华师大新版八年级下学期《19.2.2菱形的判定》同步练习卷

华师大新版八年级下学期《19.2.2菱形的判定》

同步练习卷

一.选择题（共4小题）

1.如图，^ABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD〃BC,PE〃AC,分别

交AC,BC于点D,E,连按CP.若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的

A.CP平分NACBB.CP1AB

C.CP是AB边上的中线D.CP=AP

2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,

DB,下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（)

C.ZABE=90°D.BE平分NDBC

3.如图，等边4ABC沿射线BC向右平移到aDCE的位置，连接AD、BD,则下

列结论：

①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④/ACD=NDCE,

4.如图，在口ABCD中，AM,CN分别是/BAD和NBCD的平分线，添加一个条

件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）

B.MN±AC

C.MN是NAMC的平分线D.ZBAD=120°

二.填空题（共2小题）

5.平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,BD=2AD,E、F、G分别

是0C、0D,AB的中点.下列结论：①EG=EF；②4EFG名Z\GBE；③FB平

分NEFG；④EA平分NGEF；⑤四边形BEFG是菱形.其中正确的是.

6.如图在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,D为斜边AB上一点,以CD、

CB为边作平行四边形CDEB,当AD=,平行四边形CDEB为菱形.

三.解答题（共32小题）

7.已知：如图，已知AD是RtAABC斜边BC上的高，NB的平分线交AD于M

交AC于E,NDAC的平分线交ME于0,交CD于N.求证：四边形AMNE是

菱形.

8.已知：如图，AF〃DE,AC平分NBAD交DE于点C,DB平分NADC交AF于

点B,连接BC.求证：四边形ABCD是菱形

9.如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ〃DB,

且CQ=DP,连接AP、BQ、PQ.

(1)求证：ZSAPD之△BQC；

(2)若NABP+NBQC=180。，求证：四边形ABQP为菱形.

0

10.如图，已知点P为NACB平分线上的一点，ZACB=60°,PDLCA于D,PE±

CB于E.点M是线段CP上的动点(不与两端点C、P重合)，连接DM,EM.

(1)求证：DM=ME；

(2)当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由.

11.如图，在△ABC中，AB=AC,AD_LBC于D,点E,F分别是AB,AC的中点.求

证：四边形AEDF是菱形.

12.如图,在DABCD中，AB±BD,P,0分别为AD,BD的中点，延长P。交BC

于点Q,连结BP,DQ,求证：四边形PBQD是菱形.

13.如图：在aABC中，NBAC=90°,AD，BC于D,CE平分NACB,交AD于G,

交AB于E,EF1BC于F,

求证：四边形AEFG是菱形.

14.如图，AE〃BF,AC平分/BAD,且交BF于点C,BD平分/ABC,且交AE

于点D,连接CD,求证:

(1)AC±BD；

15.如图，在DABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A

作AG〃DB交CB的延长线于点.

(1)求证：AADE^ACBF；

(2)若NG=90。，求证：四边形DEBF是菱形.

16.在Rt^ABC中NB=90°,ZACB=30°,NBAC的平分线AD交BC于D,过点D

作DE_LAB于E,过A作AF〃BC交DE延长线于点F,连接FC

求证：（1）AAEF^ACED；

17.如图，在aABC中，ZACB=90°,CD为AB边上的中线，过点D作DE±BC

于E,过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F,连接BF,AE.

(1)求证：BF=CF.

(2)当三角形ABC满足什么条件时，四边形BDCF为菱形并说明理由.

18.如图，在AABC中，NABC的平分线BD交AC于点D,BD的垂直平分线分

别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG.

判断四边形EBGD的形状，并说明理由.

A

ED

19.已知，在AABC中，AB=AC=a,M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、

AC的平行线交AC于P,交AB于Q.

(1)求四边形AQMP的周长；

(2)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.

A

20.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA

上，AE=CG,AH=CF,且EG平分NHEF.

求证：(1)AAEH^ACGF；

(2)四边形EFGH是菱形.

21.如图，^ABC中，D是AB上一点，DELAC于点E,F是AD的中点，FG±

BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分NCAB,连接GE,GD.

(1)求证：ZSECG^4GHD；

(2)小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.

(3)若NB=30。，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由.

22.如图，RtaABC中NC=90。，D为AB的中点，分别作AE〃CB、BE〃AC,两

线交于点E,连接DE.作EF〃AB交CB延长线于点F,取EF中点G,连接BG.问

四边形DEGB是什么特殊四边形？说明理由.

