2024届重庆市乌江新高考协作体高三下学期模拟监测（三）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3重庆市乌江新高考协作体2024届高三下学期模拟监测（三）数学试题一、选择题1.已知表示空间中两条不同的直线，表示一个平面，且∥，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗如图，在长方体中，设取为直线，取为平面，取为直线，满足但，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A2.已知是虚数单位，复数的实部、虚部分别为3，2，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因为复数的实部、虚部分别为3，2，所以，所以，在复平面内对应的点为，在第一象限，故选：A.3.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，.又，，所以，，则，则，所以是首项为和公差均为的等差数列，所以，所以，所以.故选：C.4.《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，的中点分别为，，连接，取的中点．直三棱柱中，，，四边形是平行四边形，有，因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，，分别是，的外接圆圆心．因为平面，所以平面，所以为的外接球的球心．连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即，，则，，可得，，所以三棱柱的表面积，故选：C．5.设为某正方体的一条体对角线，为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集，若从中任选两点连成线段，则与垂直的线段数目是（）A.12 B.21 C.27 D.33〖答案〗C〖解析〗如图正方体，设直线为直线，如下图所示，对应棱上点为对应棱的中点，连接，因为四边形为正方形，则，平面，平面，，，平面，平面，平面，，同理可证，又，平面，平面，故所有与垂直直线在平面内或与平面平行，易知与平面平行的平面有平面、平面、平面、平面，所以满足条件的且与对角线垂直的线段共（个）.故选：C.6.设A，B，C，D为抛物线上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点D处的切线l.设点D到直线和直线的距离分别为，，已知.则（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由题意可设，，，.抛物线方程，即，由，所以点D处切线的斜率为，，，，因此，即，平行于轴，，则点D到直线和直线的距离相等，即.又，，所以.所以.故选：B.7.设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，即，所以，又，所以在上单调递增，即，所以，且，令，，则，其中，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，有极大值，即最大值，所以，，所以.故选：B8.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，则.当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故.令，则.当时，，单调递减，则，即.故.故选：A.二、多项选择题9.某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A.a＝0.028B.在4000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C.估计短视频观众的平均年龄为32岁D.估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁〖答案〗CD〖解析〗对于A，∵(0.015＋0.033＋a＋0.011＋0.011)×10=1，∴a=0.03，故A错误；对于B，由频率分布直方图，短视频观众年龄在10～20岁的对应频率为0.15，∴短视频观众年龄在10~20岁的有4000×0.15=600(人)，故B错误；对于C，平均年龄为＝(0.015×15＋0.033×25＋0.03×35＋0.011×45＋0.011×55)×10=32(岁)，故C正确；对于D，设75%分位数为x，由年龄在10~20岁和20~30岁两组频率是(0.015＋0.033)×10=0.48，又年龄在10~20岁和20~30岁，30~40岁三组频率是(0.015＋0.033+0.03)×10=0.78，所以75%分位数位于年龄在30~40岁这一组，则0.015×10＋0.033×10＋(x-30)×0.03=0.75，解得x=39，故D正确.故选：CD.10.如图，将一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）A.当时，正四棱锥的侧面积为B.当时，正四棱锥的体积为C.当时，正四棱锥外接球的体积为D.正四棱锥的体积最大值为〖答案〗BCD〖解析〗用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示：对于A：当时，即，由题意可得的边上的高为2，所以侧面面积为，故A错误；对于B：当时，由题意可得侧面斜高，，可得，所以，故B正确；对于C：当时，可得，，正四棱锥外接球的球心在直线上，设外接球的半径为，则，解得，所以正四棱锥外接球的体积为，故C正确；对于D：可得，，，令，则，求导得，令，则，解得，当，，，，所以，此时时取等号，故D正确.