专题拓展圆锥曲线的定点定值定直线问题（技巧解密5考点过关检测）

专题拓展：圆锥曲线的定点、定值、定直线问题一、圆锥曲线过定点问题处理方法1、参数无关法把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。2、特殊到一般法根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。3、关系法对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。二、圆锥曲线定值问题的处理方法1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算。三、定直线问题的处理方法定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题这类问题的核心在于确定定点的轨迹，主要方法有：（1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程；（2）待定系数法：设出含参数的直线方程、待定系数法求解出系数；（3）验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证考点一：圆锥曲线中直线过定点例1．（2324高二下·广东中山·月考）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）由题知，，，，由的面积为，得，又，代入可得，，∴椭圆的方程为.（2）联立得，设，，可得，，由题知，即，即，解得，∴直线的方程为，故直线恒过定点.【变式11】（2324高二下·四川成都·月考）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．(1)证明：曲线C为双曲线的一支；(2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)直线恒过定点，，【解析】（1）证明：由题意知圆M：的圆心为，圆N：的圆心为如图，设圆E的圆心为，半径为r，由题可得圆M半径为3，圆N半径为1，则，，所以，由双曲线定义可知，E的轨迹是以，为焦点、实轴长为4的双曲线的右支又，，所以动圆的圆心E的轨迹方程为，，即曲线的方程为.（2）设直线的方程为，联立，消去得，由题意直线与曲线有两个交点，则，,设，，其中，，由韦达定理得：，，又点，所以，，因为，所以，则，即，解得（舍去），当，直线的方程为，，故直线恒过点，．【变式12】（2324高二上·福建厦门·月考）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且A到的焦点的距离为1．(1)求的方程；(2)若直线与抛物线C交于两点，，且，试探究直线是否过定点，若是，请求出定点坐标，否则，请说明理由．【答案】(1)；(2)直线过定点【解析】（1）依题意可得，解得，所以抛物线方程为：；（2）设直线显然存在，联立方程，化简可得所以在抛物线C上，故，，解得或，因为，所以，得所以直线过定点.考点二：圆锥曲线中动圆过定点例2.（2324高二上·广东梅州·期末）已知圆，点，动圆经过点，且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为．(1)求轨迹的方程；(2)过点的动直线交曲线于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，【解析】（1）由已知，故点在圆内部，所以圆与圆内切，设，则，因此为以焦点的椭圆，设该椭圆长半轴长为，短半轴长，半焦距为，且知，于是，因此轨迹的方程为.（2）设轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，设直线的方程为，联立方程，整理得，，设，则，则，即有:，而，，代入上式得，整理可得:，可见总满足上面等式，即轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.【变式21】（2324高二下·湖北·月考）已知常数，向量，，经过点的直线以为方向向量，经过点的直线以为方向向量，其中．(1)求点的轨迹方程，并指出轨迹．(2)当时，点为轨迹与轴正半轴的交点，过点的直线与轨迹交于、两点，直线、分别与直线相交于，两点，试问：是存在定点在以、为直径的圆上？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)详见解析；(2)定点的坐标为，，理由见解析.【解析】（1）由题设有，.设，则，因为直线以为方向向量，故，因为直线以为方向向量，故，当时，，故点的轨迹过，当时，由可得，故，整理得到.综上，点的轨迹的方程，轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线.（2）当时，点的轨迹方程，故，由题设可得的斜率不为零，设，，又，，故，故以、为直径的圆的方程为：，.由可得，，而，故，故以、为直径的圆的方程可化简为：，其中，令可得或，故以、为直径的圆过定点，其坐标为，.【变式22】（2324高二上·广东佛山·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且满足．(1)求点的坐标及的方程；(2)设过点的直线与相交于两点，且不过点，若直线分别交的准线于两点，证明：以线段为直径的圆恒过定点．【答案】(1)；；(2)证明见解析.【解析】（1）设点，点，则有，则，因为点在上，故，解得：或（舍），即，所以点的坐标为，方程为.（2）由对称性可知：以线段为直径的圆所过定点在轴上.设直线l的方程为，代入，得设点，，则，因为，所以，直线的方程为，令，得，所以点同理，点，设以线段为直径的圆与轴的交点为，则，因为，则，即，则，解得：或，故以线段为直径的圆所过定点为和.考点三：圆锥曲线的定值问题例3.（2324高二下·云南昆明·月考）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）∵抛物线的焦点为，∴椭圆的半焦距为，又，得，.∴椭圆的方程为（2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，联立，得.，即，设，，则，，∴，∴.