同济高数教案

第一章函数与极限

教学目得：

1、理解函数得概念，掌握函数得表示方法,并会建立简单应用问题中得函数关系式。

2、了解函数得奇偶性、单调性、周期性与有界性。

3、理解复合函数及分段函数得概念，了解反函数及隐函数得概念。

4、掌握基本初等函数得性质及其图形。

5、理解极限得概念，理解函数左极限与右极限得概念，以及极限存在与左、右极限之

间得关系。

6、掌握极限得性质及四则运算法则。

7、了解极限存在得两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限得

方法。

8、理解无穷小、无穷大得概念，掌握无穷小得比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性得概念（含左连续与右连续）,会判别函数间断点得类型。

10、了解连续函数得性质与初等函数得连续性，了解闭区间上连续函数得性质（有界

性、最大值与最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质。

教学重点：

1、复合函数及分段函数得概念；

2、基本初等函数得性质及其图形；

3、极限得概念极限得性质及四则运算法则；

4、两个重要极限；

5、无穷小及无穷小得比较；

6、函数连续性及初等函数得连续性；

7、区间上连续函数得性质。

教学难点：

1、分段函数得建立与性质；

2、左极限与右极限概念及应用；

3、极限存在得两个准则得应用；

4、间断点及其分类；

5、闭区间上连续函数性质得应用。

§1、1映射与函数

一、集合

1、集合概念

集合（简称集）：集合就是指具有某种特定性质得事物得总体、用等表示、

元素：组成集合得事物称为集合得元素、。就是集合M得元素表示为aeM、

集合得表示：

列举法：把集合得全体元素一一列举出来、

例如A={a,b,c,d,e,f,g}、

描述法：若集合M就是由元素具有某种性质尸得元素尤得全体所组成，则M可表示为

A={ai,<22,…，an],

M={x|x具有性质P卜

例如M={{x,y)|x,y为实数,炉+/=1}、

几个数集：

N表示所有自然数构成得集合，称为自然数集、

N={0,1,2,N+={1,2,・••,〃,•••}、

R表示所有实数构成得集合，称为实数集、

Z表示所有整数构成得集合，称为整数集、

Z-{-■■,-n,■■■,-2,-1,0,1,2,•••,n,•••}>

Q表示所有有理数构成得集合，称为有理数集、

。={4「€2,4€、+且。与4互质}

q

子集：若xeA,则必有xeB,则称A就是B得子集，记为AuB(读作A包含于8)或

如果集合A与集合8互为子集,AuB且BcA,则称集合A与集合B相等，记作A=B、

若AuB且AwB,则称A就是8得真子集，记作、例如,N星Z呈Q星R、

不含任何元素得集合称为空集，记作0、规定空集就是任何集合得子集、

2、集合得运算

设A、B就是两个集合，由所有属于A或者属于8得元素组成得集合称为A与8得并

集(简称并)，记作即

AuB={x|xeA或xeB}、

设A、B就是两个集合，由所有既属于A又属于8得元素组成得集合称为A与B得交

集(简称交)，记作AcB,即

AnB={x|xeA且

设A、B就是两个集合，由所有属于A而不属于8得元素组成得集合称为A与B得差

集(简称差)，记作AW,即

A\B={x\xeA且xgB}、

如果我们研究某个问题限定在一个大得集合/中进行，所研究得其她集合A都就是/

得子集、此时，我们称集合/为全集或基本集、称I\A为A得余集或补集，记作AJ

集合运算得法则：

设A、B、C为任意三个集合，则

⑴交换律AuB=BuA,AcB=8nA;

(2)结合律(AuB)uC=Au(BuQ,(AnB)nC=An(BnQ;

(3)分配律(AuB)nC=(AoQu(BnC),(AnB)uC=(AuQn(BuC);

(4)对偶律(AuB)c=ACcB。,(AnB)c=Ac

(AuB)c=AccB。得证明：

且尤eBoxeA,且xeB。oxeA。cB0,所以cB。、

直积(笛卡儿乘积)：

设A、B就是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元

素y,组成一个有序对(x,y),把这样得有序对作为新元素，它们全体组成得集合称为集合A

与集合B得直积，记为AxB,即

AxB={(x,y)\x&A且昨团、

例如,RxR={(x,j)|xeR且jeR}即为xOy面上全体点得集合,RxR常记作R2,

3、区间与邻域

有限区间：

设a<6,称数集{x[a<x<6}为开区间，记为(a,6),即

(a,b)={x\a<x<b]>

类似地有

[a,b]={x\a<x<b}称为闭区间,

[a,b)={x\a<x<b}、(a,b]={x\a<x<b}称为半开区间、

其中。与Z?称为区间3,b)、[a,/?]>[a,b)、(a,勿得端点,6-。称为区间得长度、

无限区间：

[a,+00)=[x|a<x},(-00,b]={x\x<b},(-oo,+oo)={x||x|<+8}、

区间在数轴上得表示：

邻域：以点〃为中心得任何开区间称为点〃得邻域，记作。(〃)、

设礴是一正数，则称开区间3-a⑦为点〃得於R域，记作。3,力，即

U(a,8)={x|a-8<x<a+3]

