专题1.2数轴中的动点问题（压轴题专项讲练）（人教版2024）

专题1.2数轴中的动点问题思想方法思想方法数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1.不重（互斥性）不漏（完备性）；2.按同一标准划分（同一性）；3.逐级分类（逐级性）。典例分析典例分析【典例1】如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是−1，B点对应的数是8，C是线段AB上一点，满足ACBC（1）求C点对应的数；（2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．①当MN=4时，求t的值；②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当PM=2PN时，请直接写出t的值．【思路点拨】（1）根据A点，B点对应的数，得到AB=9，根据AC与BC的比值，得到AC=5，BC=4，得到C点对应的数是8−4=4；（2）①当M、N未相遇，M表示的数是−1+2t，N表示的数是8−t，得到8−t−−1+2t=4，解得t=53；当M、N相遇后，M在BC上运动，M表示的数是4+2t−52−2=2t−5，N表示的数是8−t，得到2t−5−8−t=4，解得t=173；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是4−3t，M表示的数是−1+2t，N表示的数是8−t，得到4−3t−−1+2t=28−t−4−3t，解得t=−13，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是4−3×1+3t−1=3t−2，得到3t−2−−1+2t=28−t−3t−2，解得t=73；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是8−2.5−3t−2.5=13−3t，13−3t−4=28−t−13−3t，解得t=197【解题过程】解：（1）∵A点对应的数是−1，B点对应的数是8，∴AB=8+1=9，∵ACBC∴AC=5，BC=4，∴C点对应的数是8−BC=8−4=4，答：C点对应的数是4；（2）①∵运动t秒时，MN=4当M、N未相遇，则M在AC上运动，M表示的数是−1+2t，N在BC上运动，N表示的数是8−t，∴8−t−−1+2t解得t=5当M、N相遇后，M在BC上运动，M表示的数是4+2t−52−2=2t−5，N在AC∴2t−5−8−t解得t=17综上所述，t的值为53或17②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是4−3t，M表示的数是−1+2t，N表示的数是8−t，∵PM=2PN∴4−3t−−1+2t解得t=−1由已知得，P与M在t=1时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是4−3×1+3∴3t−2−−1+2t解得t=7由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过7−13+1=1.5秒，即t=2.5时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是∴13−3t−4=28−t−解得t=19当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是13−3t，M在C点处，M表示的数是4，次情况2.5<t≤4.5，∴4−13−3t解得t=1，不合，∴这种情况不存在，当P运动到A后，若N为PM的中点，此时PM=2PN，∴−1+2t−5解得t=5.5，综上所述，t的值为73，或19学霸必刷学霸必刷1．（2324七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4cm到达A点，再向右移动5cm到达B点，然后再向右移动3cm到达C（1）请你在数轴上标出A、B、C三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______．（2）把点A到点C的距离记为AC，则AB=_____cm，AC=______cm；（3）若点A从（1）中的位置沿数轴以每秒1cm匀速向右运动，经过多少秒使AC=3cm【思路点拨】本题考查数轴上点的表示，数轴上两点间距离，数轴上动点问题．（1）根据题意利用观察即可得到本题答案；（2）根据题意利用两点间距离即可得到；（3）分情况讨论当点A在点C的左侧时和当点A在点C的右侧时，分别列式即可得到本题答案．