2024届山西省太原市高三模拟考试（三）（5月）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3山西省太原市2024届高三模拟考试（三）（5月）数学试题第I卷一、选择题1.（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗.故选：C.2.已知全集，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以或，所以；因为，所以，即..故选：A3.数据的第25百分位数为（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗将8个数据从小到大排列，得到，，故选取第2个和第3个数的平均数作为第25百分位数，即.故选：B4.的展开式中的系数为（）A.-20 B.20 C.-30 D.30〖答案〗D〖解析〗因为展开式通项为，当时，出现，即此时中含的项为，所以的系数为.故选：D.5.已知中，是的中点，且，则面积的最大值（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗因为所以，因为是中线，所以，，所以，当且仅当时，等号成立；面积为.故选：A.6.已知函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于（）A.点对称 B.点对称C.点对称 D.点对称〖答案〗D〖解析〗由函数的图象关于直线对称，则，所以，即：，解得，所以，因为，所以选项A是错误的；因为，所以选项B是错误的；因为，所以选项C是错误的；因为，所以选项D是正确的；故选：D.7.已知定义域是的函数满足对于任意都有，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以令，则，令，则，令，则，令，则，令，则，所以，，所以，故选：C.8.已知点分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆的标准方程是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，设椭圆的方程为，由在上，得，显然的内切圆与直线相切，则该圆半径为1，而，又，于是，，因此，解得，所以椭圆的标准方程是.故选：B二、选择题9.已知曲线，则下列结论正确的是（）A.曲线可能是直线 B.曲线可能是圆C.曲线可能是椭圆 D.曲线可能是双曲线〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以.对于A，当时，曲线：为直线，故A正确；对于B，如果曲线是圆，则，矛盾，故曲线不可能是圆，故B错误；对于C，当时，曲线可化为，且，表示焦点在轴上的椭圆，故C正确；对于D，当时，曲线为焦点在轴上的双曲线，故D正确.故选：ACD.10.已知是函数极值点，若，则下列结论正确的是（）A.的对称中心为 B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，因为，所以的对称中心为，故A正确；对于B，，令，解得，当时，，因为，所以，可得，当时，，因为，所以，可得，故B错误；对于C，令，解得，当或时，，是单调递增函数，当时，，是单调递减函数，所以在时有极大值，在时有极小值，如下图，当时，若，则，可得，即，解得，所以；当时，如下图，若，则，可得，即，解得，所以；综上所述，，故C正确；对于D，由C选项可知，若，，所以，故D错误.故选：AC.11.已知正方体中，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.存在点，使得平面C.不存在点，使得∥平面D.不存在点，使得平面平面〖答案〗AB〖解析〗如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，设设，则，即，对于选项A：因为，设平面的法向量，则，令，则，可得，因为，且平面，则∥平面，可知点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，又因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；对于选项B：因为，平面的法向量，若∥，则，解得，即当时，平面，故B正确；对于选项C：因为，设平面的法向量，则，令，则，可得，令，解得，即当时，∥平面，故C错误；对于选项D：令，解得，即当时，平面平面，故D错误；故选：AB.第II卷(非选择题)三、填空题12.抛物线的焦点坐标是______．〖答案〗〖解析〗抛物线即，，所以焦点坐标为.13.已知直线l过点，且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为___________.〖答案〗〖解析〗由题知，直线过点，且直线的方向向量为，点，所以，所以点到的距离为故〖答案〗为：.14.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以直角三角形的斜边为边得到的正方形).类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在内(含边界)一点，若，则的最大值为_____.