23.如图1,RtABAD与RtABCD的直角顶点A、C在斜边BD所在直线的两旁.连

接AC,

（1）点。、E分别是AC、BD的中点，过点C作AE的平行线与E0的延长线交

于点F,求证：四边形AFCE是菱形.

（2）如果Rt^BAD与RtaBCD的直角顶点A、C在斜边BD所在直线的同侧（如

图2）,保持（1）中其它条件不变，则（1）中的结论是否成立？请在图2上

画出相应图形并写明结论.（画出图形，写明结论，不需证明）

（3）在图2中，过B、D两点分别向AC所在直线作垂线，垂足为M、N（如图

3）,则AM与CN是否相等？如果相等，给出证明；如果不相等，请说明理由.

（1）在边AD上取一点M,使点A关于BM的对称点G恰好落在EF上.设BM

与EF相交于点N,求证：四边形ANGM是菱形；

(2)设P是AD上一点，ZPFB=3ZFBC,求线段AP的长.

25.如图，在RtAABC中，ZB=90°,AC=40cm,ZA=60°,点D从点C出发沿

CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以

2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之

停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<tW10).过点D作DF_LBC于点

F,连接DE,EF.

(1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说

明理由；

(2)当t为何值时，^DEF为直角三角形？请说明理由.

26.在RtaABC中，ZBAC=90°,D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF

〃BC交BE的延长线于点F.

(1)求证：△AEFgZ\DEB；

(2)证明四边形ADCF是菱形；

(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.

27.在五边形ADBCE中，ZADB=ZAEC=90°,ZDAB=ZEAC,M、N、0分别为

AC、AB、BC的中点.

(1)求证：△EMO之△OND；

(2)若AB=AC,且NBAC=40。，当NDAB等于多少时，四边形ADOE是菱形，并

28.在AABC中，ZBAC=90°,AD^BC于D,BG平分NABC交AD于E,交AC

于G,GFLBC于F,连接EF.

(1)如图1,求证：四边形AEFG是菱形；

(2)如图2,若E为BG的中点，过点E作EM〃BC交AC于M,在不添加任何

辅助线的情况下，请直接写出图2中是CM长«倍的所有线段.

图1图2

29.如图，在平行四边形ABCD中，CE平分NBCD,交AB边于点E,EF〃BC,

交CD于点F,点G是BC边的中点，连接GF,且N1=N2,CE与GF交于点M,

过点M作MH1CD于点H.

(1)求证：四边形BCFE是菱形；

(2)若CH=1,求BC的长；

(3)求证：EM=FG+MH.

30.如图,在四边形ABCD中，BD为一条对角线,AD〃BC,AD=2BC,ZABD=90",

E为AD的中点，连接BE.

(1)求证：四边形BCDE为菱形；

(2)连接AC,若AC平分NBAD,判断AC与CD的数量关系和位置关系，并说

明理由.

31.如图，^ABC中，NACB的平分线交AB于点D,作CD的垂直平分线，分别

交AC、DC、BC于点E、G、F,连接DE、DF.

(1)求证：四边形DFCE是菱形；

(2)若NABC=60°,NACB=45°,BD=2,试求BF的长.

32.如图，在QABCD中，NBAD的平分线交BC于点E,NABC的平分线交AD于

点F,AE与BF相交于点0,连接EF.

(1)求证：四边形ABEF是菱形;

(2)若AE=6,BF=8,CE=$,求口ABCD的面积.

2

33.如图，在DABCD中，CE平分NBCD,交AD于点E,DF平分NADC,交BC

于点F,CE与DF交于点P,连接EF,BP.

(1)求证：四边形CDEF是菱形;

(2)若AB=2,BC=3,ZA=120°,求BP的值.

B

34.如图1,在RtZXABC中,ZACB=90°,点D是边AB的中点，点E在边BC上，

AE=BE,点M是AE的中点，联结CM,点G在线段CM上，作NGDN=NAEB

交边BC于N.

（1）如图2,当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；

（2）如图1,当点G和点M、C不重合时，求证：DG=DN.

35.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,点P从点D出发向点A运动,

运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止.点

P、Q的速度的速度都是lcm/s,连结PQ,AQ,CP,设点P、Q运动的时间为

t（s）.

（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？

（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？

（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积.

36.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,AD平分NBAC交BC于点D,在线段AD

上任取一点P（点A除外），过点P作EF〃AB,分别交AC,BC于点E和点F,

作PQ〃AC,交

AB于点Q,连接QE.

（1）求证：四边形AEPQ为菱形；

（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？

37.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,过点A作AE〃BD,

过点D作ED〃AC,两线相交于点E.