={x||x-a\<S}>

其中点。称为邻域得中心,5称为邻域得半径、

去心邻域6(4,。：

U(a,3)={x|0<|x-a|<J}

二、映射

1、映射得概念

定义设X、Y就是两个非空集合，如果存在一个法则工使得对X中每个元素X,按法

则工在Y中有唯一确定得元素y与之对应，则称/为从X到¥得映射，记作

f-X^Y,

其中y称为元素x(在映射/下)得像，并记作式x),即

y=/W,

而元素x称为元素M在映射/下)得一个原像；集合x称为映射/得定义域，记作即

D尸X;

X中所有元素得像所组成得集合称为映射/得值域，记为Rf,或汽X),即

&=")=(#x)|xeX}、

需要注意得问题：

(1)构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X,即定义域。尸X;集合匕即值域得

范围:R/uY;对应法则工使对每个xeX,有唯一确定得y=/(x)与之对应、

(2)对每个xeX,元素x得像y就是唯一得；而对每个yeR/,元素y得原像不一定就是

唯一得；映射/得值域R/就是/得一个子集，即R/uR不一定R尸Y、

例1设/：R—R,对每个xeR,/(无)=f、

显然,/就是一个映射，/得定义域。尸R,值域R/={y|yZO},它就是R得一个真子集、对

于Rf中得元素y,除y=0外，它得原像不就是唯一得、如y=4得原像就有x=2与x=-2两

个、

例2设*={(4*)|/+刊=1},M(XO)||x|<l),/:X->y,对每个(x,y)eX,有唯一确定得(x,

O)eF与之对应、

显然,就是一个映射，/得定义域。尸X,值域R/=K在几何上，这个映射表示将平面

上一个圆心在原点得单位圆周上得点投影到x轴得区间[-1,1]上、

(3)/:[-j,对每个xe[-(中，於)=sinx、

了就是一个映射，定义域。值域号+1,1]、

满射、单射与双射：

设了就是从集合X到集合y得映射，若R片K即Y中任一元素y都就是X中某元素得

像，则称/为X到V上得映射或满射；若对X中任意两个不同元素x津尤2,它们得像式无1)琰x

2),则称/为x到y得单射；若映射了既就是单射，又就是满射，则称,为一一映射(或双射)、

上述三例各就是什么映射？

2、逆映射与复合映射

设了就是X到y得单射，则由定义，对每个yeR/,有唯一得xeX,适合/U)=y,于就是,

我们可定义一个从R/到X得新映射g,即

g'Rf-x,

对每个yeR/,规定g(y)=x,这尤满足式x)=y、这个映射g称为了得逆映射，记作广\其定

义域Dfl=Rf，值域Rfi=X、

按上述定义，只有单射才存在逆映射、上述三例中哪个映射存在逆映射？

设有两个映射

g：x->ybf：%-z,

其中huY2、则由映射g与/可以定出一个从X到Z得对应法则，它将每个xeX映射成

/[g(x)]eZ、显然，这个对应法则确定了一个从X到Z得映射，这个映射称为映射g与7

构成得复合映射，记作/°g,即

fog.X^Z,

(fogXx)=J[g(x)],x&X、

应注意得问题：

映射g与/构成复合映射得条件就是:g得值域Rg必须包含在/得定义域内,RguDf、

否则，不能构成复合映射、由此可以知道，映射g与/得复合就是有顺序得J°g有意义并

不表示go/■也有意义、即使/og与go/■都有意义，复映射了og与go/也未必相同、