【解题过程】（1）解：由题意得：A点对应的数为−4，B点对应的数为1，点C对应的数为4，点A，B，C在数轴上表示如图：A表示的数为−4，B表示的数为1，C表示的数为4，故答案为：−4，（2）解：∵A点对应的数为−4，B点对应的数为1，点C对应的数为4，∴AB=1−(−4)=5cm，AC=4−(−4)=8故答案为：5，8；（3）解∶①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，由题意得：8−x=3，解得：x=5；②当点A在点C的右侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，由题意得：x−8=3，解得：x=11，综上，经过5或11秒后点A到点C的距离为3cm．2．（2324七年级上·安徽六安·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒．（1）当t=0.5时，求点Q到原点O的距离；（2）当t=2.5时，求点Q到原点O的距离；（3）当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离．【思路点拨】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键．（1）先计算出点Q运动的路程，即可解答；（2）先计算出点Q的运动路程，即可解答；（3）①点Q向左运动4个单位长度，②点Q向左运动8个单位长度到原点，再向右运动4个单位长度，③点Q向左运动8个单位长度到原点，再向右运动12个单位长度．【解题过程】（1）解：当t=0.5时，4t=4×0.5=6，8−2=6，当t=0.5时，点Q到原点O的距离为6．（2）解：当t=2.5时，点Q运动的距离为4t=4×2.5=10，10−8=2，∴点Q到原点O的距离为2；（3）解：点Q到原点O的距离为4时，分三种情况讨论：①点Q向左运动4个单位长度，此时运动时间：t=4÷4=1（秒），P点表示的数是−2，Q点表示的数是4；此时P点到Q点之间的距离是6．②点Q向左运动8个单位长度到原点，再向右运动4个单位长度，则点Q运动的距离为：8+4=12，运动时间：t=12÷4=3（秒）P点表示的数是−6，Q点表示的数是4；此时P点到Q点之间的距离是10．③点Q向左运动8个单位长度到原点，再向右运动12个单位长度，则点Q运动的距离为：8+12=20，运动时间：t=20÷4=5（秒）P点表示的数是−10，Q点表示的数是12；此时P点到Q点之间的距离是22．综上，点P到点Q的距离为6或10或22．3．（2324七年级上·吉林长春·期中）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是−3，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点．（1）求出点N所对应的数；（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数；（3）若点P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒运动2个单位长度，点Q每秒运动3个单位长度．若点P先出发5秒后点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接写出此时点P、Q分别对应的数．【思路点拨】（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）分两种情况：①点P在点M的左边，；②点P在点N的右边，进行讨论即可求解；（3）分两种情况：①点P在点Q的左边，②点P在点Q的右边，进行讨论即可求解；本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想．【解题过程】（1）−3+4=1，故点N所对应的数是1；（2）5−4÷2=0.5①点P在点M的左边，−3−0.5=−3.5，②点P在点N的右边，1+0.5=1.5，故点P所对应的数是−3.5或1.5；（3）①点P在点Q的左边，4+2×5−2÷点P对应的数是−3−5×2−12×2=−37，点Q对应的数是−37+2=−35；②点P在点Q的右边，4+2×5+2÷点P对应的数是−3−5×2−16×2=−45，点Q对应的数是−45−2=−47，综上可知：点P对应的数是−37，点Q对应的数是−35或点P对应的数是−45，点Q对应的数是−47．4．（2324七年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且c−10=0，若点A沿数轴向右移动12个单位长度后到达点B，且点A，B

