2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第08练 函数的奇偶性、对称性和周期性（精练：基础+重难点）（含解析）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第08练函数的奇偶性、周期性和对称性（精练）1.结合具体函数，了解奇、偶函数的概念和几何意义.2.了解函数周期性的概念和几何意义.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【详解】因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.故选：D.2．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D3．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.【详解】因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.4．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.5．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.【详解】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.二、多选题6．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．三、填空题7．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则．【答案】2【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.【详解】因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.故答案为：2.8．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则，．【答案】；．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，由得，，，故答案为：；．[方法二]：函数的奇偶性求参函数为奇函数[方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．【A级

基础巩固练】一、单选题1．（2024·山东泰安·三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可.【详解】由题意得，函数为奇函数，且定义域为，由奇函数的性质得，，解得，经过检验符合题意，所以当时，，所以.故选：D.2．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，利用时，和可求得的解析式.【详解】设，则，所以，又函数是奇函数，所以，即，.即.故选：C3．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）A．0 B． C． D．3【答案】A【分析】根据在上的奇函数，且，得到的周期为4求解.【详解】解：因为在上的奇函数，且，所以，即，所以，则的周期为，所以，故选：A4．（2024·安徽芜湖·二模）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和函数值的符号性分析判断.【详解】由题意可知：的定义域为，关于原点对称，且，可知为奇函数，排除AB，且，排除D.故选：C.5．（2024·重庆·模拟预测）已知是周期为的函数，且都有，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的周期性与对称性可得解.【详解】由已知，即，令，可知，即，又函数的周期为，则，故选：C.6．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据函数是奇函数将不等式等价变形，再根据函数的单调性列出关于x的不等式即可求解.【详解】由为奇函数，得，所以不等式等价于.又因为在上单调递减，所以，即.故选：A7．（2024·河北保定·二模）若函数是定义在R上的奇函数，则（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根据奇函数的性质可得，进而可得，，即可求解.【详解】设，则，即，即，所以.因为，所以，.故选：A8．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数，满足.若，则（

）A．2 B． C．0 D．【答案】B【分析】由，得到的周期为2求解.【详解】因为，所以，所以的周期为2，，，则.又，所以.又函数的周期为2，所以.故选：B.9．（2024·山东日照·二模）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（

）A． B． C．4 D．6【答案】D【分析】根据是偶函数，得到关于对称，即，结合和为偶函数即可得到周期为4，故可求出，则即可.【详解】因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，即，即，所以.所以关于点中心对称.又是定义域为的偶函数，所以，所以，即，所以函数的周期为4.所以，所以.故选：D.10．（2024·山东·二模）已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（

）A．1 B． C．2 D．2023【答案】C【分析】根据进行奇偶性和周期性的推导，得到是周期为4的偶函数，从而算出的值.【详解】因为，所以两边求导，得，即①因为为定义在上的奇函数，则，所以两边求导，得，所以是定义在上的偶函数，所以，结合①式可得，，所以，两式相减得，，所以是周期为4的偶函数，所以.由①式，令，得，所以.故选：C.11．（2024·陕西榆林·二模）已知定义在上的函数满足，当时，，则（

）A．1 B．2 C． D．-2【答案】B【分析】根据周期性即可代入求解.【详解】因为，所以，所以是以4为周期的周期函数，所以.故选：B12．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知定义在上的函数，满足，，若，则（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据抽象函数的对称性可知函数的周期为4，且、，利用和计算求出即可.【详解】由，知函数关于点对称，由，知函数关于直线对称，所以函数的周期为.又，所以，，所以，又，所以，所以.故选：D二、多选题13．（2024·湖南长沙·一模）下列函数中，是奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由奇函数定义逐一判断即可.【详解】对于A，的定义域为全体实数，关于原点对称，且，故A满足题意；对于B，若，则，故B不满足题意；对于C，的定义域为，它关于原点对称，且，故C满足题意；对于D，的定义域为，它关于原点对称，且，故D满足题意.故选：ACD.14．（2024·重庆·模拟预测）函数，，那么（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数【答案】BC【分析】根据函数的奇偶性，逐项判断四个选项中函数的奇偶性即可.【详解】因为，所以为偶函数，因为，即，所以为奇函数，所以为非奇非偶函数，A错误；，所以为奇函数，B正确；，所以是奇函数，C正确；令，，为偶函数，D错误.故选：BC．15．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知定义在上的偶函数满足，则下列命题成立的是（