例4设有映射g:Rf[-1,1],对每个xeR,g(x)=sinx,

映射f-[―1,l]f[0,1],对每个WG[—1,1],、

则映射g与/构成复映射/og：Rf[0,1],对每个X£R,有

(/°g)W=/[gW]=/(sinx)=71-sin^=|cosx|>

三、函数

1、函数概念

定义设数集。uR,则称映射了:OfR为定义在。上得函数，通常简记为

y=fl,x),x&D,

其中X称为自变量,y称为因变量,3称为定义域，记作。/,即。产D、

应注意得问题：

记号/与/U)得含义就是有区别得，前者表示自变量x与因变量y之间得对应法则，而

后者表示与自变量x对应得函数值、但为了叙述方便，习惯上常用记号xe。”或

“y=/(x),xe。”来表示定义在。上得函数，这时应理解为由它所确定得函数/、

函数符号：函数y=/(x)中表示对应关系得记号/也可改用其它字母，例如

等、此时函数就记作y=(p(x),y=F(x)>

函数得两要素：

函数就是从实数集到实数集得映射，其值域总在R内，因此构成函数得要素就是定义

域D/及对应法则了、如果两个函数得定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就

就是相同得，否则就就是不同得、

函数得定义域：

函数得定义域通常按以下两种情形来确定：一种就是对有实际背景得函数，根据实际

背景中变量得实际意义确定、

求定义域举例：

求函数y=--4x^4得定义域、

X

要使函数有意义，必须在0,且r-420、

解不等式得|尤122、

所以函数得定义域为Q={x11尤|22},或。=(-oo,2]u[2,+oo])、

单值函数与多值函数：

在函数得定义中,对每个xeD,对应得函数值y总就是唯一得，这样定义得函数称为单

值函数、如果给定一个对应法则，按这个法则，对每个xeD,总有确定得y值与之对应，但

这个y不总就是唯一得，我们称这种法则确定了一个多值函数、例如，设变量x与y之间

得对应法则由方程给出、显然，对每个X”网,由方程/+9=户，可确定出对应

得y值，当％=厂或at时，对应y=0一个值；当x取(-厂，厂)内任一个值时，对应得y有两个

值、所以这方程确定了一个多值函数、

对于多值函数，往往只要附加一些条件，就可以将它化为单值函数，这样得到得单值

函数称为多值函数得单值分支、例如，在由方程炉+9=，给出得对应法则中，附加“岸0”

得条件，即以且优0”作为对应法则，就可得到一个单值分支^:为原方犷二7;

附加“好0”得条件，即以“f+y2=3且好0”作为对应法则，就可得到另一个单值分支

y=为(X)=4/*、

表示函数得主要方法有三种：表格法、图形法、解析法(公式法)，这在中学里大家已经

熟悉、其中，用图形法表示函数就是基于函数图形得概念，即坐标平面上得点集

[P(x,y)\y=fix),xeD｝

称为函数得图形、图中得R/表示函数y=/(x)得值域、

函数得例子：

例、函数y=|x|=[x*在、

[-Xx<0

称为绝对值函数、其定义域为£>=(-00,+00),值域为7?/=[0,+8)、

1x>0

例、函数y=sgnx=<0x=0>

-1x<0

称为符号函数、其定义域为。=(-8,+8),值域为H尸｛-1,0,1｝、

例设X为任上实数、不超过X得最大整数称为尤得整数部分，记作[X]、

函数

y=[x]