（1）a的值为，b−c的值为；（2）动点P，Q分别同时从点A，C出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A移动，点P表示的数为x．①若点P，Q在点B处相遇，求m的值；②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x的值．【思路点拨】（1）根据A、B两点间的距离为12且A、B两点表示的数互为相反数即可求a，b；再根据绝对值为非负数求出c，从而得出结论；（2）①根据相遇时Q走的路程是4，根据速度×时间=路程列方程求出m的值；②根据点P，Q的路程之差的绝对值等于2列出方程，解方程即可.【解题过程】（1）∵|c−10|=0,∴c=10,∵AB=12,a,b互为相反数,∴a=−6,b=6,∴b−c=6−10=−4,故答案为:−6，−4；（2）①∵点P的速度是每秒1个单位长度，点P,Q在点B处相遇,AB=12,∴点P从点A运动到点B所用时间为12秒，∵BC=4,∴12m=4,解得m②设运动时间为t秒，根据题意：|16−t−2t|=2,解得t=6或14∴x=∴x=0或−5．（2324七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知：a、b分别是数轴上两点A、B所表示的有理数，满足a+20+

（1）求A、B两点相距多少个单位长度？（2）若C点在数轴上，C点到B点的距离是C点到A点距离的13，求C（3）点P从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，如此下去，依次操作2023次后，求P点表示的数．【思路点拨】（1）先由绝对值和平方数的非负性求出a和b，再根据数轴上表示的数之间的距离的公式即可求解；（2）根据点的位置分情况讨论即可求解；（3）点P向左移1个单位，再向右移动2个单位，依次规律，列出算式即可求解．【解题过程】（1）因为a−20+b−82=0，所以a−20=0，b−8所以a=−20，b=−8，−2−−20答：A、B两点相距12个单位长度；（2）①若点C在B点的右侧，则CB=1所以CB=1所以点C表示的数为−8+6=−2．②若C点在A，B点之间，则CB=1所以CB=1所以点C表示的数为−8−3=−11．综上，C点表示的数为−2或−11．（3）−20−1+2−3+4−5+6−7+⋯−2021+2022−2023=−20+1011−2023=−1032，答：P点表示的数为−1032．6．（2324七年级上·湖北黄冈·期中）已知a、b为常数，且满足a−12+b+202=0，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______；（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值．【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式，（1）根据绝对值和平方式的非负性得出a和b的值即可；（2）根据点的运动得出代数式即可；（3）分四种不同情况进行分类讨论，根据路程=速度×时间，列方程求解即可．解题的关键是要运用分类讨论的思想．【解题过程】（1）解：∵|a−12|+b+20∴a−12=0，∴a=12，（2）解：由题意可知，E点对应的数为：12−6t，F对应的数为−20+2t=2t−20，故答案为：12−6t，2t−20；（3）解：在相遇前：t=20−(−12)−2设t′时E、F即12−6t解得t′①当E点在F点左侧时，且F点没动时，由题意可得，6(t−4)=2，解得：t=13②当E点在F点左侧时，且F点已动时，6×(t−4)−2×5×(t−4−4)=2，解得：t=27③当点E在点F右侧时，由题意2×5×(t−4−4)−6×(t−4)=2，解得：t=29综上所述，符合条件的t的值为：1547．（2324七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，1个单位长度表示1cm，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动5cm到达B点，然后向右移动10

（1）请你直接写出A、B、C三点所表示的数，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为；（2）若动点P、Q分别从B、C两点同时向左移动，点P、Q的速度分别为每秒3cm和每秒6cm，设移动时间为t①当PQ=7时，求t的值；②运动过程中，点M到P、Q两点的距离始终保持相等，试探究QC−43AM【思路点拨】（1）根据点在数轴上的位置写出答案即可；（2）①由题可得点P表示的数为−6−3t，点Q表示的数为4−6t，得到PQ=3t−10，由PQ=7得到3t−10②由点M到P、Q两点的距离始终保持相等得到点M表示的数是−1−92t，QC=6t，AM=−1−(−1−【解题过程】（1）解：由数轴可知，点A表示的数为−1，点B表示的数为−6，点C表示的数为4；故答案为：−1，−6，4（2）①由题可得点P表示的数为−6−3t，点Q表示的数为4−6t，

∴PQ=−6−3t−(4−6t)∵PQ=7，∴3t−10=7∴t=1或t=17②不会随着t的变化而改变，理由如下：由题可得点P表示的数为−6−3t，点Q表示的数为4−6t，点C表示的数是4，点A表示的数是−1，∵点M到P、Q两点的距离始终保持相等，∴点M表示的数是−6−3t+(4−6t)2=−1−∵QC=6t，AM=−1−(−1−∴QC−4即QC−48．（2223七年级上·湖南长沙·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长AB=2(单位长度)，慢车长CD=4(单位长度，设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点0为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是c.若快车AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且a、c分别是多项式−8x

（1）求此时刻快车头A与慢车头C之间相距多少单位长度?（2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车的车头AC相距8个单位长度?（3）此时在快车AB上有一位爱动脑筋的乘客——明德少年P，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头AC的距离和加上到两列火车尾B,D的距离和是一个不变的值(即PA+PC+PB+PD为定值).你认为明德少年P发现的这一结论是否正确?若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由.【思路点拨】（1）根据题意，得到a,b的值，再利用数轴上两点之间的距离公式，即可解答；（2）分类讨论，即相遇之前，相距8个单位；相遇之后，相距8个单位，分情况讨论即可解答；（3）根据PA+PB=AB，P在CD之间时，PA+PB+PC+PD是一个定值，求出这个定值和此时的时间即可。【解题过程】（1）解：由题可知：a=−8,所以此刻快车头A与慢车头C之间的相距|−8|+16=24（单位长度）答：快车头A与慢车头C之间的相距个单位长度（2）解：本题有两种可能，第一种，相遇之前，相距8个单位则列出算式：(24−8)÷(6+2)=2s

