第九章　第八节　圆锥曲线中的定点问题

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第八节圆锥曲线中的定点问题【核心考点·分类突破】角度1椭圆中的直线过定点问题[例1](2024·郑州模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2,圆x2+(1)求椭圆C的标准方程;【解析】(1)设椭圆C的半焦距为c.当圆x2+y2=4在椭圆C的内部时,b=2,c=1,a2=b2+c2=5,椭圆C的方程为x25+y当圆x2+y2=4在椭圆C的外部时,a=2,c=1,b2=a2-c2=3,椭圆C的方程为x24+y(2)已知结论:若点(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1上一点,则椭圆在该点处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.若椭圆C【解析】(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).因为椭圆C的短轴长小于4,所以C的方程为x24+y23=1.则由已知可得,切线AT的方程为x1x4+y将T(8,t)代入AT,BT的方程整理可得,6x1+ty1-3=0,6x2+ty2-3=0.显然A,B的坐标都满足方程6x+ty-3=0,故直线AB的方程为6x+ty-3=0,令y=0,可得x=12,即直线AB过定点(12角度2双曲线中的直线过定点问题(规范答题)[例2](12分)(2023·新高考II卷)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-25,0),离心率为5.(1)求C的方程;规范答题微敲点·水到渠成【解析】(1)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由焦点坐标为(-25,0)可知c=25,由e=ca=关键点由焦点坐标及离心率可求出c和a.所以双曲线C的方程为x24-y216(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于P,证明:P在定直线上.规范答题微敲点·水到渠成【解析】(2)解法1(以直线MA1,NA2的斜率为参数):设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MA1:y=m(x+2),直线NA2:y=n(x-2),由y得(4-m2)x2-4m2x-(4m2+16)=0.因为-2x1=4m所以x1=2m2+84-m2,由y得(4-n2)x2+4n2x-(4n2+16)=0.因为2x2=4n所以x2=2n2+8n2-4,由题设知x1+4y扫清障碍利用直线MN的斜率建立关系式,起到承上启下的作用,为后续解题起到桥梁和纽带作用.所以(mn-4)(m+3n)=0,由题意知mn<0,故m=-3n. …………………10分点P(x,y)满足y=m(x+2)且满足y=n(x-2),所以x=-1.故P在定直线x=-1上. …………………12分解法2(以直线MN的斜率为参数):设M(x1,y1),N(x2,y2),(i)当MN的斜率存在时,设直线MN:y=k(x+4)(|k|≠2),由y得(4-k2)x2-8k2x-(16k2+16)=0.由于x1+x2=8k24-k2,x1x直线MA1:y=y1x1直线NA2:y=y2x2联立方程得,x=2(y1扫清障碍此处如果直接求解运算量会很大,可以对照分式的特征,采用分子+分母,再进行运算,求出和值,即可求出比值.因为2(y1x2+y2x1-2y1+2y2)+(-y1x2+y2x1+2y1+2y2)=4kx1x2+10kx2+10kx1+16k=2k(2x1x2+5x2+5x1+8)=2k[2×16(k2+1=2k[-8(k2-4所以x=-1.(ii)当MN的斜率不存在时,避误区解决直线与圆锥曲线综合问题时,注意分直线斜率存在和不存在两种情况进行说明,避免造成不必要的失分.直线MN:x=-4,M(-4,43),N(-4,-43).直线MA1:y=-23(x+2),直线NA2:y=233(联立方程得P(-1,-23),此时点P在定直线x=-1上.综上,P在定直线x=-1上.……………12分解法3:设M(x1,y1),N(x2,y2),显然,直线MN的斜率不为0,所以设直线MN的方程为x=my-4,关键点避免对直线MN斜率是否存在进行讨论.则x1=my1-4,x2=my2-4.联立得x=得(4m2-1)y2-32my+48=0.……………………5分因为直线MN与双曲线C的左支交于M,N两点,所以4m2-1≠0,且Δ>0.由根与系数的关系得y1所以y1+y2=2m3y1y2.