〖答案〗〖解析〗，取的中点，连接，因为，故，又，所以，故，且，所以的最大值为，此时点与点重合.故〖答案〗为：四、解答题15.已知等比数列的前项和为，且也是等比数列.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）设数列的公比为，由是等比数列得，或(舍去)，.（2）由（1）得，所以，，，两式相减得，.16.为预防季节性流感，某市防疫部门鼓励居民接种流感疫苗.为了进一步研究此疫苗的预防效果，该防疫部门从市民中随机抽取了1000人进行检测，其中接种疫苗的700人中有570人未感染流感，未接种疫苗的300人中有70人感染流感.医学统计研究表明，流感的检测结果存在错检现象，即未感染者其检测结果为阳性或感染者其检测结果为阴性.已知未感染者其检测结果为阳性的概率0.01，感染者其检测结果为阳性的概率0.95.将上述频率近似看成概率.（1）根据所给数据，完成以下列联表，并依据的独立性检验，能否认为接种流感疫苗与预防流感有关?疫苗流感合计感染未感染接种未接种合计（2）已知某人流感检测结果为阳性，求此人感染流感的概率(精确到0.01).附:;0.100.050.01x2.7063.8416.635解：（1）由题意得疫苗流感合计感染未感染接种130570700未接种70230300合计2008001000零假设为:接种流感疫苗与感染流感无关，根据列联表中的数据，经计算得到根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为接种流感疫苗与感染流感有关，此推断犯错误的概率不超过；接种流感疫苗中未感染流感和感染流感的频率分别为和，未接种流感疫苗中未感染流感和感染流感的频率分别为和，根据频率稳定于概率的原理，可以认为接种疫苗时未感染流感的概率大；（2）设“某人流感检测结果为阳性”，“此人感染流感”，由题意得，，，，，，，即某人流感检测结果为阳性，则此人感染流感的概率约为.17.如图，四棱柱的底面是平行四边形，底面，.（1）求证：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：底面，底面，在中，，则，，，，平面，平面，，平面，且平面，平面平面；（2）解：由（1）知，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，设是平面的一个法向量，则取，则，，；与平面所成角的正弦值为；（3）解：设是平面的一个法向量，则取，则，，平面与平面夹角的余弦值为.18.已知双曲线的左、右顶点分别为与，点在上，且直线与的斜率之和为.（1）求双曲线的方程;（2）过点的直线与交于两点(均异于点)，直线与直线交于点，求证:三点共线.（1）解：由题意得，且（2）证明：由（1）得，设直线方程为，则，由得，直线的方程为，令，则，，所以三点共线.19.已知函数．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）设满足，证明：．（1）解：函数的定义域为，求导得，令，求导得，即函数在上递增，则，即，于是，由，得；由，得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，，解得，所以实数的取值范围.（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，而，由，得，令，求导得，设，求导得，设，求导得，令，求导得，当时，，当时，，函数，即在上递减，在上递增，，函数在上递增，于是，即，函数在上递增，当时，则有，即，因此，函数在上递减，则，从而，即，显然，又函数在上单调递增，则，所以.山西省太原市2024届高三模拟考试（三）（5月）数学试题第I卷一、选择题1.（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗.故选：C.2.已知全集，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以或，所以；因为，所以，即..故选：A3.数据的第25百分位数为（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗B〖解析〗将8个数据从小到大排列，得到，，故选取第2个和第3个数的平均数作为第25百分位数，即.故选：B4.的展开式中的系数为（）A.-20 B.20 C.-30 D.30〖答案〗D〖解析〗因为展开式通项为，当时，出现，即此时中含的项为，所以的系数为.故选：D.5.已知中，是的中点，且，则面积的最大值（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗因为所以，因为是中线，所以，，所以，当且仅当时，等号成立；面积为.故选：A.6.已知函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于（）A.点对称 B.点对称C.点对称 D.点对称〖答案〗D〖解析〗由函数的图象关于直线对称，则，所以，即：，解得，所以，因为，所以选项A是错误的；因为，所以选项B是错误的；因为，所以选项C是错误的；因为，所以选项D是正确的；故选：D.7.已知定义域是的函数满足对于任意都有，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以令，则，令，则，令，则，令，则，令，则，所以，，所以，故选：C.8.