(1)求证：四边形A0DE是菱形；

(2)连接BE,交AC于点F.若BELED于点E,求NA0D的度数.

38.如图1,已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,E是BD延长

线上的点，且4ACE是等边三角形.

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)如图2,若NAED=2NEAD,AC=8.求DE的长.

图2

华师大新版八年级下学期《1922菱形的判定》

同步练习卷

参考答案与试题解析

选择题（共4小题）

1.如图，AABC中，点P是AB边上的一点，过点P作PD〃BC,PE〃AC,分别

交AC,BC于点D,E,连按CP.若四边形CDPE是菱形，则线段CP应满足的

条件是（）

A.CP平分NACBB.CP1AB

C.CP是AB边上的中线D.CP=AP

【分析】根据菱形的性质解答即可.

【解答】解：•••四边形CDPE是菱形，

，NDCP=/ECP,

：.CP平分NACB,

故选:A.

【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质解答.

2.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,

DB,下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（）

A.AB=BEB.BE±DCC.ZABE=90°D.BE平分NDBC

【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可;

【解答】解：•••四边形ABCD为平行四边形，

，AD〃BC,AD=BC,

又：AD=DE,

，DE〃BC,且DE=BC,

...四边形BCED为平行四边形，

A、VAB=BE,DE=AD,ABDlAE,.“DBCE为矩形，故本选项错误；

B、•.'BE，DC,.•.对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故本选项正确；

C、•.•NABE=90。，，BD=DE,.•.邻边相等的平行四边形为菱形，故本选项正确；

D、二•BE平分NDBC,...对角线平分对角的平行四边形为菱形，故本选项正确.

故选:A.

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定，正确掌握菱形的判

定与性质是解题关键.

3.如图，等边4ABC沿射线BC向右平移到4DCE的位置，连接AD、BD,则下

列结论：

①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④NACD=NDCE,

其中正确的个数是（）

【分析】由^ABC、Z^DCE是等边三角形，可求出NACD=60。，继而可判断aACD

是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD

是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断四边形ACED

是菱形，即③正确，继而判定④正确.

【解答】解：♦..△ABC、4DCE是等边三角形,

/.ZACB=ZDCE=60°,AC=CD,

，ZACD=180°-ZACB-ZDCE=60°,

/.△ACD是等边三角形，

；.AD=AC=BC,故①正确；

由①可得AD=BC,

VAB=CD,

/.四边形ABCD是平行四边形，

，BD、AC互相平分，故②正确；

由①可得AD=AC=CE=DE,

故四边形ACED是菱形，即③正确；

•••四边形ACED是菱形，

AZACD=ZDCE；故④正确.

故选：D.

【点评】本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质

及菱形的判定.解答本题的关键是先判断出4ACD是等边三角形.

4.如图，在DABCD中，AM,CN分别是NBAD和NBCD的平分线，添加一个条

件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）

A.AM=ANB.MN1AC

C.MN是NAMC的平分线D.ZBAD=120°

【分析】根据平行四边形性质推出NB=ND,NDAB=NDCB,AB=CD,AD=BC,

求出NBAM=NDCN,ilEAABM^ACDN,推出AM=CN,BE=DN,求出AN=CM,

得出四边形AMCN是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可.

【解答】解：如图，•••四边形ABCD是平行四边形，

/.ZB=ZD,ZDAB=ZDCB,AB=CD,AD=BC,

•.•AM,CN分别是NBAD和/BCD的平分线，

，NDCN=LNDCB,NBAM」NBAD,

22

NBAM=NDCN,

在△ABM和4CDN中

"ZD=ZB

-AB=CD，

ZDCN=ZBAM

.,.△ABM^ACDN(ASA),

，AM=CN,BM=DN,

VAD=BC,

，AN=CM,

•••四边形AMCN是平行四边形，

A、•四边形AMCN是平行四边形，AM=AN,

,平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；

B、VMN±AC,四边形AMCN是平行四边形，

•••平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；

C、二•四边形AMCN是平行四边形，

，AN〃BC,

；.NMNA=NCMN,

VMN是NAMC的平分线，

，NNMA=NNMC,

/.ZMNA=ZMAC,

/.ZMAC=ZNMA,

，AM=AN,

•••四边形AMCN是平行四边形，

二四边形AMCN是菱形，故本选项错误；

D、根据NBAD=120。和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确;

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质

和判定、平行线的性质等知识点；证明三角形全等是解决问题的关键.