称为取整函数、其定义域为。=(-00,+8),值域为Rf=Z、

中=0,[/]=1,[小-1,[-3、5]=-4、

分段函数：

在自变量得不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示得函数称为分段函数、

min将[2A/X0<X<1

例。函数、

[1+XX>1

这就是一个分段函数，其定义域为D=[0,l]u(0,+oo)=[0,+8)、

当0<x<l时，y=2\[x;当x>l时,y=l+x、

例如f(1)=2^=V2；f(l)=2VT=2;八3)=1+3=4、

2、函数得几种特性

(1)函数得有界性

设函数八x)得定义域为数集Xu。、如果存在数Ki,使对任一xeX,有式x)W及,则

称函数八x)在X上有上界，而称K为函数在X上得一个上界、图形特点就是y=/U)得

图形在直线产Ki得下方、

如果存在数K2,使对任一xeX,有式x)2感,则称函数人x)在X上有下界，而称K?为函

数式的在X上得一个下界、图形特点就是，函数y=/(x)得图形在直线广及得上方、

如果存在正数使对任一尤eX,有Ex)区M则称函数兀0在X上有界；如果这样得

M不存在，则称函数/(x)在X上无界、图形特点就是，函数y=/(x)得图形在直线广-M与

y=M得之间、

函数式x)无界，就就是说对任何M,总存在xieX,使|/(x)|>M、

例如

(l)Xx)=sinx在(-00,+oo)上就是有界得：kinx|<K

(2)函数/(元)=上在开区间(0,1)内就是无上界得、或者说它在(0,1)内有下界，无上界、

X

这就是因为，对于任一总有无1:。(百<\<1,使

玉

所以函数无上界、

函数/0)=上在(1,2)内就是有界得、

X

(2)函数得单调性

设函数y=用0得定义域为Z),区间/u。、如果对于区间/上任意两点xi及尤2,当xi<%2

时，恒有

则称函数1尤)在区间/上就是单调增加得、

如果对于区间I上任意两点XI及X2,当X1<X2时，恒有

则称函数1尤)在区间/上就是单调减少得、

单调增加与单调减少得函数统称为单调函数、

函数单调性举例：

函数>=/在区间(-00,0］上就是单调增加得，在区间［0,+00)上就是单调减少得，在(-00,

+00)上不就是单调得、

(3)函数得奇偶性

设函数危)得定义域。关于原点对称(即若无eD,贝Mxe。)、如果对于任一xe。，有

於x)=flx),

则称负尤)为偶函数、

如果对于任一xeQ,有

於x)=-fix),

则称式尤)为奇函数、

偶函数得图形关于y轴对称，奇函数得图形关于原点对称，

奇偶函数举例：

yK2,y=cosx都就是偶函数、y=x3,y=sinx都就是奇函数,y=sinx+cos尤就是非奇非偶

函数、

(4)函数得周期性

设函数近尤)得定义域为D、如果存在一个正数I，使得对于任一xeD有(x±/)eD且

加+Z)=於)

则称武龙)为周期函数,I称为兀0得周期、

周期函数得图形特点：在函数得定义域内，每个长度为/得区间上，函数得图形有相

同得形状、

3.反函数与复合函数

反函数：

设函数了:。母P)就是单射，则它存在逆映射广|：八。)-2称此映射广1为函数/得反

函数、

按此定义，对每个昨式。)，有唯一得尤©。，使得式x)=y,于就是有

这就就是说，反函数/1得对应法则就是完全由函数/得对应法则所确定得、

一般地,y=fi,x),xeD得反函数记成y=f^(x),尤京£))、

若/就是定义在。上得单调函数，则/：。母。)就是单射，于就是了得反函数广1必定

存在，而且容易证明广1也就是八。)上得单调函数、

相对于反函数、=广1(尤)来说，原来得函数y=/U)称为直接函数、把函数y=/(x)与它得反

函数

y=f—*尤)得图形画在同一坐标平面上，这两个图形关于直线y=x就是对称得、这就是因为

如果P(a,6)就是y=/(x)图形上得点，则有二式①、按反函数得定义，有a=f-i(b),故Q(b,a)

就是y=/-i(x)图形上得点；反之，若。(瓦。)就是yg7(x)图形上得点，则P(a,b)就是y=A尤)

图形上得点、而P(a,6)与。(4°)就是关于直线产x对称得、

复合函数：

复合函数就是复合映射得一种特例，按照通常函数得记号，复合函数得概念可如下表

述、

设函数丫=危/)得定义域为。1,函数a=g(x)在。上有定义且g(Q)u£)i,则由下式确定得

函数

y=Ag(x)],X&D

称为由函数"=g(x)与函数y=A")构成得复合函数，它得定义域为D,变量U称为中间变量、

函数g与函数/构成得复合函数通常记为了*,即

(/。8)刃以尤)]、

与复合映射一样，g与/构成得复合函数了”得条件就是：就是函数g在。上得值域

g(。)必须含在/得定义域内，即g(Q)u。/、否则，不能构成复合函数、

例如，y=/(M)=arcsinu,得定义域为[T,1],w=g(x)=2-\/l-x2itD=[-l,1]

上有定义，且g(0u[-1,1],则g与/可构成复合函数

y=arcsin2-\/l--x2,xeD;

但函数y=arcsin”与函数”=2+f不能构成复合函数，这就是因为对任xeR,“=2+/均不在

y=arcsinu得定义域[T,1]内、

多个函数得复合：

4、函数得运算

设函数;(X),g(X)得定义域依次为则我们可以定义这两个函数得

下列运算：

与(差y±g:(f±g)(x)=fix)±g(x),X&D-

积/:(/•g)(x)H»g(x),xe£>；

商工：(工)(x)=^1,xe£>\{x|g(x)=。}、

ggg(尤)

例11设函数於)得定义域为(-/,/),证明必存在(-/,/)上得偶函数g(x)及奇函数/i(x),使

得

j\x)=g(x)+h(x).