∴为定值【变式31】（2324高二上·陕西西安·月考）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上．(1)求双曲线的方程;(2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值；【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）因为，所以，所以双曲线的方程为，即因为点在双曲线上，所以，所以所以所求双曲线的方程为即（2）由题意可得直线OP的斜率存在，可设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，由，得，所以同理可得，，所以【变式32】（2324高二上·河南焦作·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线，动点到的距离等于.设动点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)若直线与曲线交于两点，证明：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】（1）由题设及抛物线定义知，动点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以动点的轨迹的方程为.（2）由（1）所得轨迹方程，联立直线，可得，且，故，，所以，又为定值，得证.考点四：圆锥曲线的定直线问题例4.（2324高二下·吉林长春·月考）已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，椭圆C离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN交于点Q，求证：点Q在直线上．【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）因为，椭圆C离心率为，所以，解得，．所以椭圆C的方程是；（2）①若直线l的斜率不存在时，因为椭圆C的右焦点为，所以直线l的方程是，所以点M的坐标是，点N的坐标是，所以直线AM的方程是，直线BN的方程是．所以直线AM，BN的交点Q的坐标是，所以点Q在直线上．②若直线l的斜率存在时，设斜率为k．所以直线l的方程为．联立方程组消去y，整理得．显然．不妨设，，所以，．所以直线AM方程是．令，得．直线BN的方程是．令，得．所以．其中．所以点Q在直线上【变式41】（2324高二上·福建福州·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】（1）因为渐近线方程为，所以，设双曲线为，代入得，双曲线的标准力程为；（2）法一、设直线，联立双曲线得：，，且；设直线，联立双曲线得：，，且；所以则设，则，两式相除消得所以在直线上；法二、设直线，直线，由于，即，由于，即，则.设，则，两式相除消得所以在直线上；【变式42】（2324高二上·湖北·期末）已知抛物线的焦点为，设动点的坐标为．(1)若，求过点与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；(2)设过动点的两条直线均与相切，且的斜率分别为，满足．证明：动点在一条定直线上．【答案】(1)或；；(2)证明见解析【解析】（1）当经过点P的直线不存在斜率时，直线方程即为，与抛物线抛物线C：有且只有一个公共点，符合题意，当经过点P的直线存在斜率时，不妨设直线方程为，代入抛物线方程化简得：，，即，直线方程即为因此所求直线方程为或；（2）证明：设过点P与抛物线C的相切的切线方程为，由，消去整理得，因为与抛物线C相切，所以，即．又因为，是方程的两根，则有，由，可得，即从而动点在直线上.考点五：圆锥曲线的定曲线问题例5.（2223高二上·河北·月考）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，．(1)求的方程；(2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上．【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）依题意设的方程为，因为经过点，，所以，解得，故的方程为．（2）证明：设直线的斜率分别为，，，．将代入，得．由题设可知，，，所以，所以，所以．因为，所以，所以，故点在抛物线上，即点在一条定抛物线上．【变式51】（2324高二上·重庆·期中）如图，线段的两个端点分别在轴、轴上滑动，，点是上一点，且，点随线段的运动而变化.(1)求点的轨迹方程；(2)动点在曲线外，且点到曲线的两条切线相互垂直，求证：点在定圆上.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】（1）由题设，令，则，由，点是上一点，且，所以，故，即，则，所以.（2）令，若切线斜率存在且不为0，令切线为，则，联立与，得，所以，即，所以，则，又点到曲线的两条切线相互垂直，若两切线斜率分别为，故，即，若切线斜率不存在或为0，则坐标为或或或，它们都满足，综上，点在定圆上.【变式52】（2324高二上·江苏南京·期中）已知点，在双曲线：上，过点作直线交双曲线于点，（不与点，重合）.证明：(1)记点，当直线平行于轴，且与双曲线的右支交点为时，，，三点共线；(2)直线与直线的交点在定圆上，并求出该圆的方程.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；.【解析】（1）由题意，当直线平行于轴时，方程为，且与双曲线的右支交点为，则，的斜率，的斜率，所以，，三点共线.（2）由题知直线斜率存在，且过，设，与双曲线联立得：，且则，设直线与直线的交点为，斜率分别为，则，，在中，，，由正弦定理得外接圆半径，所以在过且半径为的圆上，设其圆心为，因为，，在线段的中垂线上，所以在轴上，设，则由或（舍），所以定圆方程为.1．（2324高二上·湖南长沙·月考）已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】（1）由得，所以椭圆的标准方程为.（2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意.所以直线斜率存在，设直线的方程为.设、，由得，所以，.

