东德州·八年级统考期末）一次函数y=kx−5和y=2x+b（k、b为常数）的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为（

）A．k=2,b=5 B．k=−2,b=5 C．k=2,b=−5 D．k=−2,b=−5【答案】D【分析】先求出y=kx−5与y轴的交点坐标，将其代入y=2x+b即可求出b的值，再求出y=2x+b与x轴的交点，根据轴对称的性质，得出y=kx−5与x轴交点，将其代入y=kx−5即可求出k的值．【详解】解：把x=0代入y=kx−5得：y=−5，∴一次函数y=kx−5与y轴相交于0,−5，∵一次函数y=kx−5和y=2x+b（k、b为常数）的图象关于y轴对称，∴y=2x+b与y轴相交于0,−5，把0,−5代入y=2x+b得b=−5，∴一次函数y=kx−5和y=2x−5的图象关于y轴对称，把y=0代入y=2x−5得：0=2x−5，解得：x=5∴y=2x−5与x轴相交于52∴一次函数y=kx−5与x轴相交于−5把−52,0解得：k=−2，综上：k=−2,b=−5，故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数与坐标轴交点坐标的求法，以及关于y轴对称点的坐标特征．【变式4-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）关于一次函数y=2x﹣1，y=﹣2x+1的图象，下列说法正确的是（）A．关于直线y=﹣x对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称【答案】B【详解】试题分析：由y=﹣2x+1=﹣（2x﹣1）得到﹣y=2x﹣1，即可判断一次函数y=2x﹣1，y=﹣2x+1的图象关于x轴对称．解：∵y=﹣2x+1=﹣（2x﹣1），∴﹣y=2x﹣1，∴一次函数y=2x﹣1，y=﹣2x+1的图象关于x轴对称，故选B．考点：一次函数的图象．【变式4-2】（2023春·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，直线l1与l2关于直线y=1对称，若直线l1的表达式为y=−2x+3，则直线l2与A．(0,12) B．(0,23)【答案】D【分析】先求解y=−2x+3与x,y轴的交点B,A坐标，再求解A关于y=1的对称点A'【详解】解：如图，∵y=−2x+3，令x=0,y=3,令y=0,x=3∴A(0,3),B(3作A,B关于直线y=1对称的点A∵直线l1与l2关于直线y=1对称，即上图中的直线AB与直线A'∴x∴y∴A所以直线l2与y轴的交点坐标为：(0,−1).故选：D.【点睛】本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点的坐标，坐标与图形，轴对称的坐标变化，掌握数形结合的方法是解题的关键．【变式4-3】（2023春·陕西商洛·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，直线y=−3x+b与直线y=kx−1关于直线x=2对称，则k，b的值分别为（

）A．k=−3，b=11 B．k=3，b=11 C．k=13，b=1D．k=−【答案】B【分析】根据直线y=－3x＋b与直线y=kx－1关于直线x=2对称，可知这两条直线上的点也关于直线x=2对称，然后根据直线y=kx－1上的定点(0，－1)关于直线x=2的对称点(4，－1)可以求出b的值，然后根据直线y=－3x＋11与直线x=2的交点为：(2，5)也在直线y=kx－1，即可求出k的值．【详解】解：∵直线y=－3x＋b与直线y=kx－1关于直线x=2对称，∴这两条直线上的点也关于直线x=2对称，∵直线y=kx－1必过点(0，－1)，∴点(0，－1)关于直线x=2的对称点(4，－1)在直线y=－3x＋b上，∴－1=－3×4＋b，解得：b=11，∴直线y=－3x＋b即为：y=－3x＋11，∵直线y=－3x＋11与直线x=2的交点为：(2，5)，∴点(2，5)一定在直线y=kx－1上，∴5=2k－1，解得：k=3．故选：B．【点睛】本题主要考查用待定系数法一次函数的解析式和轴对称的性质，熟练掌握一次函数的图像、轴对称的性质以及利用数形结合思想是解题关键．【知识点两条直线的位置关系探究】直线（）与（）的位置关系：（1）两直线平行且（2）两直线相交（3）两直线重合且（4）两直线垂直【题型5根据两直线的平行关系求解析式】【例5】（2023春·湖北·八年级校考阶段练习）P(m，n)为坐标平面内一点，且|m|≤1，|n|≤1，过P点作直线PQ与y=−2x平行，交y轴Q(0，b)．