分析如果/U)=g(x)+/z(无)，贝I]/(-x)=g(尤)_/7(尤)，于就是

g(x)=^[/(x)+/(-x)]./z(x)=^[/(x)-/(-x)]>

证作g(x)=g"(x)+y(-x)],/?(x)=-1[j(%)-/(-%)],则/u)=ga)+/i(x),

且g(-x)=^[f(-x)+f(x)]=g(x),

以一x)=g[f(-x)-f(尤)]=-g[/(x)—-尤)]=-/?(尤)、

5、初等函数

基本初等函数：

幕函数:y=x〃(〃eR就是常数)；

指数函数:y=ax(a>0且awl);

对数函数:y=log°x(a>0且awl,特别当a=e时，记为y=lnx);

三角函数：y=sinx,j=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx;

反三角函数:y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx、

初等函数：

由常数与基本初等函数经过有限次得四则运算与有限次得函数复合步骤所构成并可

用一个式子表示得函数，称为初等函数、例如

y=71-^2,y=sin2x,y=Jcot]

等都就是初等函数、

双曲函数：

双曲正弦：shx=e-e;

2

双曲余弦：chx=e+e一;

2

双曲正切：*西一〜4

chxex+e~x

双曲函数得性质：

sh(x+y)=shx'chy±chx-shy;

ch(x±y)=chx-chy±shx-shy、

ch2x-sh2x=l;

sh2x=2shx-chx;

ch2x=ch2x+sh2x、

下面证明sh(x+y)=sh»chy+chxshy:

shxchy+chxshy=-----------+

22------22

/+，x-y-e~(x+y)ex+y+ey~x-ex~y-e~(x+y)

+e=----------------------+----------------------

44

x_6-(%+>)

e+y

=-----------------=sh(x+y)、

反双曲函数：

双曲函数尸shx,y=chX(A：>0),y=thx得反函数依次为

反双曲正弦:y=arshx;

反双曲余弦:y=archx;

反双曲正切:y=arthx、

反双曲函数得表示达式：

y=arshx就是4shy得反函数，因此，从

中解出y来便就是arshx、令则由上式有

U2-2XW-1=0>

这就是关于打得一个二次方程，它得根为

u=x±yX2+1、

因为〃=〃〉0,故上式根号前应取正号，于就是

u=x-\-yX2+1、

由于y=ln",故得

y=arshx

函数尸arshx得定义域为(-co,+co),它就是奇函数，在区间(-co,+(»)内为单调增加得、

类似地可得

y=archx=ln(x+-Jx1-1),y=arthr=-、

21-x

§1、2数列得极限

一个实际问题：

如可用渐近得方程法求圆得面积？

设有一圆，首先作内接正四边形，它得面积记为4;再作内接正八边形，它得面积记为

4；再作内接正十六边形，它得面积记为小；如此下去，每次边数加倍，一般把内接正8X

2"」边形得面积记为4、这样就得到一系列内接正多边形得面积：

AI,Az,4,......,A,„■■■

设想〃无限增大(记为〃-00,读作〃趋于穷大)，即内接正多边形得边数无限增加，在这个

过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时An也无限接近于某一确定得数值，这个确定得

数值就理解为圆得面积、这个确定得数值在数学上称为上面有次序得数(数列)A1,A2,A3,

•••,4,•一当〃fco时得极限、

数列得概念:如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n有一个确定得数与，则得

到一列有次序得数

X1,无2,尤3,...,X",...

这一列有次序得数就叫做数列，记为｛/｝,其中第W项X"叫做数列得一般项、

数列得例子：

<_n_卜23.

tn+lb253'4'，〃+1，

｛2'｝:2,

(J_J_JLJ_..._L...•

’2"'2，4'8，’2「‘

｛(-1)«+>｝:1,-1,

f〃+(T)"TIc14〃+

t--------1：2，不，可，,一，--------，•一、

n25n

它们得一般项依次为—J,2n,上，(-1)"+\〃+(T”、

n+l2nn

数列得几何意义:数列｛x.｝可以瞧作数轴上得一个动点，它依次取数轴上得点尤1,X2,X3,

数列与函数:数列｛%｝可以瞧作自变量为正整数W得函数：

Xn=f(n),

它得定义域就是全体正整数、

数列得极限：

数列得极限得通俗定义:对于数列｛斯｝,如果当“无限增大时，数列得一般项％无限地

接近于某一确定得数值凡则称常数a就是数列｛斯｝得极限，或称数列｛与｝收敛。、记为

limx,产a、如果数列没有极限，就说数列就是发散得、

H—>00

例如

「n11.1八「〃+(—1)"T1

lim——-=1,hm—=0,lim——----=1;

M—>00H+1n-»oo2"n—>(x>Tl

而｛2〃｝,｛(-ir+'j,就是发散得、

对无限接近得刻划：

Xn无限接近于a等价于%-a|无限接近于0,

极限得精确定义：

定义如果数列｛融｝与常a有下列关系:对于任意给定得正数£(不论它多么小)，总存

在正整数N,使得对于w>N时得一切见,不等式

\xn-a\<s

都成立，则称常数。就是数列｛X"｝得极限，或者称数列｛x〃｝收敛于a,记为

limxn=a或Xn-^-a(nf00)、

8

如果数列没有极限，就说数列就是发散得、

lim尤〃=a=V£>0,mNwN+,当〃AN时，有|玄一〃|<£、

数列极限得几何解释：

例题：

例1、证明lim讨Q=l、

分析:k,-H=lw+(~1)，，-1-i|=-、

nn

对于Ve>0,要使VT<£,只要BPn>—>

n£

证明：因为V£>0TN=[8EN+,当九〉N时，有

8

•1i_I〃+(—1)"-11_1

\^n-1|=I11——<£j

nn

所以lim"+(T)e=l、

n->oon

例、证明、

2lim2=0

A?—>00(n+1)