故选：BCD.11.已知，动点满足，则下列结论正确的是（）A.点的轨迹围成的图形面积为B.的最小值为C.是的任意两个位置点，则D.过点的直线与点的轨迹交于点，则的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗由得：，即，点的轨迹为圆心，半径的圆.对于A：面积为，故A正确；对于B：点B在圆内，由图知，当共线的时候等号成立，所以最小值为，故B正确，对于C：因为，，所以过A向圆引切线，切线长等于，则两条切线夹角为，故C不正确.对于D：斜率不存在时，过点的直线方程为，此时；斜率存在时，过点的直线方程为，即，则圆心到该直线的距离，由圆的几何性质，，当时，；当时，；当时，，当且仅当即时取等号，综上所述，的最小值为，故D正确.故选：ABD.三、填空题12.已知，则最小值为____________.〖答案〗〖解析〗由，得，即，解得.，表示点与点的距离之和.如图，点关于x轴的对称点为，连接，则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为.故〖答案〗为：13.若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有______个．〖答案〗5〖解析〗由题意知，，令，，此时，而，，，则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，当时，，一个周期内有两个零点，则或；当时，，一个周期内有三个零点，，则需要个周期，即；当时，此时，解得，若，此时，则一个周期内有四个零点，则需要个周期，即；若，此时，，则一个周期内有三个零点，，个周期恰好个零点，个周期是个零点，个周期则个零点，此时不符题意，若，此时，一个周期内有两个零点，则或.综上所述，这样的正整数有个，分别是.故〖答案〗为：14.设，则的最大值为___________.〖答案〗2〖解析〗设，则，，当且仅当，时，等号成立，故.令，解得，，所以，当，时，等号成立.故〖答案〗为：2.四、解答题15.已知函数，．（1）若，求函数的极值；（2）试讨论函数的单调性．解：（1）若，，定义域为，则，令，可得，由，可得，所以在上单调递增，由，可得，所以在上单调递减，所以在处取得极小值，极小值为，无极大值；（2）的定义域为，，，当时，，则在上单调递减，当时，令，可得或，因为，所以舍去，所以当时，，则在上单调递减，所以当时，，则在上单调递增，综上，当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增.16.在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给出真实答复，因此需要特别的调查方法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．某单位为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查．问卷调查中设置了两个问题：①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意．调查分两个环节，第一个环节：确定回答的问题，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题，第二个环节：填写问卷（问卷中不含问题，只有“是”与“否”）．已知统计问卷中有198个“是”．（参考数据：）（1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计员工对新考勤管理方案满意的概率；（2）据核实，以上的300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人，试判断是否有97.5%的把握认为与对新考勤管理方案是否满意与性别有关；参考公式和数据如下：，．0.150.100.050.0250.0052.0722.7063.8415.0247.879（3）从该单位任取10人，恰有X人对考勤管理方案不满意，利用（1）中的结果，写出的表达式（其中，），并求出X的数学期望.解：（1）由题意摸到两球同色的概率为，所以回答第一个问题有人，则回答第二个问题有人，由题意可知公历生日是奇数的概率是，所以回答第一个问题，选择“是”的同学人数为人，则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为人，所以员工对新考勤管理方案满意的概率；（2）由题意，列联表如下：对新考勤管理方案满意对新考勤管理方案不满意合计男员工女员工合计285，所以有97.5%的把握认为与对新考勤管理方案是否满意与性别有关；（3）由题意可知，则，所以.17.已知椭圆的离心率为，长轴长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，过点且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，F两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使得．若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可得，，所以，所以椭圆C的标准方程为.（2）假设存在x轴上的定点，使得.则结合图可得，所以.由题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，设，，由得，，

