2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第09练 二次函数与幂函数（精练：基础+重难点）（含解析）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第09练二次函数与幂函数（精练）1.通过具体实例，结合y＝x，y＝eq\f(1,x)，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.2.掌握二次函数的图象和性质.能利用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.一、单选题1．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D2．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D3．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为，故.故答案为：C.【A级

基础巩固练】一、单选题1．（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先用待定系数法设出函数解析式，再代入点的坐标计算出参数，即可得到答案.【详解】设幂函数的解析式为，由于函数过点，故，解得，该幂函数的解析式为；故选：B2．（2024·广东梅州·二模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由对数函数的性质求出集合，再根据二次函数的性质求出集合，最后根据并集的定义计算即可.【详解】因为，二次函数，当且仅当时取等号，所以，所以.故选：D3．（23-24高三上·上海青浦·期中）下列函数中，在其定义域内既不是增函数，也不是减函数的为（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数单调性的定义，结合常值函数、幂函数、指数函数和反比例函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数，在定义域内既是增函数，也是减函数，不符合题意；对于B中，函数，在定义域内为单调递增函数，不符合题意；对于C中，函数，在定义域内单调递增函数，不符合题意；对于D中，函数在为单调递减函数，但在整个定义域内不单调，符合题意.故选：D.4．（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知幂函数的图象在上单调递减，则的取值是（

）A．1 B．-3 C．1或-3 D．2【答案】A【分析】先根据幂函数的定义得：或，然后再根据函数在上单调性进行取舍.【详解】∵为幂函数，∴或；当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，不满足题意.综上可知：.故选：A.5．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数的单调递增区间是，则实数a的值是（

）A． B．3 C． D．1【答案】C【分析】求出二次函数的单调递增区间，利用相等集合列式求解即得.【详解】函数的单调递增区间是，因此，即，解得，所以实数a的值是.故选：C6．（2024·福建三明·三模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据幂函数的单调性可判断的大小，利用对数函数的单调性判断a的范围，即可得答案.【详解】由题意得，由于在上单调递增，故；而在上单调递减，故，故，故选：A7．（23-24高三上·全国·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是直线，由函数在上单调递减可得，解得，故选：D．8．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.【详解】设，，则在上单调递增.因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减，结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4.故选：9．（23-24高三上·北京·阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，将转化为关于的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可.【详解】设，则，，有最小值.当时，二次函数开口向下，无最小值；当时，无最小值；当时，若在上有最小值，则对称轴，解得.故选：A10．（2023高一·全国·课后作业）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】根据一元二次方程根的分布以及判别式、韦达定理得关系求解.【详解】当方程没有根时，，即，解得；当方程有根，且根都不为负根时，，解得，综上，，即关于x的方程没有一个负根时，，所以关于x的方程至少有一个负根的充要条件是，故选:B.二、多选题11．（22-23高一上·浙江杭州·期中）若幂函数的图象过，下列说法正确的有（

）A．且 B．是偶函数C．在定义域上是减函数 D．的值域为【答案】AB【分析】根据幂函数的定义可得，由经过可得，进而得，结合选项即可根据幂函数的性质逐一求解.【详解】对于A;由幂函数定义知，将代入解析式得，A项正确；对于B;函数的定义域为，且对定义域内的任意x满足，故是偶函数，B项正确；对于C;在上单调递增，在上单调递减，C错误；对于D;的值域不可能取到0，D项错误.故选：AB12．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）已知函数在上的值域为，则实数的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BCD【分析】配方后得到当时，取得最小值，结合，求出，得到答案.【详解】，当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取得最小值，又，故要想在上的值域为，则要，故实数的值可以是.故选：BCD13．（23-24高一上·贵州·阶段练习）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（