当P点在区域内运动时，求A．3 B．2 C．1 D．4【答案】A【分析】设过PQ的直线的解析式为y=−2x+a，将Q(0，b)代入得，a=b，则y=−2x+b，将P(m，n)代入得，b=2m+n，即b=2m+n最大时，【详解】解：设过PQ的直线的解析式为y=−2x+a，将Q(0，b)代入得，∴y=−2x+b，将P(m，n)代入得，∴b=2m+n最大时，P点坐标为1，∴b=2m+n最大为b=3，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的平移．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式5-1】（2023春·陕西西安·八年级统考期末）已知某一次函数的图像与直线y=−3x+1平行，且经过点A1,2，则这个一次函数的解析式为【答案】y=−3x+5【分析】根据互相平行的两直线解析式的k值相等设出一次函数的解析式，再把点A的坐标代入解析式求解即可．【详解】解：设一次函数的表达式为y=kx+bk≠0∵一次函数的图像与直线y=−3x+1平行，且经过点A1,2∴k=−3，∴−3×1+b=2，∴b=5，∴这个一次函数的解析式为y=−3x+5．故答案为：y=−3x+5．【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．熟记平行直线的解析式的k值相等并设出一次函数解析式是解题的关键．【变式5-2】（2023春·上海浦东新·八年级校考期末）如图，点M的坐标为3,2，点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P的直线l也随之上下平移，且直线l与直线y=−x平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值为

【答案】2或3/3或2【分析】过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，与直线l相交于点A，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点，过点M作MD⊥x轴于点D，设直线l的解析式为y=−x+b，由直线l与直线y=−x平行可得∠OPA=45°，即可证明△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，进而可求出点E、F的坐标，根据中点坐标公式可求出MF和ME的中点坐标，代入y=−x+b可求出b值，即可得点P坐标，即可求解．【详解】如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，与直线l相交于点A，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．

∵直线l与直线y=−x平行，∴设直线l解析式为y=−x+b，过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2，∵直线l的解析式为y=−x+b，∴∠OPD=45°，∴∠OFE=∠OEF=45°，∴△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，∴DE=MD=2，OE=OF=1，∴E(1，0)，F(0，−1)．∵M(3，2)，F(0，−1)，∴线段MF中点坐标为(32，12∵直线y=−x+b过点(32，12∴12=−32解得：b=2，∴点P坐标为(0，2)，∴t=2．∵M(3，2)，E(1，0)，∴线段ME中点坐标为(2，1)．直线y=−x+b过点(2，1)，∴1=−2+b，解得：b=3，∴点P坐标为(0，3)，∴t=3．∴点M关于l的对称点，当t=2时，落在y轴上，当t=3时，落在x轴上．故答案为：2或3．【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换．注意在x轴、y轴上均有点M的对称点，不要漏解；其次注意点E、F坐标以及线段中点坐标的求法．【变式5-3】（2023春·广西北海·八年级统考期中）在平面直角坐标系中有两点A(−1,2)，B(2,3)，如果函数y=kx−1的图象与线段AB的延长线相交（交点不包括点B），则实数k的取值范围是．【答案】1【分析】先求出直线AB的解析式，找出两临界点即可得出答案．