2024届天津市红桥区高三下学期二模数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2天津市红桥区2024届高三下学期二模数学试卷第Ⅰ卷参考公式：·柱体体积公式：，其中s表示柱体底面积，h表示柱体的高．·锥体体积公式：，其中表示锥体底面积，h表示锥体的高．·球体表面积公式：，其中R表示球体的半径．·球体体积公式：，其中R表示球体的半径．·如果事件A，B互斥，那么．·对于事件A，B，，那么.一、选择题1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根据并集、补集的定义计算可得.【详析】因为，，所以，又，所以.故选：A2.下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A：因为在定义域上单调递增，所以由可以得到，故充分性成立，由可以推得出，故必要性成立，所以是的充要条件，故A错误；对于B：因为在定义域上单调递减，由可得，故充分性成立，由不一定得到，故必要性不成立，故是的充分不必要条件，故B正确；对于C：当，时满足，但是不成立，即充分性不成立，当，时满足，但是，故必要性不成立，所以是的既不充分又不必要条件，故C错误；对于D：当，时满足，但是不成立，即充分性不成立，当，时满足，但是不成立，即必要性不成立，所以是的既不充分又不必要条件，故D错误.故选：B3.函数的图象大致是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗当时，，可排除A，，令，解得或，所以在和上单调递增；在上单调递减；结合图象可得C正确；故选：C.4.某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为，以后按约定自动转存，那么该同学在年元旦可以得到本利和为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗记年后得到的本利和为，根据题意知，即数列是一个首项为，公比为的等比数列，∴该同学年元旦在银行存款万元，年元旦即年后得到的本利和为：（元）.故选：A5.如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设圆锥的半径为，高为，母线长为，则母线长为，所以圆锥的侧面积是，半球的面积，由题意可得，解得，所以圆锥体积为，半球的体积为，所以此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为，故选：B.6.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，而，所以a，b，c的大小关系为.故选：C7.已知是函数图象的一个对称中心，则（）A.函数的图象可由向左平移个单位长度得到B.函数在区间上有两个极值点C.直线是函数图象对称轴D.函数在区间上单调递减〖答案〗D〖解析〗由已知可得，可得，因为，所以，所以，对于A：由向左平移个单位长度得到，故A错误；对于B：当时，，设，则由正弦函数图像可知，只有一个极值点，故B错误；对于C：，所以直线不是函数图象的对称轴，故C错误；对于D：当时，，由正弦函数的单调性可得在此区间内单调递减，故D正确；故选：D8.2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI）如下图所示：有下列说法：①从2022年7月到2023年7月，这13个月的PMI的极差为5.6%；②PMI大于50%，表示经济处于扩张活跃的状态，PMI小于50%，表示经济处于低迷萎缩的状态，则2023年1月到2023年3月，经济处于扩张活跃的状态；③从2023年1月到2023年7月，这7个月的PMI的第75百分位数为51.9%；④2023年7月份，PMI为49.3%，比上月上升0.3个百分点．其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗D〖解析〗①由图可得这13个月的PMI的最大值为52.6%，最小为47.0%，所以极差为，故①正确；②由图可得，2023年1月到2023年3月的PMI分别为50.1%，52.6%，51.9%均大于50%，故②正确；③从2023年1月到2023年7月的PMI的值从小到大排列为，因为，所以这7个月的PMI的第75百分位数为第六个数是51.9%，故③正确；④2023年7月份，PMI为49.3%，6月份PMI为49.0%，所以比上月上升0.3个百分点，故④正确；所以正确的个数为4个，故选：D.9.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设抛物线的准线为，过作于，过作于点，过作于，设，因为，所以，所以，所以，在中，，所以，因为，所以，又，所以，又由，可得，所以，所以，所以，所以.故选：B.第Ⅱ卷二、填空题10.i是虚数单位，则复数________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：11.在的展开式中，的系数为________.（用数字作答）〖答案〗〖解析〗展开的通项为，令，得，此时的系数为.故〖答案〗为：.12.已知，，则______．〖答案〗〖解析〗由题设，则且，所以，即，故.故〖答案〗为：13.某同学高考后参加国内3所名牌大学的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学招生考试的概率分别为，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为______；该同学恰好通过两所大学招生考试的概率最大值为______．〖答案〗〖解析〗该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，∴该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率所以该同学至少通过1所大学招生考试的概率为，由得，，所以，即，解得或，即或，又∵，，，，∴当时，该同学恰好通过两所大学招生考试的概率取得最大值．