高中数学二轮思维提升能力拓展研究性讲义

专题I集合、常用逻辑用语中相关问题的再研究

【易错题】

1.（教L1例2）用列举法表示A=ewZ,=

2.（教L2基7）集合M=卜|04依+1W3},N={4lWx<4},若MUN=N,则

实数。的取值范围是

3.（教L2例3）已知集合A=卜,？-加工+加？-7=（）},8=Mx?-3x+2=o},

。=砧2+4"5=0根足且AnC=0，则实数m=

4.（2011届高三苏州期末考试19题改编）不等式的解集为

m4

5.（教L3基6改编）命题“<^>1,/+%+1>0”的否定为

k-2X

6.（教L3基8改编）函数g（x）=------为奇函数，则实数2的取值集合为

\+k-2

7.（同心圆梦3）满足AU8={1,2}的集合共组；满足集合关系

AU&u&U…UA“={q,/,/，…，4}（〃€N’）的集合4,…,A“共有组

8.（三角形中的充要关系的判断）在A46C中，是sinA>sinB的

条件；在AA8（中，A>B是cosA<cos6的条件；在八46（中，

sin4>co6是AA3C为锐角三角形的条件

【专题研究、方法梳理】

专题1整数型（整除性）问题丽

类型1：方程型的整数型（整除性）问题

引例1（理科做）：已知二项式（网—：）”，其中“eN,且3W〃W2012,在其二项展开式

中，若存在连续三项的三项芭系数成等差数列，问这样的〃共有多少个？

引例2：已知，=！(1—L),问是否存在正整数机，n,且1＜机＜〃，使得T”Tm,

33〃+1

7；成等比数列？若存在，求出〃?，〃的值，若不存在，说明理由？

类型2：不等型的整数型(整除性)问题

引例3：已知数列｛4｝的通项公式为q=白，S”是其前n项的和，问是否存在正整数

m,n,使得;"一二成立?若存在，求出所有符合条件的有序实数对(根,〃)；若

不存在，请说明理由.

练习：

1.已知等差数列仅“｝的公差d不为0,等比数列仍“｝的公比q为小于1的正有理数。若

222

a="力=/,且」,+3z+生是正整数,则q等于

4+4+%

2.mGN,若函数/(x)=2x-小而二工-加+10存在整数零点，则机的取值集合为

3,函数/(*)=以2-2(。一3)》+。一2中，。为负整数，则使函数至少有一个整数零点的

所有的a值的和为

4.设。力均为大于1的自然数，函数/(x)=aS+sinx),g(x)=0+cosx,若存在实数m

使得=g(m),则。+Z?=

cinx-I-1

触题生情：求函数y=的值域.(有几种方法？哪种方法能体现本题的原型？)

cosx-3

问题源头分析：不定方程问题.

【高考试题背景探源】(2012年江苏20)已知各项均为正数的两个数列｛《｝和出“｝满足：

/=%+，，〃eN*.(1)设〃川=1+4，〃wN*,求证：数列］是等差数歹！J;

J%+bj"八

(2)设心=近且,neN,,且｛4｝是等比数列,求“和向的值.

5,各项均为正偶数的数列0,。2,仅，。4中前三项依次成公差为d(d>o)的等差数列,

后三项依次成公比为q的等比数列.若4-4=88,则q的所有可能的值构成的集合为_

专题2集合与不等式恒成立(有解)的问题研究

引例：已知集合4=｛令4-5x+4W0｝集合8=｛x|d-2or+a+2W0｝

(1)若8=求实数a的取值范围；(2)若AqB,求实数a的取值范围：

总结：不等式恒成立问题的相关转换策略，请分析下列恒成立的等价条件：

1.7(x)=asin2x+Z?cos2x，其中abwO,有/(x)W卜(品对一切xeR恒成立;