因为，所以，即，整理得，化简得，所以直线的方程为，所以直线过定点.2．（2324高二上·四川内江·期末）已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，且，离心率为，为椭圆的右焦点，为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)过且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求的面积；(3)设是椭圆上不同于的一点，直线、与直线分别交于点、.证明：以线段为直径的圆过定点，并求出定点的坐标.【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析；【解析】（1）由题意知，，则，又离心率，所以，则，所以椭圆的方程为.（2）由题知，,则过且斜率为1的直线方程为，即，联立，消去得，设，则，则，又点到直线的距离，所以的面积.（3）由（1）得，设，则，即；直线，直线，点纵坐标点纵坐标，即，以为直径的圆的方程为:，由对称性可知:以为直径的圆所过定点位于轴上，设，，，解得或，以为直径的圆过点.3．（2324高二下·山西朔州·月考）已知椭圆C：(a＞b＞0)的右焦点F2与抛物线y2＝4x的焦点重合，且其离心率为．(1)求椭圆C的方程．(2)已知与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，线段MN中点为P，问：kMN·kOP(O为坐标原点)是否为定值？请说明理由．【答案】(1)；(2)kMN·kOP为定值，定值为；理由见解析【解析】（1）∵抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，∴椭圆C的半焦距c＝1，又椭圆的离心率，，因此椭圆C的方程为；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为y＝kx＋m，将y＝kx＋m代入，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，Δ＞0，可得m2＜4k2＋3．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，，因为线段MN中点为P，所以，因此，所以kMN·kOP.4．（2023·四川资阳·模拟预测）椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程．(2)过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．【答案】(1)；(2)点M在定直线上【解析】（1）设椭圆E的方程为．则，解得，故椭圆E的方程为．（2）依题可设直线l的方程为，，，．联立方程组，整理得，则，直线AP的方程为，直线BQ的方程为，联立方程组，得由，得，得．所以.故点M在定直线上．5．（2324高二上·广东惠州·月考）已知双曲线的焦距为4，且过点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点．【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）由题意得，得，所以，因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线方程为．（2），设直线方程为，，由，得，则，所以，所以的中点，因为，所以用代换，得，当，即时，直线的方程为，过点，当时，，直线的方程为，令，得，所以直线也过定点．6．（2324高二上·重庆·月考）已知点，，动点与点，连线的斜率之积为.(1)求点的轨迹方程；(2)设直线，与直线分别交于，两点，求证：以为直径的圆过两定点.【答案】(1)；(2)以为直径的圆过两定点和，证明见解析【解析】（1）设点，由题意，即，化简可得，故点的轨迹方程为（2）由对称性可得，当取关于轴对称的两个位置时，所成的以为直径的两个圆也关于轴对称，故若以为直径的圆过两定点，则定点必在轴上，设为.设，，，则由可得，即，故，同理，故.则，故，即.又，故，则，解得或.即以为直径的圆过两定点和7．（2324高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点到渐近线的距离为1，且离心率为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线（直线的斜率不为0）与双曲线交于，两点，若，分别为直线，与轴的交点，记，的面积分别记为，，求的值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）设，其中一条渐近线方程为，即，则焦点到渐近线的距离，又，则，则，所以双曲线方程为；（2）由（1）知，设直线，,联立，得，，，，直线的方程为，当时，，直线的方程为，当时，，即，，如图可知，，，，，当，时，，，所以，即，当时，，所以.8．（2324高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)过点的直线与曲线交于两点，直线与相交于．求证：点在定直线上．【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1），，，整理可得：，又，曲线的方程为：.（2）由题意知：直线斜率不为，则可设，设，则直线，直线，由得：，由得：，则，即，，，，，解得：，即点在定直线上.9．（2324高二上·四川成都·月考）已知点F是抛物线的焦点，动点P在抛物线上.(1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)设直线与抛物线交于D，E两点，若抛物线上存在点P，使得四边形为平行四边形，证明：直线过定点，并求出这个定点的坐标.【答案】(1)，；(2)证明见解析，【解析】（1）根据抛物线标准方程可得：焦点，准线.（2）设，，，，直线l为，联立.则，，所以，因为四边形是平行四边形，所以，则，所以，，代入，得：，解得，即直线过定点.10．（2324高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，当直