4.3.1　对数的概念-高中数学教学资料

4.3.1对数的概念第四章§4.3对数1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值.学习目标大家阅读课本128页的“阅读与思考”(大约3分钟)，可以发现，对数的出现是基于当时天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展的需要而出现的.经过不断发展，人们发现，对数与指数存在互逆的关系，然而更有意思的是“对数源出于指数”，而对数的发明却先于指数，对数是用来解决指数所不能解决的问题，让我们一起来发现对数与指数的关系吧！导语随堂演练课时对点练一、对数的概念二、对数与指数的互相转化三、对数的计算内容索引四、利用对数性质求值一、对数的概念问题1

我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若

＝128，则x＝－7等等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？提示用指数方程不能解决上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解.知识梳理对数的定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作

，其中a叫做对数的

，N叫做

.注意点：(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换；(2)logaN的读法：以a为底N的对数.x＝logaN底数真数例1

若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是A.[2，＋∞) B.(2,3)∪(3，＋∞)C.(－∞，2) D.(2，＋∞)解析要使对数式log(t－2)3有意义，√解得t>2，且t≠3.所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞).反思感悟关于指数式的范围跟踪训练1

在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为A.(－∞，3] B.(3,4)∪(4，＋∞)C.(4，＋∞) D.(3,4)解得3<x<4或x>4.√二、对数与指数的互相转化问题2

现在你能解指数方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了吗？提示x＝log23；x＝log1.112；x＝log105.知识梳理两类特殊对数(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN；(2)以无理数e＝2.71828…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.例2

将下列指数式与对数式互化：(1)log216＝4；解24＝16.(2)

＝－3；(3)ln100＝4.606；解e4.606＝100.(4)43＝64；解log464＝3.(5)3－2＝

；(6)10－3＝0.001.解lg0.001＝－3.反思感悟指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.跟踪训练2

下列指数式与对数式互化不正确的一组是√三、对数的计算问题3

你能把20＝1,21＝2，log2x＝log2x化成对数式或指数式吗？提示log21＝0；log22＝1；

＝x.知识梳理对数的性质(1)loga1＝

(a>0，且a≠1).(2)logaa＝

(a>0，且a≠1).(3)零和负数

.(4)对数恒等式：

＝

；logaax＝

(a>0，且a≠1，N>0).01没有对数Nx例3

(1)求下列各式的值.①log981＝____.2解析设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2.②log0.41＝____.0解析设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0.③lne2＝_____.2解析设lne2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即lne2＝2.(2)求下列各式中x的值.②logx16＝－4.解由logx16＝－4，得x－4＝16，反思感悟对数式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解.(2)基本方法①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.②利用幂的运算性质和指数的性质计算.跟踪训练3

求下列各式的值：(1)log28；解设log28＝x，则2x＝8＝23.∴x＝3.∴log28＝3.(3)lne；解lne＝1.(4)lg1.解lg1＝0.四、利用对数性质求值例4

求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；解∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)log3(lgx)＝1；解∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.(3)x＝

.延伸探究把本例(1)中的“log2(log5x)＝0”改为“log2(log5x)＝1”，求x的值.解因为log2(log5x)＝1，所以log5x＝2，则x＝52＝25.反思感悟利用对数的性质求值的方法(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算.(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解.跟踪训练4

求下列各式中x的值.(1)log8[log7(log2x)]＝0；解由log8[log7(log2x)]＝0，得log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27.(2)log2[log3(log2x)]＝1.解由log2[log3(log2x)]＝1，得log3(log2x)＝2，∴log2x＝9，∴x＝29.1.知识清单：(1)对数的概念.(2)自然对数、常用对数.(3)指数式与对数式的互化.(4)对数的性质.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围.课堂小结随堂演练1234解析要使对数log(a＋3)(5－a)有意义，1.对数log(a＋3)(5－a)中实数a的取值范围是A.(－∞，5) B.(－3,5)C.(－3，－2)∪(－2,5) D.(－3，＋∞)√1234√解析根据对数的定义知选C.12343.已知

＝c，则有A.a2b＝c

B.a2c＝bC.bc＝2a

D.c2a＝b解析由题意得(a2)c＝b，即a2c＝b.√12344.计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln1＝_____.0解析原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.下列选项中，可以求对数的是A.0 B.－5 C.πD.－x2√解析根据对数的定义，得0和负数没有对数，∴选项A，B不可以求对数，又－x2≤0，∴选项D没有对数，∵π>0，∴选项C可以求对数.12345678910111213141516√123456789101112131415163.已知logx16＝2，则x等于A.4 B.±4 C.256 D.2解析由logx16＝2，得x2＝16＝(±4)2，又x>0，且x≠1，∴x＝4.√123456789101112131415164.已知

＝x，则x等于A.－8 B.8 C.4 D.－4解析由题意得()x＝81，即

＝34，则x＝8.√123456789101112131415165.对于a>0且a≠1，下列说法正确的是①若M＝N，则logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.A.①②

B.②③④ C.②

D.②③√12345678910111213141516解析①中，若M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；②正确；③中，M与N也可能互为相反数；④中，当M＝N＝0时不正确.123456789101112131415166.(多选)下列等式正确的有A.lg(lg10)＝0B.lg(lne)＝0C.若lgx＝10，则x＝10D.若lnx＝e，则x＝e2√√解析A项，lg(lg10)＝lg1＝0，故A正确；B项，lg(lne)＝lg1＝0，故B正确；C项，若lgx＝10，则x＝1010，故C错误；D项，若lnx＝e，则x＝ee，故D错误.123456789101112131415167.若a＝log23，则2a＋2－a＝____.解析∵a＝log23，∴2a＝

＝3，123456789101112131415168.若

＝0，则x＝____.解析由题意得

＝1，∴ ＝3，123456789101112131415169.将下列指数式、对数式互化.(1)35＝243；解log3243＝5.12345678910111213141516(3)

＝－4；(4)log2128＝7.解27＝128.1234567891011121314151610.若

＝m，

＝m＋2，求

的值.解∵

＝m，123456789101112131415综合运用1611.若logx＝z，则x，y，z之间满足A.y7＝xz

B.y＝x7zC.y＝7xz

D.y＝z7x√∴y＝(xz)7＝x7z.1234567891011121314151612.化简

－lg0.01＋lne3等于A.14 B.0 C.1 D.6√1234567891011121314151613.设f(log2x)＝2x(x>0)，则f(2)的值是A.128 B.16 C.8D.256√解析由log2x＝2可知x＝4，所以f(2)＝24＝16.12