，则，且.因为直线ET的斜率为，直线的斜率为，由得.因为，，所以，即，所以，所以，则，所以在x轴上存在一个定点，使得．18.如图,在三棱锥中，分别是侧棱的中点，，平面.（1）求证：平面平面；（2）如果，且三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.（1）证明：分别是侧棱的中点，，，平面，平面，，又平面，平面，又平面，平面平面.（2）解：平面，平面，，，又由题意得是等腰直角三角形，，此时易算三棱锥体积为：，故符合题意.平面，，平面，又平面，，两两垂直，如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系，则，故设平面的法向量为，则有，可取，平面，即为平面的一条法向量，故，由三棱锥的体积和法向量的方向可知，二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.19.在数学中，把只能被自己和1整除的大于1自然数叫做素数（质数）.历史上研究素数在自然数中分布规律的公式有“费马数”；还有“欧拉质数多项式”：.但经后人研究，这两个公式也有局限性.现有一项利用素数的数据加密技术—DZB数据加密协议：将一个既约分数的分子分母分别乘以同一个素数，比如分数的分子分母分别乘以同一个素数19，就会得到加密数据.这个过程叫加密，逆过程叫解密.（1）数列中经DZB数据加密协议加密后依次变为.求经解密还原的数据的数值；（2）依据的数值写出数列的通项公式（不用严格证明但要检验符合）.并求数列前项的和；（3）为研究“欧拉质数多项式”性质，构造函数是方程的两个根是的导数.设.证明：对任意的正整数，都有.（本小题数列不同于第（1）（2）小题）（1）解：根据费马数求得.（2）解：根据上面的数据得数列的这项公式为经检验：的数值符合该公式.数列前项的（3）证明：由依次可得（基本不等式取等条件不成立.）.重庆市乌江新高考协作体2024届高三下学期模拟监测（三）数学试题一、选择题1.已知表示空间中两条不同的直线，表示一个平面，且∥，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗如图，在长方体中，设取为直线，取为平面，取为直线，满足但，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A2.已知是虚数单位，复数的实部、虚部分别为3，2，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因为复数的实部、虚部分别为3，2，所以，所以，在复平面内对应的点为，在第一象限，故选：A.3.假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，.又，，所以，，则，则，所以是首项为和公差均为的等差数列，所以，所以，所以.故选：C.4.《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且．若球的表面积为，则这个三棱柱的表面积是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，的中点分别为，，连接，取的中点．直三棱柱中，，，四边形是平行四边形，有，因为三棱柱的底面是直角三角形，，所以，，，分别是，的外接圆圆心．因为平面，所以平面，所以为的外接球的球心．连接，因为球的表面积为，所以球的半径为1，即，，则，，可得，，所以三棱柱的表面积，故选：C．5.设为某正方体的一条体对角线，为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集，若从中任选两点连成线段，则与垂直的线段数目是（）A.12 B.21 C.27 D.33〖答案〗C〖解析〗如图正方体，设直线为直线，如下图所示，对应棱上点为对应棱的中点，连接，因为四边形为正方形，则，平面，平面，，，平面，平面，平面，，同理可证，又，平面，平面，故所有与垂直直线在平面内或与平面平行，易知与平面平行的平面有平面、平面、平面、平面，所以满足条件的且与对角线垂直的线段共（个）.故选：C.6.设A，B，C，D为抛物线上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点D处的切线l.设点D到直线和直线的距离分别为，，已知.则（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由题意可设，，，.抛物线方程，即，由，所以点D处切线的斜率为，，，，因此，即，平行于轴，，则点D到直线和直线的距离相等，即.又，，所以.所以.故选：B.7.设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得，即，所以，又，所以在上单调递增，即，所以，且，令，，则，其中，令，则，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，有极大值，即最大值，所以，，所以.故选：B8.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，则.当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故.令，则.当时，，单调递减，则，即.故.故选：A.二、多项选择题9.某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A.a＝0.028B.在4000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C.估计短视频观众的平均年龄为32岁D.