7T7T

2.函数/(%)=2，山(万工+《)，对任意XER都有/0］)</0)«/(%2)成立；

3.函数/(x)=x2-2ar+5(a>l),若/(x)在区间(—8,2］上是减函数，且对任意

的王,修w[l,a+l],总有|/（X]）—/（X2）|W4；

4.已知函数/(》)=》+』+。2,g(x)=/一标+2a+l,若存在X1,x,w—,a(a.>1),

x\_a_

使得|/(%)-g(X2)|<9；

5.已知,f(x)=x2,g(x)=(g)*-机，若对X/X|,Bx2e[0,2],f(xl)^g(x2)；

6.函数/(x)=x2-4x+3,g(x)=nzr+5-2m,若对任意的玉e[1,4],总存在

We[1,4],使/(xj=g&)成立；

7.上题条件改为“若存在用e限4],总存在/e1,4],使/(xj=g(%)成立''呢？

4"+〃•2工+1

8.函数/(x)=----------,若对于任意的％、x2>工3，均存在以/(5)、)(%2)、〃工3)

4+2+1

为三边长的三角形.

练习：已知函数/⑴定义在区间上，设"min{/(x)|xe。}”为函数/(幻在集合。上

最小值，"max{/(x)|xe£>}”为函数/(九)在集合。上最大值•设力(x)=min{/«)|aW

(xe[a,b])；f2(x)=max{f(t)\a<t<x},(xe[a,b]).若存在最小正整数k,使得

-力(功£2。-a)对任意的工£向成立,则称函数/*)为区间[见切上的“第k类

压缩函数”.

(I)若函数/(%)=犬3一2、+3,xe[0,2],试写出力(%)、/j(x)的解析式;

(H)若加>0,函数且。)=/一3"尢2是[0,3帆]上“第3类压缩函数”，求实数机的取值范围.

专题3一类集合交集非空问题研究

引例：(教L2例4)集合A=，xy=»,B=｛汹》-3+1)]比一(“+4)]<()｝

若AcBw。，则实数。的取值范围是

变式1：(2011年江苏14)设集合A=｛(x,y)|—2)2+y24加2,xye^,

B=｛(x,y)|2m<x+y<2m+\,x,yeR],若AB^0,实数m范围是

变式2：设A=｛(x,y)|(x-l)2+y2=*｝,8=｛(x,y)|2mKx+yW2m+1,x,yeR｝,

若AcB。。，则实数m的取值范围是.

专题4两组数列元素所成集合的交并集合的元素问题研究

引例1：两个集合4=｛-3,0,3,6,Mm｝和6=｛15,19,23,27,，缥；()｝都各有100个元

素，且每个集合中元素从小到大都组成等差数列，则集合A8中元素的最大值为

引例2：设数列｛如｝的通项公式为4=2〃—1为数列｛儿｝的通项公式为6“=3〃-2.集合A

=｛xIx=a„,nCN*｝,8=｛xIx=6“，«eN*｝.将集合AU8中的元素从小到大依次排列，

构成数列............则｛0｝的通项公式为

专题5：数列隔项成等差(等比)数列问题研究

引例1：(教L4例2)已知数列｛。〃｝满足a.+a,m=2〃+l(〃eN*),求证：数列也“｝

为等差数列的充要条件是q=1

拓展：若数列｛%+4+J为公差为d的等差数列，试探究数列｛a,,｝为等差数列的充要条

件，并加以证明.

2n+

引例2：已知正项数列｛凡｝满足an-an+]=2'(〃wN*),求证：数列｛a.｝为等比数列

的充要条件是勾=2.

拓展：若正项数列｛4｝满足：数列｛%/,川｝为公比为q的等比数列，试探究数列伍“｝为

等比数列的充要条件，并加以证明.

练习：数列｛%｝满足an+1+(―l)"q=2〃—1,则｛%｝的前60项和为；S4n=

专题6：复合函数的零点问题研疝"

引例1：(教L4例4)已知函数/(x)=r+x+q,集合A=M/(x)=0,xe/?｝,

B=｛4/,(/(X))=0,XG/?).若5为单元素集，试求的值.

引例2：已知CHO,函数/(x)=-c/+ex,g(x)=x3-ex1+ex,如果函数y=/(x)

与函数y=g(/(x))有相同的零点，试求实数c的取值范围.

【高考试题背景探源】(2012年江苏高考)已知”，〃是实数，1和-1是函数

/(幻=33+以2+云的两个极值点.(1)求“和b的值；(2)设函数g(x)的导函数

g'(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点;(3)设〃(x)=/(/(x))-c,其中cw[-2,2],求函数

y=h(x)的零点个数.