二.填空题（共2小题）

5.平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点。，BD=2AD,E、F、G分别

是OC、OD,AB的中点.下列结论：①EG=EF；②^EFG之^GBE；③FB平

分NEFG；④EA平分NGEF；⑤四边形BEFG是菱形.其中正确的是

D

G

//

--乂

【分析】由中点的性质可得出EF〃CD,且EF=LCD=BG,结合平行即可证得②结

2

论成立，由BD=2BC得出BO=BC,即而得出BE,AC,由中线的性质可知GP〃

BE,且GP=LBE,AO=EO,通过证4APG之4EPG得出AG=EG=EF得出①成立，

2

再证4GPE之4FPE得出④成立，此题得解.

【解答】解：令GF和AC的交点为点P,如图所示：

VE.F分别是OC、0D的中点，

；.EF〃CD,且EF=LCD,

2

•.•四边形ABCD为平行四边形，

，AB〃CD,且AB=CD,

.,.ZFEG=ZBGE（两直线平行，内错角相等），

•••点G为AB的中点，

BG=—AB=—CD=FE,

22

'BG二FE

在和AGBE中，,NFEG=NBGE，

GE二EG

.,.△EFG^AGBE（SAS）,即②成立，

/.ZEGF=ZGEB,

.•.GF〃BE（内错角相等，两直线平行），

•••BD=2BC,点。为平行四边形对角线交点，

BO=LBD=BC,

2

YE为0C中点，

.,.BE±OC,

AGPlAC,

AZAPG=ZEPG=90°

•.•GP〃BE,G为AB中点，

；.P为AE中点，即AP=PE,且GP=^BE,

2

fAP=EP

在AAPG和4EGP中，(NAPG=NEPG，

GP=GP

.".△APG^AEPG(SAS),

.,.AG=EG=1AB,

2

；.EG=EF,即①成立，

VEF/7BG,GF〃BE,

四边形BGFE为平行四边形，

；.GF=BE,

VGP=1BE=1GF,

22

，GP=FP,

VGF±AC,

；.NGPE=NFPE=90°

rGP=FP

在^GPE和AFPE中，＜NGPE=NFPE，

EP=EP

/.△GPE^AFPE(SAS),

；.NGEP=NFEP,

，EA平分NGEF,即④成立.

故答案为：①②④.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定

理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到

边角相等.

6.如图在RtaABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,D为斜边AB上一点，以CD、

CB为边作平行四边形CDEB,当AD=工，平行四边形CDEB为菱形.

【分析】首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、

邻边相等推知OD=OB,CD=CB；最后RtABOC中，根据勾股定理得，0B的值,

则AD=AB-20B.

【解答】解：如图，连接CE交AB于点0.

；RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,

AAB=VAC2+BC2=5（勾股定理）•

若平行四边形CDEB为菱形时，CE±BD,且OD=OB,CD=CB.

V1AB*OC=1AC*BC,

22

.*.0C=—.

5

...在RtABOC中，根据勾股定理得，0B=）工!,

；.AD=AB-20B=—.

5

故答案是：工.

5

【点评】本题考查了菱形的判定与性质.菱形的对角线互相垂直平分.

三.解答题（共32小题）

7.已知：如图，已知AD是RtAiABC斜边BC上的高，NB的平分线交AD于M

交AC于E,NDAC的平分线交ME于0,交CD于N.求证：四边形AMNE是

菱形.

【分析】根据全等三角形的判定和菱形的判定证明即可.

【解答】证明：,•'BE平分/ABC交AD于M,交AC于E,

VZABE=ZDBM,

VAD是RtAABC斜边BC上的高，

.,.ZBAC=ZADB=90°,

，ZAEM=ZBMD,

VZAME=ZBMD,

，NAEM=NAME,

，AE=AM,

,/ZDAC的平分线交CD于N,

；.NMAN=NNAE,AN±ME,且AN平分ME,

在aBA。和△BNO中，

"ZABO=ZNBO

<BO=BO，

ZAOB=ZNOB=90"

.,.△ABO四△NBO(ASA),

，AO=NO,

AAN和ME互相垂直平分，

•••四边形AMNE是菱形.

【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质解答.

8.己知：如图，AF〃DE,AC平分NBAD交DE于点C,DB平分NADC交AF于

点B,连接BC.求证：四边形ABCD是菱形

D

■E

ABF

【分析】根据平行线的性质和菱形的判定证明即可.

【解答】证明：:AC平分NBAD交DE于点C,

；.NDAC=NCAB,

VAF/7DE,

AZDCA=ZCAB,

/.ZDAC=ZDCA,

，AD〃BC,

四边形ABCD是平行四边形，

DB平分NADC交AF于点B,

/.ZADB=ZBDC,

VAF/7DE,

，ZADC+ZDAB=180°,

,ZADB+ZDAC=90°,

.,.DB±AC,

二平行四边形ABCD是菱形.