第二种，相遇之后，相距8个单位则列出算式：(24+8)÷(6+2)=4s答：在行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位（3）解：正确，理由如下：因为人坐在快车上，所以，PA+PB=AB=2单位长度当P在CD之间时，PC+PD=4（单位长度），此时t=4÷(6+2)=0.5s

此时，PA+PB+PC+PD=AB+CD=6单位长度答：正确，这个时间为0.5秒，定值为6个单位长度9．（2324七年级上·广东广州·期中）若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，我们把A、B两点之间的距离表示为AB，记AB=a−b，且a，b满足a−1（1）a=；b=；线段AB的长=；（2）点C在数轴上对应的数是c，且c与b互为相反数，在数轴上是否存在点P，使得PA+PB=PC?若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点A和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，t秒钟后，若点A和点C之间的距离表示为AC，点A和点B之间的距离表示为AB，那么AB−AC的值是否随着时间t的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出AB−AC的值．【思路点拨】（1）根据绝对值及平方的非负性，求出a，b的值，从而求出线段AB的长；（2）设P对应的数为y，再由PA+PB=PC，可得出点P对应的数；（3）根据A，B，C的运动情况即可确定AB，AC的变化情况，即可确定AB−AC的值．【解题过程】（1）∵a−1+∴a−1=0，b+2=0，解得：a=1，b=−2，∴线段AB的长为：1−−2故答案为：1，−2，3；（2）由（1）得：b=−2，∴c=2，设P对应的数为y，由图知：①P在A右侧时，不可能存在P点；②P在B左侧时，1−y−2−y=2−y，解得:y=−3，③当P在A、B中间时，3=2−y，解得:y=−1，故点P对应的数是−3或−1；（3）AB−AC的值不随着时间t的变化而变化，理由如下：t秒钟后，A点位置为：1+4t，∴B点的位置为:−2−t，C点的位置为:2+9t，∴AB=1+4t−−2−t=5t+3∴AB–AC=5t+3−5t+1∴AB−AC的值不随着时间t的变化而变化，值为2．10．（2324七年级上·广东广州·期中）阅读：如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是−18，−8，+8．A到C的距离可以用AC表示，计算方法：AC=+8−

（1）填空：AB=，BC=．（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：B到C的距离与A到B的距离的差（即BC−AB）的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由．（3）现有动点P、Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒（0≤t≤19），直接写出P、Q两点间的距离PQ（用含t的代数式表示）．【思路点拨】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；（2）根据题意求出点A，B，C向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示AB，BC的值，最后再进行计算即可；（3）分三种情况讨论，点Q在点A处，点P在点Q的右边，点Q在点P的右边；本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．【解题过程】（1）AB=−18−−8=10故答案为：10，16；（2）不变，理由：因为：经过t秒后，A，B，C三点所对应的数分别是−18−t，−8+4t，8+9t，所以：BC=8+9t−−8＋∵t≥0，∴16+5t>0，10+5t>0，∴16+5t=16+5t，10+5t所以：BC−AB=16+5t−10所以BC−AB的值不会随着时间t的变化而改变；（3）经过t秒后，P，Q两点所对应的数分别是−18+t，−18+2t−6当点Q追上点P时，−18+t−−18+2解得：t=12，①当0<t≤6时，点Q在还点A处，所以：PQ=t，②当6<t≤12时，点P在点Q的右边，所以：PQ=−18+t−−18+2③当12<t≤19时，点Q在点P的右边，所以：PQ=−18+2t−6综上所述，P、Q两点间的距离为t或−t+12或t−12．11．（2324七年级上·河南平顶山·期末）综合与探究数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：（1）平移运动一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是．（2）翻折变换①若折叠数轴所在纸条，表示−1的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示的点重合．②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示，E点表示．③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是−17、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点M′落在点N的右边，并且线段M′N的长度为3，请直接写出点P【思路点拨】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键．（1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题．（2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题．【解题过程】（1）解：根据机器人的运动方式可知，它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：−1；它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1；它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：−2；它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2；它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：−3；它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；…，由此可见，它跳完第2n次时，落在数轴上的点表示的数是n，它跳完第2n−1次时，落在数轴上的点表示的数是−n；当2n−1=5，即n=3时，−n=−3，所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是−3；当2n=2024，即n=1012时，可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012；故答案为：−3，1012．（2）①由表示−1的点与表示3的点重合可知，−1+32则折点所表示的数为1．因为5−1=1−−3所以表示5的点与表示−3的点重合．故答案为：−3．②因为折痕与①的折痕相同，所以这次折叠的折点所表示的数也为1．又因为2024÷2=1012，所以点D表示的数为−1011，点E表示的数为1013．故答案为：−1011，1013．③由折叠可知，MP=M因为点M、N表示的数分别是−17、8，所以MN=8−−17又因为点M′落在点N的右边，并且线段M所以MM因为28÷2=14，−17+14=−3，所以点P表示的数为−3．故答案为：−3．12．（2324七年级上·山西晋中·期中）综合与探究：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：