故〖答案〗为：．14.太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O且两端点M，N分别在两个半圆上，点P是大圆上一动点，令，，若，则________；的最小值为________．〖答案〗0〖解析〗由圆的对称性可得为的中点，所以，；，因为，所以，所以当取得最大值2时，的最小值为0,；故〖答案〗为：；0.15.函数有且只有一个零点，则m的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗由题意可得，问题等价于与有且只有一个交点.分别作图如下：考虑他们的临界情况，即与相切时，如上图，即与相切时，仅有一个交点.设切点为，则，所以，，所以，即，但因为与有且仅有一个交点，所以，即，故〖答案〗为：.三、解答题16.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）因为，由正弦定理可得，所以，又，所以；（2）由余弦定理，即，所以（负值已舍去）；（3）由，，所以，所以，，所以.17.在如图所示的几何体中，平面，，四边形为平行四边形，，，，．（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角正弦值；（3）求平面与平面夹角的正弦值．（1）证明：因为平面，，如图建立空间直角坐标系，因为四边形为平行四边形，，，，，则，，，解得（负值已舍去），则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取，所以，即，又平面，所以平面.（2）解：因为，，设平面的法向量为，则，取，所以，所以直线与平面所成角正弦值为.（3）解：设平面与平面夹角为，则，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为.18.已知椭圆过点，长轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于不同的两点、，直线、分别与直线交于点、，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标．（1）解：因为椭圆的长轴为，可得，将点的坐标代入椭圆的方程可的，可得，因此，椭圆的标准方程为.（2）解：如图，直线与椭圆方程联立，化简得，，即.设、，则，．直线的方程为，则，直线的方程为，则，因为，所以，所以，所以，把韦达定理代入整理得，所以，或，当时，直线方程为，此时，直线过定点，不符合题意，所以舍去；当时，直线方程为，直线过定点，合乎题意.综上所述，直线经过定点，且定点坐标为.19.已知是等差数列，是公比为正数的等比数列，且，，，．（1）求数列{，的通项公式；（2）设，（ⅰ）求；（ⅱ）求．解：（1）设的首项为，公差为，的公比为，因为，，所以，解得或（舍），所以，即，所以，又，，即，解得，所以，即（2）（ⅰ）因为，则，则；（ⅱ）因为，所以.20.已知函数，其中为常数.（1）若，求函数的极值；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（3）若，设函数在上的极值点为，求证：.解：（1）当时，，定义域为，，令，得.极大值当时，的极大值为，无极小值.（2），由题意对恒成立.，，对恒成立，对恒成立.令，，则，①若，即，则对恒成立，在上单调递减，则，，与矛盾，舍去；②若，即，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，.综上.（3）当时，，，令，，则，令，得，①当时，，单调递减，，恒成立，单调递减，且.②当时，，单调递增，又，存在唯一，使得，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，由①和②可知，在单调递增，在上单调递减，当时，取极大值.，，，又，，.天津市红桥区2024届高三下学期二模数学试卷第Ⅰ卷参考公式：·柱体体积公式：，其中s表示柱体底面积，h表示柱体的高．·锥体体积公式：，其中表示锥体底面积，h表示锥体的高．·球体表面积公式：，其中R表示球体的半径．·球体体积公式：，其中R表示球体的半径．·如果事件A，B互斥，那么．·对于事件A，B，，那么.一、选择题1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根据并集、补集的定义计算可得.【详析】因为，，所以，又，所以.故选：A2.下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A：因为在定义域上单调递增，所以由可以得到，故充分性成立，由可以推得出，故必要性成立，所以是的充要条件，故A错误；对于B：因为在定义域上单调递减，由可得，故充分性成立，由不一定得到，故必要性不成立，故是的充分不必要条件，故B正确；对于C：当，时满足，但是不成立，即充分性不成立，当，时满足，但是，故必要性不成立，所以是的既不充分又不必要条件，故C错误；对于D：当，时满足，但是不成立，即充分性不成立，当，时满足，但是不成立，即必要性不成立，所以是的既不充分又不必要条件，故D错误.故选：B3.函数的图象大致是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗当时，，可排除A，，令，解得或，所以在和上单调递增；在上单调递减；结合图象可得C正确；故选：C.4.某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为，以后按约定自动转存，那么该同学在年元旦可以得到本利和为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗记年后得到的本利和为，根据题意知，即数列是一个首项为，公比为的等比数列，∴该同学年元旦在银行存款万元，年元旦即年后得到的本利和为：（元）.