【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据平行四边形和菱形的判定解答.

9.如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ〃DB,

且CQ=DP,连接AP、BQ、PQ.

(1)求证：4APD之△BQC；

(2)若/ABP+NBQC=180。，求证：四边形ABQP为菱形.

【分析】(1)只要证明AD=BC,NADP=NBCQ,DP=CQ即可解决问题;

(2)首先证明四边形ABQP是平行四边形，再证明AB=AP即可解决问题;

【解答】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，

/.AD=BC,AD〃BC,

NADB=NDBC,

•.,CQ〃DB,

.•.NBCQ=NDBC,

；.NADB=NBCQ

VDP=CQ,

.♦.△ADP丝△BCQ.

(2)证明：•.•CQ〃DB,且CQ=DP,

...四边形CQPD是平行四边形，

；.CD=PQ,CD〃PQ,

,/四边形ABCD是平行四边形，

；.AB=CD,AB〃CD,

，AB=PQ,AB〃PQ,

•••四边形ABQP是平行四边形，

VAADP^ABCQ,

，NAPD=NBQC,

ZAPD+ZAPB=180°,

，NABP=NAPB,

；.AB=AP,

四边形ABQP是菱形.

【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和

性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

10.如图，已知点P为/ACB平分线上的一点，ZACB=60°,PDJ_CA于D,PE±

CB于E.点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM,EM.

（1）求证：DM=ME；

（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由.

A

【分析】（1）先利用角平分线定义得到NACP=NBCP=30。，再根据角平分线的性

质得PD=PE,则利用"HL"可证明RtADCP^RtAECP得到CD=CE,然后证明^

DCM^AECM得至DM=ME；

（2）利用NDCP=30°得到PC=2PD,ZCPD=60°,则当DM=DP时，PD=PE=MD=ME,

则四边形DMEP为菱形，由于此时△PDM为等边三角形，所以PD=PM,从而

得到CM=PM,即当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形.

【解答】（1）证明：•••点P为NACB平分线上的一点，

.,.ZACP=ZBCP=30°,

•.,PD_LCA于D,PE_LCB于E,

；.PD=PE,

在RtADCP和RtAECP中

<fCP=CPj

lPD=PE，

RtADCP^RtAECP,

/.CD=CE,

在△DCM和△ECM中

"CD=CE

-NDCM=/ECM，

CM=CM

A△DCMECM,

.*.DM=ME；

（2）解：当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形.

理由如下：VZDCP=30o,

/.PC=2PD,ZCPD=60°,

VPD=PE,MD=ME,

...当DM=DP时，PD=PE=MD=ME,则四边形DMEP为菱形,

此时APDIVI为等边三角形，

，PD=PM,

；.CM=PM,

••・当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形.

【点评】本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边

形+一组邻边相等=菱形）；四条边都相等的四边形是菱形.也考查了全等三角

形的判定与性质和角平分线的性质.

11.如图，在aABC中，AB=AC,ADLBC于D,点E,F分别是AB,AC的中点.求

证：四边形AEDF是菱形.

【分析】先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=1AB=AE,DF=1AC=AF,

22

再根据AB=AC,点E、F分别是AB、AC的中点,即可得到AE=AF=DE=DF,进

而判定四边形AEDF是菱形.

【解答】证明：

•.•AD_LBC,点E、F分别是AB、AC的中点，

，RtZ\ABD中，DE=LAB=AE,

2

RtAACD中，DF=LAC=AF,

2

又•.•AB=AC,点E、F分别是AB、AC的中点，

，AE=AF,

，AE=AF=DE=DF,

四边形AEDF是菱形.

【点评】本题考查了菱形的判定、三角形的中位线定理、线段的垂直平分线的性

质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

12.如图I,在DABCD中，AB±BD,P,。分别为AD,BD的中点，延长P0交BC

于点Q,连结BP,DQ,求证：四边形PBQD是菱形.

【分析】根据四边相等的四边形是菱形即可判断；

【解答】证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,AD=BC,

/.ZABD=ZBDC,

VAB±BD,

，ZABD=ZBDC=90°,

VAP=PD,BQ=QC,

；.PB=PD=AP,DQ=BQ=QC,

PB=PD二BQ二DQ,

...四边形PBQD是菱形.

【点评】本题考查菱形的判定、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键

是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

13.如图：在aABC中，NBAC=90。，AD，BC于D,CE平分NACB,交AD于G,

交AB于E,EF1BC于F,

求证：四边形AEFG是菱形.