（1）勤奋小组：在图所示的数轴上，把数−2，13，4，−（2）励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：①表示−2的点与表示______的点重合；②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____．（3）攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数−2的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒．①当t=3时，求甲、乙两个小球之间的距离；②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离．【思路点拨】（1）根据数轴的点的表示解答即可；（2）①根据题意找出对称轴即可；②根据题意列出方程即可；（3）①当t=3时，小球甲在的位置表示的数为−1，小球乙在的位置表示的数为2，据此回答即可；②设运动的时间为t，根据题意列出代数式即可．【解题过程】（1）如图所示．

用“＜”将它们连接起来为−2<−1（2）由题意得：折叠点与数轴的交点表示的数为3+122+2−所以表示−2的点与表示6的点重合，故答案为：6，设点A表示的数为x，则点B表示的数为x+7，可得x+x+72解得x=−1.5：故答案为：−1.5；（3）①当t=3时，小球甲在的位置表示的数为−1，小球乙在的位置表示的数为2，所以甲、乙两个小球之间的距离为2−−1②运动前，甲、乙两个小球之间的距离为4−−2当0≤t≤2时，甲、乙两个小球之间的距离为6−t−2t=6−3t；当t>2时，甲、乙两个小球之间的距离为t+2t−6=3t−6．所以甲、乙两个小球之间的距离为6−3t．13．（2324七年级上·广西百色·期中）综合与实践，阅读理解：【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：