）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】AB【分析】根据幂函数的图象和性质结合已知图象分析判断即可.【详解】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则，所以，D选项错误；当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则，所以，C选项错误；因为当时，指数越大，图象越高，所以，综上，，AB选项正确.故选：AB14．（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若函数的最小值为，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】求出函数的对称轴，分、、三种情况，分别求出函数的最小值，即可求出参数的值.【详解】函数开口向上，对称轴为，若，即时，解得或（舍去），若，即时，函数在上单调递减，所以，解得，若，即时，函数在上单调递增，所以，解得（舍去），综上可得或.故选：BD三、填空题15．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是.【答案】【分析】利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为函数在区间上是增函数，则，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.16．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设函数，若函数与在上均为单调递增函数，则实数的取值范围为．【答案】【分析】利用分式函数、二次函数在上的单调性求出的范围得解.【详解】由函数在上单调递增，得，解得，由函数在上单调递增，得，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：17．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）设函数在单调递增，则的取值范围为．【答案】【分析】由复合函数单调性“同增异减”原则，函数在上单调递增，且在上恒成立，建立不等式求解即可.【详解】由复合函数单调性“同增异减”原则，函数在上单调递增，且在上恒成立，已知二次函数的对称轴为，所以，解得．故答案为：．18．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为．【答案】【分析】构造函数，利用一元二次方程的实根分布列式求解即得.【详解】令函数，依题意，的两个不等实根满足，而函数图象开口向上，因此，则，解得，所以实数a的取值范围为.故答案为：19．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知，若幂函数为奇函数，且在上严格单调递减，则.【答案】或【分析】由题意，结合幂函数的性质即可求解.【详解】由幂函数的性质知，，在第一象限内，当时，函数单调递减，当为奇数时，函数为奇函数，所以当或时，幂函数在上单调递减，且为奇函数.故答案为：或20．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是．【答案】【分析】由指数运算可得出的值，可得出函数的解析式，分析函数的单调性，由可得出关于的不等式，解之即可.【详解】因为，且，则，则，因为函数为上的增函数，由可得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.21．（23-24高三上·四川眉山·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则【答案】/0.5【分析】利用幂函数的定义及性质计算即可.【详解】由题意可知或，又当时，与坐标轴有交点，不符合题意；所以，此时.故答案为：四、解答题22．（2024·山东·二模）已知是二次函数，且．(1)求的解析式；(2)若，求函数的最小值和最大值．【答案】(1)；(2)，．【分析】（1）设二次函数为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；（2）根据二次函数的性质，求得函数的单调区间，进而求得其最值.【详解】（1）解：设二次函数为，因为，可得，解得，所以函数的解析式．（2）解：函数，开口向下，对称轴方程为，即函数在单调递增，在单调递减，所以，．23．（22-23高三上·陕西·阶段练习）已知幂函数在上是减函数.(1)求的解析式；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)（2，5）.【分析】（1）根据幂函数的性质可求得的值.（2）根据幂函数的单调性解不等式求参数.【详解】（1）解：由题意得：根据幂函数的性质可知，即，解得或.因为在上是减函数，所以，即，则.故.（2）由（1）可得，设，则的定义域为，且在定义域上为减函数.因为，所以解得.故的取值范围为（2，5）.24．（23-24高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知函数.(1)求的解析式；(2)若为任意实数，试讨论在上的单调性和最小值.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用配凑法，通过整体代换得到解析式；（2）分别讨论、和的情况，结合二次函数性质可求得结果.【详解】（1），.（2）由（1）得：为开口方向向上，对称轴为的抛物线；①当时，在上单调递减，；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，；③当，即时，在上单调递增，；综上所述：当时，在上单调递减，；当时，在上单调递减，在上单调递增，；当时，在上单调递增，.25．（22-23高二上·河南·开学考试）已知幂函数为奇函数.(1)求函数的解析式；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，即可求解；（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解.【详解】（1）解：由题意，幂函数，可得，即，解得或，当时，函数为奇函数，当时，为非奇非偶函数，因为为奇函数，所以.（2）解：由（1）知，可得在上为增函数，因为，所以，解得，所以的取值范围为.26．（22-23高三上·河南·阶段练习）已知幂函数是偶函数．(1)求函数的解析式；(2)函数，，若的最大值为15，求实数a的值．【答案】(1)(2)5【分析】（1）根据幂函数的特征，得，解得或，检验是偶函数，得出答案；（2）求出，利用的单调性，得，求解即可．【详解】（1）由题知，即，解得或．当时，，不是偶函数，舍去，当时，，是偶函数，满足题意，所以．（2）由（1）知，且图象的对称轴为，所以在上是增函数，则，解得或，又，所以．27．（23-24高三上·全国·期末）已知函数为二次函数，的图像过点，对称轴为，函数在R上最小值为.(1)求的解析式；(2)当，时，求函数的最小值（用m表示）；【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，设函数，由其对称轴及最值可得，再将点代入，即可求得；（2）根据题意，由函数对称轴方程，分，以及讨论，即可得到结果.【详解】（1）设函数，由对称轴为，函数在上最小值为可得，将代入可得，故.（2）的对称轴为，时，在,上递减，则，时，在上递减，在上递增，故，时，在上递增，故；综上，；28．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数(1)方程在有两个不等实数根，求的取值范围．(2)求解关于不等式．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由图象得出方程在有两个不等实数根，应满足的条件列出不等式组即得.（2）根据方程的判别式进行讨论即得.【详解】（1）因为方程在有两个不等实数根，由图知满足的条件为：解得：