【分析】根据三角形内角和定理求出NB=NCAD,根据角平分线性质求出AE=EF,

由勾股定理求出AC=CF,证△ACGGZ\FCG,推出NCAD=NCFG,得出NB=N

CFG,推出GF〃AB,AD〃EF,得出平行四边形，根据菱形的判定判断即可.

【解答】证明：•••AD_LBC,

/.ZADB=90°,

,.,ZBAC=90°,

/.ZB+ZBAD=90",ZBAD+ZCAD=90°,

，NB=NCAD,

「CE平分NACB,EF±BC,ZBAC=90°(EA±CA),

.•.AE=EF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，

VCE=CE,

...由勾股定理得：AC=CF,

,/AACG和aFCG中

AC=CF

<NACG=/FCG，

CG=CG

/.△ACG^AFCG,

/.ZCAD=ZCFG,

VZB=ZCAD,

/.ZB=ZCFG,

，GF〃AB,

VAD±BC,EF±BC,

，AD〃EF,

即AG〃EF,AE〃GF,

四边形AEFG是平行四边形，

VAE=EF,

•••平行四边形AEFG是菱形.

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，全等三角形的性质

和判定的应用，通过做此题培养了学生的推理能力，题目比较好，综合性也

比较强.

14.如图，AE〃BF,AC平分NBAD,且交BF于点C,BD平分/ABC,且交AE

于点D,连接CD,求证：

(1)AC1BD；

(2)四边形ABCD是菱形.

【分析】(1)证得ABAC是等腰三角形后利用三线合一的性质得到ACLBD即可；

(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直得到平行

四边形是菱形.

【解答】证明:(1)VAE^BF,

；.NBCA=NCAD,

VAC平分/BAD,

NBAC=NCAD,

AZBCA=ZBAC,

/.ABAC是等腰三角形，

VBD平分NABC,

AAClBD；

(2)•••△BAC是等腰三角形,

；.AB=CB,

VZCBD=ZABD=ZBDA,

...△ABD也是等腰三角形，

，AB=AD,

；.DA=CB,

BC〃DA,

四边形ABCD是平行四边形,

VAC1BD,

四边形ABCD是菱形.

【点评】本题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的几个判定方法，

难度不大.

15.如图，在口ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A

作AG〃DB交CB的延长线于点.

(1)求证：4ADE且ZXCBF；

(2)若/G=90。，求证：四边形DEBF是菱形.

【分析】(1)根据已知条件证明AE=CF,从而根据SAS可证明两三角形全等;

(2)先证明DE=BE,再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论.

【解答】证明：(1)•••四边形ABCD是平行四边形，

，AB=CD,AD=BC,ZA=ZC,

,点E、F分别是AB、CD的中点，

.-.AE=1AB,CF=&D,

22

，AE=CF,

在Z^ADE和ACBF中，

'AD=BC

NA=/C，

AE=CF

.'.△ADE^ACBF(SAS)；

(2)VZG=90°,AG〃BD,AD〃BG,

二四边形AGBD是矩形,

，ZADB=90°,

在RtAADB中

YE为AB的中点,

，AE=BE=DE,

；DF〃BE,DF=BE,

...四边形DEBF是平行四边形，

四边形DEBF是菱形.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：

在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，难度适中.

16.在RtZ\ABC中NB=90。，ZACB=30°,NBAC的平分线AD交BC于D,过点D

作DE_LAB于E,过A作AF〃BC交DE延长线于点F,连接FC

求证：（1）AAEF^ACED；

（2）四边形ADCF是菱形.

【分析】（1）由全等三角形的判定定理AAS证得4AEF会4CED；

（2）根据（1）中的全等三角形的性质推出四边形ADCF是平行四边形，再证明

△AED^AABD,推出DF_LAC,由此即可证明.

【解答】（1）证明：［AF〃CD,

，NAFE=NCDE,

在aAFE和4CDE中，

，ZAFE=ZCDE

<NAEF=NCED，

AE=CE

.,.△AEF^ACED（AAS）.

（2）•在RtZ\ABC中NB=90°,ZACB=30°,

.,.AB=—AC.

2

由（1）知，AAEF^ACED,则AF=CD,

•.•AF〃CD,

/.四边形ADCF是平行四边形.

Etl题意知，AE=AB,NEAD=NBAD,AD=AD,

.'.△AED^AABD.

/.ZAED=ZB=90°,即DFJ_AC.

...四边形ADCF是菱形.

【点评】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和

性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考

常考题型.