练习：

1.函数/(%)=<1-1**°,方程[/(刈2+”(无)+。=0有7个根的充要条件是一

0,加0

2.已知函数/'。)=|目-1,关于x的方程产(x)-|/(x)|+A=O,给出下列四个命题：

①存在实数左，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数%,使得方程恰有4个不同

的实根；③存在实数%,使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数左，使得方程恰有

8个不同的实根.其中真命题的序号为

3.(2007年江苏高考20)已知a,"c,d是不全为零的实数，函数/(x)=+5+4,

g(x)=ax3+/?x2+cx+J,方程f(x)=0有实根，且f(x)=0的实数根都是g(f(x))

=0的根，反之，g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.(1)求d的值；(2)若a=0,

求c的取值范围.

专题n函数中相关问题的再研究

本专题的认知地图，游览完本景点，你应该能够处理下列问题：

i.含参数的三次函数的最值问题及讨论三层次问题

2.简单的复合函数、含分式的复合函数、含根式的复合函数、多元变量函数的值域

和最值问题；

3.恒成立问题中参数范围的局部缩小策略

4.函数型方程(不等式)常见求解策略

5.常见的八类非基本初等函数的问题研究

八类函数分别是：尖底、平底型折线函数、/(幻=*+£型函数、牛顿三叉函

X

数、可化为二次函数的绝对值型的复合函数、对数与绝对值函数的复合函数、

指数与绝对值函数的复合函数、对数与双曲线型函数的复合函数、对数与二次

函数的复合函数

6.二次函数的零点分布问题、最值问题

7.高中数学中具有将指数下移功能的运算方式问题

8.函数与方程有三种等价语言的转化问题

【易错题】

1.(教L6练7)已知函数/*)的定义域为以乃)，值域为[c/],则/(-2x+l)的定义域

为;值域为

2.(教L6练8)已知函数y=/(x)的图像与y=/+尤的图像关于点(-2,3)对称,则/(%)

的解析式为______________

3.(教L7基8)函数y=/*声2)的值域为；函数y=2：的值域为；

函数丁=霁(0<a<l)的值域为；y=log2J4—2一的值域是

4.(教L8基6改编)函数y二2%=—-3的单调增区间为

x+1

已知函数y=竺二°在区间(-8,-1)上是增函数，则实数。的取值范围是

X+1

5.(教L9例3)设(见。)为函数y=f(x)的对称中心，则必有恒等式

根据上述结论，写出函数f(x)=x+sin(x-3)的一个对称中心为

6.(双对称性问题)已知定义在A上的奇函数/(x)满足=且在区间［0,2］

上是增函数.若方程/(x)=m(m>0)在区间［-8,8］上有四个不同的根项,与，龙3，4，则

X)+X7++%4=

ax~5,x>6

7.(教L9练5)已知函数/(x)=｛a，若函数/(x)在R上是增函数，则

(4)x+4,x«6

I2

实数。的取值范围是

a"-',n>6

变式1：已知数列｛/(〃)｝是单调递增数列，且通项公式为_/■(〃)='a，

(4--)n+4,n<6

则实数。的取值范围是

变式2：函数-1»+4a(x<D在R不是单调函数，则实数4的取值范围是_

logaX(x>l).........

k2x+k(l-a2),x>0»一.s-

变式3：函数/(x)=4,,，其中awR.若对任意的非零实

x2+(cr-4a)x+(3-a)-,x<0

数项，存在唯一的非零实数/(玉hx2)，使得/(芭)=f(x2)成立，则k的取值范围为

变式4：已知函数以)=,Q"?+3"4,x_f,无论f取何值，函数.穴x)在区间(-8,+8)

X'-x,x>t

总是不单调.则a的取值范围是

8.(教L12例3)已知函数y=bg“(公一一处在区间-,1上是增函数，则实数"的取值

_2_

范围是__________

9.(教L14基3)已知函数y=/(x)是定义在上的单调函数，若/(a)/S)<0,

则函数/(x)的零点个数为

10.抽象函数虽然抽象，但总能从我们所学的基本初等函数中找到一个具体函数支撑抽象

性质，请各找出一个满足下列条件的基本初等函数：

(1)f(m-x)=f(m+x)；(2)f(x+y)+f(x-y)=2/(x)/(

11.(教L16练4)已知偶函数/(x)满足/(x+2)=-，当2<x<3时，/(x)=x+l

/(x)