【问题解决】（1）若折叠后数1对应的点与数−1对应的点重合，则此时数−3对应的点与数________对应的点重合；【学以致用】（2）若折叠后数2对应的点与数−4对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合；【问题拓展】（3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________；（4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（t>0）．①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度；②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值．【思路点拨】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答；（2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答；（3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解；（4）①根据题意，BP=2t,点P对应的数为4.5+2t，用代数式表示PA，列方程求解即可；②根据题意，点P在点A的左侧，点P对应的数为4.5−2t，用代数式表示PA，列方程求解即可．本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离，难度较大，属于压轴题，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键．【解题过程】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数−3对应的点与数3对应的点重合；故答案为：3（2）因为数2对应的点与数−4对应的点重合，所以，对称中心是数−1对应的点，∴−1−0−(−1)此时数0对应的点与数−2对应的点重合；故答案为：0（3）由（2）可知，对称中心是数−1对应的点，数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），设点A对应的数为x，点B对应的数为11+x，∴−1−x−(−1)解得：x=−6.5，则11+x=4.5，所以，点A对应的数为−6.5，点B对应的数为4.5，故答案为：−6.5，4.5；（4）①根据题意，BP=2t,点P对应的数为4.5+2t，PA=4.5+2t−(−6.5)=15，解得：t=2，答：t为2时，P、A两点之间的距离为15个单位长度；②动点P从B点向左出发，P、A两点之间的距离为15个单位长度时，此时，点P在点A的左侧，点P对应的数为4.5−2t，PA=−6.5−(4.5−2t)=15，解得：t=13，答：t=13时，P、A两点之间的距离为15个单位长度．14．（2324七年级上·福建福州·期中）定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作AB=a，根据定义完成下列各题．两个长方形ABCD和EFGH的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0．（1）求数轴上点H、A所表示的数？（2）若长方形ABCD以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且AM=12AD，其中点N在E、H两点之间，且EN=①经过x秒后，M点表示的数是，N点表示的数是（用含x的式子表示，结果需化简）．②求MN（用含x的式子表示，结果需化简）．（3）若长方形ABCD以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为tt>0秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S=12时，求此时t【思路点拨】（1）根据ED=14，OE=5，EH=10，AD=6，推出OH=15，OD=9，得到OA=15，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是−15；（2）①根据长方形ABCD以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，AM=12AD=3，EN=15EH=2，得到x秒后，M点表示的数：4x−12，N点表示的数：7−3x；②当M点在（3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形ABCD运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形ABCD运动的时间为13秒．【解题过程】（1）由题意得：ED=14，OE=5，EH=10，AD=6，∴OH=OE+EH=5+10=15，∴OD=ED−OE=14−5=9，∴OA=OD+AD=9+6=15，∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是−15；（2）①∵AD=6，EH=10，∴AM=12AD∵OA=15，OE=5，∴OM=OA−AM=12，ON=OE+EN=7，∵长方形ABCD以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形EFGH以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，∴M点表示的数为：4x−12，N点表示的数为：7−3x；故答案为：4x−12，7−3x；②当M点在N点的左侧时，MN=7−3x当点M在N点的右侧时，MN=4x−12（3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，∴重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，t=14+4当点A运动到H点左边4个单位时，t=6+14+6综上，长方形ABCD运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12．15．（2324七年级上·河南郑州·期中）阅读下面的材料：如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB，线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB=b−a．请用上面的知识解答下面的问题：如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：（2）点C到点A的距离CA=______cm；若数轴上有一点D，且AD=5，则点D表示的数为_________；（3）若将点A向右移动xcm（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：AC−AB【思路点拨】本题考查了数轴，解一元一次方程以及整式的加减运算，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．（1）根据题意分别表示出距离求出坐标，画出图形；（2）根据距离公式得出AC的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果；（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为−2+x（4）表示出AC和AB，再相减即可得出结论．【解题过程】（1）A：0−2=−2，即a=−1，A表示−2，B：−2−3=−5，即b=−5，B表示−5，C：−5+9=4，即c=4，C表示4，A、B、C三点的位置如图所示：（2）CA=4−(−2)=4+2=6（cm）；设D表示的数为a，∵AD=5，∴−2−a=5，解得：a=−7或a=3∴点D表示的数为−7或3；故答案为：6；−7或3；（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为−2+x故答案为：−2+x（4）AC−AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：根据题意得：平移后，AC=(4+4t)−(−2+t)=(6+3t)cm，AB=(−2+t)−(−5−2t)=(3+3t)cm∴AC−AB=(6+3t)−(3+3t)=3cm∴AC−AB的值恒为3，不会随着t的变化而变化．16．（2425七年级上·全国·假期作业）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为AD=45素材2动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度．问题解决：探索1：动点P从点A运动至点B需要多少时间？探索2：动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）；探索3：动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足PB+PC=16【思路点拨】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识．探索1：根据时间=路程÷速度，即可求解；探索2：由探索1可得P在BC段运动时间为：(t−16.5)秒，进而得到BP=4t−66，结合点B表示12，即可求解；探索3：分两种情况：①当P在BO上时，②当P在CD上时，根据线段的和差以及时间=路程÷速度，即可求解．【解题过程】解：探索1：∵点A表示−9，点B表示12，∴OA=9，OB=12，∵P在AO段初始速度为2个单位长度/秒，P在OB段速度为初始速度的一半，∴P在OB段速度为1个单位长度/秒，∴P从点A运动至点B的时间为：92探索2：∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在BC段速度为初始速度的两倍，∴P在BC段速度为4个单位长度/秒，由探索1可得：P在BC段运动时间为：(t−16.5)秒，∴BP=4(t−16.5)=4t−66，∵点B表示12，∴P表示的数为：12+(4t−66)=4t−54；探索3：设t秒后PB+①当P在BO上时，∵PB+∴PB+(PB+BC)=16，∵BC=12，∴PB=2，∴PO=OB−BP=12−2=10，∵OA=9，∴t=9②当P在CD上时，∵PB+∴PC+(PC+BC)=16，∵BC=12，∴PC=2，∴t=9综上：动点P运动的时间为14.5秒或20.5秒．17．（2324七年级上·山东青岛·期末）如图1，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b,a,b满足a−20+b+62（1）点A表示的数为______，点B表示