）A．的图象关于直线对称 B．C．函数为偶函数 D．函数为奇函数【答案】BD【分析】由及奇偶性可得函数的周期性与对称性，进而判断各选项.【详解】因为函数为偶函数，所以函数关于轴对称，且，又，所以，且，所以函数关于点中心对称，且周期为，所以函数关于对称，A选项错误；，B选项正确；由向右平移一个单位得到，则关于点对称，为奇函数，C选项错误；由向左平移一个单位得到，则关于点对称，为奇函数，D选项正确；故选：BD.16．（23-24高三下·山东·开学考试）函数满足：对任意实数x,y都有，且当时，，则（

）A． B．关于对称 C． D．为减函数【答案】ABC【分析】利用赋值法，结合函数单调性的定义、对称性的性质逐一判断即可.【详解】由对于任意实数，令，则，即,故A正确；令，则，即，故B正确；令，，则，即，故C正确；对于任意，则设，当时，，则，即，所以单调递增，故D错误．故选：ABC17．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（

）A． B．为奇函数C．关于点对称 D．【答案】ACD【分析】令，可判定A正确；令，得到，可判定C正确，B错误；根据题意，推得，得到的周期为，令，求得，结合函数的周期性，求得，可判定D正确．【详解】由对于任意都满足，令，则，所以A正确；令，可得，即，所以函数关于点对称，所以C正确，B错误；又由为偶函数知关于直线对称，即，可得，则，所以，所以函数的周期为，令，则，可得，，所以，所以D正确．故选：ACD．三、填空题18．（2024·海南·模拟预测）若定义在上的奇函数满足：当时，，则.【答案】【分析】利用奇函数的定义直接求出函数值即可.【详解】在上的奇函数，当时，，所以.故答案为：19．（2024·四川雅安·三模）已知函数是偶函数，则实数.【答案】【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解.【详解】定义域为，，所以，故，故答案为：20．（2024高三·全国·专题练习）设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则．【答案】【分析】由的周期为2得，代入解析式求值即可．【详解】由的周期为2得，，故答案为：1．21．（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有个.【答案】4【分析】转化为函数的图象与的图象的交点个数即可求解.【详解】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示：如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点.故答案为：4.22．（2024·福建龙岩·一模）定义在上的函数满足，且在上单调递减，则不等式的解集为.【答案】【分析】根据函数对称性和单调性得到不等式，解出即可.【详解】因为函数满足，则关于直线对称，又因为在上单调递减，则在上单调递增，则由得，即，解得，则解集为，故答案为：.23．（2024高三·全国·专题练习）设函数f(x)＝，则f()＋f()＋…＋f()＝．【答案】1012【详解】∵f(x)＝，∴f(1－x)＝＝，∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝1.S＝f()＋f()＋…＋f()①，S＝f()＋f()＋…＋f()②，①＋②，得2S＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＝2024，∴S＝＝1012.四、解答题24．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且时，．(1)求时，函数的解析式；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数为奇函数，求出时的解析式；（2）先得到函数在R上单调递减，结合函数的奇偶性，得到对任意恒成立，只需，求出，得到答案.【详解】（1）设，则，时，．，是定义在R上的奇函数，，故，；（2）等价于，时，单调递减，又为定义在R上的奇函数，故在R上为减函数，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，只需，，，，，即实数的取值范围是．25．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知函数.(1)判断的奇偶性，并证明；(2)解不等式.【答案】(1)偶函数，证明见解析(2)【分析】（1）利用奇偶性的定义判断；（2）利用对数函数的性质直接解不等式即可.【详解】（1）因为定义域为，所以有，即，所以的定义域为，关于原点对称，又因为，所以函数在定义域上为偶函数.（2），所以即因为所以故只需即解得所以不等式的解集为.【B级

能力提升练】一、单选题1．（2024·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据奇偶性判断A；验证的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调性判断D.【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且，对于A，，为偶函数，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，为奇函数，当时，，因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确；对于D，当时，，，所以时，，单调递增，当时，，单调递减，故D错误，故选：C.2．（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得.【详解】因为，所以，即，又，函数的定义域为R，所以，是定义域为R的奇函数，所以，，所以，，故，所以是以4为周期的周期函数，所以.故选：A3．（2024·河北石家庄·二模）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为（