估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁〖答案〗CD〖解析〗对于A，∵(0.015＋0.033＋a＋0.011＋0.011)×10=1，∴a=0.03，故A错误；对于B，由频率分布直方图，短视频观众年龄在10～20岁的对应频率为0.15，∴短视频观众年龄在10~20岁的有4000×0.15=600(人)，故B错误；对于C，平均年龄为＝(0.015×15＋0.033×25＋0.03×35＋0.011×45＋0.011×55)×10=32(岁)，故C正确；对于D，设75%分位数为x，由年龄在10~20岁和20~30岁两组频率是(0.015＋0.033)×10=0.48，又年龄在10~20岁和20~30岁，30~40岁三组频率是(0.015＋0.033+0.03)×10=0.78，所以75%分位数位于年龄在30~40岁这一组，则0.015×10＋0.033×10＋(x-30)×0.03=0.75，解得x=39，故D正确.故选：CD.10.如图，将一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）A.当时，正四棱锥的侧面积为B.当时，正四棱锥的体积为C.当时，正四棱锥外接球的体积为D.正四棱锥的体积最大值为〖答案〗BCD〖解析〗用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示：对于A：当时，即，由题意可得的边上的高为2，所以侧面面积为，故A错误；对于B：当时，由题意可得侧面斜高，，可得，所以，故B正确；对于C：当时，可得，，正四棱锥外接球的球心在直线上，设外接球的半径为，则，解得，所以正四棱锥外接球的体积为，故C正确；对于D：可得，，，令，则，求导得，令，则，解得，当，，，，所以，此时时取等号，故D正确.故选：BCD.11.已知，动点满足，则下列结论正确的是（）A.点的轨迹围成的图形面积为B.的最小值为C.是的任意两个位置点，则D.过点的直线与点的轨迹交于点，则的最小值为〖答案〗ABD〖解析〗由得：，即，点的轨迹为圆心，半径的圆.对于A：面积为，故A正确；对于B：点B在圆内，由图知，当共线的时候等号成立，所以最小值为，故B正确，对于C：因为，，所以过A向圆引切线，切线长等于，则两条切线夹角为，故C不正确.对于D：斜率不存在时，过点的直线方程为，此时；斜率存在时，过点的直线方程为，即，则圆心到该直线的距离，由圆的几何性质，，当时，；当时，；当时，，当且仅当即时取等号，综上所述，的最小值为，故D正确.故选：ABD.三、填空题12.已知，则最小值为____________.〖答案〗〖解析〗由，得，即，解得.，表示点与点的距离之和.如图，点关于x轴的对称点为，连接，则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为.故〖答案〗为：13.若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有______个．〖答案〗5〖解析〗由题意知，，令，，此时，而，，，则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，当时，，一个周期内有两个零点，则或；当时，，一个周期内有三个零点，，则需要个周期，即；当时，此时，解得，若，此时，则一个周期内有四个零点，则需要个周期，即；若，此时，，则一个周期内有三个零点，，个周期恰好个零点，个周期是个零点，个周期则个零点，此时不符题意，若，此时，一个周期内有两个零点，则或.综上所述，这样的正整数有个，分别是.故〖答案〗为：14.设，则的最大值为___________.〖答案〗2〖解析〗设，则，，当且仅当，时，等号成立，故.令，解得，，所以，当，时，等号成立.故〖答案〗为：2.四、解答题15.已知函数，．（1）若，求函数的极值；（2）试讨论函数的单调性．解：（1）若，，定义域为，则，令，可得，由，可得，所以在上单调递增，由，可得，所以在上单调递减，所以在处取得极小值，极小值为，无极大值；（2）的定义域为，，，当时，，则在上单调递减，当时，令，可得或，因为，所以舍去，所以当时，，则在上单调递减，所以当时，，则在上单调递增，综上，当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增.16.在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给出真实答复，因此需要特别的调查方法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．某单位为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：随机选取150名男员工和150名女员工进行问卷调查．问卷调查中设置了两个问题：①你公历生日是奇数吗？②你对新考勤管理方案是否满意．调查分两个环节，第一个环节：确定回答的问题，让被调查者从装有4个红球，6个黑球（除颜色外完全相同）的袋子中随机摸取两个球．摸到两球同色的员工如实回答第一个问题，摸到两球异色的员工如实回答第二个问题，第二个环节：填写问卷（问卷中不含问题，只有“是”与“否”）．已知统计问卷中有198个“是”．（参考数据：）（1）根据以上的调查结果，利用你所学的知识，估计员工对新考勤管理方案满意的概率；（2）据核实，以上的300名员工中有15名员工对新考勤管理方案不满意，其中男3人，女12人，试判断是否有97.5%的把握认为与对新考勤管理方案是否满意与性别有关；参考公式和数据如下：，．0.150.100.050.0250.0052.0722.7063.8415.0247.879（3）从该单位任取10人，恰有X人对考勤管理方案不满意，利用（1）中的结果，写出的表达式（其中，），并求出X的数学期望.解：（1）由题意摸到两球同色的概率为，所以回答第一个问题有人，则回答第二个问题有人，由题意可知公历生日是奇数的概率是，所以回答第一个问题，选择“是”的同学人数为人，则回答第二个问题，选择“是”的同学人数为人，所