因为A1,A2分别为双曲线C的左、右顶点,所以A1(-2,0),A2(2,0).直线MA1的方程为y=y1x1直线NA2的方程为y=y2x2-2因为直线MA1与NA2交于P,可得,x+2x-2=y破题有招求x+2x-2=my1指点迷津构造-2(y1+y2)的巧妙之处是可以运用根与系数的关系求值.=m·484m2由x+2x-解得x=-1,即xP=-1.所以点P在定直线x=-1上.……………12分审题导思破题点·柳暗花明(1)思路:题目给出双曲线的左焦点坐标和离心率,根据各参数之间的关系,求出曲线的标准方程.(2)思路:考查直线与双曲线的位置关系,可以从多个角度理解直线MN.选择确定直线MN的初始参变量不同,将导致解题过程的运算量大小不同.[路径1]把M,N分别看成直线MA1,NA2与双曲线的另一个交点.[路径2,3]把M,N看成直线MN与双曲线的两个交点,但路径2与3的直线MN设法不同.角度3抛物线中的直线过定点问题教考衔接教材情境·研习·探究类[例3](人教A版选择性必修第一册P138·T6)如图,直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B两点,求证:OA⊥OB.【证明】不妨假设A(x1,y1),B(x2,y2),则OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),联立方程y消x得y2-2y-4=0,由根与系数的关系知y1+y2=2,y1y2=-4,所以x1x2=(y1+2)(y2+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=4,所以OA·OB=x1x2+y1y2=4-4=0,因此OA⊥OB.【探究1】将已知条件和结论的位置调换.1.若直线l与抛物线y2=2x相交于A,B两点,OA⊥OB,求证直线l过定点(2,0).【解析】由题意可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+n,其中n≠0,联立方程x消去x得y2-2my-2n=0,由根与系数关系知y1+y2=2m,y1y2=-2n,所以x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2=n2.因为OA⊥OB,所以OA·OB=0,则x1x2+y1y2=n2-2n=0,解得n=2,进而可得直线方程为x=my+2.所以直线l经过定点(2,0).【探究2】将抛物线y2=2x变为y2=2px(p>0):2.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点,O为坐标原点,且OA⊥OB,求证:(1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值.【证明】设A(x1,y1),B(x2,y2),(1)kOA=y1x1,kOB=因为OA⊥OB,所以kOA·kOB=-1,即x1x2+y1y2=0,因为y12=2px1,y22所以y122p·y22因为y1≠0,y2≠0.所以y1y2=-4p2,x1x2=4p2.(2)直线AB过定点.【证明】设A(x1,y1),B(x2,y2),(2)直线AB的方程为x=my+n,其中n≠0,则x-my故y2=2px·x-所以ny2+2pmxy-2px2=0,所以nyx2+2pmyx因为OA⊥OB,所以y1x1·y所以n=2p,则直线AB的方程为x=my+2p,故直线AB过定点2p【探究3】将“kOA·kOB=-1”变为“kOA·kOB=t”或“kOA+kOB=t”(t为常数).3.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点,O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为kOA,kOB.(1)若kOA·kOB=t(t为常数),求证直线AB过定点(-2p【证明】设直线AB的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),类似于探究2可得,可得nyx2+2pmyx则y1x1·y2x2=-2p(1)若kOA·kOB=t,则y1x1·y2x故n=-2p则直线AB的方程为x=my-2p故直线AB过定点-2(2)若kOA+kOB=s(s为常数),求证直线AB过定点(0,2ps【证明】设直线AB的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),类似于探究2可得,可得nyx2+2pmyx则y1x1·y2x2=-2p(2)若kOA+kOB=s,则y1x1+y2x故n=-2pms,则直线x=my-2pms=m故直线AB过定点0,【探究4】若点O不是坐标原点,而是抛物线上一动点.4.