）A．-1 B．-2 C．2 D．1【答案】B【分析】由题意求出函数的周期，再利用奇偶性代入求值即可.【详解】由题意知，则，即，所以，即，所以函数的周期为，所以，故选：B4．（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.【详解】因为函数是奇函数，所以，解得，又，所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，因为，所以，故.故选：B5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（

）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数【答案】D【分析】令，或，分类讨论可求，判断A；法一：令，可得，进而可求，判断B；法二：令，可求，判断B；法一：由B可得，可判断CD；法二

令，可得，判断CD.【详解】A：令，得，即，所以或．当时，不恒成立，故，A错误．B：解法一

令，得，又，所以，故，B错误．解法二

令，得，又，所以，B错误．C：解法一

由B选项的解法一可知，则，所以为奇函数，C错误，D正确．解法二

令，得，又，所以，所以，结合选项得C错误，D正确．综上可知，选D．故选：D.6．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得，可将转化为，结合导数可得在上单调递增，即可得.【详解】由题可得，所以，即有，即，故不等式等价于，又，当时，，故，当时，，，故，即恒成立，故在上单调递增，故由可得，即.故选：A.7．（2024·江苏南通·三模）已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数．若，则（

）A．23 B．24 C．25 D．26【答案】C【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线对称和关于点对称，则得到其周期，再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可.【详解】为偶函数，则则关于对称，为奇函数，则，即，则关于点对称，则由其关于对称有，则，则，作差有，为周期函数，且周期为4，因为，，则，因为，，则，，则，，，故选：C.二、多选题8．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于直线对称B．C．当时，的值域是D．当时，【答案】ABD【分析】根据原式得到其对称性，结合偶函数则得到其周期性，再利用其偶函数性质并结合其的解析式即可判断CD.【详解】因为，则关于直线对称，则，因为函数是定义在上的偶函数，则，则，则B正确，则则的图象关于直线对称，故A正确；对C，因为函数是定义在上的偶函数，则当时，的值域与时值域相同，当时，，显然其为增函数，则的值域为，即，故C错误；对D，当时，，则，当时，，根据的周期为4，则，故D正确；故选：ABD.9．（2023·山东·模拟预测）已知函数的定义域为，为奇函数，，，且在上单调递减，则（

）A． B．C．在上单调递减 D．在上有50个零点【答案】ABD【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性一一计算即可.【详解】由函数的定义域为，为奇函数可知：，令，得，故A正确；由上可知关于中心对称，则，因为，则关于轴对称，且，所以的一个周期为4，即，故B正确；因为在上单调递减，所以在上单调递增，由周期性知在上单调递增，所以在上单调递增，故C错误；易知，且，合计得在上有个零点，故D正确.故选：ABD10．（2024·全国·二模）已知是定义在上不恒为0的函数，的图象关于直线对称，且函数的图象的对称中心也是图象的一个对称中心，则（

）A．点是的图象的一个对称中心B．为周期函数，且4是的一个周期C．为偶函数D．【答案】AC【分析】根据给定条件，借助平移变换分析函数的性质，再逐项推理判断得解.【详解】由的图象关于直线对称，得函数关于对称，即为偶函数，，显然函数图象的对称中心为原点，则函数的图象的对称中心为，即，对于A，，则是图象的一个对称中心，A正确；对于B，由，得，即，，是周期函数，8是该函数的一个周期，若4是的一个周期，则，而，从而与已知矛盾，B错误；对于C，，因此为偶函数，C正确；对于D，由，得，则，D错误.故选：AC三、填空题11．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域是，，，当时，，则．【答案】【分析】根据已知关系式可推导求得，利用周期性和对称性可得，结合已知函数解析式可求得结果.【详解】由得：，又，，，，.故答案为：.12．（2024·山东枣庄·一模）已知为偶函数，且，则．【答案】【分析】由条件结合偶函数定义可得，由结合周期函数定义证明为周期函数，利用周期性及赋值法求结论.【详解】因为为偶函数，所以，又，所以，因为，所以，所以，所以函数为周期函数，周期为，所以，由，可得，由，可得，所以，所以，故答案为：.13．（2024·全国·模拟预测）已知为均不等于1且不相等的正实数．若函数是奇函数，则．【答案】【分析】借助奇函数的性质计算可得，即可得解.【详解】因为函数是奇函数，所以，即，即，则．当时，，所以，则，所以；当时，恒成立．故答案为：．14．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，，则．【答案】【分析】根据题意，结合是奇函数，是偶函数，推得函数是周期为12的周期函数，进而求得的值，得到答案.【详解】解法一因为是奇函数，可得，所以，又因为是偶函数，可得，即，所以，所以是周期为12的周期函数，则．解法二