则/(-0,5)=

12.求F(a,Z?)=(a-Z?)2+(/一防+份2的最小值为(注重对结构的认知)

拓展1：已知a,beR满足(a+Jl+a?)g+Jl+〃)W1,则a+匕的最大值为

(X-1)3+2011(X-1)=-1

拓展2：设为实数，且满足关系式\,则x+y=____

(y-1)3+2011(y-l)=l

【专题研究、方法梳理】

专题1：含参数的三次函数的最值问题及讨论三层次研究

引例1：(教L6练9)函数y=3x2(_i«x<l)的图像上有A,B两点，且/<XB,ABHX

轴，点C(2,m),其中加>3,(1)试写出用点8的横坐标f表示A46C面积S的函数解

析式5=/。)；(2)记S的最大值为g(/〃),求g(加)

1,

练习：己知函数/(x)=lnx—5aY+—，且/⑴=o

(1)试用含有a的式子表示万：(2)求/(x)的单调区间

专题2：简单的复合、含分式的复合、含根式的复合、多元变量函数的值域和最值问题

第I类：简单的复合函数

22X2

引例1：y=1—v4-x；y=log2(4-x)；y=4'+2+1；y=sinx+sinx+1

第H类：带分式的复合函数(换元、部分分式法、反解(判别式法)、公式法)

1—9x

引例2：直接写出函数y=一^的值域为，曲线的对称中心为；

1+3%

若添加条件X£[0,1],则值域为;

根据以上结论直接写出函数的值域：y=1-2sinX(xefo,^1)；卜二1-2班的

l+3sinxL2j1+36

x2-3

引例3：求函数y=一~的值域

x+1

x+]

变式：求函数y的值域

sinx+cosx+27T

变式：求函数y=-------------（XE0,-）的值域

sinxcosx2

S丫2_i_Qr_L5

引例4：求函数y=的值域

第HI类：带根式的复合函数

引例5：求函数y=x—Jl-2x的值域;

思考：根式函数y=Ax+B+7CX+D(AC丰0)的值域如何研究?

引例5：求函数/(x)=HTT-Jl-2x的值域;

变式1：求函数/(x)=xjl—2x的值域;

变式2：求函数旷=J7TT+J=的值域；

变式3：求函数y=jm+j匚，+，1一%2的值域;

变式4：求函数y=+J15-3x的值域;

思考：一般地，求函数y=jAr+B+、Cx+。(其中ACHO)的值域如何研究？

第IV类：构造法求函数的值域问题

引例6：求函数/(x)=:,的值域是__________

(丁+1)2

探究拓展：多元函数的最值问题研究

4_4

1.设实数“W6,若不等式2工机+(2—幻”一820对任意工€[—4,2]都成立，则一的

mn

最小值为__________

2.已知点尸(x,y)到原点的距离为1,则~+＞，~2的最大值为__________

x-y+2

3.F(a,0)=a-+2asm0+2对于任意实数尸(凡夕)的最大值为________

a+2QCOS0+2

4.已知关于x的实系数一元二次不等式。£+b6知(口的解集为R,则

MJ+产+4c的最小值是___________

b-a

专题3：恒成立问题中参数范围的局部缩小策略

引例1：(教L7例4)若函数/(x)=a的定义域与值域均为区间[〃?,〃]

kl

求实数。的取值范围.

引例2：已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然数的底数，aeR.若/(x)在［-1,1］上

是单调增函数，则。的取值范围为

练习：

1.设aGR,若x>0时均有［3-1)P1］俨-以-1心0,则。=

2./'(》)=0«3_3%+1对于xe［-1,1］总有/(x)N。成立，则”