17.如图，在aABC中，ZACB=90°,CD为AB边上的中线，过点D作DELBC

于E,过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F,连接BF,AE.

（1）求证：BF=CF.

（2）当三角形ABC满足什么条件时，四边形BDCF为菱形并说明理由.

【分析】（1）求出四边形ADFC是平行四边形，推出CF=AD=BD,根据平行四边

形的判定得出四边形BDCF是平行四边形，求CD=BD,进而可证明BF=CF；

（2）当AC=BC时，四边形BCFD为菱形，根据菱形的判定得出即可；

【解答】解:

（1）证明：DE1BC,NACB=90°,

.ZBED=ZACB,

/.DF/7AC,

VCF/7AB,

...四边形ADFC是平行四边形，

，AD=CF,

TD为AB的中点，

；.AD=BD,

，BD=CF,

•.•BD〃CF,

四边形BDCF是平行四边形，

/.CD=BF,

，BF=CF；

(2)当AC=BC时，四边形BDCF为菱形，

VZACB=90°,D为AB的中点，

/.DC=BD,

•.•四边形BDCF是平行四边形，

...四边形BDCF是菱形.

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质

的应用，能熟记菱形的性质和判定定理是解此题的关键.

18.如图，在△ABC中，ZABC的平分线BD交AC于点D,BD的垂直平分线分

别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG.

判断四边形EBGD的形状，并说明理由.

【分析】首先垂直平分线的性质得到BE=DE,BG=DG,再证明4BGF之ADEF,得

到DE=BG,利用四边相等的四边形是菱形得到结论.

【解答】解：四边形EBGD是菱形，

理由：；EG垂直平分BD,

；.BE=DE,BG=DG,

；.NEBD=NEDB,

VBD平分NABC,

/.ZEBD=ZDBG,

，NDBG=NEDB,

VZEFD=ZGFB,BF=DF,

.,.△BGF^ADEF,

，DE=BG,

；.BE=DE=BG=DG,

四边形EBGD是菱形.

【点评】本题主要考查了菱形的判定，解题的关键是掌握四边形相等的四边形是

菱形.

19.已知，在aABC中，AB=AC=a,M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、

AC的平行线交AC于P,交AB于Q.

（1）求四边形AQMP的周长；

（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等，从而不难求

得其周长；

（2）根据中位线的性质及菱形的判定不难求得四边形AQMP为菱形.

【解答】解：（1）TABaMP,QM〃AC,

，四边形APMQ是平行四边形，NB=NPMC,NC=/QMB.

VAB=AC,

.•.NB=NC,

，NPMC=NQMB.

，BQ=QM,PM=PC.

/.四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a；

（2）当点M在BC的中点时，四边形APMQ是菱形，

•.•AB〃MP,点M是BC的中点，

•••C-M-_-C-P-_-1,

CBAC2

；.P是AC的中点，

APM是三角形ABC的中位线，

同理：QM是三角形ABC的中位线.

VAB=AC,

，QM=PM=LAB」AC.

22

又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，

二平行四边形APMQ是菱形.

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，菱形的判定

等知识点的综合运用.

20.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD>DA

上，AE=CG,AH=CF,且EG平分NHEF.

求证：（1）AAEH^ACGF；

【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；

（2）易证四边形EFGH是平行四边形，那么EF〃GH,那么NHGE=NFEG,而EG

是角平分线，易得NHEG=NFEG,根据等量代换可得NHEG=NHGE,从而有

HE=HG,易证四边形EFGH是菱形.

【解答】（1）证明：如图，•••四边形ABCD是平行四边形，

/.ZA=ZC,

在aAEH与4CGF中，

'AE=CG

</A=NC，

AH=CF

.'.△AEH^ACGF(SAS)；

(2)解：•.•在ABCD中NB=ND,且AB=CDAD=BC

又•.•AE=CGAH=CF,

.".BE=DGDH=BF,

.,.△DHG^ABFE,

AHG=EF

又•.,HE=GF

四边形EFGH是平行四边形

又..任仃平分NHEF,

.,.Z1=Z2

又；HG〃EF,

/.Z2=Z3,

，N1=N3,

，HE=HG,

...EFGH是菱形；

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形

的判定.解题的关键是掌握两组对边相等的四边形是平行四边形，一组邻边

相等的平行四边形是菱形.

21.如图，^ABC中，D是AB上一点，DELAC于点E,F是AD的中点，FG±

BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分NCAB,连接GE,GD.

(1)求证：ZSECG^4GHD；

(2)小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.

（3）若NB=30。，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由.