分析：k«-0|=|-0|=7~~、

(n+1)2(〃+l)2n+1

对于X/£>0,要使|&—0|<£,只要」即心!—1、

n+1£

证明：因为V£>O「N=PTeN+,当〃>N时,有

£

|x「0|=|(T)；_0|=—,

(n+1)2(n+1)2n+1

所以lim7m=0、

2

n—>oo(n+1)

例3、设|q|<l,证明等比数列

l,q,q2,---,qn~\■■•

得极限就是0、

分析：对于任意给定得£>0,要使

|x“-0|=|/』一0|=|歼-<£,

只要">log⑷£+l就可以了，故可取N=[log|g|£+1]。

证明：因为对于任意给定得£>0,存在N=[log@£+l],

当n>N时，有

|六-0|=|严七,

所以limq，T=0、收敛数列得性质：

n—>co

定理1(极限得唯一性)数列｛X"｝不能收敛于两个不同得极限、

证明：假设同时有limx〃=a及limx〃=6,且。<6、

按极限得定义，对于£=怨>0,存在充分大得正整数N,

使当心N时，同时有

\xn-a\<s=R\xn-b\<s=-^-,

因此同时有

尤<立及x>^±«

人〃、2X人〃/2，

这就是不可能得、所以只能有。=从

数列得有界性：对于数列｛与｝,如果存在着正数M使得对一切居都满足

不等式

\Xn\<M,

则称数列｛法｝就是有界得；如果这样得正数M不存在，就说数列

｛尤"｝就是无界得

定理2(收敛数列得有界性)如果数列｛与｝收敛，那么数列｛X,,｝一定有界、

证明：设数列｛/｝收敛，且收敛于a,根据数列极限得定义，对于£=1,存在正整数N,

使对于w>N时得一切X”，不等式

\xn-a\<s=\

都成立、于就是当心N时，

|xn|=|（xn-d）+a\<|xn-a\+\a\<\+\a\>

取A/=max｛|xi|,\x^,■■•,|XTV|,1+1a|｝,那么数列｛—｝中得一切x”都满足不等式区V、

这就证明了数列｛/｝就是有界得、

定理3收敛数列得保号性）如果数列｛无“｝收敛于a,且a>0（或。<0）,那么存在正整数

N,当“>"吐有X”>0（或无“<0）、

证就。>0得情形证明、由数列极限得定义，对£=?>0TNeN+,当心N时，有

..a

氏一小子

从而

推论如果数列｛现｝从某项起有x后0（或x.WO）,且数列｛/｝收敛于凡那么应0（或。40）、

证明就无启0情形证明、设数列｛X"｝从M项起，即当w>N1时有无，之0、现在用反证

法证明，或。<0,贝I由定理3知，以2小+,当力>N2时，有x”<0、取N=max｛Ni,N?｝,当

">N时，按假定有x.20,按定理3有x“<0,这引起矛盾、所以必有。20、

子数列：在数列｛/｝中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中得先后次序，这样

得到得一个数列称为原数列｛为,｝得子数列、

例如，数列｛无“｝：1,-1,1,-1,•••,（一1）田•一得一子数列为｛X2"｝：-1,-1,-1,•一,（-1）22-

•定理3（收敛数列与其子数列间得关系）如果数列｛x“｝收敛于“，那么它得任一子数列

也收敛，且极限也就是a、

证明：设数列｛x.J就是数列｛斯｝得任一子数列、

因为数列｛X.｝收敛于a,所以V£>0,mNeN+,当">N时，有用,-水£、

取K=N,则当k>K时,n^k>K=N、于就是|当-a\<£、

这就证明了lim.x=a、

28k

讨论：

1、对于某一正数£o,如果存在正整数N,使得当w>N时，有比,-。|<£0、就是否有％

—>a（ji-8）、

2、如果数列｛%｝收敛，那么数列｛X"｝一定有界、发散得数列就是否一定无界？有界

得数列就是否收敛？

3、数列得子数列如果发散，原数列就是否发散？数列得两个子数列收敛，但其极限

不同，原数列得收敛性如何?发散得数列得子数列都发散吗？

4.如何判断数列1,-1,1,-1,…,（-1严*-.就是发散得？

§1、3函数得极限

一、函数极限得定义

函数得自变量有几种不同得变化趋势：

X无限接近X0:尤—尤0,

X从项得左侧（即小于Xo）无限接近X0：,

X从Xo得右侧（即大于xo）无限接近XQ：X一项+,

X得绝对值|x|无限增大:XfCO,

X小于零且绝对值|无|无限增大:尤f-00,

X大于零且绝对值国无限增大：Xf+00.