3.设八x)奇函数，当x'O时，J［x)=2x-x2,若函数火x)(xC［a,")的值域为1，%,则b

的最小值为，实数。的取值集合为

专题4函数型方程(不等式)的常见求解策略

x~4-2犬%>0

引例1：(天津高考)已知函数y(x)=<，'—，若/(2-。2)>/(。)，则实数。的

[2x-x\x<0

取值范围是_______________

2%+Qxv1

引例2：实数a#O,函数/(x)=',若/(l—a)=/(l+a),则。=_____

-x-2a,x>1

练习：

X2+IX>0

,,则满足不等式f(l—x2)>f(2x)的X的范围是_______

{1,x<u

r2+1r>0

变式：函数f(x)=4'，则满足不等式/(2。-3)>/(2-0的。的范围是一

2,x<0

1

a+2,Cl>—

2

V2/1

1求满足g(a)=gd)的所有实数a

2.己知g(a)=<-a----,-----<a<——

2a22a

,V2

V2a<----

2

专题5：八类常见非基本初等函数的问题研究

函数模型一：尖底、平底型折线函数

f(x)=\x+a\+\x+a^+....+\x+a^a］<a2<....<。„)(且｛%｝是等差数列)

它的图像是什么？一定是轴对称图像吗？若是，对称轴是什么？最小值何时取得？

19

引例1：函数/(X)=£上一〃|的最小值为

/=1

引例2：设函数/0)=归+1|+k—4的图像关于直线》=1对称，则a的值为

练习：/(%)=|x+l|+|x+2|4---i-|x+2011|+|x—1|+|x—2|4---i-|x-201l|(xeR),

且f(a2-3a+2)=f(a-1),则满足条件的所有整数a的和是

变式：下列命题中真命题的序号是.(1)/(x)是偶函数；

(2)/(x)在(O,M)上是增函数；(3)不等式/(x)<2010x2011的解集为0；

(4)方程f(a2-3a+2)=/(a-1)有无数个实数解

拓展：已知函数人工)=|尸1|+|2%-1|+|3尸1|+…+|100xT|,则当户时：/(x)取得最小值.

函数模型二：/(x)=x+£型函数

X

函数/(X)=X+£的图像和性质如何研究？

X

引例：函数/(x)=x+£的定义域是(0,+8),若对任意的xeN*,都有/(x)2/(2),

X

则实数C的取值范围是

练习：已知函数式x)=|e*+自(adR)在区间［0,1］上单调递增，则实数”的取值范围是

函数模型三：牛顿三叉曲线

y=/+@(。*0)称为牛顿三叉曲线.运用数学方法，总结“牛顿三叉”函数的图像和性质

X

练习：

1.已知函数/(无)=/在［2,+x>)上为增函数，则a的取值范围为

x

变式：若条件改为①(一8,-2］上为减；②［—2,0)上为增；③(0,2)上为减，结论分别如何？

2.已知二次函数y="(x)的图像以原点为顶点，且过点(1,1),反比例函数丁=力。)的

图像与y=x的两个交点间的距离为8,+试判断当a>3时，关于

x的方程/(%)=/(«)的实数解的个数为

函数模型四：可化为二次函数的绝对值型复合函数

引例1：已知aeR,函数=

(1)判断函数/(%)的奇偶性，请说明理由；(2)求函数f(x)在区间［1,2］上的最小值；

(3)设a/0,函数/(x)在区间。〃,〃)上既有最大值又有最小值，请分别求出的取

值范围.(只要写出结果，不需要写出解题过程)

思考：已知aeR,函数/。)=%2忖一《.求函数丁=/(处在区间［1,2］上的最小值.

练习：

1.已知函数/(x)=2|x—［+以(xeR)有最小值，则实常数a的取值范围是一

变式：函数/(x)=x+4x—l|在(0,长。)上有最大值，则实数a的取值范围是一

2.已知函数/(%)=区炉一3,%e［o,m］,其中mwR,且加>0.

(I)如果函数/(x)的值域是［0,2］,则实数机的取值范围为；

(2)如果函数/(幻的值域是［。，石/］,实数力的最小值为

函数模型五：对数和绝对值函数的复合型函数

引例：已知函数/(x)=x2+«|lnx-l|,g(%)=x|x-a|+2-21n2,a>0.

(I)当a=1时,求函数/(x)在区间［l,e］上的最大值;

3

(H)若/(%)2万a,xe［1,+8)恒成立，求a的取值范围;

(III)对任意玉e［1,+℃),总存在卷二的⑵+oo),使得/(X1)=g(/)成立，求〃的取

值范围.