（2）由得出①若时，即或，方程有两个相等的实数根为，此时原不等式解集为；②若时，即，方程无实数根.此时原不等式解集为;③若时，即或，方程有两个不相等的实数根分别为，或，此时原不等式解集为，综上所述：①当或，不等式解集为.②当或，不等式解集为.③当，不等式的解集为．【B级

能力提升练】一、单选题1．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，，，则，，大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小即得.【详解】依题意，，，而，所以，，大小关系为.故选：A2．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（

）A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③【答案】B【分析】根据题求幂函数解析式，判断A；结合幂函数性质判断②③④.【详解】对于①：由幂函数的定义可知，解得，将点代入函数得，解得，所以，故①错误；对于②：因为定义域为R，且，所以为奇函数，故②正确；对于③：由幂函数的图象可知，在R上单调递增，故③正确；对于④：因为，且在R上单调递增，所以，故④错误，综上可知，②③正确，①④错误.故选：B.3．（23-24高三上·广东深圳·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由复合函数的单调性计算即可得.【详解】令，对称轴为，∵函数在区间上单调递增，在上单调递增，∴在上单调递增，且，∴且，即且，解得，即实数的取值范围为.故选：A.4．（23-24高三上·河北邢台·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断【答案】B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【详解】由得或，时，在上是增函数，不合题意，时，，在上是减函数，满足题意，所以，，则，，是奇函数，因此，所以，即，故选：B.5．（23-24高三上·全国·阶段练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】换元，设，将化为，根据二次函数的单调性即可求得答案.【详解】设，则即为，而图像的对称轴为，故在上单调递增，则，即的增区间为，而函数在上单调递增，故，即实数的取值范围为，故选：B6．（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据实数是不是为零进行分类讨论，结合根的判别式及韦达定理即可得解.【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根，当时，方程，当方程有二个负根时，则有，当方程有一个负根一个正根时，则有，综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有，即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是.故选：D.二、多选题7．（2024高三·全国·专题练习）(多选)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则实数m的取值范围可以是（