【详解】解：设AB的解析式为：y=kx+b；将A(−1,2)，B(2,3)代入可得2k+b=3−k+b=2解得：k=当y=kx−1与直线AB平行，此时k=1当y=kx−1过B(2,3)时，2k-1=3，则k=2，∴实数k的取值范围是：1【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，有一定难度，关键是找出两临界条件．【题型6根据两直线的交点位置求解】【例6】（2014·陕西·八年级专题练习）若一次函数y＝ax＋b的图象与一次函数y＝mx＋n的图象相交，且交点在x轴上，则a、b、m、n满足的关系式是．【答案】an=bm.【分析】根据x轴上点的坐标特征求出y＝ax＋b与x轴的交点坐标为（−b【详解】当y=0时，0＝ax＋b，解得：x∴y＝ax＋b与x轴的交点坐标为（−b将其代入y＝mx＋n中可得：m×整理可得：an即a、b、m、n满足的关系式为：.故答案为：an【点睛】本题主要考查了一次函数的基本性质，熟练掌握相关概念是解题关键.【变式6-1】（2023·贵州贵阳·统考一模）在同一平面直角坐标系中，两个一次函数y=k1x+5A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】两个函数的图象各经过一个定点，再根据k1【详解】解：一次函数y=k1x+5经过定点0,5，一次函数y=结合k1则它们的交点一定在第一象限，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数的图象，正确画出两个函数的大致图象是解题关键．【变式6-2】（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）平面直角坐标系中，已知直线l1经过原点与点P（m，2m），直线l2：y＝mx+2m﹣3（m≠0）．(1)求证：点（﹣2，﹣3）在直线l2上；(2)当m＝2时，请判断直线l1与l2是否相交？【答案】(1)见解析(2)直线l1与l2不相交【分析】（1）将所给点代入直线l2（2）求出l1解析式与l【详解】（1）把x＝﹣2代入y＝mx+2m﹣3得，y＝﹣2m+2m﹣3＝﹣3，∴点（﹣2，﹣3）在直线l2上；（2）∵直线l1经过原点与点P（m，2m），∴直线l1为y＝2x，当m＝2时，则直线l2：y＝2x+1，∵x的系数相同，∴直线l1与l2不相交．【点睛】本题考查平面直角坐标系中的直线解析式求法、点是否在直线上的判断、两直线是否相交，掌握这些是解题关键．【变式6-3】（2023春·北京朝阳·八年级统考期末）一次函数的图象经过点（-1，0）和（0，2）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）若直线y=nx与该一次函数的图象相交，且交点在第三象限，直接写出n的取值范围．【答案】（1）y=2x+2；（2）0<n<2．【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）先根据两个函数的图象相交可得n≠2，再联立两个函数的解析式求出交点坐标，然后根据“交点在第三象限”建立不等式，解不等式即可得．【详解】解：（1）设这个一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)，由题意，将点(−1,0)和(0,2)代入得：−k+b=0b=2，解得k=2则这个一次函数的表达式为y=2x+2；（2）∵直线y=nx与一次函数y=2x+2的图象相交，∴n≠2，联立y=2x+2y=nx解得x=2n−2y=∵这两个函数的交点在第三象限，∴2n−2<0解不等式①得：n<2，因为2n−2<0，要使2nn−2综上，n的取值范围是0<n<2．【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、两条直线的交点问题等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．【题型7一次函数的图象与几何图形的综合】【例7】（2023春·湖北十堰·八年级统考期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(4，b)满足关系式(a＋3)2＋b−7＝0，AB交y轴于点C，(1)①a=，b=，三角形AOB的面积=；②求点C的坐标；(2)点P在y轴上，且三角形PAB的面积为21，求点P的坐标；(3)如图2，若(2)中点P在y轴的正半轴上，过点P在AP左侧作∠APQ=∠PAB，PQ交x轴于点Q，过点Q作QR∥PB，交BA的延长线于点R，求点R的坐标．