1.自变量趋于有限值时函数得极限

通俗定义：

如果当x无限接近于X0,函数於）得值无限接近于常数A,则称当无趋于回吐府）以

A为极限、记作

lim«r）=A或/（x）.A（当x—x0）>

x->x0

分析：在xfxo得过程中，#元）无限接近于A就就是［A%）T|能任意小，或者说，在工与

的接近到一定程度（比如|%-对朝5为某一正数）时，可以小于任意给定得（小得）正数

即以）-4|<£、反之，对于任意给定得正数£,如果%与接近到一定程度（比如|XTo|<a

汹某一正数）就有"则能保证当时,段）无限接近于A、

定义1设函数应1）在点必得某一去心邻域内有定义、如果存在常数A,对于任意给定

得正数£（不论它多么小），总存在正数a使得当X满足不等式0<|x-冲|<5时，对应得函数值

人的都满足不等式\KX）-A\<£,

那么常数A就叫做函数当Xfxo时得极限，记为

limf（x）=A或当xfxo）、

定义得简单表述：

limf（x）=AoX/6>0,3<5>0,当0<|元—却<加寸，\f（x）-A\<£.

-0

函数极限得几何意义：

例1、证明limc=c、

证明：这里|/（%）-A|=|c-c|=O,

因为\/6>0,可任取尾0,当0<|元—期|<5时，有

\f（x）-A\=\c-c\=O<s,

所以limc=c、

例2、证明limx=%o、

分析：I/O）-A|=|x-xo|、因止匕X/e〉O,要使只要|%-配1<£.

证明：因为Ve>0,m5=£,当O<|x-%o|<5时，有|/（XH4|=|X-XO|<£,所以limx=Xo、

Xf%0

例3、证明lin<2x-l)=l、

分析:\f[x)-A\=\(2x-l)-l\=2\x-l\.

Vf>0,要使如)-用<£，只要比-1|告、

证明：因为\/£>0,眸£/25=1，当0小一1|<5时，有阿一川=|(2尤-1)-1|=2|无一1|<£,

所以lin(2元—1)=1、

X—>1

例4、证明lim±L2、

x—>1X~i

分析：注意函数在尤=1就是没有定义得，但这与函数在该点就是否有极限并无关系、

丫2―1

当今1吐府)—A|邛2|二仅—1|、Ve〉O,要使|X%)—A|<£,只要、

x-1

v*2-1

证明：因为\/£>0,三照£，当0<仅一1|<5时，<|»-A|=1^——2|=k-l|<£,

尤-1

所以lim==2、

x—>1X—1

单侧极限：

若当xfxo-时,7U)无限接近于某常数A,则常数A叫做函数式x)当XfXO时得左极限,

记为lim/(x)=A或人/-)=4;

%—>10一

若当XfXO+时，式x)无限接近于某常数A,则常数A叫做函数当XfXO时得右极限,

记为lim/(x)=A或/Oo+)=A、

X-«0+

讨论：1、左右极限得£—旋义如何叙述？

2、当XfXO时函数近尤)得左右极限与当XfXO时函数兀0得极限之间得关系怎样？

提示：左极限得£-5定义：

lim/(X)=AO\/£>0,3<5>O,VX:XQ-3<X<XO,有[/(尤)-A|<£、

X—>10一

liqf(x)=A=X/s>0,38>0,Vx:xo<x<xo+3,有|/(兀)一川<£、

lim/(x)=A=limf(x)=A且lim^f(x)=A>

-+

%—%ox—>x0x—>x0

x-1x<0

例5函数/(尤)=<0x=0当％-0时得极限不存在、

x+1x>0

这就是因为,

limf(x)=lim(x-l)=-l,

%-o-%—o-

lim/(x)=lim(x+l)=l,

x->0+%->0+

lim/(x)wlimf(x).