函数模型六：指数和绝对值函数的复合型函数

引例：(2008江苏卷20)若工(力=3卜一火力(x)=2-32%xeR，8，P2为常数,

工(x)J(x)〈人(x)

且/(%)=,

工(力，/(力＞人(九)

(I)求/(x)=/(x)对所有实数成立的充要条件(用0,P2表示);

(II)设a力为两实数，a(匕且P1,P2(a,b),若/(a)=/(b).求证：/(x)在区间［a,可

上的单调增区间的长度和为一(闭区间［〃4〃］的长度定义为〃-机)

函数模型七：对数与双曲线型函数的复合型函数

引例：设/(X)是定义在区间(1,+8)上的函数，其导函数为r(x).如果存在实数a和函数

h(x),其中〃(x)对任意的xe(1,+8)都有〃(尤)>0,使得/'(x)=-ax+1),则

8+2

称函数/(%)具有性质P(a).(I)设函数/(x)=lnx+^―-(%>1),其中b为实数

x+1

(i)求证：函数/(X)具有性质P(b)；(ii)求函数/(X)的单调区间；

(2)已知函数g(x)具有性质P(2).给定西,々G(L+a)),X[<%2,设旭为实数，

a-mxx+(1-m)x2,(3m)x{+inx2,且

若|g(a)-g(夕)|<|g(X])-g(x2)I，求加的取值范围.

14

思考：(1)由题定义，给出下列四个函数：①yu)=#—f+x+l；②«x)=lnx+37；

③_/(x)=(/-4工+5)"；④/(犬)=五百，其中具有性质P(2)的函数是

(2)己知y=/(x)是定义在R上的单调函数，实数MN/，尤。-1，a士”，

1+2

尸=年学，若/(f)_/(々)|<|79)一/(夕)|,则X的取值范围为

函数模型八：对数与二次函数的复合型函数

引例：已知函数/(x)=ax2+2bx-2Inx(a/0),且/(x)在兀=1处取得极值.

(1)试找出a,b的关系式；

(2)若函数/(x)在xw(0,g］上不是单调函数，求a的取值范围；

(3)求函数/(x)在xw(0,；］的图像上任意一点处的切线斜率左的最大值

专题6：二次函数的系列问题研窕

问题1：二次函数的零点分布问题

引例1：二次函数/'(尤)=/+ax+a，方程/1(%)一％=0的两根玉和%满足0<%<1

(1)求实数a的取值范围；(2)试比较/(0)/(1)-/(0)与士的大小.并说明理由

引例2：已知a是实数，函数/。)=2处2+2》一3-。，如果函数y=/(x)在区间[一1,1]

上有零点，求。的取值范围

练习：

设函数f(x)=x~-ax+a+3,函数g(x)=ax-2a,若存在与GR,使得/(x0)<0与

g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围是

变式：设函数/0)=/一6+。+3,函数g(x)=x-a,若不存在使得

/(%)<0与g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围是

问题2：二次函数的最值问题

引例：(2009年江苏高考)设a为实数，函数/(%)=212+(九-。)|%一。|.

(1)若7(0)21,求Q的取值范围；(2)求/(%)的最小值；

(3)设函数/i(x)=/(%),xe(a,+8),喜搂耳也不等式〃(%)21的解集.

解法思考：第(2)、(3)问有没有其他解法？

对第(2)问解法的思考与拓展(双最值问题)：

a,a<b

1.任意两个实数a,〃定义运算“*”如下：a*h=\,函数

b,a>b

f(x)=x2*[(6一x)*(2九+15)]的最大值.

2.设。>0/>0,/z=min{a，F---},其中min{x,y}表示两数中最小的一个

a+b

数,

则h的最大值为.

3.已知a,b,c均为正实数，记例=max11-+b,1+bc,巴+c］,则M的最小值为_

［acabJ

问题3：二次函数的综合问题

引例：已知函数/,(X)=--蛆+〃2-1

(1)若函数y=lg［/(x)］定义域为R,求实数加的取值范围；若值域为R,结论如何？

(2)若函数|y(x)|在区间［-1,0］和［2,4］上单调递减，求实数机的取值范围；

(3)是否存在整数。力(其中a<8)，使得关于x的不等式a</(x)<b的解集为［a,"?