因为是奇函数，可得的图象关于点对称，又因为是偶函数，可得的图象关于直线对称，所以是周期为12的周期函数，所以，因为的图象关于直线对称，所以，则．故答案为：.15．（2024高一·全国·专题练习）定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围.【答案】【分析】根据为R上的奇函数且为减函数，可得出对任意的恒成立，这样求出的最小值，从而可得出的取值范围.【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，又因在R上单调递减，所以对任意恒成立，所以对任意恒成立，所以，设，对称轴，所以当时，，所以.故答案为：.【C级

拓广探索练】一、单选题1．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数的图象关于点中心对称，则（

）A．3 B． C．1 D．【答案】A【分析】由得，对两边求导得，而，即有，由题意可得的图象关于点中心对称，，从而的周期为，从而即可进一步求解.【详解】因为，则函数的图象关于点中心对称，且．由，，得，所以函数的图象关于对称，．根据图象变换的规律，由的图象关于点中心对称，得的图象关于点中心对称，，则的周期为，，故．故选：A．【点睛】关键点点睛：关键是得出的周期为，由此即可顺利得解.2．（2024·全国·模拟预测）已知函数对任意恒有，且当时，．若存在，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：令，求出，令，可证得函数是奇函数，再由单调性的定义可得函数在上单调递增，进而可求出在区间上的最大值，则，解不等式即可求出实数的取值范围；法二：令可得函数的单调性，进而可求出在区间上的最大值，则，解不等式即可求出实数的取值范围.【详解】法一：令，得，所以；令，则有，即，则，故是定义在上的奇函数．设，则，又当时，，则有，即，则，故在上单调递增．所以当时，．又因为存在，使得成立，所以，解得．故选D．法二：令，则．因为，当时，，所以，即函数在上单调递增．因为存在，使得成立，所以为在区间上的最大值．因为在上单调递增，，所以，所以．解得，即实数的取值范围为．故选：D．【点睛】关键点睛：本题的关键点在于由赋值法证得函数在上单调递增，进而可求出在区间上的最大值，则，解不等式即可求出实数的取值范围.3．（2023·新疆乌鲁木齐·二模）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．函数的图象关于点对称C． D．若，则【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.【详解】解：对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误；对于B，取，满足及，因为，所以的图象不关于点对称，所以函数的图象不关于点对称，故B错误；对于C，令，，代入已知等式得，可得，结合得，，再令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数.令，，代入已知等式，得，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，故C错误；对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，两式相加易得，所以有，即：，有：，即：，所以为周期函数，且周期为3，因为，所以，所以，，所以，所以，故D正确.故选：D.【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.二、多选题4．（2024·云南·模拟预测）已知定义在上的函数满足：，且，则下列说法中正确的是（

）A．是偶函数B．关于点对称C．设数列满足，则的前2024项和为0D．可以是【答案】ACD【分析】对于A：令，解得，再令结合偶函数定义分析判断；对于B：分析可知是以4为周期的周期函数，关于直线对称，进而可得结果；对于C：结合周期性分析运算；对于D：举例说明即可.【详解】因为，且的定义域为，关于原点对称，对于选项A：令，则，解得或，若，令时，，这与矛盾，故，令，则，即，可知是偶函数，故A正确；对于选项B：当时，，故，当时，，即，则，所以，故是以4为周期的周期函数，又因为是偶函数，可得，可知关于直线对称，则，若关于点对称，则，这与矛盾，故B错误；对于选项C：若，则是周期为4的周期数列，又因为，且，所以的前2024项和为0，故C正确；对于选项D：令，