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两个动点,Mx0,y0为抛物线上一定点,过点M作两条弦(1)若kMA·kMB=m,则直线AB过定点;【证明】设Ay122p,y1则kMA=2py0+y1,kMB=2则直线AB的方程为y-y1=2p即(y1+y2)y-y1y2-2px=0.①(1)因为kMA·kMB=m,所以2py0+yy1y2=4p2m-y0(y1+y2)-将②代入①得,(y1+y2)(y+y0)+y02-4p2m所以当y=-y0时x=y022即直线AB过定点y0(2)若kMA+kMB=n,则直线AB过定点.【证明】设Ay122p,y1则kMA=2py0+y1,kMB=2则直线AB的方程为y-y1=2p即(y1+y2)y-y1y2-2px=0.①(2)因为kMA+kMB=n,所以2py0+yy1y2=2p-ny0n(y1+将③代入①得,(y1+y2)y-2p-ny0n-4py0-ny02即直线AB过定点y0高考链接已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P在抛物线E上,点P的横坐标为1,且|PF|=2,A,B是抛物线E上异于O的两点.(1)求抛物线E的标准方程;【解析】(1)由题意得,F(p2,0),点P的横坐标为1,且|PF|=2,则2=1+p2,所以所以抛物线E的方程为y2=4x;(2)若直线OA,OB的斜率之积为-4,求证:直线AB恒过定点.【解析】(2)当直线AB的斜率不存在时,设A(t24,t),B(t24,-因为直线OA,OB的斜率之积为-4,则tt24×-tt所以A(1,t),B(1,-t),此时直线AB的方程为x=1.当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),联立y2=4xy=kx+b,化简得ky2-4根据根与系数的关系得y1y2=4b因为直线OA,OB的斜率之积为-4,所以y1x1·y2x2=-4,即y1y2+4x1x2=0,即y1y解得y1y2=0(舍去)或y1y2=-4,所以y1y2=4bk=-4,即b=-k,满足Δ=16(1-kb)>0,所以y=kx-即y=k(x-1),综上所述,直线AB过定点(1,0).[溯源点评](1)本题主要考查了直线过定点问题,一般方法是设出直线方程,联立圆锥曲线方程,可得根与系数关系式,要结合题设进行化简得到参数之间的关系式,结合直线方程即可证明直线过定点.(2)解题时也可参考探究过程,利用探究的解题方法进行求解.对点训练1.(2024·沧州模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,p),直线l与该抛物线C相交于M,N两点,过点M作x轴的垂线,与直线y=-x交于点G,点M关于点G的对称点为P,且O,N,P三点共线.(1)求抛物线C的方程;【解析】(1)因为抛物线C:y2=2px(p>0)过点(1,p),所以p2=2p,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)若过点Q(2,0)作QH⊥l,垂足为H(不与点Q重合),是否存在定点T,使得|HT|为定值?若存在,求出该定点和该定值;若不存在,请说明理由.【解析】(2)设点M(y124,y1),N(y224得G(y124又因为点M关于点G的对称点为P,所以点P(y124,-y1由O,N,P三点共线,可得kOP=kON,即-y12化简得2(y1+y2)+y1y2=0,设直线l的方程为x=my+n,联立x=my+ny2=4x,消去x则Δ=(4m)2-4×(-4n)>0,即m2+n>0,可得y1+y2=4m,y1y2=-4n,代入2(y1+y2)+y1y2=0,可得8m-4n=0,可得n=2m,所以直线l的方程:x=my+n,即x=my+2m,则x=m(y+2),所以直线l过定点E(0,-2),因为QH⊥l,所以点H的轨迹是以EQ为直径的圆(除去E,Q两点),圆心为(1,-1),半径为2,所以存在定点T(1,-1),使得|HT|为定值,该定值为2.2.(2024·成都模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2=1(a>1)与椭圆C2:x212+y2b2=1(0<b<23)的离心率相同,且椭圆C(1)求实数a和b的值;【解析】(1)由椭圆C1的方程可得其焦距为2a2-1由椭圆C2的方程可得其焦距为212-b2由题意知212解得a2=1b2=12(舍)或a2=4(2)若梯形ABCD的顶点都在椭圆C1上,AB∥CD,CD=2AB,直线BC与直线AD相