故选：A5.如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设圆锥的半径为，高为，母线长为，则母线长为，所以圆锥的侧面积是，半球的面积，由题意可得，解得，所以圆锥体积为，半球的体积为，所以此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为，故选：B.6.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，而，所以a，b，c的大小关系为.故选：C7.已知是函数图象的一个对称中心，则（）A.函数的图象可由向左平移个单位长度得到B.函数在区间上有两个极值点C.直线是函数图象对称轴D.函数在区间上单调递减〖答案〗D〖解析〗由已知可得，可得，因为，所以，所以，对于A：由向左平移个单位长度得到，故A错误；对于B：当时，，设，则由正弦函数图像可知，只有一个极值点，故B错误；对于C：，所以直线不是函数图象的对称轴，故C错误；对于D：当时，，由正弦函数的单调性可得在此区间内单调递减，故D正确；故选：D8.2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI）如下图所示：有下列说法：①从2022年7月到2023年7月，这13个月的PMI的极差为5.6%；②PMI大于50%，表示经济处于扩张活跃的状态，PMI小于50%，表示经济处于低迷萎缩的状态，则2023年1月到2023年3月，经济处于扩张活跃的状态；③从2023年1月到2023年7月，这7个月的PMI的第75百分位数为51.9%；④2023年7月份，PMI为49.3%，比上月上升0.3个百分点．其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗D〖解析〗①由图可得这13个月的PMI的最大值为52.6%，最小为47.0%，所以极差为，故①正确；②由图可得，2023年1月到2023年3月的PMI分别为50.1%，52.6%，51.9%均大于50%，故②正确；③从2023年1月到2023年7月的PMI的值从小到大排列为，因为，所以这7个月的PMI的第75百分位数为第六个数是51.9%，故③正确；④2023年7月份，PMI为49.3%，6月份PMI为49.0%，所以比上月上升0.3个百分点，故④正确；所以正确的个数为4个，故选：D.9.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点C，则的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设抛物线的准线为，过作于，过作于点，过作于，设，因为，所以，所以，所以，在中，，所以，因为，所以，又，所以，又由，可得，所以，所以，所以，所以.故选：B.第Ⅱ卷二、填空题10.i是虚数单位，则复数________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：11.在的展开式中，的系数为________.（用数字作答）〖答案〗〖解析〗展开的通项为，令，得，此时的系数为.故〖答案〗为：.12.已知，，则______．〖答案〗〖解析〗由题设，则且，所以，即，故.故〖答案〗为：13.某同学高考后参加国内3所名牌大学的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学招生考试的概率分别为，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为______；该同学恰好通过两所大学招生考试的概率最大值为______．〖答案〗〖解析〗该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，∴该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率所以该同学至少通过1所大学招生考试的概率为，由得，，所以，即，解得或，即或，又∵，，，，∴当时，该同学恰好通过两所大学招生考试的概率取得最大值．故〖答案〗为：．14.太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O且两端点M，N分别在两个半圆上，点P是大圆上一动点，令，，若，则________；的最小值为________．〖答案〗0〖解析〗由圆的对称性可得为的中点，所以，；，因为，所以，所以当取得最大值2时，的最小值为0,；故〖答案〗为：；0.15.函数有且只有一个零点，则m的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗由题意可得，问题等价于与有且只有一个交点.分别作图如下：考虑他们的临界情况，即与相切时，如上图，即与相切时，仅有一个交点.设切点为，则，所以，，所以，即，但因为与有且仅有一个交点，所以，即，故〖答案〗为：.三、解答题16.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）因为，由正弦定理可得，所以，又，所以；（2）由余弦定理，即，所以（负值已舍去）；（3）由，，所以，所以，，所以.17.在如图所示的几何体中，平面，，四边形为平行四边形，，，，．（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角正弦值；（3）求平面与平面夹角的正弦值．（1）证明：因为平面，，如图建立空间直角坐标系，因为四边形为平行四边形，，，，，则，，，解得（负值已舍去），则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，取，所以，即，又平面，所以平面.（2）解：因为，，设平面的法向量为，则，取，所