已知点分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，的内切圆的圆心为，则椭圆的标准方程是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，设椭圆的方程为，由在上，得，显然的内切圆与直线相切，则该圆半径为1，而，又，于是，，因此，解得，所以椭圆的标准方程是.故选：B二、选择题9.已知曲线，则下列结论正确的是（）A.曲线可能是直线 B.曲线可能是圆C.曲线可能是椭圆 D.曲线可能是双曲线〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以.对于A，当时，曲线：为直线，故A正确；对于B，如果曲线是圆，则，矛盾，故曲线不可能是圆，故B错误；对于C，当时，曲线可化为，且，表示焦点在轴上的椭圆，故C正确；对于D，当时，曲线为焦点在轴上的双曲线，故D正确.故选：ACD.10.已知是函数极值点，若，则下列结论正确的是（）A.的对称中心为 B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，因为，所以的对称中心为，故A正确；对于B，，令，解得，当时，，因为，所以，可得，当时，，因为，所以，可得，故B错误；对于C，令，解得，当或时，，是单调递增函数，当时，，是单调递减函数，所以在时有极大值，在时有极小值，如下图，当时，若，则，可得，即，解得，所以；当时，如下图，若，则，可得，即，解得，所以；综上所述，，故C正确；对于D，由C选项可知，若，，所以，故D错误.故选：AC.11.已知正方体中，是的中点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.存在点，使得平面C.不存在点，使得∥平面D.不存在点，使得平面平面〖答案〗AB〖解析〗如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，设设，则，即，对于选项A：因为，设平面的法向量，则，令，则，可得，因为，且平面，则∥平面，可知点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，又因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；对于选项B：因为，平面的法向量，若∥，则，解得，即当时，平面，故B正确；对于选项C：因为，设平面的法向量，则，令，则，可得，令，解得，即当时，∥平面，故C错误；对于选项D：令，解得，即当时，平面平面，故D错误；故选：AB.第II卷(非选择题)三、填空题12.抛物线的焦点坐标是______．〖答案〗〖解析〗抛物线即，，所以焦点坐标为.13.已知直线l过点，且直线l的一个方向向量为，则坐标原点O到直线l的距离d为___________.〖答案〗〖解析〗由题知，直线过点，且直线的方向向量为，点，所以，所以点到的距离为故〖答案〗为：.14.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以直角三角形的斜边为边得到的正方形).类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，且，点在上，，点在内(含边界)一点，若，则的最大值为_____.〖答案〗〖解析〗，取的中点，连接，因为，故，又，所以，故，且，所以的最大值为，此时点与点重合.故〖答案〗为：四、解答题15.已知等比数列的前项和为，且也是等比数列.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）设数列的公比为，由是等比数列得，或(舍去)，.（2）由（1）得，所以，，，两式相减得，.16.为预防季节性流感，某市防疫部门鼓励居民接种流感疫苗.为了进一步研究此疫苗的预防效果，该防疫部门从市民中随机抽取了1000人进行检测，其中接种疫苗的700人中有570人未感染流感，未接种疫苗的300人中有70人感染流感.医学统计研究表明，流感的检测结果存在错检现象，即未感染者其检测结果为阳性或感染者其检测结果为阴性.已知未感染者其检测结果为阳性的概率0.01，感染者其检测结果为阳性的概率0.95.将上述频率近似看成概率.（1）根据所给数据，完成以下列联表，并依据的独立性检验，能否认为接种流感疫苗与预防流感有关?疫苗流感合计感染未感染接种未接种合计（2）已知某人流感检测结果为阳性，求此人感染流感的概率(精确到0.01).附:;0.100.050.01x2.7063.8416.635解：（1）由题意得疫苗流感合计感染未感染接种130570700未接种70230300合计2008001000零假设为:接种流感疫苗与感染流感无关，根据列联表中的数据，经计算得到根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为接种流感疫苗与感染流感有关，此推断犯错误的概率不超过；接种流感疫苗中未感染流感和感染流感的频率分别为和，未接种流感疫苗中未感染流感和感染流感的频率分别为和，根据频率稳定于概率的原理，可以认为接种疫苗时未感染流感的概率大；（2）设“某人流感检测结果为阳性”，“此