xf0-0+

2.自变量趋于无穷大时函数得极限

设式尤)当|X|大于某一正数时有定义、如果存在常数/,对于任意给定得正数£，总存在

着正数X,使得当X满足不等式|x|>X时，对应得函数数值大犬)都满足不等式

[fix)-A\<£,

则常数A叫做函数式x)当xf00时得极限，记为

limf(x)=A或於)—A(x—>co)、

lim/(x)=A«V£>0,3X>0,当国>X时，有

8

类似地可定义

limf(x)=A与limf(x)=A、

X—>-coX—>+oo

结论：lim/(x)=A<^>lim/(x)=A且limf(x)=A、

X—>00X—>-00%—>4<o

极限limf(x)=A得定义得几何意义

00

例6、证明lim—=0、

x—>ooX

分析：|/(x)—A|日工一0|=2、\/£>0,要使施c)-A|<£，只要|x|>1、

证明：因为V£>0,mx=L>0,当|x|>X时，有|y(x)—A|=|'—0|==<£,

所以lim—=0、

x—>ooX

直线y=0就是函数>=’得水平渐近线、

一般地，如果lim/(x)=c,则直线y=c称为函数y=/(x)得图形得水平渐近线、

X—>00

二、函数极限得性质

定理1(函数极限得唯一性)

如果极限lim/(x)存在，那么这极限唯一、

定理2(函数极限得局部有界性)

如果大x)fA(xfxo),那么存在常数M>0与高使得当O<|x-xo|«5H寸，有%x)区M、

证明因为兀0fA(xfxo),所以对于£=1「企>0,当0<|x-尤o|<用寸，有

—<£=1,

于就是

\f[x)\=\f(x｝-A+A\<\f(x)-A\+\A\<l+\A].

这就证明了在X0得去心邻域｛x|o<|xfo|<s｝内,Kx)就是有界得.

定理3(函数极限得局部保号性)

如果加)xo),而且A>0(或A<0),那么存在常数80,使当O<|x-xo|<刷\有

危)>0(或式x)<0)、

证明：就A>0得情形证明.

A

因为limf(x)=A,所以对于£=k「S>0,当O<|XTO|<3时，有

%->的2

AAA

\f(x)-A\<s=—oA--<f(x)=f(x)>—>0.

定理3，

如果大尤)-M(xfxo)(AM),那么存在点尤o得某一去心邻域,在该邻域内，有尤)1>；1川、

推论如果在尤o得某一去心邻域内/(x)20(或兀x)40),而且式x)fA(尤-xo),那么420(或

A<0)>

证明：设/(x)20、假设上述论断不成立，即设A<0,那么由定理1就有xo得某一去心

邻域，在该邻域内穴x)<0,这与_/(x)20得假定矛盾、所以A20、

定理4(函数极限与数列极限得关系)

如果当xfxo时段)得极限存在，｛X,,｝为段)得定义域内任一收敛于xo得数列，且满足加

wxo("eN+),那么相应得函数值数列伏X”)｝必收敛，且

lim/(x„)=lim/(x).

n—>oox—>x0

证明设於)f4(xfxo),贝i]V£>0,mS>0,当O<|x-xo|<5时，有心)一用<£.

又因为尤,fxo(wfoo),故对5>0「NeN+,当w>N时，有%-却<5.

由假设,X"Xxo(weN+).故当〃>N吐0<|尤”-xo|<S,从而即

lim/(x„)=lim/(x)

n—>ooxf%o

§1、4无穷小与无穷大

一、无穷小

如果函数y(x)当XfX0(或xfco)时得极限为零，那么称函数«r)为当Xfxo(或x->co)时得

无穷小、

特别地，以零为极限得数列｛与｝称为oo时得无穷小.

例如，

因为所以函数工为当xf8时得无穷小、

X-X

因为lim(x-l)=O,所以函数为％-1当%-1时得无穷小、

%->i

因为lim^-=O,所以数列｛―1｝为当“foo时得无穷小、

nfgn+1〃+1

讨论：很小很小得数就是否就是无穷小？。就是否为无穷小？

提示：无穷小就是这样得函数，在Xfxo(或Xf00)得过程中，极限为零.很小很小得数

只要它不就是零，作为常数函数在自变量得任何变化过程中，其极限就就是这个常数本身,

不会为零.

无穷小与函数极限得关系：

定理1在自变量得同一变化过程xfX0(或尤-00)中，函数式乃具有极限A得充分必要

条件就是式x)=A+a,其中&就是无穷小、

证明：设hmf(x)=A,\/£>0,35>0,使当O<|XTO|<5时，有

工一工0

|/U)T|<£、

令隼贝l]a就是XfXo时得无穷小，且

j[x)=A+a、

这就证明了作)等于它得极限A与一个无穷小a之与、

反之，设/(x)=A+a,其中A就是常数,a就是xfxo时得无穷小，于就是

--2⑸、

因c就是XfX0时得无穷小，V£>o,35>0,使当O<|XTO|<5,有

|a|<£或[/(X)-A|<£

这就证明了A就是人x)当尤f