若存在，求出。力的值；若不存在，请说明理由

专题7：高中数学中具有将指数下移功能的运算方式有哪些？

引例1：(教L11例3)已知均不为1的正数满足优=/,且J_+JL+JL=O,

xyz

则abc—

910

引例2：己知等式，+2工+2)5=%+q(%+l)+a2(x+l)2++6f9(x+l)+6fl0(x4-l),其中

10

的(i=0,1,2,10)为实常数，则2乜的值为

M=1

练习：

1.(2012江苏数学联赛初赛)设。为正实数，k=a以，则女的取值范围是

2.设实数x,y满足3Wxy?eW8,4W—X<9,则三X'•的最大值是

jy

专题8：函数与方程的三种语言的等价转化问题

引例1：(教L14例3)己知函数/(幻=2。/+2x-3在区间(0,1)内有零点，则实数。的

取值范围是

1x12

引例2：(教114例4(3))设函数/(》)=」」一一ax2,其中aeR.若函数/(x)有四个

x+2

不同的零点，则实数a的取值范围是

练习：

1.已知函数/(x)=ax3+bx2+(b-a)x(b¥2a且出?m0),试就。力的不同取值情况，

讨论函数/(x)的零点个数

2.若函数/(x)=ax—a(a>0且aw1)有两个零点，则a的取值范围是

变式:若存在实数m使得a"'=机(其中a>。且a丰1)成立，则实数a的取值范围是

专题HI导数中相关问题的再研究

本专题的认知地图，游览完本景点，你应该会处理以下问题：

1.“函数在某区间上是增函数（减函数）”和“函数在某区间上存在单调增区间（减

区间”分别如何处理？

2.你知道什么是洛必达法则（L,Hospital）?它可以用来优化什么问题?

【易错题】

1.（教L17基1）水波的半径以50cm/s的速度向外扩展，当半径为250c7W时，圆面积的

膨胀率是cm1Is

2.（教U7巩1）半径为R的圆受热均匀膨胀，若半径增加了r,则圆面积的平均膨胀率

是__________

4

3.（教L17巩4）已知点P在曲线y=---上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a

+1

的取值范围

4.（教L18练6）已知函数/1（X）=x3+ax1+bx+a2在x=1处有极值10,则a+8=_

变式：已知函数/（£）=/+d+2/+人，其中若函数“X）仅在x=0处有

极值，则。的取值范围是

5.（教L18练8）设/（x）=—其中。为正实数.若/（X）为R上的单调函数，则。的

\+ax

取值范围为________________

6.已知函数/（无）=,/-6/+以+1既有极大值又有极小值，实数C的取值范围是一

4

7.（教L19基2）函数/（x）=l+5-sinx,xw（0,万），则它的单调递增区间为

8.（公切线问题）曲线G：y=ln（x+a）；曲线。2：V=---—一，（a〉0）的一条公切

x+aa

线过点（-a,0）,则实数。=

9.（教L19基8）对于函数/。）=/+心2一%+1的极值情况，4位同学有下列说法：

甲：该函数必有2个极值;乙：该函数的极大值必大于1

丙：该函数的极小值必小于1；T：方程/(幻=0一定有3个不等的实数根

这四种说法中，正确的个数为

【专题研究、方法梳理】

专题1：导数问题中两类问题的丽"

引例：设/(x)=+耳厂+2ac

(12、

(1)若函数在-上,*上单调递增，求实数。的取值范围；

I23；

(2)若函数在(g,+8)上存在单调递增区间，求实数。的取值范围;

练习：设函数/(x)=Inx+Y-2o¥+。2,。£R,

⑴若。=0,求函数/(%)在［1,同上的最小值；

(2)若函数/(x)在1,2上存在单调递增区间，求实数a的取值范围;

(3)求函数/(x)的极值点.

专题2：洛必达法则(L•Hospital)简介

引例1：(2010年新课标全国卷(理))设函数/(X)="-1—X—G：2

(1)当a=0时，求函数/(x)的单调区间;

(2)当xNO时，/(x)20,求实数。的取值范围.

引例2：(2010年湖北理科卷)设函数/(为=内+2+以。＞0)的图像在点(1,八1))处的

X

切线方程为y=x—l(1)用a表示出"c；(2)若/(©Ninx在1,+8)上恒成立，求a

的取值范围.