【分析】（1）依据条件得出/C=NDHG=90。，ZCGE=ZGED,依据F是AD的中

点，FG〃AE,即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD,ZCGE=

ZGDE,利用AAS即可判定△ECGgaGHD；

（2）过点G作GP±AB于P,判定4CAG丝APAG,可得AC=AP,由（1）可得

EG=DG,即可得到Rt△ECG丝Rt^DPG,依据EC=PD,即可得出AD=AP+PD=AC+EC；

（3）依据/B=30。，可得NADE=30。，进而得到AE=』AD,故AE=AF=FG,再根据

2

四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形.

【解答】解:（1）VAF=FG,

/.ZFAG=ZFGA,

VAG平分/CAB,

/CAG=NFGA,

；.NCAG=NFGA,

；.AC〃FG,

VDEIAC,

AFG±DE,

VFG±BC,

；.DE〃BC,

AAClBC,

AZC=ZDHG=90",ZCGE=ZGED,

是AD的中点，FG〃AE,

；.H是ED的中点，

...FG是线段ED的垂直平分线，

.GE=GD,ZGDE=ZGED,

/.ZCGE=ZGDE,

/.△ECG^AGHD；

(2)证明：过点G作GPLAB于P,

.*.GC=GP,而AG=AG,

.".△CAG^APAG,

；.AC=AP,

由(1)可得EG=DG,

，RtAECG^RtADPG,

，EC=PD,

，AD=AP+PD=AC+EC；

(3)四边形AEGF是菱形，

证明：VZB=30°,

，NADE=30°,

.•.AE」AD,

2

，AE=AF=FG,

由(1)得AE〃FG,

...四边形AECF是平行四边形，

四边形AEGF是菱形.

【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和

性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含30。角的直角三角形的性质的综合

运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键.

22.如图，RtaABC中NC=90。，D为AB的中点，分别作AE〃CB、BE〃AC,两

线交于点E,连接DE.作EF〃AB交CB延长线于点F,取EF中点G,连接BG.问

四边形DEGB是什么特殊四边形？说明理由.

【分析】由AE〃CB,BE〃AC,RtaABC中NC=90。，可得四边形DEGB是矩形，

△AEB和4EBF都是直角三角形，又由D、G分别是AB、EF的中点，可得四

边形ABFE是平行四边形，继而可得ED=BD=EG=BG,则可证得四边形DEGB是

菱形.

【解答】解：四边形DEGB是菱形.

理由：：AE〃CB,BE〃AC,

四边形DEGB是平行四边形，

XVZC=90%

四边形ACBE是矩形，

；.NAEB=NCBE=90°,

/.△AEB和4EBF都是直角三角形，

又YD、G分别是AB、EF的中点，

，ED=BD,EG=BG,

•；AE〃BF,EF〃AB,

/.四边形ABFE是平行四边形，

，AB=EF,

又二D、G分别是AB、EF的中点，

；.BD=EG,

；.ED=BD=EG=BG,

四边形DEGB是菱形.

【点评】此题考查了菱形的性质与判定、平行四边形的判定与性质以及直角三角

形的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

23.如图1,RtABAD与RtABCD的直角顶点A、C在斜边BD所在直线的两旁.连

接AC,

(1)点0、E分别是AC,BD的中点，过点C作AE的平行线与E0的延长线交

于点F,求证：四边形AFCE是菱形.

（2）如果RtaBAD与RtaBCD的直角顶点A、C在斜边BD所在直线的同侧（如

图2）,保持（1）中其它条件不变，则（1）中的结论是否成立？请在图2上

画出相应图形并写明结论.（画出图形，写明结论，不需证明）

（3）在图2中，过B、D两点分别向AC所在直线作垂线，垂足为M、N（如图

3）,则AM与CN是否相等？如果相等，给出证明；如果不相等，请说明理由.

【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线长为斜边的一半，即可证得AE=CE,由

AE〃CF,易证得内错角相等，则可得△AEOgz^CFO,得至UAE=CF,则证得四

边形AECF是菱形；

（2）同理可得四边形AECF是菱形；

（3）首先菱形的性质，可得EFLAC,OA=OC,利用垂直于同一直线平行，可证

得BM〃OE〃DN,利用平行线分线段成比例定理，即可证得结论的正确性.

【解答】（1）证明：•..在RtZXBAD与RtZXBCD中,BD是斜边，E是BD的中点,

.,.AE=1BD,CE=1BD,

22

，AE=CE,

•；AE〃CF,

/.ZEAO=ZFCO,ZOEA=ZOFC,

VOE=OF,

/.△AEO^ACFO（AAS）,

；.AE=