点到直线的距离课件 高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.2.4点到直线的距离第二章平面解析几何人教B版数学选择性必修第一册课标定位素养阐释1.掌握点到直线的距离公式,并能灵活运用此公式解决距离问题.2.会求两条平行直线的距离.3.重点提升数学运算和逻辑推理素养.自主预习新知导学一、点到直线的距离1.已知点P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点,如何求P到直线l的距离?提示:可先求出过点P与l垂直的直线l1的方程,再求出l1与l的交点P0,则线段PP0的长即为所求.也可以在l上取一点M(x1,y1),利用l的法向量n=(A,B)与2.若点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d,则

.这称为点到直线的距离公式.3.点O(0,0)到直线x+y+1=0的距离为

.

二、两条平行直线之间的距离1.已知直线l1:4x-3y+2=0,l2:8x-6y+10=0.(1)直线l1与l2有什么关系?(2)若P,Q是直线l1上不同的两点,它们到直线l2的距离分别为d1,d2,则d1与d2有什么关系?(3)如何求直线l1与l2之间的距离?提示:(1)l1∥l2.(2)d1=d2.(3)在直线l1上取一点M,利用点到直线的距离公式求出点M到直线l2的距离就是直线l1与l2之间的距离.2.若直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则直线l1与l2之间的距离d=

.

3.直线l1:x+3y-1=0与l2:x+3y+1=0之间的距离为

.

【思考辨析】

判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)点到直线的距离公式只适用于点在直线外的情况.(

)(2)点(1,1)到直线x=3的距离为2.(

)(3)直线4x-2y-1=0到直线4x-2y-3=0的距离为|-1-(-3)|=2.(

)(4)两条平行直线之间的距离公式适用于任意两条平行的直线.(

)×√×√合作探究释疑解惑探究一点到直线的距离【例1】

已知直线l过点M(-2,1),且点A(-1,2),B(3,0)到直线l的距离相等,求直线l的方程.解:若直线l的斜率不存在时,点A,B到l的距离不相等,不符合题意,则舍去.故直线l的斜率存在.设直线l的方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.因为点A,B到l的距离相等,解得k=-或k=0.故l的方程为x+2y=0或y=1.1.使用点到直线的距离公式时,先将直线的方程化为一般式.2.已知点到直线的距离求参数时,只需根据公式列出方程,解方程即可.【变式训练1】

已知直线l过原点,且点(2,1)到直线l的距离为1,求直线l的方程.解:由题意可知,直线l的斜率一定存在.又直线l过原点,设其方程为y=kx,即kx-y=0.故直线l的方程为y=0或4x-3y=0.探究二两条平行直线之间的距离【例2】

求两条平行直线l1:3x+4y-10=0和l2:3x+4y-15=0之间的距离.求与直线l1:3x+4y-10=0平行,且距离为1的直线方程.解:因为所求直线与直线3x+4y-10=0平行,所以设所求直线方程为3x+4y+C=0(C≠-10).故所求直线方程为3x+4y-5=0或3x+4y-15=0.求两条平行直线之间的距离的方法(1)转化法:将两条平行直线之间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.(2)公式法:直接用公式

,但要注意两直线方程中的x,y的系数必须分别相同.【变式训练2】

已知直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),l1∥l2,且l1与l2的距离为5,求直线l1与l2的方程.解:当l1,l2的斜率不存在,即l1:x=0,l2:x=5时,满足条件.当l1,l2的斜率存在时,设l1:y=kx+1,即kx-y+1=0,此时l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0.综上所述,l1的方程为x=0,l2的方程为x=5或l1的方程为12x-5y+5=0,l2的方程为12x-5y-60=0.思想方法用数形结合思想求两条平行直线之间的距离的最值问题【典例】

两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),如果两条平行直线之间的距离为d,求:(1)d的取值范围;(2)当d取最大值时,两条直线的方程.图①

图②

如图②,当两条平行直线与AB不垂直时,分别绕点A,B转动两条平行直线,可知两条平行直线之间的距离d越来越接近于0.所以0<d≤3,故d的取值范围是(0,3].解:(1)如图①,当两条平行直线与AB垂直时,两条平行直线之间的距离最大,数形结合思想是数学中常用的思想方法.解决与距离有关的问题,常利用数形结合思想,借助图形,可以直观地看出距离的变化情况,进而求出距离的取值范围或最值等.【变式训练】

设x+2y=1,则x2+y2的最小值为

.

随堂练习答案:C2.点(5,-3)到直线x+2=0的距离等于(

)A.7 B.5 C.3 D.2答案:A3.已知点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O是坐标原点,则|OP|的最小值是

.

答案:CD5.已知直线l:12