练习：

1.设函数«r)=a+l)ln(x+l),若对所有的x20,都有成立，则实数。的取值范

围为________________

2.若“xWsinxW/x对任意的无£。，y都成立，则外一4的最小值为.

专题W三角函数、平面向量中相关问题的再研究

本专题的认知地图，游览完本景点，你应该掌握下列问题的处理方法：

I.三角函数中单位圆问题

2.三角函数中求值和求角问题

3.一类与三角函数图像有关的参数取值问题

4.平面向量中算两次思想

5.平面向量中一类向量系数和的取值范围问题

6.平面向量中坐标法的运用举例与坐标法在解题中的应用

7.三角形中一个三角恒等式的深度研究

8.三角恒等变换公式的研究一一个错误引发的若干思考

9.平面向量与三角形四心问题的相关研究

10.对三角函数教材中两个问题的再研究与再思考

11.三角形中的三角问题研究

【易错题】

1.(教L20基7)已知角a的终边上有一点P(4r,-3r)(r工0),则2sina+cosa=

2.(教L20基8)函数丁=皿!一占£+叵对的值域为

sinx|tan.r|cosx

3.(教L20巩4)函数y=lg(2sinx-l)+Jl-2cosx的定义域为

练习：若cosa=£2%=-3,又a是第二、三象限角，则次的取值范围是

4—x

4.(三角函数中的图像重合对称问题)设函数/(x)=coss®>0),将y=的图

像向右平移27T个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则0的最小值等于:

3

如果所得图像关于x轴对称，则。的最小值等于

5.(三角函数中的图像平移问题)将函数y=sin(2x+?)的图像向左平移至少个单

位，可得一个偶函数的图像

Ay

6.(教L22巩3)函数/(x)=Asin(tux+Q)(A>0,啰>0,°e[0,2万))

的图像如图所示，则°

7.（教L22练10）若函数y=sin2（x+工）与函数y=sin2x+acos2x的

图象的对称轴相同，则实数a的值为.

8.(教L24练8)已知函数/(x)=Zasin'-Zgasinxcosx+a+b的定义域是力、万

值域是[2,5],则的值分别为

9.(教L25巩3)化简：j2+2cos8+2jl-sin8的结果是

53

10.(教L27基6)在△A5C中，已知cosA=—,sinB=-,则cosC=

135

11.（教L27基8）在锐角三角形ABC中，BC=1,B=2A,则AC的取值范围是

变式:在周长为16的三角形ABC中，A8所对的边分别为〃法，则必gC的取值

范围是•

12.若】=（1,2）3=（2—网1—%），若两向量夹角为钝角，则实数加的取值范围是

13.（教L32巩32）若复数z满足—=则|z+i+l|的最大值为

14.若平面向量满足：［2。一目43；则的最小值是

【专题研究、方法梳理】

专题1：三角函数中的单位圆问题

引例：2.如图，。为坐标原点，A、B是单位圆。上的动点,

C是圆。与x轴正半轴的交点，设NCQ4=a.

(I)当点A的坐标为求sina的值;

（H）若04。〈色，且当点4、B在圆。上沿逆时针方向移

2

7T

动时，总有乙4。8=—，试求8C的取值范围.

3

练习：

1.点P是单位圆上一点，它从初始位置凡开始沿单位圆按逆时针方向

jr

运动角a（0＜。＜一）到点片，然后继续沿单位圆逆时针方向

2

JT4x

运动§到点?，若点£的横坐标为-W，cosa的值等于

33

2.角a（04。＜2"）的终边过点尸（sin《凡cosgTT）,则&=

专题2：三角函数中的求值与求角问题研究

jl1

引例1：已知--<x<0,sinx+cosx=—，则sinx-cosx=

25

变式1：已知乙,万],且一'一十一1—=2后，则sin(2c+工)=______

k2)sinacosa3

变式2：已知tan(a-/7)=g,tan〃=-g,且a,/?w(0,i),求2a-/?的值

思考：已知三角函数求角选用函数遵循什么原则？

练习：

[1Q

1.已知cosa=1,cos(a—/7)=五，.B.0</3<a<—则COSP=_______

4

2.(苏州2013届零模)己知。为锐角，sin(e+150)=