【答案】(1)①a=﹣3；b=7；212；②C(2)P（0，9）或（0，﹣3）(3)R（﹣5，2）【分析】（1）①根据2次方与算术平方根的非负性之间求a、b的值即可；利用三角形面积公式直接求△AOB的面积即可；②用待定系数法求出一次函数的解析式，然后求出图象与y的交点坐标即可；（2）设点P（0，y），根据S△APC+S△BPC=S△APB列出方程，解方程即可；（3）设点Q（x，0），根据∠APQ=∠PAB，得出PQ∥AB，根据S△APB=S△AQB列出关于x的方程，解方程求出点Q的坐标，根据平移得出点R的坐标即可．【详解】（1）解：①∵(a＋3)2＋b−7＝0，∴a+3=0，b−7=0，解得：a=﹣3，b=7；∵A（﹣3，0），B（4，7），∴S△AOB=12×3×7=故答案为：﹣3；7；212②设直线AB的解析式为y=kx+b，把A、B两点的坐标代入得：−3k+b=04k+b=7，解得：k=1∴直线AB的解析式为y=x+3，把x=0代入得：y=3，∴C（0，3）．（2）设点P（0，y），由S△APC+S△BPC=S△APB得，12解得，y=9或﹣3，∴P（0，9）或（0，﹣3）；（3）设点Q（x，0），∵∠APQ=∠PAB，∴PQ∥AB，∴S△APB=S△AQB，∴12解得：x=﹣9，∴Q（﹣9，0），∵QR∥BC，PQ∥AB，∴可由平移得R（﹣5，2）．【点睛】本题主要考查了乘方、算术平方根的非负性，待定系数法求一次函数解析式，平面直角坐标系中三角形面积的计算，平移的性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积的计算是解题的关键．【变式7-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A1，2，B5，2．若一次函数y=kx−2k≠0的图象经过C点，且与x，y

【答案】5【分析】先根据A1,2，B5,2求出点C的坐标，进而求出一次函数的解析式，再求出一次函数与坐标轴的交点，即可计算【详解】解：∵正方形ABCD的顶点A1,2，B∴BC=AB=5−1=4，∴C5,6∵一次函数y=kx−2k≠0的图象经过C∴6=5k−2，解得k=8∴一次函数为y=8令y=0，则85解得x=5∴M5令x=0，则y=−2，∴N0,−2∴OM=54，∴△OMN的面积=1【点睛】本题考查正方形的性质，一次函数的图象和性质，解题的关键是根据正方形的性质求出点C的坐标．【变式7-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，平面直角坐标系中，C(0,5)、D(a,5)，A、B在x轴上，连接AC、CD、BC，点E在BC上，连接DE,∠CAB=∠D．(1)请直接写出AB与CD的位置关系；(2)请应用（1）中结论求证：∠ACB=∠CED；(3)连接AE，若点A−52【答案】(1)AB∥CD，证明见解析；(2)证明见解析；(3)10．【分析】（1）根据纵坐标相同的两点的连线平行于x轴，即可证明AB∥CD；（2）根据∠CAB=∠D和平行线的性质，利用三角形内角和定理即可证明；（3）设CE的函数关系式为y=kx+b，求出点B的坐标，根据S△ACE（1）解：AB∥CD，证明：∵C(0,5)、D(a,5)，C、D两点的纵坐标相同，∴CD平行x轴，即AB∥CD；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCB，∵∠CAB=∠D，∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DCE+∠CED=180°，∴∠ACB=∠CED；（3）设CE的函数关系式为y=kx+b，代入点C（0，5），E（2，1），得：5=b1=2k+b解得：b=5k=−2∴CE的函数关系式为y=−2x+5，当y=0时，x=52即点B（52，0），AB=5∴S△ACE=S【点睛】本题考查一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．【变式7-3】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−34x+m分别与x轴、y轴交于点B、A，其中B点坐标为（12，0）．直线y=38(1)求点A的坐标．(2)求△BOC的面积．(3)点D为直线AB上的一个动点，过点D作x轴的垂线，与直线OC交于点E，设点D的横坐标为t，线段DE的长度为d．①求d与t的函数解析式(写出自变量的取值范围)．②当动点D在线段AC上运动，以DE为边在DE的