）A．[0，4] B．[，2]C．[，2] D．[1，2]【答案】BC【详解】∵y＝x2－3x－4＝(x－)2－，作出函数y＝x2－3x－4在区间[0，m]上的图象如图所示．由图象可知，当x＝时，ymin＝－.令y＝x2－3x－4＝－4得出x＝0或x＝3.当0＜m＜时，函数y＝x2－3x－4在区间[0，m]上单调递减，此时ymin＝m2－3m－4＞－，不符合题意；当≤m≤3时，且当x∈[0，m]时，由图象可知ymin＝－，ymax＝－4，符合题意；当m＞3时，且当x∈[0，m]时，由图象可知ymin＝－，ymax＝m2－3m－4＞－4，不符合题意．综上所述，实数m的取值范围是[，3].故选BC.8．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（

）A． B． C． D．3【答案】BD【分析】分别讨论和两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案.【详解】①当，即时，，所以的对称轴为，则的图象如下：结合图象可知，要使函数在上单调，则或，解得：或，即或；②当，即或，令，则的对称轴为，则的图象如下：结合图象可知，要使函数在上单调，则，或，或，或解得：，或，综上：或；故选：BD三、填空题9．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的值域是．【答案】【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解，【详解】令则，由于在单调递减,单调递增，所以，故的值域为.故答案为:.10．（2024·北京延庆·一模）已知函数在区间上单调递减，则的一个取值为．【答案】（不唯一）【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解.【详解】因为在上单调递增，又在区间上单调递减，所以可以为偶函数，不妨取，此时，函数定义域为，且，故为偶函数，满足在区间上单调递减.故答案为：（不唯一）11．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）已知．若方程有解，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】将方程有解转化为有解；令，结合二次函数知识即可求得答案.【详解】由题意知有解，即有解；令，由于，当时，；当时，；故，即，故答案为：12．（23-24高三上·江苏淮安·期中）已知函数的定义域是，则函数的单调增区间为.【答案】/【分析】先根据定义域求出的值，再结合复合函数的单调性求出单调区间.【详解】因为函数的定义域是，所以为的两个根，所以则，即，令，则在单调递减，令，则为开口向下，对称轴为的抛物线，且，所以时，单调递增；时，单调递减；因为，所以函数的单调增区间为.故答案为：13．（22-23高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在上的单调递增函数，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】分段函数在上单调递增，则在两个分段区间上都单调递增，且在上的最大值要不大于上的任意函数值，据此解答即可.【详解】因为在上单调递增，所以当时，在上单调递增，又因为开口向下，对称轴为，所以，故，且在上的最大值为，当时，在上单调递增，所以由幂函数的性质可知，且，故，得，由于以上条件要同时成立，故，即.故答案为：.14．（23-24高一上·重庆·阶段练习）若关于x的方程在上有两个不等实根，则实数a的取值范围是【答案】【分析】设，得到，转化为在上有两个不等的实根，设，列出不等式组，即可求解.【详解】由方程等价于，设，可得，即方程等价于在上有两个不等的实根，设，则满足，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题15．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知幂函数是奇函数.(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数得定义与性质求解即可；（2）先判断出函数的单调性，由函数为奇函数可得不等式，即为不等式，再根据函数的单调性结合指数函数的单调性即可得解.【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或，当时，，函数为偶函数，不合题意，当时，，函数为奇函数，符合题意，由上知；（2）由（1）得为上的增函数，且是奇函数，由，得，即，所以，即，所以，即实数的取值范围.16．（23-24高一上·四川内江·期末）已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有．(1)求的解析式；(2)求在区间上的最小值；(3)若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据二次函数对称性和最小值设顶点式，代入零点即可得到解析式；（2）分和讨论即可；（3）通过分离参数法和基本不等式即可求出的范围.【详解】（1）因为对都有，所以的图象关于直线对称，又因为二次函数的最小值为，所以可设二次函数的解析式为，又因为是其一个零点，所以，解得，所以的解析式为.（2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，当时，，.（3）因为关于的不等式在区间上有解，即不等式在上有解，所以，记，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4，所以，即，故存在实数符合题意，所求实数的取值范围为.【C级

拓广探索练】一、单选题1．（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先对内函数对应的方程的根的情况分类讨论，得出时，结果为16，对于时，求出两根，根据图象，就